等差数列专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题 等差数列 （原卷） 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 ▶基础梳理・自主夯基 考点01等差数列的概念 考点02等差数列的通项、前n项和公式 考点03等差数列的有关性质 考点04绝对值型求和 考点05等差数列的证明 ▶高阶思维・探究拓展 难点：等差数列前n项和的最值问题 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 等差数列的有关概念 1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差. 符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数） 2.数列的单调性：d>0递增数列，d=0常数数列，d<0递减数列 考点02等差数列的有关公式 1.通项公式： an＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)⇒当d≠0时，an是关于n的一次函数． 通项公式的推广： an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． 2.前n项和公式： 当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且没有常数项． 考点03等差数列的性质 1.等差中项:数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的 2.若{an}为等差数列，公差为d，前n项和为Sn，则有： (1)等距性：若p＋q＝m＋n，则ap＋aq＝am＋an，特别地，若p＋q＝2k，则ap＋aq＝2ak；也称高斯计巧 简记 ：下标之和相等则项之和相等 (2)隔项等差：数列ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列； (4)双等差数列等差中项比值型性质： 、均为等差数列且其前项和为、则 (5)若{an}是等差数列，则数列{}也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的 其通项公式 即＝n+ (6)分段等差：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是公差为nd的等差数列； 3.等差数列的前项和的最值. (1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项； (2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值； (3)将等差数列的前n项和 (A、B为常数)看作关于项数n的二次函数，根据二次函数的性质求最值． 4.等差数列的前项和的最值时，往往转化为判定的符号变化： ①若，当时，则当且仅当最大； ②若，当时，则当且仅当最小； ③若最大，则 【典型例题及新题变式练】 题型一 等差数列的基本运算 【例1】（单选题）（1）设是公差为正数的等差数列，若，，则( ) A．12 B．35 C．75 D．90 （2）已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，若，则( ) A．3 B． C．-3 D． 【变式1-1】（单选题）在等差数列中，，，则（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1-2】（单选题）记为等差数列的前项和，若，，则等于( ) A．6 B．7 C．8 D．10 【变式1-3】（单选题）设等差数列的前项和为.若，则（    ） A．12 B．15 C．18 D．21 【变式1-4】（单选题）据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯（    ） A．38盏 B．32盏 C．26盏 D．18盏 题型二 等差数列中项性质 【例2】（单选题）(1)在等差数列中，若=4，=2，则=( ) A．-1 B．0 C．1 D．6 (2)已知等差数列的前n项和为，=5，则=( ) A．5 B．25 C．35 D．50 【变式2-1】（填空题）已知数列为等差数列，且，则_________. 【变式2-2】（单选题）（2024·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3（单选题）】已知正项等差数列的前项和为，，则的值为( ) A．11 B．12 C．20 D．22 【变式2-4】（单选题）已知数列满足且，则( ) A．-3 B．3 C． D． 题型三 前n项和性质 【例3】（单选题）(1)在等差数列中，为其前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． (2)设等差数列，的前n项和分别为，，若则的值为（    ） A． B． C． D． (3)设是等差数列的前项和，若，则( ) A． B． C． D． (4)若是等差数列的前项和，其首项，， ，则使成立的最大自然数是( ) A．198 B．199 C．200 D．201 (5)记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【变式3-1】（单选题）已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（单选题）设是等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 题型四、绝对值型求和 【例4】（单选题）已知数列满足，则数列的前10项和为（　　） A．58 B．52 C．62 D．60 【变式4】（单选题）已知，则数列的前项和为（    ） A．112 B．48 C．80 D．64 题型五、 等差数列的证明 【例5-1】已知数列的通项公式为，求证：数列是等差数列； 【例5-2】已知数列满足，证明：数列为等差数列，并求的通项公式. 总结： 方法 解读 适合题型 定义法 对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列 解答题中的证明问题 等差中项法 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列 通项公法前n 项和 an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列 选择、填空题中的判定问题 项和公式法 验证Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列 【变式5-1】已知数列满足，，判断数列是否为等差数列，并说明理由； 【变式5-2】已知数列中，，，设，求证：数列是等差数列； 【变式5-3】数列满足，证明：数列是等差数列. 高阶思维・探究拓展 题型六 等差数列前n项和的最值 【例6-1】设等差数列的前n项和为，已知a3＝12， S12>0， S13<0. （1） 求公差d的取值范围．（2）S1，S2， …， S12中哪一个值最大？并说明理由．、、 【例6-2】（单选题）已知是等差数列前项和，，，当取得最小值时( )． A．2 B．14 C．7 D．6或7 【变式6-1】（单选题）在等差数列中，公差，为的前项和，且，则当为何值时，达到最大值.( ) A． B． C． D． 【变式6-2】（单选题）等差数列的前项和为，其中，，则当取得最大值时的值为( ) A．4或5 B．3或4 C．4 D．3 【变式6-3】（单选题）已知公差为的等差数列的前项和为是中的唯一最大项，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【总结】1.二次函数法：将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方．转化为求二次函数的最值问题，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观． 2.邻项变号法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值． 【练习】 1.（单选题）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝4，S9＝72，则a10＝( ) A．20 B．23 C．24 D．28 2．（单选题）已知方程有三个不同且成等差数列的实数解，则（     ） A．0 B． C． D． 3．（单选题）首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，则①若，则，；②若，则使的最大的n为15；③若，，则中最大；④若，则，正确的选项（   ） A．①②③ B．①② C．①②④ D．②③④ 4.（单选题）记各项均为正整数的等差数列的前项和为，且公差不为0，若，则（    ） A． B．4 C． D．9 5．（单选题）某社区为了丰富居民文化生活，开设了9层阶梯式读书角，每层摆放一个书架，每个书架摆放的图书数量从上到下依次构成数列，其中，，成等差数列，后7项，…，也成等差数列，且，，，则这9层书架上的书一共有（    ） A．81本 B．84本 C．87本 D．90本 6．（单选题）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（单选题）已知等差数列的前项和为，且满足，，则下列说法错误的是（   ） A．数列的通项公式为 B． C．前项和 D．数列是公差为的等差数列 8．（单选题）已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则（     ） A． B．0 C． D． 9.（多选题）已知等差数列的前项和为，若，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．数列是递增数列 D． 10．（填空题）已知等差数列 的前项和分别为，且，则________ 11．（填空题）如图，在一个大圆中放入两个半径之比为1：2的小圆，使得两小圆外切，且它们均内切于大圆，且三个切点共线，记为一次操作.之后的每次操作，都在前一次放入的较大的圆中进行上述操作，现有一个半径为1的大圆，则4次操作后图中最小的圆的半径为___________，次操作后图中所有圆的面积总和为___________. 12．（解答题）设等差数列满足， （1）求的通项公式； （2）求的前项和及使得最大的序号的值 13．（解答题）记为数列的前n项和．已知．证明：是等差数列； 14．（解答题）在数列，中，，，证明：数列是等差数列； 15．（解答题）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 16．（解答题）已知等差数列的前项和记为，满足. (1)求等差数列的公差； (2)若数列为单调递减数列，求的取值范围； (3)若，在数列的第项与第项之间插入首项为1，公比为2的等比数列的前项，形成新数列，记数列的前项和为，求. 专题 等差数列 （参考答案） 题型一 等差数列的基本运算 【例1】（单选题）（1）设是公差为正数的等差数列，若，，则( ) A．12 B．35 C．75 D．90 （2）已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，若，则( ) A．3 B． C．-3 D． 【答案】（1）B（2）D （1）【解析】设公差为，则，∵，故解得， ∴．故选：B． （2）【解析】设数列是公差为，，首项为，因为 所以，所以，所以 所以故选：D 【变式1-1】（单选题）在等差数列中，，，则（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为，， 则，解得， 所以. 【变式1-2】（单选题）记为等差数列的前项和，若，，则等于( ) A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【解析】设数列的首项为，公差为，则由，，得：， 即， 解得：， .故选：D. 【变式1-3】（单选题）设等差数列的前项和为.若，则（    ） A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，进而结合题意列出关于的方程解得，再根据通项公式求解即可. 【解析】设等差数列的公差为，首项为， 因为， 所以，即，解得， 所以 【变式1-4】（单选题）据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯（    ） A．38盏 B．32盏 C．26盏 D．18盏 【答案】C 【分析】利用等差数列的求和公式与通项公式解决实际问题. 【解析】由题知：塔的每层灯数构成等差数列，则 首项为 ，公差 ，项数 ，， 根据等差数列前 项和公式： ， ， 计算化简：即， 所以根据等差数列通项公式： ，代入 、、， . 故选：C. 【小结】求基本量法（ 知三求二）+ 性质法（如常用等距性） 题型二 等差数列中项性质 【例2】（单选题）(1)在等差数列中，若=4，=2，则=( ) A．-1 B．0 C．1 D．6 (2)已知等差数列的前n项和为，=5，则=( ) A．5 B．25 C．35 D．50 【答案】(1)B(2)B 【解析】(1)等差数列中，，则故选：B (2)由题意可知，为等差数列，所以故选：B 【变式2-1】已知数列为等差数列，且，则_________. 【答案】-12 【解析】由等差数列的性质，得.故答案为：. 【变式2-2】（单选题）（2024·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值. 【解析】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 【变式2-3】（单选题）已知正项等差数列的前项和为，，则的值为( ) A．11 B．12 C．20 D．22 【答案】D 【解析】因为，数列是正项等差数列，所以，解得或(舍去)， 则，故选：D. 【变式2-4】（单选题）已知数列满足且，则( ) A．-3 B．3 C． D． 【答案】B 【解析】,∴数列是以2为公差的等差数列， ， ，，，故选：B. 题型三 前n项和性质 【例3-1】（单选题）(1)在等差数列中，为其前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． (2)设等差数列，的前n项和分别为，，若则的值为（    ） A． B． C． D． (3)设是等差数列的前项和，若，则( ) A． B． C． D． (4)若是等差数列的前项和，其首项，， ，则使成立的最大自然数是( ) A．198 B．199 C．200 D．201 (5)记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】(1)A (2)A (3)D (4)A (5)C (1)【分析】利用等差数列前项和的性质可知，，也成等差数列，结合等差中项求解即可. 【解析】在等差数列中，，，仍成等差数列， 所以，，成等差数列. 所以，即， 解得.故选：A (2)【分析】由题意利用等差数列的性质、等差数列的前项和公式，得出结论． 【解析】因数列均为等差数列， 则. 故选：A (3)【解析】因为为等差数列，所以.故选：D (4)【解析】∵， ∴和异号； ∵，， 有等差数列的性质可知，等差数列的公差， 当时，；当时，； 又 ，， 由等差数列的前项和的性质可知，使前项和成立的最大自然数是.故选：A． (5)【解析】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 【变式3-1】（单选题）已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的前项和的公式特征，结合，可设，，得，再利用数列的前项和与通项的关系求出再计算即得. 【解析】因分别是等差数列的前项和，由， 可设，，则， 于是， ， 则. 故选：A. 【变式3-2】（单选题）设是等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【解析】由是等差数列的前项和， .故选D 题型四、绝对值型求和 【例4】（单选题）已知数列满足，则数列的前10项和为（　　） A．58 B．52 C．62 D．60 【答案】B 【分析】先根据判断数列的正负性，进而确定数列的表达式，再计算数列的前10项和. 【解析】因为，，令，得， 因为，所以当时，； 当时，. 所以，记数列的前项和为， 则 . 故选：B 【变式4】（单选题）已知，则数列的前项和为（    ） A．112 B．48 C．80 D．64 【答案】C 【分析】先根据求出,根据数列判断出正负情况，进而求得答案 【解析】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 . 题型五 等差数列的证明 【例5-1】已知数列的通项公式为，求证：数列是等差数列； 【答案】见解析 【解析】定义法： ∵，∴()，∴数列为等差数列． 【例5-2】已知数列满足，证明：数列为等差数列，并求的通项公式； 【答案】 【解析】构造法： ，两边同时除以，可得： ，又，数列是以1为首项，1为公差的等差数列； ，. 总结： 方法 解读 适合题型 定义法 对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列 解答题中的证明问题 等差中项法 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列 通项公法前n 项和 an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列 选择、填空题中的判定问题 项和公式法 验证Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列 【变式5-1】已知数列满足，，判断数列是否为等差数列，并说明理由. 【答案】是等差数列； 【解析】设，则， 则，， 所以，数列是首项为0，公差的等差数列. 【变式5-2】已知数列中，，，设，求证：数列是等差数列； 【答案】证明见解析 【解析】证明：当时， ，所以是以1为首项，为公差的等差数列 ； 【变式5-3】数列满足，证明：数列是等差数列； 【答案】证明见解析； 【解析】构造法：∵，∴，∴， ∴数列是以1为首项，以1为公差的等差数列. 题型六 等差数列前n项和的最值 【例6-1】设等差数列的前n项和为，已知a3＝12， S12>0， S13<0. （1）求公差d的取值范围．（2）S1，S2， …， S12中哪一个值最大？并说明理由．、、 【解析】（1）依题意，有， 即 由，得③，将③式分别代①、②式，得． （2）由可知． 因此，若存在自然数，使得，， 则就是，，，中的最大值． ， ，，故在，，，中的值最大． 【例6-2】（单选题）已知是等差数列前项和，，，当取得最小值时( )． A．2 B．14 C．7 D．6或7 【答案】D 【解析】设等差数列的公差为，∵，，∴，， 联立解得：，，∴， 令，解得．当取得最小值时或7．故选：D． 【变式6-1】（单选题）在等差数列中，公差，为的前项和，且，则当为何值时，达到最大值.( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为在等差数列中，，所以， 又公差，所以，故 所以数列的前6项为正数，从第7项开始为负数； 因此，当时，达到最大值.故选C 【变式6-2】（单选题）等差数列的前项和为，其中，，则当取得最大值时的值为( ) A．4或5 B．3或4 C．4 D．3 【答案】C 【解析】设公差为，由题意知，解得， 由等差数列前项和公式，知， 对称轴为，所以当时，最大．故选：C 【变式6-3】（单选题）已知公差为的等差数列的前项和为是中的唯一最大项，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列前项和最值的性质，建立不等式解出即可. 【详解】因为是中的唯一最大项，所以且， 即且，又，解得， 即的取值范围为．故选A 【练习】 1.（单选题）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝4，S9＝72，则a10＝( ) A．20 B．23 C．24 D．28 【答案】D 【解析】设等差数列{an}的公差为d,由a4＝4，S9＝72，得, 解得,,故选：D. 2．（单选题）已知方程有三个不同且成等差数列的实数解，则（     ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】已知三次方程三根成等差数列，设三个解为，展开多项式，对比方程各项系数求出，再算出参数，最后验证根满足条件. 【解析】依题意，设三个解为， 故原方程可化为： 原方程为， 由二次项系数得, 由一次项系数得, 由常数项得，所以, 当，方程为 ， 三个解为，显然三个实数互不相等，成等差数列，完全满足题目的条件.故选B 3．（单选题）首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，则①若，则，；②若，则使的最大的n为15；③若，，则中最大；④若，则，正确的选项（   ） A．①②③ B．①② C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式以及等差数列的性质逐一计算判断即可. 【解析】因为首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为， 设首项为则，公差为，则. ①因为，所以，所以. 所以，，①正确； ②因为，所以，化简得， 所以，所以. 解得，所以使的最大的n为15，②正确； ③因为，所以. 所以，所以，则中最大，③错误； ④因为，所以， 当时，由可知；当时，有，故恒成立，④正确. 故选：C. 4.（单选题）记各项均为正整数的等差数列的前项和为，且公差不为0，若，则（    ） A． B．4 C． D．9 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，可得，由题意可得，进而求得，分类讨论可求得 【解析】设等差数列的公差为， 因为，得， 所以，所以，所以， 由题意知，则，解得（舍去）或， 又， 要使，则，解得，所以， 当时，得，不符合题意； 当时，得，不符合题意； 当时，得，不符合题意； 当时，得，符合题意，此时， 当时，得，不符合题意； 当时，得，不符合题意； 当时，得，不符合题意； 综上所述：=4,故选B 5．（单选题）某社区为了丰富居民文化生活，开设了9层阶梯式读书角，每层摆放一个书架，每个书架摆放的图书数量从上到下依次构成数列，其中，，成等差数列，后7项，…，也成等差数列，且，，，则这9层书架上的书一共有（    ） A．81本 B．84本 C．87本 D．90本 【答案】C 【解析】数列 后 7 项 构成等差数列，公差为 d， 则 ，，. 由 ，得 ， 即 ；① 由 ，得 .② ② − ①，得 ，即 ； 代入②，得 ，即 . 又 成等差数列，且 ，，故 。 因此 9 层书架图书总数为 ,故选C 6．（单选题）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用等差数列的“片段和性质”，即可求解. 【解析】因为是等差数列的前项和，则，，成等差数列， 又，得到，所以，，所以， 则.故选C 7．（单选题）已知等差数列的前项和为，且满足，，则下列说法错误的是（   ） A．数列的通项公式为 B． C．前项和 D．数列是公差为的等差数列 【答案】D 【分析】设等差数列的公差为，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可求出数列的通项公式，可判断AB选项；利用等差数列的求和公式可判断C选项；利用等差数列的定义可判断D选项. 【解析】对于A选项，设等差数列的公差为， 则，解得， 所以数列的通项公式为，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，故， 所以数列是公差为的等差数列，D错. 故选：D. 8．（单选题）已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则（     ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【解析】设等差数列的公差为． 由，得①， 由得，得②， 联立①②，，解得， 所以． 则， 则，所以 ．故选A 9.（多选题）已知等差数列的前项和为，若，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．数列是递增数列 D． 【答案】ACD 【解析】因为，所以，故A错误； 由等差数列，可得， 所以，即，故B正确； 因为，所以， 所以等差数列的公差，所以数列是递减数列，故C错误； 因为，所以，故D错误.故选：ACD. 10．（填空题）已知等差数列 的前项和分别为，且，则________ 【答案】 【分析】利用等差数列的前项和公式求解即可得. 【解析】由题设，条件可化为， 设，， 则， ， 则. 11．（填空题）如图，在一个大圆中放入两个半径之比为1：2的小圆，使得两小圆外切，且它们均内切于大圆，且三个切点共线，记为一次操作.之后的每次操作，都在前一次放入的较大的圆中进行上述操作，现有一个半径为1的大圆，则4次操作后图中最小的圆的半径为___________，次操作后图中所有圆的面积总和为___________. 【答案】 【分析】由题意可知小圆半径是首项为，公比为等比数列；大圆半径是首项为，公比为等比数列，结合等比数列前项和公式计算即可求解. 【详解】次操作后，小圆的半径依次为， 大圆的半径依次为， 所以小圆半径是首项为，公比为等比数列， 大圆半径是首项为，公比为等比数列， 4次操作后图中最小的圆的半径为； 次操作后，小圆面积和为： ， 大圆面积和为： 所以大圆与小圆面积和为， 则所有圆的面积总和为. 故答案为： 12．（解答题）设等差数列满足， （1）求的通项公式； （2）求的前项和及使得最大的序号的值 【答案】an=11-2n,n=5时，Sn取得最大值 【解析】试题分析：解：（1）由an=a1+（n-1）d及a3=5，a10=-9得,a1+9d=-9，a1+2d=5,解得d=-2，a1=9，,数列{an}的通项公式为an=11-2n,（2）由（1）知Sn=na1+d=10n-n2．因为Sn=-（n-5）2+25．所以n=5时，Sn取得最大值． 13．（解答题）记为数列的前n项和．已知．证明：是等差数列； 【解析】因为，即①， 当时，②， ①②得，，即， 即，所以，且， 所以是以为公差的等差数列． 14．（解答题）在数列，中，，，证明：数列是等差数列. 【答案】证明见解析 【解析】证明：由题意，将代入， 可得，即， ∴，∴， ∴． ∵， ∴数列是以为公差的等差数列． 15．（解答题）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式；(2)求数列的前项和． 【解析】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， （2）因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 16．（解答题）已知等差数列的前项和记为，满足. (1)求等差数列的公差； (2)若数列为单调递减数列，求的取值范围； (3)若，在数列的第项与第项之间插入首项为1，公比为2的等比数列的前项，形成新数列，记数列的前项和为，求. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）设等差数列的公差为，由已知可得； （2）根据（1）求出，由数列的单调性列不等式即可得的取值范围； （3）由（1）得，对数列进行分组分析，即可知其前项的构成部分，结合等差数列与等比数列的求和公式即可求得. 【解析】（1）设等差数列的公差为，由于， 所以，解得. （2）由（1）可得， 若数列为单调递减数列，则对于恒成立， 所以在上恒成立， 则，所以，又数列为递增数列，所以，即， 故的取值范围为； （3）若，则， 根据题意数列为： 第一组为：1，； 第二组为：，，； 第三组为：，，，；…… 第组为：，，，，…，； 则前组一共有项，当时，项数为. 故相当于是前组的和再加上这三项，即： 设，则可看成是数列的前项和 所以. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $