第2讲等差数列的通项与性质专项训练-2027届高三数学一轮复习

等差数列的通项与性质 数列 · 专题篇 一 基本量与通项公式 一、通项公式的两种写法。 等差数列 的首项为 、公差为 ，则 ，也可以写成 。 ★ 后一种写法说明： 是 的一次函数（ 时），一次项的系数就是公差，常数项是 。 二、两个基本量。 与 是等差数列的两个基本量，任意两个关于 的独立条件就能把它们定下来（联立解方程组）。 ★ 常见组合：给两项 、（可求 ）；给一项与和（ 先用求和公式化成 与 ）；给一项与一个等式。 三、任意两项的关系。 对任意 有 ，即 。 ★ 这一条比分两步求 、 更快，尤其是两项的下标差很大时（如 与 ）。 四、线性组合仍是「同一下标的项」。 若 ，则 是下标 处的项；同乘一个数不改变「一次函数」的结构。 ★ 遇到形如 、 的式子，先把每项拆成 ，看能不能并成单独一项的倍数 —— 能并就一步出答案。 例1（单选·★★☆☆☆） 已知数列是等差数列，且，则 = （ ） A. 0 B. C. D. 【切入点】给的是 与 两项，下标差很大 —— 直接用 ，不必先求 。 【关键】。 于是 ，选 A。 【易错】第一，分母是下标差 ，不是项数 。第二， 用 加 个公差，写成加 个会得 。第三，公差是负的：，符号不能丢。 【答案】A 变式1-1（填空·★★☆☆☆） 在等差数列中，若，，则的值为______。 【切入点】首项与公差都给了，直接代通项公式。 【关键】。 【易错】第一， 的系数是 不是 。第二，公差为负， 要带符号。第三，答案是 ，不是 。 【答案】 变式1-2（单选·★★☆☆☆） 在等差数列中，若，，则的公差为（ ） A. 3 B. -3 C. 5 D. -5 【切入点】、、 的下标成等差，它们的和就是中间项的 倍 —— 先把 挖出来。 【关键】由 得 ，故 。 于是 ，选 A。 【易错】第一，三项下标 成等差，才有「和等于中间项的 倍」，下标不成等差时不能这么用。第二， 是相邻两项之差，这里下标正好差 。第三，别把 当成公差。 【答案】A 变式1-3（填空·★★☆☆☆） 已知是等差数列，，，则的公差为___________。 【切入点】给的三个连续项之和为 —— 对称的三个下标，和等于中间项的 倍。 【关键】，故 ；又 ，所以 。 【易错】第一，连续三项之和是 （中间项），不是 。第二，，系数是 。第三，题目问公差，不要答成 。 【答案】 例2（填空·★★☆☆☆） 在等差数列中，若，则 = __________。 【切入点】 与 都在手上，先定公差，再把要求的两项落到通项上。 【关键】由 得 ，故 ；于是 。 所以 、，。 【易错】第一， 里是 不是 （首项本身算第 项）。第二，通项 要验 ：，一致。第三，问的是两项之和，先分别求再相加，不要漏掉其中一项。 【答案】 变式2-1（单选·★☆☆☆☆） 已知等差数列满足，则 = （ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【切入点】 与 关于 对称 —— 先由它们的和得 ，再用 与 关于 对称。 【关键】，故 ；又 ，即 ，得 ，选 B。 【易错】第一， 要求下标 的中点是 。第二， 的中点是 ，不是 。第三，两次都用「中项」，不必求 。 【答案】B 变式2-2（单选·★☆☆☆☆） 已知等差数列的公差，，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【切入点】条件只涉及 与 ，能定出 与 的比例，再用基本不等式处理 。 【关键】、，由 得 ，故 。 于是 ，等号在 时成立，选 B。 【易错】第一，由条件解出的是 ，不是 。第二，用基本不等式前要确认 （题干已给），否则不能直接取等。第三，等号成立的条件 要写出来，否则「最小值」不成立。 【答案】B 变式2-3（单选·★☆☆☆☆） 在等差数列中，已知公差，则 = （ ） A. 16 B. 14 C. D. 【切入点】给了 与公差，求更靠前的 —— 用 一步到位。 【关键】，即 ，故 ，选 A。 【易错】第一， 与 相差 个公差，不是 之外的数。第二，公差为负，移项时 ，符号要变。第三，答案 比 大，符合公差为负的预期。 【答案】A 变式2-4（单选·★☆☆☆☆） 在等差数列中，若，，则 = （ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【切入点】两项下标差 ，先定公差，再跳到 。 【关键】，即 ，；于是 ，选 C。 【易错】第一， 对应 ，不是 。第二， 与 差 个公差。第三，两步都能用 检验： 逐项加 。 【答案】C 二 等差中项与判定 一、中项判据。 三个数 、、 成等差数列 。 ★ 这条与顺序无关（ 与 可互换），也不需要 ；当 时三项相同，仍算等差（公差为 ）。 二、整列的判定。 是等差数列 （常数）对一切 成立 对一切 成立。 ★ 只验证某几项相等是不够的：「 成等差」推不出整列等差。 三、二阶等差数列。 若 （其中 ）是等差数列，则称 为二阶等差数列；此时 是一次式， 是 的二次式。 ★ 求通项走「累加」：，其中 按等差求和。 四、抽象条件的赋值。 条件形如 时，取 得 ，故它能推出等差；但等差推不出它 —— 反例： 时 。 ★ 所以「」是「等差」的充分不必要条件；要它成立，等差数列必须满足 。 五、差分不等式的读法。 条件 等价于 ，即差分单调不减。 ★ 由此可推：若首末两项已定，则中间项被「差分不减」夹住，可用来估中间项与后续项的范围。 例3（单选·★★☆☆☆） 已知数列，则“，，”是“数列为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【切入点】先看能不能从条件推出等差（充分性），再找一个等差数列不满足条件（必要性）。 【关键】充分性：在 中取 ，得 ，即 为常数，故 是等差数列。 必要性：取 （公差 的等差数列），则 ，而 ，两者不等。故等差推不出该条件。 所以条件是「等差」的充分不必要条件，选 A。 【易错】第一，取 是关键一步，直接用 、 两个字母推不出「差分为常数」。第二，反例只要一个就够，但必须真的是等差数列（否则否掉的不是必要性）。第三，方向别记反：能推出等差、等差推不出它，叫充分不必要。 【答案】A 变式3-1（解答·★★★☆☆） 已知数列。（1）若是等差数列，求的通项公式；（2）设，证明：数列是等比数列. 【切入点】第（1）问用「等差」把 定出来，第（2）问只是把 写开看比值。 【关键】第（1）问：在 中取 ，得 ；等差数列的公差 ，故 。 代回逐一检验：，而 ，一致。 第（2）问：，故 为常数， 是以 为首项、 为公比的等比数列。 所以 ；，公比为 。 【易错】第一，第（1）问必须代回原递推检验，否则不能保证求出的等差通项真的满足条件。第二，，首项是 不是 。第三，第（2）问的结论是「等比」，要写出公比（比值是常数才算证完）。 【答案】；，公比为 变式3-2（解答·★★★★☆） 在数列中，，，，且是等差数列.（1）求；（2）证明：。 【切入点】 是等差数列 → 用中项判据（三项的差分也成等差）反解 。 【关键】记 ，则 、、。 由 得 ，解得 。 于是 ，即 ；累加得 。 所以 ，求和得 。 所以 ，且所证不等式成立。 【易错】第一， 已经知道，它是三个差分里唯一不需要 的。第二，中项判据用的是 成等差，顺序不能乱（ 必须居中）。第三，累加后 要验 。 【答案】； 变式3-3（单选·★★★☆☆） 已知等差数列的首项，公差为正数，取子数列，（），则（ ） A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. 是公比为2的等比数列 D. 存在，使既是等差数列又是等比数列 【切入点】 是下标取 的幂的子数列 ——先把 显式写出来，再逐项验类型。 【关键】，故 。 项： 随 变，不是常数，错误。 项： 不是常数，错误。 项： 的通项是 ，相邻两项之比为 ，故是公比为 的等比数列，正确。 项：既等差又等比的数列必须是常数列，这要求 ，与 矛盾，错误。故选 C。 【易错】第一， 的下标是 ，代入通项时是 而不是 。第二， 项要说明差值含 ，只说「不是常数」不够。第三， 项用到「既等差又等比 ⇒ 常数列」这条结论。 【答案】C 变式3-4（解答·★★★★☆） 在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列。（1）若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由；（2）已知二阶等差数列满足，，。①求数列的通项公式；②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围。 【切入点】「二阶等差」的定义是差分成等差，所以两问都先算 。 【关键】第（1）问：，它是 的一次式，公差为 的等差数列，故 是二阶等差数列。 第（2）问①：、，故 是首项 、公差 的等差数列，；累加得 。 第（2）问②：不等式 对一切 成立，等价于 对一切 成立，故 大于该式的最大值。 逐项算： 时为 、 与 时都是 、 时为 ，之后递减，故最大值为 ，即 。 所以它是二阶等差数列，①，②。 【易错】第一，第（1）问的判据是「 成等差」，不是「 是二次式」—— 用后者只是必要条件。第二，累加的上限是 （ 从第 项加到第 项）。第三，②问要先分离参数再求最值，直接对不等式两边求导是超纲的。 【答案】是二阶等差数列；①；② 例4（多选·★★★☆☆） 已知数列满足，，且，，则（ ） A. 一定不是等差数列 B. 一定不是递减数列 C. D. 【切入点】 移项就是 —— 差分单调不减。抓住这一条，四个选项都能判。 【关键】 项：若取等号， 对一切 成立，由中项判据知它就是等差数列（如 满足 、），故「一定不是等差数列」错。 项：递减必要求 ，而题设 ，与之矛盾，故该数列不可能递减，正确。 项： 时 ，即 ，故 ，正确。 项：差分为 、、，由 得 ；再由 得 ，正确。故选 BCD。 【易错】第一， 项要给出一个反例（取等号时就是等差），只说「可能」不算判对。第二， 项是两次用差分不减：先 ，再用 把界收紧。第三， 的下界依赖 的上界，两个结论要串起来用。 【答案】BCD 变式4-1（单选·★★★★☆） 如果数列对任意的，都有成立，则称为“速增数列”。若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数k的最大值为（ ） A. 62 B. 63 C. 64 D. 65 【切入点】「速增」即差分严格递增；要让项数 最大，就得让数列增长得尽量慢 —— 差分开到最小的严格递增整数列。 【关键】差分最小取 （首差 ），于是 。 时 ，余下 可以加到某个差分上而不破坏严格递增，故 可行； 时 ，增长再慢也超了，故 不可行。 所以 的最大值为 ，选 B。 【易错】第一，「速增」是严格大于，差分必须严格递增，取成公差为 的等差不合定义。第二， 与 已经把首差定死为 。第三，判 可行时要说明「多出的 能塞进某个差分」，只算最小增长会让人误以为必须恰好相等。 【答案】B 变式4-2（多选·★★★★☆） 已知成等差数列，若关于的方程组恰有组解，则（ ） A B. C. D. 【切入点】 成等差给的是 ——把它代进直线方程，立刻看出直线过哪个定点。 【关键】由 得 ，故直线 恒过点 。 方程组恰有 组解 直线与曲线 恰有 个交点。过 且与曲线相切的直线：设切点横坐标 ，斜率 ，切线过 给出 ，解得 ，即 ，斜率 。 直线斜率 ： 时只有 个交点， 时也只有 个交点，故恰有 个交点要求 ，即 。 项： 说明 、 异号，，正确。 项： 的符号不能确定（可能 、），错误。 项：取 、 时 可负，错误。 项： 即 ，正确。故选 AD。 【易错】第一，等差条件要化成 才看得出定点，直接猜定点容易猜错。第二，临界是切线（ 个交点），「 个交点」对应的是斜率小于切线斜率。第三， 只说明异号，推不出 或 。 【答案】AD 三 下标和性质 一、下标和定理。 若 ，则 。 ★ 它只对两项之和成立；两项之差由下标之差决定（），与「和」的性质不要混。 二、三个常用特例。 ① 中项：（下标 成等差）；② 首末配对：；③ 连续奇数项之和等于中间项乘项数：。 ★ ②③ 都是从①推出来的，不必单独记，但用起来快得多。 三、线性组合的并项。 把每项拆成 再合并，形如 的式子常能并成单独一项的倍数。 ★ 判据：合并后的常数项与一次项系数，若能写成 就是 。 四、换元成同一基准项。 把所有的项都用同一个基准项（常取中间下标那一项）加公差表示，可以避免逐个求 与 。 ★ 例如下标 的中点是 ，可设 、，三项之和立刻是 这类整体量。 五、与三角、对数的接口。 下标和性质给出的是项的线性关系；一旦题目把项放进 、 里，就先用本节的定理把里面的式子化成一个数，再做三角或对数运算。 例5（单选·★★★☆☆） 在等差数列中，，则的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【切入点】 里， 与 的下标和是 ，正好是 下标的两倍 —— 先把它们并成 。 【关键】，故 ，得 。 再把所求写成 与 ：。 所以 ，选 B。 【易错】第一， 不是「下标和」型，要先展开再并项，不能直接套定理。第二，合并后是 ，系数 来自 的系数。第三， 是中间量，答案要的是 ，别停在 。 【答案】B 变式5-1（单选·★★☆☆☆） 在等差数列中，若，则 = （ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【切入点】条件里 的下标不成等差，但 的中点是 —— 先试着重排成 的倍数。 【关键】（因为 ，而 中 连续，和为 ）。 由 得 ；又 ，故 ，选 C。 【易错】第一， 不能直接取中项，要先把 换成 才凑成连续三项。第二，，中点是 。第三，对数的底是 ，不是 。 【答案】C 变式5-2（单选·★★☆☆☆） 已知为正项等差数列，若，则的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【切入点】条件给出 与 的一个线性关系，把 用 表示，所求就变成一个关于 的二次式。 【关键】，故 。 正项等差数列要求 且 ，于是 。 ，它在 处取最大值 ，选 C。 【易错】第一， 的符号要管：正项条件给出 ，这是求最值的定义域。第二，，别把 丢掉。第三，二次式开口向下，最大值在对称轴 处，要确认 落在 内。 【答案】C 变式5-3（单选·★★★☆☆） 已知等差数列的公差为，集合，若，则 = （ ） A. B. 0 C. 1 D. 【切入点】公差是 —— 余弦的周期是 ，所以「每三项」余弦值重复，集合里最多三个元素。 【关键】，故 依次取 、、 三个值循环。 这三个角相差 、恰好把圆周三等分，它们的余弦之和为 ，故 ，选 B。 【易错】第一，三个角是均匀分布的，不是随便三个余弦值，这一点决定和为零。第二，若 三点中有重合（如 取特殊值），集合元素个数会少于 ，与题设「」矛盾，说明题设已排除退化情形。第三，和为零与 的取值无关，这是对称性的结论。 【答案】B 例6（单选·★★☆☆☆） 已知数列是等差数列，且，则 = （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【切入点】四个字母的式子全是「和」—— 两次用下标和定理，把它压成 的倍数。 【关键】，故 。 再由 得 ，故 ，选 B。 【易错】第一， 的中点是 ，所以是 而不是 。第二， 的中点是 ，第二次配对不能跳。第三，最终系数是 ，。 【答案】B 变式6-1（单选·★★★☆☆） 已知等差数列满足：对任意的，都有意义，且，则的值为（ ） A. 4049 B. C. 4051 D. 【切入点】 是「项的下标本身就是一项」的条件 ——把 写成 代进去比对系数。 【关键】设 ，则 。 与 比对得 、。由于 的下标 必须为正整数且递增，取 ，代入得 ，。 故 ，，选 C。 【易错】第一， 有两解， 会让 递减、下标 出现非正项，必须舍。第二， 里的下标是 （一个数），代入时要把整个 放进下标位置。第三， 代 得 ，不是 。 【答案】C 变式6-2（单选·★☆☆☆☆） 已知等差数列中，，则 = （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【切入点】 里三项下标 ，把每项都拆成 最快。 【关键】、、，代入得 ，整理得 ，选 D。 【易错】第一，三项都以 为基准时，系数是 、、，符号要逐个核。第二， 在两边恰好抵消，说明 与公差无关 ——这正是「下标和」型条件的特征。第三，若以 为基准也能算，但项数多、易错。 【答案】D 变式6-3（单选·★☆☆☆☆） 已知等差数列满足，则 = （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【切入点】 只有三项，全部拆成 最省事。 【关键】、、，代入得 ，整理得 ，选 A。 【易错】第一，三式的系数分别是 ，相加后左边 、右边 ，才解出 。第二，若以 为基准，得到的是 ，还要再推一步才是 。第三， 与公差无关，公差可任意。 【答案】A 四 对称设元与整体代换 一、三项的对称设元。 三个数成等差数列时，设成 、、，则它们的和是 、两两之差都是 的倍数。 ★ 这样设的好处：和里没有 ，条件给「和为定值」时一步得到 ，再解 。 二、四项的对称设元。 四个数成等差数列时，设成 、、、，此时相邻两项之差是 。 ★ 若要设成 ，最后写答案时公差要除以 —— 这一步最容易漏。 三、整体代换。 选定一个基准下标 ，把任意项写成 。 ★ 基准项取「条件里出现最多的那个下标」或「中点下标」，能把 这种远端的量彻底消掉。 四、成等比的反解。 若三项 、、 成等比，则 ；把三项都换成 后展开，通常能约掉 的一次项，剩下 或某个具体值。 ★ 题干若说 ，就把 那一支舍掉 —— 这一句往往正是方程有唯一解的原因。 五、「和固定 ⇒ 平方和最小」的用法。 若 是定值 ，则 ，等号在 时成立。 ★ 判据：先验证两项之和确实是常数（都用基准项展开看一次项是否抵消），再套基本不等式，不要一上来就配方。 例7（单选·★★★☆☆） 等差数列中，，当取得最小值时， = （ ） A. 5 B. 6 C. 2025 D. 2026 【切入点】条件与所求都围绕 前后摆动 —— 以 为基准项，把所有项写成 。 【关键】设 ，则 、、。代入条件：，故 。 再看所求两项：、，两式相加得 —— 是定值。 由 «和固定 ⇒ 平方和最小在相等处» 得 ，此时 说明公差 ，于是 ，选 A。 【易错】第一， 与 用的是同一个 与 ，系数分别是 与 ，写错一个就得不到定值。第二，「和固定」这一步要真的算出常数 ，不能凭感觉。第三，平方和最小 ⇒ 两数相等 ⇒ ，这与 联立才得到 。 【答案】A 变式7-1（单选·★★☆☆☆） 已知等差数列满足：，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【切入点】条件左边是一串「下标为 的倍数」的项之和，右边是 的二次式 —— 取 、 两个特例就能反解公差。 【关键】 时左边只有 ，故 ； 时左边为 ，故 ，得 。 下标 与 相差 ，故 ，即 ，选 D。 【易错】第一， 时左边的项是 （下标的起点是 ），不是 。第二， 对应 个公差，不是 个。第三，两式相减得到的是 ，再除以下标差才是公差。 【答案】D 变式7-2（单选·★☆☆☆☆） 已知为等差数列，，，则 = （ ） A. 36 B. 24 C. 18 D. 12 【切入点】给的是相邻两项 、，公差一步可得，再往后推两项。 【关键】；于是 、。 所以 ，选 B。 【易错】第一， 要在 上加一个公差，不是加两个。第二，两项之和是 ，不是 单独的值 。第三，可用通项复核：，、，一致。 【答案】B 例8（解答·★★★★☆） 已知等差数列的公差 ，且 ，，，成等比数列。求数列的通项公式。 【切入点】三项 、、 成等比，而 已知 —— 把三项都用 与 表示，列一个方程。 【关键】由 ；等比条件给 ，展开得 ，即 。 因为 ，两边约去 得 ；结合 得 ，，。 所以 。 【易错】第一，等比条件是 ，中间项是 ，不能写成 。第二，约去 前必须说明 （题干已给）。第三，求出的 、 要代回原条件验： 为 ，确为等比数列。 【答案】 变式8-1（单选·★☆☆☆☆） 等差数列1，46，91，…，2026共有（ ） A. 44项 B. 45项 C. 46项 D. 47项 【切入点】 是等差数列，先定公差，再用通项等于 反解项数。 【关键】；令 ，得 ，即 ，。 所以共有 项，选 C。 【易错】第一， 后要加回 ，答案是 不是 。第二，公差是 （），不是 。第三，末项 恰好在数列中，若除不尽说明末项不在列，要另作处理。 【答案】C 学科网（北京）股份有限公司 $ 等差数列的通项与性质 数列 · 专题篇 一 基本量与通项公式 一、通项公式的两种写法。 等差数列 的首项为 、公差为 ，则 ，也可以写成 。 ★ 后一种写法说明： 是 的一次函数（ 时），一次项的系数就是公差，常数项是 。 二、两个基本量。 与 是等差数列的两个基本量，任意两个关于 的独立条件就能把它们定下来（联立解方程组）。 ★ 常见组合：给两项 、（可求 ）；给一项与和（ 先用求和公式化成 与 ）；给一项与一个等式。 三、任意两项的关系。 对任意 有 ，即 。 ★ 这一条比分两步求 、 更快，尤其是两项的下标差很大时（如 与 ）。 四、线性组合仍是「同一下标的项」。 若 ，则 是下标 处的项；同乘一个数不改变「一次函数」的结构。 ★ 遇到形如 、 的式子，先把每项拆成 ，看能不能并成单独一项的倍数 —— 能并就一步出答案。 例1（单选·★★☆☆☆） 已知数列是等差数列，且，则 = （ ） A. 0 B. C. D. 变式1-1（填空·★★☆☆☆） 在等差数列中，若，，则的值为______。 变式1-2（单选·★★☆☆☆） 在等差数列中，若，，则的公差为（ ） A. 3 B. -3 C. 5 D. -5 变式1-3（填空·★★☆☆☆） 已知是等差数列，，，则的公差为___________。 例2（填空·★★☆☆☆） 在等差数列中，若，则 = __________。 变式2-1（单选·★☆☆☆☆） 已知等差数列满足，则 = （ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 变式2-2（单选·★☆☆☆☆） 已知等差数列的公差，，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 变式2-3（单选·★☆☆☆☆） 在等差数列中，已知公差，则 = （ ） A. 16 B. 14 C. D. 变式2-4（单选·★☆☆☆☆） 在等差数列中，若，，则 = （ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 二 等差中项与判定 一、中项判据。 三个数 、、 成等差数列 。 ★ 这条与顺序无关（ 与 可互换），也不需要 ；当 时三项相同，仍算等差（公差为 ）。 二、整列的判定。 是等差数列 （常数）对一切 成立 对一切 成立。 ★ 只验证某几项相等是不够的：「 成等差」推不出整列等差。 三、二阶等差数列。 若 （其中 ）是等差数列，则称 为二阶等差数列；此时 是一次式， 是 的二次式。 ★ 求通项走「累加」：，其中 按等差求和。 四、抽象条件的赋值。 条件形如 时，取 得 ，故它能推出等差；但等差推不出它 —— 反例： 时 。 ★ 所以「」是「等差」的充分不必要条件；要它成立，等差数列必须满足 。 五、差分不等式的读法。 条件 等价于 ，即差分单调不减。 ★ 由此可推：若首末两项已定，则中间项被「差分不减」夹住，可用来估中间项与后续项的范围。 例3（单选·★★☆☆☆） 已知数列，则“，，”是“数列为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 变式3-1（解答·★★★☆☆） 已知数列。（1）若是等差数列，求的通项公式；（2）设，证明：数列是等比数列. 变式3-2（解答·★★★★☆） 在数列中，，，，且是等差数列.（1）求；（2）证明：。 变式3-3（单选·★★★☆☆） 已知等差数列的首项，公差为正数，取子数列，（），则（ ） A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. 是公比为2的等比数列 D. 存在，使既是等差数列又是等比数列 变式3-4（解答·★★★★☆） 在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列。（1）若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由；（2）已知二阶等差数列满足，，。①求数列的通项公式；②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围。 例4（多选·★★★☆☆） 已知数列满足，，且，，则（ ） A. 一定不是等差数列 B. 一定不是递减数列 C. D. 变式4-1（单选·★★★★☆） 如果数列对任意的，都有成立，则称为“速增数列”。若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数k的最大值为（ ） A. 62 B. 63 C. 64 D. 65 变式4-2（多选·★★★★☆） 已知成等差数列，若关于的方程组恰有组解，则（ ） A B. C. D. 三 下标和性质 一、下标和定理。 若 ，则 。 ★ 它只对两项之和成立；两项之差由下标之差决定（），与「和」的性质不要混。 二、三个常用特例。 ① 中项：（下标 成等差）；② 首末配对：；③ 连续奇数项之和等于中间项乘项数：。 ★ ②③ 都是从①推出来的，不必单独记，但用起来快得多。 三、线性组合的并项。 把每项拆成 再合并，形如 的式子常能并成单独一项的倍数。 ★ 判据：合并后的常数项与一次项系数，若能写成 就是 。 四、换元成同一基准项。 把所有的项都用同一个基准项（常取中间下标那一项）加公差表示，可以避免逐个求 与 。 ★ 例如下标 的中点是 ，可设 、，三项之和立刻是 这类整体量。 五、与三角、对数的接口。 下标和性质给出的是项的线性关系；一旦题目把项放进 、 里，就先用本节的定理把里面的式子化成一个数，再做三角或对数运算。 例5（单选·★★★☆☆） 在等差数列中，，则的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 变式5-1（单选·★★☆☆☆） 在等差数列中，若，则 = （ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 变式5-2（单选·★★☆☆☆） 已知为正项等差数列，若，则的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 变式5-3（单选·★★★☆☆） 已知等差数列的公差为，集合，若，则 = （ ） A. B. 0 C. 1 D. 例6（单选·★★☆☆☆） 已知数列是等差数列，且，则 = （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 变式6-1（单选·★★★☆☆） 已知等差数列满足：对任意的，都有意义，且，则的值为（ ） A. 4049 B. C. 4051 D. 变式6-2（单选·★☆☆☆☆） 已知等差数列中，，则 = （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 变式6-3（单选·★☆☆☆☆） 已知等差数列满足，则 = （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 四 对称设元与整体代换 一、三项的对称设元。 三个数成等差数列时，设成 、、，则它们的和是 、两两之差都是 的倍数。 ★ 这样设的好处：和里没有 ，条件给「和为定值」时一步得到 ，再解 。 二、四项的对称设元。 四个数成等差数列时，设成 、、、，此时相邻两项之差是 。 ★ 若要设成 ，最后写答案时公差要除以 —— 这一步最容易漏。 三、整体代换。 选定一个基准下标 ，把任意项写成 。 ★ 基准项取「条件里出现最多的那个下标」或「中点下标」，能把 这种远端的量彻底消掉。 四、成等比的反解。 若三项 、、 成等比，则 ；把三项都换成 后展开，通常能约掉 的一次项，剩下 或某个具体值。 ★ 题干若说 ，就把 那一支舍掉 —— 这一句往往正是方程有唯一解的原因。 五、「和固定 ⇒ 平方和最小」的用法。 若 是定值 ，则 ，等号在 时成立。 ★ 判据：先验证两项之和确实是常数（都用基准项展开看一次项是否抵消），再套基本不等式，不要一上来就配方。 例7（单选·★★★☆☆） 等差数列中，，当取得最小值时， = （ ） A. 5 B. 6 C. 2025 D. 2026 变式7-1（单选·★★☆☆☆） 已知等差数列满足：，则的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 变式7-2（单选·★☆☆☆☆） 已知为等差数列，，，则 = （ ） A. 36 B. 24 C. 18 D. 12 例8（解答·★★★★☆） 已知等差数列的公差 ，且 ，，，成等比数列。求数列的通项公式。 变式8-1（单选·★☆☆☆☆） 等差数列1，46，91，…，2026共有（ ） A. 44项 B. 45项 C. 46项 D. 47项 学科网（北京）股份有限公司 $