第9讲 平面向量的综合应用专项训练-2027届高三数学一轮复习

平面向量的综合应用 平面向量 · 专题篇 一 平面图形中的向量关系判断 一、基底表示的系数和。 取一组基底 、，把目标向量写成 ，则 就是 在这组基下的坐标。 系数和 有确定的几何意义：直线 上恒有 ； 表示平行于 的直线， 越大，这条线离 越远（沿 、 那一侧）。 ★ 所以「求 的范围」=「求过 且平行于 的直线到 的有向距离」，极值一定出现在图形的顶点或边界与某条平行线的切点上。 二、数量积的两条拆法。 拆基底：把两个向量都写成基底的组合，展开后代入 、、 三个数。 拆中点：设 为 的中点，则 。 ★ 后一条是极化恒等式的推论，它把「两个动点的数量积」变成「一个点到定点的距离」，本节与下一节都要反复用。 三、四个向量求和。 若 是四边形 两条对角线的交点（即两对角线中点重合），则 。 ★ 于是形如 的条件，等价于 ，动点 的轨迹是一个圆 —— 这与第二节的入口完全一致。 四、多选题的判断顺序。 先算能直接算的：坐标、模、数量积；再用几何位置定范围：平行线、圆、边界；最后用极端位置验最大最小。 ★ 判「某个说法错误」时，找到一个反例就够：通常取图形的顶点，或让参数取 、取端点。 例1（多选·★★★★☆） 如图，在菱形中，，延长边至点，使得。动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则（ ） A. 当点在线段上移动时， B. 满足的点有且只有一个 C. 满足的点有两个 D. 最大值为3 变式1-1（多选·★★★★☆） 在等腰中，，，记，，点、分别是线段、的中点，且点在线段上，，则下列说法正确的是（ ） A. 若点是线段中点，则 B. 的最大值为 C. 的最小值为0 D. 的最大值为 变式1-2（多选·★★★★☆） 在边长为5的正方形中，，则下列结论正确的是（ ） A. 若点在上，则 B. 的取值范围为 C. 若点在上，则的最小值为 D. 若，，则在上的投影向量为 变式1-3（单选·★★★☆☆） 如图，在等边三角形ABC中，，点是靠近的三等分点，过的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，，则下列选项中不正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值是 例2（多选·★★★★☆） 已知矩形中，、交于点，，，点是矩形所在平面内的一点，且满足，。则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最大值是为 C. 的最小值为 D. 的最大值为40 变式2-1（多选·★★★★☆） 已知中，，点为边上的动点，满足（，为实数），则下列说法正确的有（ ） A. 的面积的最大值为 B. 若，则的最小值为 C. 若的面积为面积的，则 D. 当为中点时， 变式2-2（多选·★★★★☆） 设平面向量的夹角为，若，且，则（ ） A. 当时，三点共线 B. 当时，平分 C. 当时，的最大值为2 D. 当时，的取值范围为 变式2-3（多选·★★★☆☆） 已知在中，，点为线段的中点，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 若，且三点共线，则 二 圆载体与动点轨迹 一、先认圆。 三种条件都指向圆：（到定点距离为定值）；（到两定点距离之比为定值， 时是阿波罗尼斯圆）；（用中点公式化成 的方程）。 ★ 认出来之后，圆心与半径都要写成具体数字（圆心常是某个定点或中点，半径由条件直接读出）。 二、圆上动点的参数表示。 圆心为 、半径为 时，。 要求某个线性式 的最值，先写成 ，再用 的振幅 得最值。 三、数量积走中点。 设 为 的中点，则 。 ★ 于是「求数量积的最值」=「求 到定点 的距离的平方」，再代「圆心到 的距离 半径」。 四、系数和的最值。 若 在一个圆上，且 （、 不共线），则 、 是 的坐标除以两条边的长， 是 的一次函数。 ★ 一次函数在圆上的最值：先把系数向量 写出来，最值 = 圆心处的值 半径 × 该向量的模。 五、定弦定角。 圆上两点 、 给定时， 与半径把圆心角定死：。 ★ 第三点 在圆上自由时， 的取值范围就是 —— 两个向量同向、反向时各取一端。 例3（填空·★★★★☆） 若点，，都在单位圆上，且，则的最小值为______。 变式3-1（单选·★★★☆☆） 已知三点在单位圆上运动，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式3-2（填空·★★★★☆） 已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的取值范围是________。 变式3-3（单选·★★★☆☆） 如图，已知正三角形的边长为2，以B为圆心的圆与直线相切，若点P是圆B上的动点，则的最大值是（ ）。 A. B. C. 4 D. 例4（填空·★★★★☆） 在中，，，。为所在平面内的动点，且，若，给出下面四个结论：①的最大值为； ②的最小值为；③的最小值为； ④的最大值为。其中正确命题的序号是______。（写出所有正确命题的序号） 变式4-1（单选·★★★☆☆） 在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上。若，则+的最大值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 2 变式4-2（单选·★★★★☆） 铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示.若图中正方形的边长为，圆的半径为，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 变式4-3（填空·★★★☆☆） 已知点，分别是直线和圆上的动点，，则的最小值为____________。 三 新运算、新概念与情境建模 一、读新定义的三步。 第一步，按定义算一个最简单的例子：取 、，把新运算算出来，看它是逐分量乘、逐分量加，还是别的。 第二步，把表达式整段展开成数量积、模、坐标、线性表示这四样；第三步，认出它的几何意义。 ★ 三步走完，旧题就回来了 —— 新定义题真正考的是「敢不敢先动手算」。 二、逐分量运算与数量积的区别。 的结果仍是向量； 的结果是数。 ★ 逐分量相乘的新运算，其「模」要按普通向量的模算：。 三、自定义「长度」的翻译。 题面若把 定义成一个新的「长度」，那它就是「以 、 为邻边的平行四边形的面积」，也就是 。 是「横纵坐标的绝对值之和」，它满足三角不等式，且 。 ★ 见到自定义长度，先把「它等于什么面积／什么距离」写出来，再回到熟题。 四、情境题的翻译。 位移型情境一律写成向量等式：「实际位移」=「主动位移」＋「干扰位移」。 若干扰与主动飞行的长度成正比（每单位长度叠加一个单位向量 ），则 ，两边取模得 ，先把 解出来。 五、新定义包装的充要条件。 要判「 是 的什么条件」，就把新运算的式子真的写开、因式分解，看它等价于哪几支。 ★ 分解出两支、而其中一支正是 ，则「 不能推出 、 能推出 」 —— 必要不充分。 例5（单选·★★★★☆） 设向量，定义一种向量运算，已知向量，，点在的图象上运动。点是函数图象上的动点，且满足（其中 为坐标原点），则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 变式5-1（单选·★★☆☆☆） 已知，都是非零向量，定义新运算，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 变式5-2（单选·★★★☆☆） 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法。假设二维空间中有两个点 ，， 为坐标原点，定义余弦相似度为 （其中 为向量 ， 的夹角），余弦距离为 。已知 ，，若 ， 的余弦距离为 ，则 = （ ） A. B. C. D. 变式5-3（单选·★★☆☆☆） 平面向量，， 在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则 = （ ） A. -5 B. 5 C. 1 D. -1 例6（单选·★★★★☆） 对任意两个非零向量，，定义新运算：，表示向量，的夹角。若非零向量，满足，向量，的夹角，且是整数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式6-1（单选·★★★★☆） 定义：""为向量与向量的"外积"，若向量与向量的夹角为、它的长度规定为。在中，若，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 变式6-2（单选·★★★★☆） 某社区使用无人机配送生活物资，配送站的位置为（单位：千米），小区的位置为、若无人机飞行过程中存在恒定风力干扰，对应位移偏移单位向量为，即无人机每主动飞行1千米，会额外叠加的偏移位移，目标位移对应的向量是无人机主动飞行对应的向量与风力偏移对应的向量之和.若无人机要从沿直线匀速精准到达，则其主动飞行对应的向量为（ ） A. B. C. D. 变式6-3（多选·★★★★☆） 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P。已知平面内点，点，将点B绕点A沿顺时针方向旋转得到点P，将点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点Q，则下列说法正确的是（ ） A. 向量 B. 向量在上的投影向量为 C. 若动点M满足且，则的最小值为 D. 若S是外接圆上的动点，则 四 新坐标系：斜坐标与仿射坐标 一、斜坐标的定义。 设 、 是夹角为 的两个单位向量，若 ，则称有序数对 为 的斜坐标（也叫仿射坐标、放射坐标）。 ★ 它是「用两组平行线给平面上的点编号」， 时退回直角坐标。 二、加减法逐分量。 基底相同，故 ，。 ★ 这一条与直角坐标完全一样 —— 容易让人误以为后面也一样，而错就错在这里。 三、长度公式。 。 时是 ； 时才退回 。 ★ 端点 与 的坐标差是 ，但它对应的实际向量是 ，长度是 ，不是 。 四、数量积公式。 。 于是垂直的判据是 ， 时为 。 ★ 所以「」在斜坐标下不是垂直的判据，这是本节最爱设的陷阱。 五、面积要乘 。 斜坐标平面上由基底向量张成的区域，其实际面积等于「坐标面积」乘 。 ★ 例如斜坐标下的圆 实际是一个椭圆，面积是 ；只算四分之一时同样要乘这个系数。 六、夹角公式。 。 ★ 三条公式（长度、数量积、夹角）用的是同一个交叉项，记住一个就能推出另两个。 例7（单选·★★★★☆） 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量。若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标。设，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 变式7-1（多选·★★★★☆） 如图，，是平面内相交成角的两条数轴，分别为轴，轴正方向上的单位向量。若，记，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若点，则 D. 若点，，则的最小值为 变式7-2（多选·★★★★☆） 如图，建立如下斜坐标系：设，是平面内相交成 角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若，则把有序实数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记作，则在斜坐标系中，下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为，则线段的长度为 B. 点满足，则的轨迹与轴，轴正半轴围成的区域面积小于 C. 点满足，则的最大值为 D. 定义点与点坐标距离为，平面上一点，若动点（，）满足：①；②，则点运动所形成的轨迹长为2 例8（解答·★★★★☆） 设、是平面内相交成角（）的两条数轴，，分别是与，正方向同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记。(1)在仿射坐标系中，若，求；(2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；(3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的取值范围。 变式8-1（解答·★★★★★） 如图所示，设，是平面内相交成角的两条轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为放射坐标系，若在放射坐标系下，，则把有序数对叫作向量的放射坐标，记为，若满足，则称为放射坐标系下的"完美向量".已知在放射坐标系下，，。 (1)求以及（用表示）；(2)求向量放射坐标；若时，直接写出两组"完美向量"的放射坐标；(3)设，对任意实数，恒成立，求的取值范围，求的最大值. 变式8-2（解答·★★★★★） 由平面内夹角为的两条数轴，构成的坐标系，称为“完美坐标系”，如图所示。设向量，分别为数轴，正方向上的单位向量，对于该平面内的向量，若，则实数对称为向量的“完美坐标”。 （1）已知向量，的“完美坐标”分别为，，判断命题“的充要条件是”是否正确？若命题正确，请给出证明；若命题不正确，请说明理由：（2）已知向量，的“完美坐标”分别为，，设函数。①若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；②若函数在区间内恰有4个不同的零点，求实数的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $ 平面向量的综合应用 平面向量 · 专题篇 一 平面图形中的向量关系判断 一、基底表示的系数和。 取一组基底 、，把目标向量写成 ，则 就是 在这组基下的坐标。 系数和 有确定的几何意义：直线 上恒有 ； 表示平行于 的直线， 越大，这条线离 越远（沿 、 那一侧）。 ★ 所以「求 的范围」=「求过 且平行于 的直线到 的有向距离」，极值一定出现在图形的顶点或边界与某条平行线的切点上。 二、数量积的两条拆法。 拆基底：把两个向量都写成基底的组合，展开后代入 、、 三个数。 拆中点：设 为 的中点，则 。 ★ 后一条是极化恒等式的推论，它把「两个动点的数量积」变成「一个点到定点的距离」，本节与下一节都要反复用。 三、四个向量求和。 若 是四边形 两条对角线的交点（即两对角线中点重合），则 。 ★ 于是形如 的条件，等价于 ，动点 的轨迹是一个圆 —— 这与第二节的入口完全一致。 四、多选题的判断顺序。 先算能直接算的：坐标、模、数量积；再用几何位置定范围：平行线、圆、边界；最后用极端位置验最大最小。 ★ 判「某个说法错误」时，找到一个反例就够：通常取图形的顶点，或让参数取 、取端点。 例1（多选·★★★★☆） 如图，在菱形中，，延长边至点，使得。动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则（ ） A. 当点在线段上移动时， B. 满足的点有且只有一个 C. 满足的点有两个 D. 最大值为3 【切入点】 沿菱形的边运动， 的值只由 落在哪条边、落在什么位置决定 —— 先取 、 为基，把 的系数算清楚，再逐条边看。 【关键】设 、。由「延长 至 且 」得 在 再往前走一格：。 于是 。记 、，则 ，而 正是 在基 下的坐标 ——菱形四个顶点是 、、、。 四条边逐条算： 上 、，得 ， 正确； 上 、，得 ； 上 、，得 ； 上 、，得 。 再看三个判断： 在 上只有 ，在 上还有 的中点，共两个点， 错； 在 上有中点、在 上有 ，共两个点， 正确；最大值 在 处取到， 正确。故选 ACD。 【易错】第一， 而不是 —— 「延长 至 」是 的顺序， 比 再远一格，方向是 。第二， 不等于 ： 那一份在基底下同时贡献 个 与 个 ，所以 。第三，判 错不能只看 一条边 —— 换一条边就多出一个点。 【答案】ACD 变式1-1（多选·★★★★☆） 在等腰中，，，记，，点、分别是线段、的中点，且点在线段上，，则下列说法正确的是（ ） A. 若点是线段中点，则 B. 的最大值为 C. 的最小值为0 D. 的最大值为 【切入点】、 都是中点， 在 上 —— 先把 与 算出来，再令 在 上的位置由一个参数控制。 【关键】由余弦定理，，故 ，即 ，。 取 、，设 （），则 、，。 项： 为 中点时 ，，正确。 项： 的最大值是 （ 时），不是 ，错误。 再算数量积：， 项：展开得 。 它在 上递减： 时取最小值 ，正确。 项：同一式子在 时取最大值 ，正确。故选 ACD。 【易错】第一， 要先用余弦定理定出 ，直接把边长当成 会满盘皆错。第二， 是用 表示的，而 已含 ，所以 而不是 。第三，，写成 会让数量积整体反号。 【答案】ACD 变式1-2（多选·★★★★☆） 在边长为5的正方形中，，则下列结论正确的是（ ） A. 若点在上，则 B. 的取值范围为 C. 若点在上，则的最小值为 D. 若，，则在上的投影向量为 【切入点】正方形是正交基底， 有现成的几何意义：直线 上恒等于 —— 四个选项其实都在问「 的取值」与「投影向量的系数」。 【关键】取 为原点、 与 为两轴，则 、，直线 的方程是 。 项： 在 上，即 的坐标满足 ，正确。 项： 是平面内任意一点， 可取任意实数； 只是「 在正方形内或边界上」时的范围，错误。 项： 在 上时 ，（ 取等），所以 ，正确。 项：，，。于是投影向量为 ，不是 ，错误。故选 AC。 【易错】第一， 项的范围只在「 被限制在正方形内」时成立，题干没有这个限制。第二，投影向量的系数是 ，分母是 的模的平方，不是 。第三，、 都不是单位向量，投影系数不能直接写成 。 【答案】AC 变式1-3（单选·★★★☆☆） 如图，在等边三角形ABC中，，点是靠近的三等分点，过的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，，则下列选项中不正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值是 【切入点】 在 上、、 在射线上 —— 两次三点共线（系数和为 ）就能把 推出来；题目问的是「不正确的」，逐个判断即可。 【关键】 靠近 的三等分点，即 ，故 ， 正确。 在射线 上、 在射线 上，由 、 得 。、、 三点共线，系数和为 ：，即 ， 正确。 由 得 ，展开为 ， 正确。 项：，，，故 ；，；，所以 ，不是 ， 不正确。故选 B。 【易错】第一， 的系数是「离哪个顶点近，哪个系数小」—— 靠近 ，所以 的系数是 。第二，、 在射线上， 的方向是同一个，系数取正，不需要加绝对值。第三， 的两个向量都以 为起点，要用 与 ，别拿 去算。 【答案】B 例2（多选·★★★★☆） 已知矩形中，、交于点，，，点是矩形所在平面内的一点，且满足，。则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最大值是为 C. 的最小值为 D. 的最大值为40 【切入点】四个向量都是「 指向顶点」，合起来正好是 指向中心的四倍 —— 先把条件翻译成 ， 的轨迹就是一个圆，再逐项判断。 【关键】 是矩形两条对角线的交点，所以 ，条件化为 ，即 在以 为圆心、 为半径的圆上。 项： 就是这个圆的半径，故 ，正确。 项：以 为原点、 与 为坐标轴，则 ，。由 得 、，所以 ，不是 ，错误。 项：用中点拆，记 为 的中点，；而 、，两式相减得 ，故最小值为 ，正确。 项：，最大值为 ，正确。故选 ACD。 【易错】第一， 要求 是对角线的中点，不能写成 。第二，、 要分别除以 与 —— 与 长度不同，不能一起除以同一个数。第三， 展开后常数项是「 的 减去 的 」，写成 会把最小值算成 。 【答案】ACD 变式2-1（多选·★★★★☆） 已知中，，点为边上的动点，满足（，为实数），则下列说法正确的有（ ） A. 的面积的最大值为 B. 若，则的最小值为 C. 若的面积为面积的，则 D. 当为中点时， 【切入点】两个条件都只说 、：一个给数量积，一个给差的模 —— 把差的模平方，立刻得到两个模的平方和，再逐个选项验证。 【关键】，两边平方得 ，其中 、，所以 。 项：记 为夹角，，，故 ， 正确。 项：夹角为 时 ，结合 得 。 在 上， 且 ，于是 ，取值范围是 ，最小值 ， 错。 项：面积比为 说明 ，于是 ， 而不是 ， 错。 项： 为 中点时 ，故 ， 正确。故选 AD。 【易错】第一， 就是 ，平方后才与 接上。第二， 项要用 消元，两个参数留在式子里算不出范围。第三，面积比对应的是 与 的比，而 是 的系数，两者要倒过来。 【答案】AD 变式2-2（多选·★★★★☆） 设平面向量的夹角为，若，且，则（ ） A. 当时，三点共线 B. 当时，平分 C. 当时，的最大值为2 D. 当时，的取值范围为 【切入点】四个选项都在问 的两个系数： 对应直线 ，「 的最值」与「 的范围」都要用 的方程。 【关键】，、。 项： 时 ，是 、 两点连线上的点，三点共线， 正确。 项：、 时 ，而 正是「单位向量 与 方向上的单位向量」之和，即角平分线方向， 正确。 项：。令 、把 代入，整理得 ；它有实数解要求 ，即 ，最大值是 ，不是 ， 错。 项：仍由 ，记 ，则 ，而 。 时 得 ； 时 得 ，故 ， 正确。故选 ABD。 【易错】第一， 的交叉项是 ，写成 会得到另一条曲线。第二， 项求最值必须消元后看判别式，代一两个特殊点只能否掉选项、证不出最大值。第三， 项要分 与 两支，只用一支会漏掉 。 【答案】ABD 变式2-3（多选·★★★☆☆） 已知在中，，点为线段的中点，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 若，且三点共线，则 【切入点】 由 定出、 是 中点 —— 所有向量都能用 、 表示；投影与三点共线各用一条公式。 【关键】。由 得 靠近 ：，于是 ，， 错。 为 中点，，故 ， 正确。 投影系数为 ，投影向量为 ， 正确。 项：设 ，与 对照得 、，两式相加并消去 ：，即 ， 正确。故选 BCD。 【易错】第一， 的两个系数是 与 —— 说明 离 近，写成 与 会让 、、 全错。第二，投影系数的分母是 。第三， 项的三点共线判据是「系数和为 」，但系数是 与 ，不是 、。 【答案】BCD 二 圆载体与动点轨迹 一、先认圆。 三种条件都指向圆：（到定点距离为定值）；（到两定点距离之比为定值， 时是阿波罗尼斯圆）；（用中点公式化成 的方程）。 ★ 认出来之后，圆心与半径都要写成具体数字（圆心常是某个定点或中点，半径由条件直接读出）。 二、圆上动点的参数表示。 圆心为 、半径为 时，。 要求某个线性式 的最值，先写成 ，再用 的振幅 得最值。 三、数量积走中点。 设 为 的中点，则 。 ★ 于是「求数量积的最值」=「求 到定点 的距离的平方」，再代「圆心到 的距离 半径」。 四、系数和的最值。 若 在一个圆上，且 （、 不共线），则 、 是 的坐标除以两条边的长， 是 的一次函数。 ★ 一次函数在圆上的最值：先把系数向量 写出来，最值 = 圆心处的值 半径 × 该向量的模。 五、定弦定角。 圆上两点 、 给定时， 与半径把圆心角定死：。 ★ 第三点 在圆上自由时， 的取值范围就是 —— 两个向量同向、反向时各取一端。 例3（填空·★★★★☆） 若点，，都在单位圆上，且，则的最小值为______。 【切入点】三点都在单位圆上， 先把圆心角定死；要求 ，就把 拆成 ，只剩 一个变量。 【关键】由 得 ，即 。 展开得 ，其中 ，故 。 、，故 （ 在圆上任意），所以最小值为 。 【易错】第一， 给出的是圆心角 ，不是「边长为 」。第二， 是负数，展开时符号丢了答案就差 。第三， 能取到 —— 与 反向时即可，所以最小值是 。 【答案】 变式3-1（单选·★★★☆☆） 已知三点在单位圆上运动，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】和例 1 是同一个模型（单位圆 ＋ 定弦），只是换成求 —— 先把「和向量」 的作用看清楚。 【关键】 给出 ，于是 ，即 。 展开得 ，即 。 、，故 ，所求范围为 ，选 A。 【易错】第一， 与 的展开只差一项（常数 与 的位置不同），别套错。第二， 是由 推出来的，不是默认成立。第三， 在圆上任意，两端都能取到，答案取闭区间。 【答案】A 变式3-2（填空·★★★★☆） 已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的取值范围是________。 【切入点】 说明 是直径 —— 、 关于圆心对称，三个向量的和里只剩 。 【关键】圆 的圆心是原点、半径 。由「直径所对的圆周角是直角」的逆， 过圆心，即 。 于是 。 给 ，所以 。 在半径 的圆上，它到定点 的距离介于 与 之间，故取值范围是 。 【易错】第一， 推出的是「 为直径」，不是「 是直角顶点就完事」。第二，三个向量的和是 ，写成 会多乘一倍。第三，最小值 能取到（ 取 ），答案要写闭区间。 【答案】 变式3-3（单选·★★★☆☆） 如图，已知正三角形的边长为2，以B为圆心的圆与直线相切，若点P是圆B上的动点，则的最大值是（ ）。 A. B. C. 4 D. 【切入点】 是定向量， 在圆上 —— 把 拆成 ，前半段是常数，后半段只由 与 的夹角决定。 【关键】正三角形边长为 ， 到直线 的距离为 ，这就是圆 的半径。 ，而 （ 与 同向时取等）。 所以最大值为 ，选 D。 【易错】第一， 与 的夹角是 ，不是 （ 是 与 的夹角）。第二，圆半径是 到 的距离 ，不是边长 。第三，取到最大值的 在圆上「离 最远」的那一侧，对应 与 同向。 【答案】D 例4（填空·★★★★☆） 在中，，，。为所在平面内的动点，且，若，给出下面四个结论：①的最大值为； ②的最小值为；③的最小值为； ④的最大值为。其中正确命题的序号是______。（写出所有正确命题的序号） 【切入点】 说明 在一个圆上，而这个圆又要求 用 、 表示 —— 建系、用参数 把两个量一起算出来最省事。 【关键】以 为原点、、 为坐标轴，则 、，。由 得 、。 于是 ，振幅为 ，故 —— ③ 正确，① 错误。 再算数量积：，振幅为 ，故取值范围是 —— ②、④ 都正确。 所以正确的是 ②③④。 【易错】第一，、 要分别除以 与 ， 的振幅是 而不是 。第二， 展开后的常数 来自 ，漏掉会算出别的区间。第三，题目要填的是序号，按从小到大写成「②③④」。 【答案】②③④ 变式4-1（单选·★★★☆☆） 在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上。若，则+的最大值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 2 【切入点】正交基下 就是「横坐标 ＋ 纵坐标的一半」—— 先求圆心与半径，再沿 方向找最远点。 【关键】、、、，直线 的方程是 。 到 的距离 ，这就是圆的半径。 ，在圆心 处的值是 ；方向向量 的模为 ，故最远再加 ，最大值为 ，选 A。 【易错】第一，圆的半径是「 到 的距离」，不是 的一半。第二，、 要分别除以 与 ，都除以同一个数会得到 之类的错值。第三，方向向量 与法向量 平行，模是 ，不是 。 【答案】A 变式4-2（单选·★★★★☆） 铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示.若图中正方形的边长为，圆的半径为，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】正方形与圆同心， 只与 的两个坐标之和有关 —— 圆上让「和」最大的点就是沿 方向的那个。 【关键】以 为原点，、 各长 ，圆心 ，半径 ，故 。 。由 得最大值 ，选 C。 【易错】第一，圆心在 而不是 —— 边长 的正方形中心在两格处。第二，两个坐标都要除以 ，只除一个会得 之类的错值。第三， 的最大值是 ，不是 。 【答案】C 变式4-3（填空·★★★☆☆） 已知点，分别是直线和圆上的动点，，则的最小值为____________。 【切入点】 是「 到 中点」的两倍 —— 问题变成求中点 到 的最小距离；而 在直线上、 在圆上，中点 的活动范围是一条「带」。 【关键】设 为 中点，则 ，。 由 得 ，而 ，所以 。 即 落在两条平行直线 与 之间。 到近的一条 的距离为 ，故 ，。 【易错】第一，， 是 的中点 —— 少了这个 会得到 。第二， 不是「直线上任一点」： 在单位圆上，让 能在垂直于直线的方向上平移 个单位（除以 后是半个）。第三，分母是 ，与直线 的分母 相差一倍。 【答案】 三 新运算、新概念与情境建模 一、读新定义的三步。 第一步，按定义算一个最简单的例子：取 、，把新运算算出来，看它是逐分量乘、逐分量加，还是别的。 第二步，把表达式整段展开成数量积、模、坐标、线性表示这四样；第三步，认出它的几何意义。 ★ 三步走完，旧题就回来了 —— 新定义题真正考的是「敢不敢先动手算」。 二、逐分量运算与数量积的区别。 的结果仍是向量； 的结果是数。 ★ 逐分量相乘的新运算，其「模」要按普通向量的模算：。 三、自定义「长度」的翻译。 题面若把 定义成一个新的「长度」，那它就是「以 、 为邻边的平行四边形的面积」，也就是 。 是「横纵坐标的绝对值之和」，它满足三角不等式，且 。 ★ 见到自定义长度，先把「它等于什么面积／什么距离」写出来，再回到熟题。 四、情境题的翻译。 位移型情境一律写成向量等式：「实际位移」=「主动位移」＋「干扰位移」。 若干扰与主动飞行的长度成正比（每单位长度叠加一个单位向量 ），则 ，两边取模得 ，先把 解出来。 五、新定义包装的充要条件。 要判「 是 的什么条件」，就把新运算的式子真的写开、因式分解，看它等价于哪几支。 ★ 分解出两支、而其中一支正是 ，则「 不能推出 、 能推出 」 —— 必要不充分。 例5（单选·★★★★☆） 设向量，定义一种向量运算，已知向量，，点在的图象上运动。点是函数图象上的动点，且满足（其中 为坐标原点），则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 是逐分量相乘，而 在 上、 又在另一条曲线上 —— 先把两个坐标的关系算出来，再消参。 【关键】设 ，则 ；，加上 得 。 即 、，消去 得 ，所以 。 正弦的取值范围是 ，故 的值域是 ，选 A。 【易错】第一， 的结果仍是向量，不是数量积。第二，消参时 的角要算准，写成 再展开才不会漏掉 。第三，问的是值域，端点都能取到 —— 闭区间，不是开区间。 【答案】A 变式5-1（单选·★★☆☆☆） 已知，都是非零向量，定义新运算，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【切入点】 的四项都是二次式，提公因式之后就能看出「比垂直多了哪一支」—— 新定义包装充要条件的标准套路。 【关键】前两项提 、后两项提 ：，即 。 所以 等价于 或 ；而 等价于 。 于是「」推不出「」（还有 那一支），反过来成立 —— 是必要不充分条件，选 B。 【易错】第一，分组提公因式是「前两项提 、后两项提 」，不是硬凑成两个括号。第二，判断方向时用「谁推谁」：结论能推出条件、条件推不出结论，叫必要不充分。第三，题干已说明都是非零向量，不必讨论零向量。 【答案】B 变式5-2（单选·★★★☆☆） 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法。假设二维空间中有两个点 ，， 为坐标原点，定义余弦相似度为 （其中 为向量 ， 的夹角），余弦距离为 。已知 ，，若 ， 的余弦距离为 ，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】「余弦相似度」的定义就是两个向量夹角的余弦，而 在单位圆上、 的模也是 —— 条件可以直接落到 上。 【关键】由余弦距离为 得 ，即 。 ，而 ，所以 。 所求 ，选 C。 【易错】第一，「余弦距离」是 减相似度，符号别丢。第二， 是关键，否则相似度还要除以两个模。第三，已知 时用 ，绕成 就多一步。 【答案】C 变式5-3（单选·★★☆☆☆） 平面向量，， 在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则 = （ ） A. -5 B. 5 C. 1 D. -1 【切入点】正方形网格就是坐标系 —— 把三个向量按格数读成坐标，题目立刻变成坐标运算。 【关键】每个小格边长为 ，读出 、、。 于是 ，，选 C。 【易错】第一， 指向右下，纵坐标是负的。第二， 的起点在 、终点在 ，差是 而不是 。第三，先算 再乘，分开算容易把 的符号弄反。 【答案】C 例6（单选·★★★★☆） 对任意两个非零向量，，定义新运算：，表示向量，的夹角。若非零向量，满足，向量，的夹角，且是整数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 的分子 正是 在 方向上的数量投影 —— 这个新运算是「投影长度除以 的模」，先把它认成旧东西。 【关键】按定义 。由 得 ，由 得 ，所以 。 于是 ，它是整数，只能等于 —— 即 ，得 。 再由 得 ，即 ，故 、。 最后 ，选 D。 【易错】第一， 不对称（分母是「被投影」的那一个）， 与 要分别展开。第二，「整数」这一步是全题的支点 —— 正是它把 卡成唯一的 。第三，两端都取不到（ 是开区间），答案的两端也开。 【答案】D 变式6-1（单选·★★★★☆） 定义：""为向量与向量的"外积"，若向量与向量的夹角为、它的长度规定为。在中，若，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】外积的长度是「以两向量为邻边的平行四边形面积」，也就是 —— 求它的最大值，就是求三角形面积的最大值。 【关键】记 、、。条件 平方得 ；另一条化为 ，平方得 。 两式相减消去 ：，即 ；回代又得 。 而 。令 ，代入整理得 。 所以 ，即外积的最大值为 ，选 D。（ 时 ， 在 内，取等可行。） 【易错】第一，外积的长度是平行四边形面积，等于 ，最后不再乘 就错。第二， 要先化成本节的形式：、。第三， 里 那一项要平方，漏平方就配不出完全平方。 【答案】D 变式6-2（单选·★★★★☆） 某社区使用无人机配送生活物资，配送站的位置为（单位：千米），小区的位置为、若无人机飞行过程中存在恒定风力干扰，对应位移偏移单位向量为，即无人机每主动飞行1千米，会额外叠加的偏移位移，目标位移对应的向量是无人机主动飞行对应的向量与风力偏移对应的向量之和.若无人机要从沿直线匀速精准到达，则其主动飞行对应的向量为（ ） A. B. C. D. 【切入点】「主动位移 ＋ 风力偏移 = 目标位移」，而偏移量与主动飞行的长度成正比 —— 设主动位移为 ，把这句话写成向量等式再取模。 【关键】，，。 两边取模：，其中 。移项时把 约掉，得 。 ，，故 ，偏移量为 。 所以 ，选 A。 【易错】第一，偏移量是 ，不是 —— 「每飞 千米叠一个 」。第二， 已是单位向量，不要再乘它的模。第三，取模时 两边各一个、正好约掉，剩下的是一次项，直接解出 。 【答案】A 变式6-3（多选·★★★★☆） 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P。已知平面内点，点，将点B绕点A沿顺时针方向旋转得到点P，将点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点Q，则下列说法正确的是（ ） A. 向量 B. 向量在上的投影向量为 C. 若动点M满足且，则的最小值为 D. 若S是外接圆上的动点，则 【切入点】题面直接给了旋转后的坐标公式 —— 先把 、 算出来，再逐项判（投影、和向量的模、外接圆）。 【关键】。顺时针转 ：，所以 项（）错。逆时针转 ：。 项：，，投影向量为 ，正确。 项： 且 ，代入得 ，，最小值为 ，正确。 项：，，故 是以 为直角顶点的直角三角形，外接圆半径等于斜边的一半 。设 为 中点，则 ，其模恒为 ，不是 ， 错。故选 BC。 【易错】第一，顺时针用 取负，两个坐标的符号一错， 就跑到另一侧。第二，投影向量的分母是 ，不是 。第三， 项要先认出 是直角三角形 —— 正好是勾股关系。 【答案】BC 四 新坐标系：斜坐标与仿射坐标 一、斜坐标的定义。 设 、 是夹角为 的两个单位向量，若 ，则称有序数对 为 的斜坐标（也叫仿射坐标、放射坐标）。 ★ 它是「用两组平行线给平面上的点编号」， 时退回直角坐标。 二、加减法逐分量。 基底相同，故 ，。 ★ 这一条与直角坐标完全一样 —— 容易让人误以为后面也一样，而错就错在这里。 三、长度公式。 。 时是 ； 时才退回 。 ★ 端点 与 的坐标差是 ，但它对应的实际向量是 ，长度是 ，不是 。 四、数量积公式。 。 于是垂直的判据是 ， 时为 。 ★ 所以「」在斜坐标下不是垂直的判据，这是本节最爱设的陷阱。 五、面积要乘 。 斜坐标平面上由基底向量张成的区域，其实际面积等于「坐标面积」乘 。 ★ 例如斜坐标下的圆 实际是一个椭圆，面积是 ；只算四分之一时同样要乘这个系数。 六、夹角公式。 。 ★ 三条公式（长度、数量积、夹角）用的是同一个交叉项，记住一个就能推出另两个。 例7（单选·★★★★☆） 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量。若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标。设，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【切入点】坐标给得清清楚楚，但两轴夹角是 —— 不能当直角坐标勾股，要走斜坐标的长度公式。 【关键】（坐标逐分量相加）， 时 ，故 ，选 B。 【易错】第一，直接勾股得 是本题最大的坑，选项 A 就是为它准备的。第二，交叉项系数是 ，所以补上的正好是 。第三，坐标相加仍然逐分量（基底没变），这一步与直角坐标一样。 【答案】B 变式7-1（多选·★★★★☆） 如图，，是平面内相交成角的两条数轴，分别为轴，轴正方向上的单位向量。若，记，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若点，则 D. 若点，，则的最小值为 【切入点】四个选项分别对应「加法」「数量积」「长度」「两点距离」—— 判据就一条：斜坐标下只有加减法能照抄直角坐标。 【关键】 项：基底相同，加法逐分量，正确。 项：数量积要带交叉项，，不是 ，错误。 项： 时 ，，正确。 项：、，坐标差为 （），，最小值是 （、 重合），不是 ，错误。故选 AC。 【易错】第一， 项是本题的核心陷阱 —— 时交叉项系数是 ，漏掉就判成正确。第二， 项的交叉项 ，不是 。第三， 项两个点的坐标差是 ，代长度公式时交叉项是 。 【答案】AC 变式7-2（多选·★★★★☆） 如图，建立如下斜坐标系：设，是平面内相交成 角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若，则把有序实数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记作，则在斜坐标系中，下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为，则线段的长度为 B. 点满足，则的轨迹与轴，轴正半轴围成的区域面积小于 C. 点满足，则的最大值为 D. 定义点与点坐标距离为，平面上一点，若动点（，）满足：①；②，则点运动所形成的轨迹长为2 【切入点】四个选项分别考长度、面积、最值、轨迹长度 —— 全都要用斜坐标的三条公式（长度、面积系数、坐标距离）。 【关键】 项： 时 ，正确。 项： 在斜坐标下是一个椭圆，半轴都是 ，实际面积 ；与两轴正半轴围成的部分占四分之一，为 ，它大于 （因为 ，而 ），错误。 项： 时令 、，则 ，故最大值为 ，正确。 项： 表示 落在以 、 为对角的「坐标矩形」内（、）；再由 得 ，即 。两条合起来是线段「 且 」，端点 与 。 它的实际长度：坐标差为 ，，故轨迹长为 ，正确。故选 ACD。 【易错】第一， 项的面积要乘 ，直接按 的四分之一算成 会判成正确。第二， 项的 是 ，振幅 而不是 。第三， 项的轨迹长度必须走斜坐标公式 —— 按直角坐标算会得 。 【答案】ACD 例8（解答·★★★★☆） 设、是平面内相交成角（）的两条数轴，，分别是与，正方向同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记。(1)在仿射坐标系中，若，求；(2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求；(3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的取值范围。 【切入点】三问都在同一件事上：把斜坐标里的「坐标运算」翻译成「带交叉项的实际运算」。第（1）问只考长度，第（2）问考夹角，第（3）问考数量积与范围。 【关键】第（1）问： 时 ，，故 。 第（2）问：记 。；又 、。由夹角为 得 ，解得 ，即 。 第（3）问：在 斜坐标下设 、（、）。由 得 。 ，故 、，于是 。 记 ，由约束得 ，代入得 。令 ，则 （ 取等），且 。 给出 ，故 （ 时取到）；又 ，故 （ 时趋近，取不到）。 所以 ，，。 【易错】第一，第（1）问若按直角坐标算会得 ，少了交叉项 。第二，第（2）问里 与 恰好相等（都是 ）—— 这是数据巧合，不能当成规律。第三，第（3）问的 坐标是「 与 的中点」， 的负号让 坐标为 ，符号一错范围就全偏。 【答案】；； 变式8-1（解答·★★★★★） 如图所示，设，是平面内相交成角的两条轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为放射坐标系，若在放射坐标系下，，则把有序数对叫作向量的放射坐标，记为，若满足，则称为放射坐标系下的"完美向量".已知在放射坐标系下，，。 (1)求以及（用表示）；(2)求向量放射坐标；若时，直接写出两组"完美向量"的放射坐标；(3)设，对任意实数，恒成立，求的取值范围，求的最大值. 【切入点】三问层层递进：第（1）问是斜坐标的长度与数量积；第（2）问是坐标运算加「完美向量」这个新定义；第（3）问把「恒成立」翻译成「最小值不小于 」。 【关键】第（1）问：；。 第（2）问：。当 时，完美向量要求 且 ，即 或 （取最小正的两个），故可取 与 。 第（3）问： 关于 的最小值是「 的端点到直线 的距离」，即 。其中 ，故最小值的平方为 。 恒成立要求 ，即 ，结合 得 。 又 ，它在 上递减，故最大值在 处取到：。 所以 、； 的放射坐标为 ，两组完美向量的放射坐标为 与 ；， 的最大值为 。 【易错】第一，第（1）问的数量积交叉项是 ，其中 ，符号别丢。第二，第（2）问「完美向量」要求两个坐标都满足同一个正弦方程，只解出一个就写 之类的错答案。第三，第（3）问的 是 的减函数，最大值取在 的上界处。 【答案】，； 的放射坐标为 ，两组完美向量的放射坐标为 与 ；， 的最大值为 变式8-2（解答·★★★★★） 由平面内夹角为的两条数轴，构成的坐标系，称为“完美坐标系”，如图所示。设向量，分别为数轴，正方向上的单位向量，对于该平面内的向量，若，则实数对称为向量的“完美坐标”。 （1）已知向量，的“完美坐标”分别为，，判断命题“的充要条件是”是否正确？若命题正确，请给出证明；若命题不正确，请说明理由：（2）已知向量，的“完美坐标”分别为，，设函数。①若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；②若函数在区间内恰有4个不同的零点，求实数的取值范围。 【切入点】第（1）问是「斜坐标下垂直的判据」，照数量积公式展开就知道错在哪；第（2）问先把 算出来，再用 换元，两小问都变成关于 的二次问题。 【关键】第（1）问： 斜坐标下 。所以垂直的充要条件是 ，而不是 ，命题不正确。 第（2）问先算 ：、，故 。 令 ，则 ，。 第（2）问①： 时 ，且 。不等式 等价于 。 记 ，，故 在 上递增，最大值 。存在 使不等式成立，即 。 第（2）问②： 时 ， 在这个区间上取遍 （每个值对应两个 ），而 只对应一个 、 取不到。 即 。两根之积为 ，故一正一负；要使 恰有 个零点，两个根都必须落在 内（每个根给两个 ）。 记 ，抛物线开口向上、两根异号，故只需 且 ： 得 ； 得 。 所以命题不正确，充要条件应为 ，原命题不正确；；。 【易错】第一，第（1）问不能只说「不正确」—— 要写出正确的充要条件，否则等于没答。第二，换元后 ，写成 会让 整体差一倍。第三，第（2）问②必须交代「 与 的对应个数」：区间内每个 对应两个 ，而 只对应一个 —— 这正是端点取开的原因。 【答案】命题不正确，充要条件应为 ；； 学科网（北京）股份有限公司 $