第2讲 三角函数的图像与性质专项训练-2027届高三数学一轮复习

三角函数的图像与性质 三角函数 · 专题篇 正弦、余弦的图象与性质 一、最小正周期 、 的最小正周期为 ； 的最小正周期为 。 、（）的最小正周期为 。 、 的最小正周期为 ； 的最小正周期为 。 二、奇偶性 、 为奇函数； 为偶函数。 ：当 时为奇函数，当 时为偶函数（）。 含 的复合式 一定是偶函数。 三、对称轴与对称中心 的对称轴为 ，对称中心为 ； 的对称轴为 ，对称中心为 。 无对称轴，对称中心为 （）。 ：由 解出对称轴，由 解出对称中心 。 四、单调区间 的增区间为 ，减区间为 。 的减区间为 ，增区间为 。 在 上单调递增（每个连续段内递增，整体不单调）。 五、值域与最值 、 的值域为 ； 的值域为 。 在 处取最大值 ，在 处取最小值 。 在 处取最大值 ，在 处取最小值 。 （）的值域为 ，最大值 、最小值 。 六、复合结构的处理 型：内层 ，外层取 在 上的值域 。 型：内层 ，外层取 在 上的值域 。 型：换元 ，化为二次函数 在闭区间上求最值与零点。 例1（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 的最大值是 B. 在上单调递增 C. D. 在上有两个零点 【切入点】 是同名一次的平方和型 —— 先提 化成 ，四条性质就都对上基本正弦函数了。 【关键】。A 项： 的最大值是 ，，A 对。B 项：整体 在 上先增后减（在 处转折），所以 在 上不是单调递增，B 错。C 项：，C 对。D 项：令 得 ，即 ；在 内只有 一个，不是两个，D 错。选 AC。 【易错】B 项不能只看左端点 —— 里含 这个峰值点，过了它就转降。D 项别漏「在 上」这个限制，整体解 后再筛才准。 【答案】AC 变式1-1（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期为 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点对称 【切入点】与例 1 同名：差型 也先化一， 之后逐条对。 【关键】。A 项：，，不满足偶函数定义，A 错。B 项：最小正周期 ，B 对。C 项： 时 ，落在递增区间内，C 对。D 项：，且 是正弦的对称中心，D 对。选 BCD。 【易错】判偶函数不能只看「像不像」——取一对相反数代进去最稳（A 项取 ）。C 项要把 的范围整体平移成 的范围，再与 比对。 【答案】BCD 变式1-2（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期是π C. 的值域为 D. 在上单调递增 【切入点】解析式里有 ，先判奇偶性： 是偶函数、 也是偶函数，整体是偶函数 —— 于是只需研究 ，再对称回去。 【关键】。A 项：，A 对。B 项： 的周期是 ，但 的周期是 ，两者的公共周期为 ，最小正周期不是 ，B 错。C 项：由偶性只看 ，此处 ，，整体 ， 在这段上的取值范围是 ，再由偶函数对称回去，值域仍为 ，C 对。D 项： 时 ， 在 处由增转减，所以 不单调递增，D 错。选 AC。 【易错】B 项是本节最常见的坑：含绝对值的周期要与同式里其它部分的周期取公共值，不能只看 的 。C 项求值域时， 的区间首尾要分别代入再比大小， 的最值点 在段内。 【答案】AC 变式1-3（填空·★★☆☆☆） 函数的最小正周期为_________。 【切入点】 是两项都是绝对值的型，周期通常比 还小，先代 试。 【关键】，所以 是周期。再看有没有更小的正周期：当 时 、，。若存在正周期 ，则 ，即 ，得 或 ，与 矛盾。故最小正周期为 。 【易错】「 是周期」与「 是最小正周期」是两件事 —— 只做前半步会答成 （那是更大的周期）。验证「没有更小的」时，取一个方便的点（此处取 ）反推最省事。 【答案】 例2（多选·★★★☆☆） 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 在上仅有1个零点 D. 的最小正周期为 【切入点】出现 这种复合写法时，先把内层换成 ： 或 都落在 ，外层是哪条曲线就套哪条曲线的性质。 【关键】，。A 项：，是偶函数不是奇函数，A 错。B 项：，是偶函数，B 对。C 项： 要求 （因为 时 只有 一个解）； 在 上只有 ，恰 1 个零点，C 对。D 项：， 是周期；又 取 时 与 取 时 相等，而 取 时 更大，在一个周期长度 内 只出现一次，故最小正周期为 ，D 对。选 BCD。 【易错】A、B 两项都靠偶函数的定义判断，用的是 与 里内层偶性 —— 外层奇偶性与内层奇偶性不要混。C 项的关键是内层 的范围： 只能在 里取，所以 只剩 ，不能按 的全体零点去数。 【答案】BCD 变式2-1（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 的最小正周期为 C. 在上单调递增 D. 的值域为 【切入点】 的分子是 —— 用半角把它变成 ，分母变成 ，整个式子就是 。 【关键】（须 ，即 ）。A 项：定义域关于原点对称，，是奇函数，A 对。B 项： 的最小正周期为 ，B 错。C 项： 时 ， 在该段上单调递增，C 对。D 项：定义域要求 ，即 ；其中 为偶数时排除的是 ，此时 ，所以 取不到，值域不是 ，D 错。选 AC。 【易错】D 项是本题的唯一难点：化简成 后容易直接说「值域是 」，但定义域把 一并挖掉了，于是 被挖掉。凡是分式化简，先把定义域抄下来再谈值域。 【答案】AC 变式2-2（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期为 C. 在上单调递增 D. 的最小值为0 【切入点】 是幂型：把 看成整体 ，外层 是单调递减的，于是内外单调性一合就得到全部结论。 【关键】。A 项：，A 对。B 项：， 不是周期，B 错。C 项： 时 单调递减，外层 关于 单调递减，两层都减，复合后单调递增，C 对。D 项： 的最大值是 ， 关于 递减，所以 时取最小值 ，D 对。选 ACD。 【易错】判 C、D 用的是「内层与外层的单调性相乘」：内层减、外层减 ⇒ 复合增。若直接对 求导会跑到导数线去，本讲不用。B 项要看 与原式符号相反，不是相等。 【答案】ACD 变式2-3（多选·★★★☆☆） 已知函数，则下列命题正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 是奇函数 D. 在上单调递减 【切入点】 是倒数型 —— 定义域先由 定死，再谈值域、奇偶性与单调性。 【关键】A 项：由 得 ，定义域不是 ，A 错。B 项： 的取值范围是 ，取倒数后为 ，B 对。C 项：，是奇函数，C 对。D 项： 时 单调递增且为正，取倒数后单调递减，D 对。选 BCD。 【易错】B 项写值域时别把 写进去 —— 取不到 ，倒数自然取不到 ；端点该取等号的是 对应的 。D 项「正数取倒数单调性反转」是本类题的固定入口。 【答案】BCD 变式2-4（多选·★★★☆☆） 函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 在区间单调递减 C. 在有4个零点 D. 的最大值为6 【切入点】式子里同时有 与 —— 注意 ，于是可以统一换元 ，化成二次函数。 【关键】，令 ，则 。A 项：（两个内层都是 的函数），A 对。B 项： 时 递增且 ；二次函数 的对称轴为 ，在 上递减，两层一增一减，复合后递减，B 对。C 项：令 得 或 。 在 上给 ，共 个； 给 ，共 个；合计 个零点，不是 个，C 错。D 项： 上 的最大值在 处取得，为 ，D 对。选 ABD。 【易错】C 项最容易漏 —— 零点方程有两个根（ 与 ），每个根都要回到 上数个数，并且 的作用是把解成对产生。B 项要同时看内层与外层的单调方向，不能只看二次函数。 【答案】ABD 例3（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 若，则 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点中心对称 【切入点】 型一律先辅助角化一：提 写成 ，再逐条对性质。 【关键】。A 项：最小正周期 ，A 对。B 项： 即 ，得 ，，不是 ，B 错。C 项： 时整体 ，含在递增区间 内，C 对。D 项：把 代入整体，得 ，，所以 不是对称中心，D 错。选 AC。 【易错】B 项求出 后要回到 —— ，与 差一个 的对应关系。D 项判对称中心只看 就够（正弦型的对称中心纵坐标为 ），但整体角必须代到 上验证，不能直接拿 当中心。 【答案】AC 变式3-1（多选·★★★☆☆） 已知函数，则存在实数，使得（ ） A. 的最小正周期为 B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 的最大值为0 【切入点】题干是「存在实数 ，使得（　）」—— 不是对所有 都要成立，所以举出一个 把选项做对即可证真，要证假则须说明对任何 都不成立。 往往就是最快的那个取值。 【关键】。A 项：取 ，则 ，最小正周期 ，A 对。B 项：若 为偶函数，则 应恒为 ，与 不恒为 矛盾，所以不存在这样的 ，B 错。C 项：仍取 ， 为奇函数，C 对。D 项： 的最大值为 ，要它等于 需 ，两边平方得 ，无解，D 错。选 AC。 【易错】「存在」与「任意」是两种量词，A、C 只要一个 就够，D 必须说明方程无解。B 项的比较要用 与 作差，得到 不恒为 就否掉了。 【答案】AC 变式3-2（填空·★★★☆☆） 已知函数在闭区间I上的最大值记为，若实数k满足，则 = ______。 【切入点】题目用的是区间最大值记号 —— 先把两个区间的相对位置定下来（ 的正负、 在不在区间里），再分段讨论 在该区间上的走向。 【关键】由左端点小于右端点得 ，故 ，于是 ，。代入条件得 。当 时，， 在 上单调递减，最大值在左端点取得：，得 （满足 ）。当 时， 含 ，，最大值只能在右端点取得：，结合 得 ，即 。所以 或 。 【易错】只做第一段会漏解 —— 跨过 之后最大值就换到右端点了，必须按区间是否含最值点分段。第一段末的 要回代检验落在本段内，否则须舍去。 【答案】 或 正切函数的性质与图象 一、图象与定义域 在 内的一段图象由左到右 从 升到 ，再按周期 向两侧复制。 的定义域为 ，值域为 。 的定义域由 解出。 二、周期 的最小正周期为 ；（）的最小正周期为 。 三、奇偶性 是奇函数。 四、对称中心 没有对称轴，对称中心为 （）。 的对称中心为 ，其中 由 解出。 五、单调区间 在 上单调递增，没有减区间。 （）的递增区间由 解出。 六、正切不等式的解法 型：先在 内定出 的范围，再加 。 等价于 （）。 等价于 （）。 七、 型 的定义域要在 的定义域上再挖掉 的点，即 。 的值域为 。 例4（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 图象的对称中心为 D. 不等式的解集为 【切入点】解析式是 —— 把 看成整体 ，周期用 、对称中心由 解出。 【关键】A 项：，A 对。B 项：最小正周期 ，不是 ，B 错。C 项：由 得 ，对称中心应为 ，C 错。D 项： 即 ，由 解得 ，D 对。选 AD。 【易错】B 项的正切周期是 ，不是 —— 正弦、余弦的周期公式不能照搬到正切上。C 项要把解出的 写全： 后两边同除以 ， 会变成 ，这里最容易少除。 【答案】AD 变式4-1（多选·★★★☆☆） 已知函数，下列命题正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 的图象关于点对称 D. 在，上单调递减 【切入点】 是正切的倒数型 —— 定义域要把 本身无定义的点与 的点一并挖掉。 【关键】A 项： 无定义于 ， 于 ，两类合起来是 ，A 对。B 项：由 A 知 全被挖掉，其中 的点取不到 ，所以值域为 ，不是 ，B 错。C 项：，满足中心对称的条件，对称中心为 ，C 对。D 项： 时 递增且为正，取倒数后递减； 时 递增且为负，取倒数后同样递减，D 对。选 ACD。 【易错】定义域是本题的分水岭：只写 会漏掉 的点。B 项判值域要盯住被挖掉的点 —— 处 ， 的本该取值 就被挖掉了。 【答案】ACD 变式4-2（单选·★★★☆☆） 已知函数，使成立的x的取值集合是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 是一个正切不等式 —— 先把常数移到右边，化成 的标准形，再套 内的主区间。 【关键】 即 。在 内 由 升到 ，，故 。两边同除以 得 ，选 B。 【易错】右端是 而不是某个具体角 —— 因为 的解集一直延伸到该段的右端点（正切在这些点无定义）。最后一步除 时， 也要跟着除成 ，漏除会让周期写错一倍。 【答案】B 变式4-3（多选·★★★★☆） 已知函数，关于x的不等式在区间内的整数解的个数为n，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则n的最小值为338 C. 若存在实数a，使，则t的最小值为 D. 若存在实数t，使，则a的最大值为 【切入点】题干里的不等式写成 ，说明 的取值被夹在区间 内；于是问题变成「有多少个整数点的函数值落进这个区间」。 的周期为 。 【关键】在 内整数点按模 分成五类（ 使正切无定义，去掉），它们的函数值依次为： 时 ； 时 ； 时 ； 时 ； 时 。A 项： 时不等式即 ，只有 那类满足，即 ， 内共有 个，A 对。B 项：只固定 时，取 得 ，无解，，B 错。C 项：要使 ，每个周期平均 个，而函数值从小到大为 ，相邻两个的间隔最小为 ，取 使 恰好含 与 ，得 ，C 对。D 项：同理，若固定 而调节 ， 的最大值出现在区间右端刚好卡到 时，即 ，D 对。选 ACD。 【易错】本题不能按 的顺序去数，要按函数值从小到大排再选区间 —— 同一个周期内四个整数点的函数值分别是 、、、，按 排是跳的，按值排才看得出「相邻间隔」。另外 这类点使正切无定义，必须整类剔除。 【答案】ACD 例5（多选·★★★☆☆） 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数定义域为 B. 若，，则在区间上单调递增 C. 若，，则的图象关于点对称 D. 若，且在区间上的所有零点之和为，则不同零点共有个 【切入点】四个选项各给一组 、 的取值，做法是逐项代入后当具体函数处理：定义域看间断点，单调性看整体角落在哪个单调段，对称中心解方程。 【关键】A 项：由 知定义域不能是 ，A 错。B 项：、 时整体角 ；当 时 ，整段落在 内，而正切在该区间上单调递增，B 对。C 项：、 时对称中心由 得 ，取 得 ，所以 是对称中心，C 对。D 项： 时零点由 得 。零点落在 内要求 ，即 。若共 个零点，则 ，它们的和为 ，与题设相符，D 对。选 BCD。 【易错】B 项判单调要先用整体角算出区间端点，再看它是否整段落在 的同一个段里 —— 跨过一个间断点就不单调。D 项数零点时 从 开始取（ 给的是 ，不在区间内）。 【答案】BCD 变式5-1（单选·★★☆☆☆） 若函数的最小正周期为，则曲线的对称中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【切入点】题目先给最小正周期 —— 用 反解出 ，再解对称中心。 【关键】由 得 。对称中心的横坐标满足 ，解得 ，故对称中心为 ，选 B。 【易错】正切的对称中心不是周期的一半再平移： 的对称中心是 ，即每隔半个周期就有一个（因为正切图象每半周期关于 轴翻转一次）。写成 是把相位当成了整体角。 【答案】B 变式5-2（单选·★★☆☆☆） 若点是函数的图像的一个对称中心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】已知一个对称中心是 且 ，求 的最小值 —— 列出对称中心的通式，再取最小的正值。 【关键】 的对称中心横坐标满足 ，即 。由 ，取 得 ，选 A。 【易错】取 之前要先看它是否满足 ： 给的是 （不满足）， 给的正是最小的正值。另外纵坐标是 （函数没有上下平移），别写成 。 【答案】A 变式5-3（填空·★★☆☆☆） 函数的对称中心的坐标为______。 【切入点】 与基本正切只差一个线性相位 —— 直接把 当成整体，套 。 【关键】正切的对称中心由整体角等于 确定：，两边同乘 得 ，即 。所以对称中心为 ，。 【易错】两边同乘 时右端也要乘：，写成 会让点的间隔缩小一半。答案必须带 的说明，只写一个点是不完整的。 【答案】， 整体换元求性质 一、化一（把解析式整理成 ） （辅助角，）。 。 二倍角降幂：，，。 。 和差化积：；。 积化和差：。 ；。 二、整体换元 把 看作整体，则 的五条性质全部可用：周期由 的周期除以 得到，单调区间、对称轴、对称中心都先解 再回代 。 的递增区间：，递减区间：。 对称轴：；对称中心：。 三、闭区间上的值域 由 先算出 的范围 ，再回到 上比端点与顶点。 在 上的最值：若区间含 则最大值为 ，若含 则最小值为 ，否则在两端点中取。 四、含绝对值的周期 、 的最小正周期为 （是原周期的一半）。 五、零点与解不等式 的解为 ； 的解为 或 。 的解为 ； 的解为 （）。 例6（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在上单调递减 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 将函数的图象向左平移个单位得到的函数为奇函数 【切入点】 已经是标准形，不用再化 —— 直接把 当作整体 ，四条性质逐条落。 【关键】A 项：最小正周期 ，A 对。B 项： 时 ，整段落在递增区间 内，所以是单调递增，B 错。C 项：，且 是正弦的对称中心，C 对。D 项：向左平移 个单位得到 ，它在 处取值 ，不是奇函数，D 错。选 AC。 【易错】B 项要把 的区间两端都换成 再判断，只代左端点会以为没过峰值。D 项平移时 要整体加 （左移），并且这个 会被 放大成 ，漏掉倍数是最常见的错。 【答案】AC 变式6-1（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 曲线的一条对称轴方程为 C. 在上的最小值为 D. 将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 【切入点】与例 1 同一个解析式，但四个选项分别问周期、对称轴、闭区间最值、平移 —— 每个都靠把 当整体来算。 【关键】。A 项：，A 对。B 项：对称轴由 得 ；取 得 ，B 对。C 项： 时 ，该段不含 （因为 ，最值点在区间左侧），所以最小值在左端点取得，为 ，不是 ，C 错。D 项：向左平移 得到 ，D 对。选 ABD。 【易错】C 项要先看 的区间里有没有 ：有就取 ，没有才在两端点里挑。D 项平移量是 ，被系数 放大后正好抵消原来的 。 【答案】ABD 变式6-2（单选·★★★☆☆） 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称 D. 若在区间上恰有一个零点，则实数m的取值范围是 【切入点】 里 正好是 —— 先化一，再逐项判。 【关键】。A 项：，不是 ，A 错。B 项： 时 ，跨过 ，先增后减，B 错。C 项：向左平移 得到 ，是偶函数，图象关于 轴对称，C 对。D 项：零点由 得 ，在 内恰一个要求 ，而选项写的是开区间，漏掉了 的情形，D 错。选 C。 【易错】D 项是区间开闭的坑： 时区间 取不到右端点，仍然只有一个零点，属于合法范围。B 项要注意 的区间跨过了 这个峰。 【答案】C 变式6-3（单选·★★★☆☆） 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 在区间上是增函数 C. 是偶函数 D. 是图象的一个对称中心 【切入点】 的 ，周期会被拉长到 —— 先算准周期，再看单调性、奇偶与对称中心。 【关键】A 项：，不是 ，A 错。B 项： 时 ，而 在 上递减，所以 递减，B 错。C 项：，是偶函数，C 对。D 项：对称中心由 得 ， 不在其中，D 错。选 C。 【易错】D 项是最容易看走眼的： 恰好是 的两倍，但对称中心的间隔是半个周期的一半——对余弦是 的间隔，这里 ，中心间隔是 ，所以只有 。 【答案】C 变式6-4（单选·★★★☆☆） 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 的图像关于点中心对称 D. 图像向右平移个单位长度后的函数为偶函数 【切入点】 是积的形式 —— 先用和角公式拆开、再与 相乘，最后降幂化一。 【关键】。A 项：，A 对。B 项： 时 ，跨过 ，不是单调递增，B 错。C 项：，不是对称中心，C 错。D 项：向右平移 得到 ，它不是偶函数（ 处取值 ，但整体不对称），D 错。选 A。 【易错】化简时的顺序：先拆 ，再乘 ，最后对 与 分别降幂。若先给 用二倍角会把角度搞乱。 【答案】A 变式6-5（多选·★★★☆☆） 某弹簧振子（简称振子）在完成一次简谐运动的过程中，时间（单位：秒）与位移（单位：毫米）之间满足函数关系为，下列叙述中正确的是（ ） A. 当时间时，该简谐运动的位移 B. 该简谐运动的初相为 C. 该函数的一个极值点为 D. 该函数在上单调递增 【切入点】弹簧振子的位移式 就是标准形，四个选项分别问函数值、初相、极值点与单调性 —— 全是整体换元的直接应用。 【关键】A 项：，A 对。B 项： 就是初相，B 对。C 项：极值点由 得 ； 时整体角为 ，函数取 而不是极值，C 错。D 项： 时 ，单调递增，D 对。选 ABD。 【易错】C 项要把「极值点」与「零点」分清：整体角等于 才是极值点，等于 是零点。 对应的整体角是 ，是零点。 【答案】ABD 变式6-6（单选·★★★☆☆） 已知函数，则下列选项中错误的是（ ） A. 为的周期 B. 的图象关于对称 C. 的图象关于点对称 D. 是奇函数 【切入点】题干问的是「错误的是」，四个选项都在判 的周期与对称性 —— 含绝对值的式子先看周期，再用「取一对点代入」验对称。 【关键】A 项：， 是周期，A 对。B 项：，而 ，两者不相等，所以不关于 对称，B 错，B 就是要选的。C 项：，，两者互为相反数，说明图象关于点 中心对称，C 对。D 项：，把 换成 得 ，与原式互为相反数，是奇函数，D 对。选 B。 【易错】验对称时取具体的两个对称点最可靠：判对称轴取 两侧的点看函数值是否相等，判对称中心看两侧函数值是否互为相反数。B、C 两个选项一个是轴、一个是中心，结论刚好相反，不要弄混。 【答案】B 例7（单选·★★☆☆☆） 已知函数，则（ ） A. 要得到的图象，只需将的图象向右平移个单位 B. 的图象关于点对称 C. 在区间上单调递减 D. 若，且，则的最小值为 【切入点】 是 型，先辅助角化一，四条选项就都能落到标准形上比。 【关键】。A 项：把 向右平移 得到 ，与 不同，A 错。B 项：，不是对称中心，B 错。C 项： 时 ，该段含在 的递减区间 内，C 对。D 项： 要求 ，即 ，相邻两解相差 ，D 错。选 C。 【易错】A 项的水平平移量要先化成 的系数再算：右移 实际改变相位 。D 项的最值点在整体角上解，解完回代 ，两个相邻解的距离是 去掉… 本题 ，相邻最小值点正好差 。 【答案】C 变式7-1（多选·★★★☆☆） 已知函数，函数，则下列结论正确的有（ ） A. 与的图象有相同的对称轴 B. 与有相同的最小正周期 C. 将的图象向右平移个单位，可得到的图象 D. 与的图象在上只有一个交点 【切入点】 与 都是 型 —— 两个都先化一，化成同一个形式后再逐条比。 【关键】，。A 项： 的对称轴由 得 ； 的对称轴由 得 ，两者不同，A 错。B 项：两者的 都是 ，最小正周期都是 ，B 对。C 项：把 的图象向右平移 得 ，正是 ，C 对。D 项：令 ，由 得 或 。前者给出 ，无解；后者给出 ，解得 ，在 内只有 一个，D 对。选 BCD。 【易错】C 项的水平平移量按相位差算： 比 的相位少 ，而 ，所以平移量是 。D 项解 时两种情形都要写，只写 会漏解。 【答案】BCD 变式7-2（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 为周期函数 B. 存在，使得的图象关于对称 C. 在区间上单调递减 D. 的最大值为 【切入点】 不是 型，化不到单一正弦 —— 那就回到定义：周期用定义验、对称轴用反证、单调性用导数看符号。 【关键】A 项：，所以是周期函数，A 对。B 项：， 是奇函数；若存在对称轴 ，则 ，与 的奇性联立会推出矛盾（ 在对称轴处应取最值，而 是奇函数只能关于原点中心对称），故不存在这样的 ，B 错。C 项：，此二次式在 处变号，两根约为 与 ；当 时 ，完全落在 内，故 ， 单调递减，C 对。D 项：、，要同时取到 需 且 ，两式不能同时成立，所以最大值小于 ，D 错。选 AC。 【易错】B 项的关键是「奇函数不可能有竖直对称轴」（除恒为 ）：对称轴处函数取最值，而奇函数若在最值点取值 ，则在对称点取值 ，与对称性矛盾。D 项判最大值不能把两个 直接相加，要检查能否同时取到。 【答案】AC 变式7-3（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 的值域是 B. C. 在区间上单调递增 D. 是奇函数 【切入点】 里振幅是 、、相位是 —— 主要是代值与奇偶性平移。 【关键】。A 项：值域为 ，A 对。B 项：，B 对。C 项： 时 ，跨过 ，先减后增，不是单调递增，C 错。D 项：，是奇函数，D 对。选 ABD。 【易错】B 项算 时整体角是 （不是 ），先把 加进去再查值。C 项要盯住 的区间是否跨过 这个「谷底」。 【答案】ABD 变式7-4（多选·★★★☆☆） 设函数，，则下列结论正确的是（ ） A. ，在上单调递减 B. 若且，则 C. 若在上有且仅有2个不同的解，则的取值范围为 D. 存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数 【切入点】 两项都能化到 上 —— 先用降幂与二倍角化一，再对四个选项逐个代入讨论。 【关键】。A 项：、 时 ，两端都落在 内，而 在 上递减，A 对。B 项： 时 ， 的最大值为 、最小值为 ，取到相差 的两点最近距离是 ，不是 ，B 错。C 项： 即 ，得 ，；落在 内要求 。恰有 个不同的解，即 只取 、，所以 ，解得 ，C 对。D 项：向右平移 后为 ，其中 为奇函数等价于相位 。取 得 对应的实数解 ，故存在，D 对。选 ACD。 【易错】C 项数解时 的起点要想清楚： 给 ，不在区间内，所以两个解对应 ，而不是 。D 项判奇函数用 为奇函数当且仅当 ，不要与「 型奇函数要求 」搞混。 【答案】ACD 变式7-5（多选·★★★☆☆） 对于函数和，下列说法中正确的有（ ）。 A. 与有相同的最小正周期 B. 与有相同的最大值 C. 与有相同的零点 D. 与的图象有相同的对称轴 【切入点】两个函数只差一个相位 —— 把四条性质各写成通式再逐条比，比一个个举反例快。 【关键】，。A 项：两者 都是 ，最小正周期都是 ，A 对。B 项：两者振幅都是 ，最大值都是 ，B 对。C 项： 的零点由 得 ； 的零点由 得 ，两组不同，C 错。D 项： 的对称轴由 得 ； 的对称轴由 得 ，两组不同，D 错。选 AB。 【易错】周期与最大值只由 和振幅决定，与相位无关，所以必然相同；零点与对称轴都含相位，相位一变就整体平移 （零点）或 （轴），不会再重合。抓住这个区分点，四项一眼就能判。 【答案】AB 变式7-6（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 最小正周期为 B. 是奇函数 C. 在上单调递增 D. 最大值为1 【切入点】 是分式型 —— 先把分母用 统一成 的式子，整个函数就只剩一个变量 。 【关键】分母 ，故 。A 项：， 不是周期（真正的周期是 ），A 错。B 项：定义域为 ，且 ，是奇函数，B 对。C 项：、，两端相等，不可能是单调递增，C 错。D 项：令 ，；在 时分子递增、分母递减且为正，所以商递增， 时取最大值 ，D 对。选 BD。 【易错】A 项是分式型最常见的误判：看到 只能说明它是「半周期反对称」，周期性要求取等号。D 项判最值时，「分子增、分母减且为正 ⇒ 商增」这条复合单调性判断，比求导更贴合本讲的工具。 【答案】BD 例8（单选·★★★☆☆） 已知函数，则图象的对称轴方程为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【切入点】两项都是 ，而且两个角相差 —— 先把第二项用诱导公式变成 ，就看得出是 这个熟人。 【关键】。记 ，则 。这个函数有两个特点：最小正周期为 ；在 处取最小值 ，在 处取最大值 。极值点即对称轴，两类合起来是 。于是 ，即 ，选 C。 【易错】别漏掉最小值点也是对称轴 —— 在 处是「谷」，图象关于它左右对称，所以对称轴是 而不是 。回代时是 ，符号别写反。 【答案】C 变式8-1（填空·★★☆☆☆） 函数的最小正周期为________。 【切入点】函数是 —— 绝对值把负半周翻上来，周期会减半，先按定义验一个候选值。 【关键】，所以 是周期。而 的最小正周期为 ，加了绝对值后在一个 的长度内就会重复，故最小正周期为 。 【易错】最容易直接把原函数的周期 抄下来。规律要记死： 的最小正周期是 ，正好是 的一半。 【答案】 变式8-2（填空·★★★☆☆） 函数的最小正周期为__________________，最大值为__________________。 【切入点】 是两个正弦相乘 —— 先用积化和差拆成两个余弦之差，再谈周期；求最大值时换元成 的多项式。 【关键】由 得 。 的最小正周期为 ， 的为 ，两者的最小公倍数为 ，故 的最小正周期为 。再求最大值：令 ，由 得 。在 上，由 ，得 ，故 ，等号在 时取到。 【易错】积化和差后的最小正周期是两个部分的最小公倍数，不能取某一个的周期。求最大值时换元后是三次式，用三项均值不等式「、、 之和为常数」最省事，配等号条件时注意 。 【答案】； 变式8-3（填空·★★☆☆☆） 函数的最大值为_______。 【切入点】两项的角差 —— 先用诱导公式把 写成 ，两项就统一成同名一次式，直接辅助角。 【关键】，其中 。所以最大值为 。 【易错】辅助角提的系数是 ，不是 ，也不是 。提完要检查括号里的两个系数平方和为 ，才能写成单个正弦。 【答案】 变式8-4（单选·★★☆☆☆） 已知函数，当时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】解析式里同时有 与 —— 先把前一项用二倍角化成 ，再整体辅助角。 【关键】。当 时 ，该区间含 ，所以 的最小值为 ， 的最小值为 ，选 B。 【易错】辅助角时提的系数是 （因为 与 的平方和开根是 ），提完后括号里才是标准的 。求最小值要先看 的区间是否含 ，含才取 。 【答案】B 例9（解答·★★★★☆） 已知函数的最大值为3，(1)求的最小正周期和单调递增区间；(2)若，，求的值。 【切入点】解析式里同时有 、、 三种二次项 —— 这是降幂 ＋ 二倍角的标准组合，化一之后全部性质都能读出来。 【关键】。由最大值 得 ，，故 。（1）最小正周期 ；由 解得 。（2）由 得 ，即 。由 知 ，故 。记 ，则 ，。 【易错】降幂时 ，符号最容易丢； 里的 与 的 会约掉一个。第（2）问求 时，要先把目标角用 表示成 ，再用诱导公式转成 ，最后用二倍角。 【答案】（1）最小正周期为 ，单调递增区间为 ，；（2） 变式9-1（解答·★★★★★） 已知函数，（1）求的最小正周期和单调递减区间；（2）当时，求的最大值和最小值（3）若，，求的值 【切入点】 里两项都能降幂到 上 —— 这是本节的固定第一步：化一。 【关键】（1）。故最小正周期为 ；由 解得 。（2） 时 ， 在该段上的取值范围是 ，所以最大值为 ，最小值为 。（3）由 得 。由 得 ，故 。于是 。 【易错】第（2）问的 区间是 ，两端点的正弦值分别是 与 ，而最小值由左端点给定、最大值由顶点 给定，不能只看两端点。第（3）问必须先用 的范围定 的符号，再拆角。 【答案】（1）最小正周期为 ，单调递减区间为 ，；（2）最大值为 ，最小值为 ；（3） 变式9-2（解答·★★★★☆） 已知函数的最大值为1.（1）求常数的值；（2）求使成立的的取值集合. 【切入点】两个同频正弦相加 ＋ —— 前两项用和差化积合并（或直接展开），第三项降幂，三块拼成一个标准形。 【关键】（1），，故 。最大值为 ，解得 。（2）此时 。由 得 ，即 ，解得 。 【易错】和差化积的系数别记错：，这里 、，结果是 。第（2）问化到 后，不要漏掉两端都要加 ，并且解出 时要整体除以 。 【答案】（1）；（2） 变式9-3（解答·★★★★☆） 函数在上的最大值为。（1）求函数的最小正周期和常数的值；（2）求函数的单调增区间。（3）当时，求使不等式成立的的取值集合。 【切入点】 用降幂变成 ，与 合起来就是一个标准形。 【关键】。当 时 ， 的最大值为 （在 处取到），所以 ，解得 。故（1）、；（2）由 得 ；（3）此时 ，由 得 ，即 ，解得 。 【易错】降幂时 要提出 再乘 ，最后整理出的常数项是 ，符号最容易丢。第（1）问求 用的是在闭区间上的最大值，要先确认 确实落在 内。 【答案】（1），；（2）单调增区间为 ，；（3） 变式9-4（解答·★★★★☆） 已知函数。（1）求；（2）求的值域；（3）求曲线的对称中心的坐标。 【切入点】两项都用诱导公式化到同一个角 上： 是「余弦转正弦」， 是「余弦变号」。 【关键】，，故 。（1）。（2）值域为 。（3）对称中心由 得 ，即对称中心为 ，。 【易错】两个诱导各要看清： 里 是 的奇数倍，函数名要变成正弦且不变号； 里 是 的奇数倍，函数名不变但要变号。第（3）问求对称中心时，解出的 要再除以 之外的常数项也要跟着除。 【答案】（1）；（2）；（3）， 变式9-5（单选·★★☆☆☆） 已知函数是定义在上的奇函数，则，的值可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【切入点】函数是分段定义的奇函数， 用正弦、 用余弦 —— 入口是奇函数的定义式 ，取正半轴上的点代入。 【关键】设 ，则 ，，而 ，所以 ，即 。比较得 ，即 （）。把四个选项分别代入这个等式：A 项 ，B 项 ，C 项 ，都不符合；D 项 ，而 ，符合，选 D。 【易错】两个地方最容易错：一是把 写成 （只有提出 的负号才对， 不动）；二是最后比相位时不能直接令两角相等就完事，还要考虑「互补」的情形，本题因为含 ，只有相等这一支能对任意 成立。 【答案】D 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角函数的图像与性质 三角函数 · 专题篇 正弦、余弦的图象与性质 一、最小正周期 、 的最小正周期为 ； 的最小正周期为 。 、（）的最小正周期为 。 、 的最小正周期为 ； 的最小正周期为 。 二、奇偶性 、 为奇函数； 为偶函数。 ：当 时为奇函数，当 时为偶函数（）。 含 的复合式 一定是偶函数。 三、对称轴与对称中心 的对称轴为 ，对称中心为 ； 的对称轴为 ，对称中心为 。 无对称轴，对称中心为 （）。 ：由 解出对称轴，由 解出对称中心 。 四、单调区间 的增区间为 ，减区间为 。 的减区间为 ，增区间为 。 在 上单调递增（每个连续段内递增，整体不单调）。 五、值域与最值 、 的值域为 ； 的值域为 。 在 处取最大值 ，在 处取最小值 。 在 处取最大值 ，在 处取最小值 。 （）的值域为 ，最大值 、最小值 。 六、复合结构的处理 型：内层 ，外层取 在 上的值域 。 型：内层 ，外层取 在 上的值域 。 型：换元 ，化为二次函数 在闭区间上求最值与零点。 例1（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 的最大值是 B. 在上单调递增 C. D. 在上有两个零点 变式1-1（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期为 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点对称 变式1-2（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期是π C. 的值域为 D. 在上单调递增 变式1-3（填空·★★☆☆☆） 函数的最小正周期为_________。 例2（多选·★★★☆☆） 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 在上仅有1个零点 D. 的最小正周期为 变式2-1（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 的最小正周期为 C. 在上单调递增 D. 的值域为 变式2-2（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期为 C. 在上单调递增 D. 的最小值为0 变式2-3（多选·★★★☆☆） 已知函数，则下列命题正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 是奇函数 D. 在上单调递减 变式2-4（多选·★★★☆☆） 函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 在区间单调递减 C. 在有4个零点 D. 的最大值为6 例3（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 若，则 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点中心对称 变式3-1（多选·★★★☆☆） 已知函数，则存在实数，使得（ ） A. 的最小正周期为 B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 的最大值为0 变式3-2（填空·★★★☆☆） 已知函数在闭区间I上的最大值记为，若实数k满足，则 = ______。 正切函数的性质与图象 一、图象与定义域 在 内的一段图象由左到右 从 升到 ，再按周期 向两侧复制。 的定义域为 ，值域为 。 的定义域由 解出。 二、周期 的最小正周期为 ；（）的最小正周期为 。 三、奇偶性 是奇函数。 四、对称中心 没有对称轴，对称中心为 （）。 的对称中心为 ，其中 由 解出。 五、单调区间 在 上单调递增，没有减区间。 （）的递增区间由 解出。 六、正切不等式的解法 型：先在 内定出 的范围，再加 。 等价于 （）。 等价于 （）。 七、 型 的定义域要在 的定义域上再挖掉 的点，即 。 的值域为 。 例4（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 图象的对称中心为 D. 不等式的解集为 变式4-1（多选·★★★☆☆） 已知函数，下列命题正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 的图象关于点对称 D. 在，上单调递减 变式4-2（单选·★★★☆☆） 已知函数，使成立的x的取值集合是（ ） A. B. C. D. 变式4-3（多选·★★★★☆） 已知函数，关于x的不等式在区间内的整数解的个数为n，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则n的最小值为338 C. 若存在实数a，使，则t的最小值为 D. 若存在实数t，使，则a的最大值为 例5（多选·★★★☆☆） 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数定义域为 B. 若，，则在区间上单调递增 C. 若，，则的图象关于点对称 D. 若，且在区间上的所有零点之和为，则不同零点共有个 变式5-1（单选·★★☆☆☆） 若函数的最小正周期为，则曲线的对称中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 变式5-2（单选·★★☆☆☆） 若点是函数的图像的一个对称中心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 变式5-3（填空·★★☆☆☆） 函数的对称中心的坐标为______。 整体换元求性质 一、化一（把解析式整理成 ） （辅助角，）。 。 二倍角降幂：，，。 。 和差化积：；。 积化和差：。 ；。 二、整体换元 把 看作整体，则 的五条性质全部可用：周期由 的周期除以 得到，单调区间、对称轴、对称中心都先解 再回代 。 的递增区间：，递减区间：。 对称轴：；对称中心：。 三、闭区间上的值域 由 先算出 的范围 ，再回到 上比端点与顶点。 在 上的最值：若区间含 则最大值为 ，若含 则最小值为 ，否则在两端点中取。 四、含绝对值的周期 、 的最小正周期为 （是原周期的一半）。 五、零点与解不等式 的解为 ； 的解为 或 。 的解为 ； 的解为 （）。 例6（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在上单调递减 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 将函数的图象向左平移个单位得到的函数为奇函数 变式6-1（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 曲线的一条对称轴方程为 C. 在上的最小值为 D. 将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 变式6-2（单选·★★★☆☆） 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称 D. 若在区间上恰有一个零点，则实数m的取值范围是 变式6-3（单选·★★★☆☆） 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 在区间上是增函数 C. 是偶函数 D. 是图象的一个对称中心 变式6-4（单选·★★★☆☆） 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 的图像关于点中心对称 D. 图像向右平移个单位长度后的函数为偶函数 变式6-5（多选·★★★☆☆） 某弹簧振子（简称振子）在完成一次简谐运动的过程中，时间（单位：秒）与位移（单位：毫米）之间满足函数关系为，下列叙述中正确的是（ ） A. 当时间时，该简谐运动的位移 B. 该简谐运动的初相为 C. 该函数的一个极值点为 D. 该函数在上单调递增 变式6-6（单选·★★★☆☆） 已知函数，则下列选项中错误的是（ ） A. 为的周期 B. 的图象关于对称 C. 的图象关于点对称 D. 是奇函数 例7（单选·★★☆☆☆） 已知函数，则（ ） A. 要得到的图象，只需将的图象向右平移个单位 B. 的图象关于点对称 C. 在区间上单调递减 D. 若，且，则的最小值为 变式7-1（多选·★★★☆☆） 已知函数，函数，则下列结论正确的有（ ） A. 与的图象有相同的对称轴 B. 与有相同的最小正周期 C. 将的图象向右平移个单位，可得到的图象 D. 与的图象在上只有一个交点 变式7-2（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 为周期函数 B. 存在，使得的图象关于对称 C. 在区间上单调递减 D. 的最大值为 变式7-3（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 的值域是 B. C. 在区间上单调递增 D. 是奇函数 变式7-4（多选·★★★☆☆） 设函数，，则下列结论正确的是（ ） A. ，在上单调递减 B. 若且，则 C. 若在上有且仅有2个不同的解，则的取值范围为 D. 存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数 变式7-5（多选·★★★☆☆） 对于函数和，下列说法中正确的有（ ）。 A. 与有相同的最小正周期 B. 与有相同的最大值 C. 与有相同的零点 D. 与的图象有相同的对称轴 变式7-6（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 最小正周期为 B. 是奇函数 C. 在上单调递增 D. 最大值为1 例8（单选·★★★☆☆） 已知函数，则图象的对称轴方程为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 变式8-1（填空·★★☆☆☆） 函数的最小正周期为________。 变式8-2（填空·★★★☆☆） 函数的最小正周期为__________________，最大值为__________________。 变式8-3（填空·★★☆☆☆） 函数的最大值为_______。 变式8-4（单选·★★☆☆☆） 已知函数，当时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 例9（解答·★★★★☆） 已知函数的最大值为3，(1)求的最小正周期和单调递增区间；(2)若，，求的值。 变式9-1（解答·★★★★★） 已知函数，（1）求的最小正周期和单调递减区间；（2）当时，求的最大值和最小值（3）若，，求的值 变式9-2（解答·★★★★☆） 已知函数的最大值为1.（1）求常数的值；（2）求使成立的的取值集合. 变式9-3（解答·★★★★☆） 函数在上的最大值为。（1）求函数的最小正周期和常数的值；（2）求函数的单调增区间。（3）当时，求使不等式成立的的取值集合。 变式9-4（解答·★★★★☆） 已知函数。（1）求；（2）求的值域；（3）求曲线的对称中心的坐标。 变式9-5（单选·★★☆☆☆） 已知函数是定义在上的奇函数，则，的值可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 学科网（北京）股份有限公司 $