第1讲 平面向量之线性运算与三点共线专项训练-2027届高三数学一轮复习

平面向量之线性运算与三点共线 高三数学专题复习 · 向量第一讲 0 题型概说 本讲研究的问题：向量的线性运算——加、减、数乘三则运算的几何意义与代数表达，以及由此派生的两大高频问题：三点共线定系数（ 、、 共线  ）与图形中的线性表示（把目标向量用基底或已知向量表出，求系数或系数的组合如  ）。它是整个向量模块的地基：数量积、模与夹角的所有运算都建立在线性表示之上。 新高考的命题形态：以三角形、正方形、梯形等图形为载体，给定比例关系（ 、三等分点）或动点约束（  在线段/圆上），要求用基底表示目标向量、求系数和 、或由”恒成立/存在”反求参数；小题为主，四心（重心/外心/内心/垂心）的线性表示特征是高频交叉点。 识别信号总览： 题面特征 方法指向 单元 型动点轨迹，判断过哪个心 几何意义与系数恒等化 单元一 “用 表示 ”、求 三角形法则与共线定理 单元二 在线段/图形（含边界）上运动，求 范围 端点代入与线性规划思想 单元三 垂直/共线条件下的参数 共线定量式 与方程组 单元四 单元一 加减数乘与几何意义 1.1 识别特征 动点 满足 （  或  ），括号内是已知向量的组合；或给出 型模的最值、恒成立条件，求参数或最值。 1.2 结论与推导 结论 1.1（系数恒等化判轨迹）　动点式 （  ）表示 在从 出发沿 方向的射线上。判轨迹的关键是把括号内的组合化成与某个特征向量共线的形态：如 中由正弦定理 ，两系数相等，组合化为 （  为 中点）——轨迹过重心；若把系数换为 、 本身（两系数仍相等），组合同样落在中线方向；若两系数不相等（一般情形，如分别为 与  ），方向不再指向中线，需重新按共线定理判定落点。 推导：正弦定理 给出 （同乘 ），这是”系数恒等化”的常用恒等式；共线判心对照表——中线方向对应重心、角平分线方向（  ）对应内心、 对应重心、高线（顶点与对边垂足的连线）方向对应垂心。 结论 1.2（模的最值的几何意义）　 表示从 的终点到直线 （  的终点的轨迹）上动点的距离：最小值为 的终点到直线 的垂线段长，即 ，取等条件是 。“对任意实数 恒有 ”等价于该垂线段 （用判别式法可代数化： 的二次式恒非负）。 推导： 变动时 的终点扫过整条直线 ；点到直线距离垂线段最短。代数化： 对一切 成立，是关于 的二次不等式，开口向上恒成立等价于判别式 。 结论 1.3（四心坐标特征的线性表示）　设 （或以任一顶点为基点），四心有确定表示：重心 ；等腰三角形（  ）的内心/外心/垂心全在 的中线上，；一般三角形的外心与垂心满足 （  为外心时 为垂心）。求 的标准动作：建系（利用对称性选坐标轴）或点乘两个基底向量列方程组。 推导： 两边点乘 、 得两个方程，解出 （用 表示）；建系法与之等价，对称图形优先建系。 1.3 方法决策表 题面 动作 判过哪个心 系数恒等化后共线判心（结论 1.1） 最值/恒成立 垂线段几何意义或判别式（结论 1.2） 四心的 或 建系或点乘基底列方程（结论 1.3） 例题精讲 例 1（单选题） 已知 是平面上一定点，，， 是平面上不共线的三个点，动点 满足 ，，则点 的轨迹一定通过 的（  ） A．外心　　B．内心　　C．重心　　D．垂心 ●解析 由结论 1.1，关键是把括号内的组合化成与某条特征线共线的形态。由正弦定理 ，两边同乘 ，得 。设该公共值为 （  ），则括号内组合化为 。设 为 的中点，则 ，于是 ，即 。由 ，点 在射线 上，而三角形的重心在中线 上，故轨迹必过重心。 【答案】C 例 2（多项选择题） 中，，，点 满足 ，设 ，则（  ） A．若 为 的重心，则 B．若 为 的内心，则 C．若 为 的垂心，则 D．若 为 的外心，则 ●解析 由结论 1.3，等腰三角形各心均在底边中线上，建系后统一解 。设 中点为 ，以 为原点、， 所在直线为 轴， 轴建系，则 ，，，，。设 （各心均在 轴上），则 。由两向量横坐标得 ，即 ；代入纵坐标得 ，故 。于是只需读出各心的纵坐标 。 A 项：重心 ，，正确。 B 项：由结论 4.2 的等面积法，，内心到 的距离即 ，故 ，，正确。 C 项：垂心 满足 ：，，数量积为 ，得 ，，正确。 D 项：外心 满足 ：，得 ，，错误。 【答案】ABC 变式训练 变 1（单选题） 已知 ，，，，则下列结论错误的是（  ） A．若 是 的重心，则 　　B．若 是 的内心，则 C．若 是 的垂心，则 　　D．若 是 的外心，则 ●解析 先建立一个统一关系：设直线 与直线 交于点 ，，则 。由 在直线 上及结论 2.2，，即 ；再由平行线分线段成比例（或共线定理的定比意义）得 。于是四种心的比值都归结为”直线 交 于哪一点”。 A 项：重心与 的连线是中线， 为 中点，，正确。 B 项：内心与 的连线是角平分线，由角平分线定理 。计算得 ，，故 ，错误。 C 项： 在 轴上，垂心与 的连线即 上的高所在直线 ，交 于原点，，正确。 D 项：外心在 的中垂线 上。设 ，由 得 ，解得 ，即 。直线 ：由 与 得 ，令 得 ，，正确。 【答案】B 变 2（单选题） 已知点 为 所在平面内一点，，，若 ，则 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由 知 为 的外心，由圆心角定理，。设 ，以 为原点、， 所在直线为 轴， 轴建系，则 ，。由 得 ，再由 得 。 因 ，， 之间的劣弧落在第一象限，而圆周角 所对的弧恰为这条劣弧，故 位于优弧上。由结论 4.3，圆上的动点用参数角处理：记 的方向角为 ，则 ，且 ，。于是 ，其中 。该区间内 在 处取得最小值 ；而最大值 只在区间两个端点处出现，取不到，故 ，即 。 【答案】C 变 3（填空题） 在 中，，， 为 的外心，若 ，，，则 = ________。 ●解析 由正弦定理， 化为 ，记 ，，则 。由结论 4.2，对 两边分别点乘 与 ：外心在 中垂线上，取 中点 ，，故 ，同理 。 第一式：，其中 ，两边除以 ，得 ；第二式同理两边除以 ，得 。由第一式 ，代入第二式：，解得 ，，故 。 【答案】 变 4（填空题） 已知向量 ， 满足 ， 与 的夹角为 ，则当实数 变化时， 的最小值为 ________。 ●解析 由结论 1.2， 的终点扫过直线 （  为 ， 的公共起点）， 的最小值是 的终点到直线 的垂线段长，取等条件为 。设 ，，故垂线段长为 。 【答案】 变 5（填空题） 已知非零向量 ，， 满足 ，且对任意实数 ，。则 在 上的投影向量的模的最小值为 ________。 ●解析 设 （平面内 ， 垂直，可作为基底）。则 ，对任意 其最小值为 （取  ）。由恒成立条件得 。而 在 上的投影向量的模为 ，故其最小值为 。 【答案】 单元二 三点共线与定系数 2.1 识别特征 “用 表示 ”“已知 ，求 ”“，， 三点共线，求 ”——给定比例结构（ 、三等分点、 为 上一点）求线性表示的系数。 2.2 结论与推导 结论 2.1（三角形法则的链式代入）　线段比例全部化为向量式（ ； ），再沿”起点至终点”的路径逐段链式代入：，最后把中间向量（  ）用基底表出、合并系数。 推导：每一步只用 与数乘分配律；“中点结构”（对边中点）与”定比分点”式（  时  ）是两个最高频的中间件。 结论 2.2（三点共线定系数）　 在直线 上 ；对平面内任意点 ， 且 ，， 共线 。图形交点问题（两直线 与 交于  ）：把 分别沿两条直线表示（各带一个参数  ），由基底表示唯一性（同基底系数必相等）列方程组解出参数。 推导：平面向量基本定理——不共线基底 下的表示唯一，这是”比较系数法”的合法性来源； 由 的系数和恒为 直接读出。 结论 2.3（线性表示后的继续运算）　求得 后，常接：①模的最值——，结合面积/角度条件化为均值或二次函数；②数量积—— 逐项展开；③动点参数 的目标函数——设 （  ），目标化为 的二次函数求最值。 推导：线性表示把”几何位置”完全翻译为”基底的系数”，此后一切运算都是代数的；参数 （线段上动点）给出二次函数的闭区间，最值比较端点与顶点。 2.3 方法决策表 题面 动作 比例关系求表示 化向量式 + 链式代入（结论 2.1） 三点共线 / 交点参数 与比较系数（结论 2.2） 表示后的模/数量积 逐项展开化二次函数（结论 2.3） 例题精讲 例 3（填空题） 在 中，， 为 上一点，。记 ，，用 和 表示 = ________；若 ， 的面积为 ，则 的最小值为 ________。 ●解析 第一空由结论 2.1 链式代入：。代入 ，得 。 第二空由结论 2.3 化为基底数据的运算。面积条件：，得 ，从而 。于是 。由基本不等式，，等号当 且 ，即 ， 时成立。故 的最小值为 ， 的最小值为 。 【答案】； 例 4（填空题） 已知 中，点 为边 上一点，且 ，则 = ________（用 与 表示）；若点 为 内的一点，，满足 ，则 = ________。 ●解析 第一空由结论 2.1：。 第二空：由 得 ，。取 的中点 ，由中点公式 ；又 ，条件化为 ，即 在 的中垂线上。于是 。由 ，，展开得 。 【答案】； 变式训练 变 6（填空题） 在边长为 的正方形 中，点 在线段 上，且 。设 ，则 = ________。若点 在线段 上运动，点 为 的中点，则 的最小值为 ________。 ●解析 以 为原点、， 所在直线为 轴， 轴建系，则 ，，，，由 得 。 第一空：，，，由 得 ，，故 。 第二空由结论 2.3 参数化：设 ，，则 ， 为 中点，。于是 ，，数量积展开：。该二次函数的对称轴 ，且开口向上，故在 上单调递减，最小值在 处取得，为 。 【答案】； 变 7（多项选择题） 已知四边形 是正方形，延长 至 ，使 ，点 是线段 上的任意一点。设向量 ，则 的可能取值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 以 为原点、， 所在直线为 轴， 轴建系，设边长为 ，则 ，，，，。设 ，由 在对角线 上及结论 2.2， 且 。由 ，得 ，。于是 ，结合选项，，， 都在范围内， 不在。 【答案】ABC 变 8（多项选择题） 在正方形 中， 为 中点， 为线段 上的动点，，则下列结论正确的是（  ） A．当 为线段 的中点时，　　B． 的最大值为 C． 的取值范围为 　　D． 的取值范围为 ●解析 建系，设边长为 ：，，，，。设 ，，由 得 ，，即 ，。 A 项： 为 中点时 ，，正确。 B 项：，在 处取最大值 ，错误。 C 项：，，故 ，正确。 D 项：，错误。 【答案】AC 变 9（单选题） 在 中，，，，点 为 所在平面内一点，满足 ，其中 。当 取最小值时，则 =（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 先求基底数据：，故 。 再把 用基底表出：，代入条件得 ，即 ，。由结论 2.3 展开：。于是 ，在 处取最小值。此时 。 【答案】D 变 10（单选题） 已知在 中，， 边上的高为 ， 是 的内心，若 （  ），则 =（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 设 的中点为 ，由 知 ，，，。以 为原点、， 所在直线为 轴， 轴建系：，，。由结论 4.2 的等面积法求内切圆半径：；等腰三角形的内心在对称轴 上，故 ，，，。 由 ，比较纵坐标得 ，即 ；代入横坐标得 ，即 。故 。 【答案】A 单元三 图形中的线性表示与动点 3.1 识别特征 以正方形、矩形、菱形、梯形、等腰/直角三角形为载体，动点 在线段、对角线或整个图形（含边界）上运动，，求 （或  ）的取值范围；或判断”满足某系数和的点有几个”。 3.2 结论与推导 结论 3.1（建系读数法）　以图形顶点为原点、邻边为轴建系： 时 （正方形即 型）。动点在某边上时 或 为定值， 是一次函数；动点遍历整个图形（含边界）时 跑遍矩形， 的范围由四个端点角给出。 推导：坐标化后 与坐标一一对应（基底正交时即 等直读）；线性目标在矩形区域上的最值在顶点处取得——这是线性规划思想的直接应用。 结论 3.2（绕边一周的分段讨论）　动点沿多边形边绕行一周（按 、、、、 的顺序）：逐边写出 的表达式（每边一个一次函数），分段列出取值区间后取并集；“满足 的点的个数”= 与各段值域的交点计数。 推导：多边形边界是分段线性曲线，线性目标沿每段单调，故每段贡献一个区间；并集叠加后与水平线 的交点数即点数。 结论 3.3（共线结构的中点/重心迁移）　中点三角形（三边中点连成）与原三角形重心重合、面积比为 ；图形内一点 型条件：先移项化为 的标准形（用 回代），再读系数；后续三点共线用 。 推导：中点结构三次套用可证 、、 的重心与原三角形重心重合（将 、、 三式相加即得  ）；移项标准化是处理” 分 、 连线”型条件的统一入口。 3.3 方法决策表 题面 动作 动点在边上/图形内 建系读数 + 端点最值（结论 3.1） 绕边一周 / 点的个数 分段一次函数取并集（结论 3.2） 中点三角形 / 混合比例条件 标准化移项 + 重心迁移（结论 3.3） 例题精讲 例 5（单选题） 已知直角梯形 中，，，且 ，，点 是梯形 内（含边界）任意一点，设 （  ），则 的取值范围为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由结论 3.1 建系读数：以 为原点、， 所在直线为 轴， 轴建系，设 ，则 ，，，。设 ，则 ，故 ，，。当 跑遍梯形（含边界）时， 跑遍相应区域，线性目标的最值在顶点处取得：顶点 ，，， 对应的值分别为 ，，，。故 。 【答案】A 例 6（多项选择题） 在 和 中，点 ，， 分别为 ，， 的中点， 为 内一点（含边界），且 （  ），下列说法正确的是（  ） A． 和 的面积相等　　B． 和 的重心重合 C．延长 交 于点 ，则 　　D． 的最小值是 ●解析 A 项： 为 中点， 与 的底边 与 在同一直线上且长度相等，公共顶点 到该直线的距离相同，故面积相等，正确。 B 项：设 为平面内任意一点，由中点公式：，，。三式相加得 ，即 ，由结论 3.3，两三角形的重心（各自顶点向量和的三等分点）重合，正确。 C、D 项：建系 ，，，设出 ，， 的坐标，由中点关系联立方程组，解得 ，，。C 项：直线 的参数式为 ，令横坐标为零得 ，故 ，，错误。D 项：由 ， 的坐标即 ， 在 三个顶点处的值分别为 ，，，线性目标的最小值在顶点取得，为 ，正确。 【答案】ABD 变式训练 变 11（多项选择题） 在菱形 中，，延长边 至点 ，使得 。动点 从点 出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到 点，若 ，则（  ） A．当点 在线段 上移动时，　　B．满足 的点 有且只有一个 C．满足 的点 有两个　　D． 最大值为 ●解析 设菱形边长为 ，建系：，，，，，，。设 ，由 解得 ，，于是 。 由结论 3.2 绕边分段： 在 上时 ，，； 在 （不含  ）上时 ，，； 在 （不含  ）上时 ，，； 在 （不含 ， ）上时，设 分线段 的参数为 ，即 ，，，值域为 。 A 项： 在 上时 ，正确。B 项： 时， 段给出 即点 ， 段给出 一个点，， 段无解，共两个点，错误。C 项： 时， 段给出 一个点， 段给出 即点 ， 段的 对应 但该段不含 ，共两个点，正确。D 项：各段值域的并集中最大值 在点 处取得，正确。 【答案】ACD 变 12（多项选择题） 在边长为 的正方形 中，，则下列结论正确的是（  ） A．若点 在 上，则 　　B． 的取值范围为 C．若点 在 上，则 的最小值为 D．若 ，，则 在 上的投影向量为 ●解析 A 项： 在对角线 上，即 ，， 三点共线，由结论 2.2 得 ，正确。 B 项：建系 ，，，设 ，则 ，，。 在正方形内（含边界）时 ，，故 ，错误。 C 项： 时，，等号当 时成立，故 的最小值为 ，正确。 D 项：由 ，：，。投影向量为 ，错误。 【答案】AC 变 13（填空题） 已知 是 内一点，。若 ，，且 ，， 三点共线，则 的值为 ________；若 ，，向量 在向量 上的投影向量为 ，则 = ________。 ●解析 先把条件标准化（结论 3.3 的移项动作）：，，代入得 ，即 ，。 第一空：由 得 ，于是 。由 ，， 三点共线及结论 2.2，，解得 。 第二空：投影向量为 ，故 。由结论 2.3 展开：。 【答案】； 变 14（填空题） 在直角梯形 中，，，且 ，，对角线 与 交于点 ，点 满足 （  ），则 的取值范围是 ________。 ●解析 以 为原点、， 所在直线为 轴， 轴建系：，，，。由 且 ， 与 相似，相似比为 ，故 。由结论 2.1，；再由结论 2.3 逐项展开，。由 ，得取值范围为 。 【答案】 变 15（填空题） 在 中，，，。 为 所在平面内的动点，且 ，若 ，给出下面四个结论：① 的最大值为 ；② 的最小值为 ；③ 的最小值为 ；④ 的最大值为 。其中正确命题的序号是 ________（写出所有正确命题的序号）。 ●解析 以 为原点、， 所在直线为 轴， 轴建系：，，。，由结论 4.3 的参数化，设 ，。则 ，故 ，。 ，其中 ，，故 ：①的最大值应为 ，错误；③正确。 。展开并代入坐标：，，，故 ，其中 ，，故其取值范围为 ：②最小值 正确，④最大值 正确。 【答案】②③④ 单元四 综合与共线垂直参数 4.1 识别特征 模长计算、垂直求参的标准解答题；外心/内心的线性表示综合（  求比值）；数量积与轨迹条件混合（  判轨迹）；四边形中线性表示与垂直条件的联立。 4.2 结论与推导 结论 4.1（模与垂直的规范流程）　 逐项展开；垂直即数量积为零， 与 垂直给出关于 的一次方程。这一套是向量解答题的书写模板：先算基底数据（  ），再展开目标。 推导：完全平方展开与分配律；“先列基底数据表再展开”可杜绝运算跳步错误。 结论 4.2（心的线性表示比值）　外心： 时，点乘 得 （外心到两端等距， ），同理点乘 得第二个方程，解出 或其比。内心：等面积法求内切圆半径与内心坐标（等腰三角形内心在对称轴上）。 推导：外心性质 由 平方相减得到——这是”外心+线性表示”题的核心等式。 结论 4.3（数量积条件定轨迹）　 型：移项配因式 ，即 ， 在以 为直径的圆上。轨迹定出后，一切”目标最值”转化为圆上动点的参数化（设  ）问题。 推导：减向量配对 是识别直角的标准动作（同起点的两条向量垂直）；圆上动点问题统一用参数角处理，系数 随之化为 的组合，用辅助角求范围。 4.3 方法决策表 题面 动作 模长 / 垂直求参 基底数据表 + 展开（结论 4.1） 外心/内心的线性表示比值 点乘两基底列方程（结论 4.2） 数量积相等定轨迹 减向量配对判直角 + 参数化（结论 4.3） 例题精讲 例 7（解答题） 已知向量 ，，若 ，， 与 的夹角为 。（1）求 ；（2）当 为何值时，向量 与向量 互相垂直？ ●解析 先列基底数据表：，，。 （1）由结论 4.1 展开：，故 。 （2）垂直即数量积为零：，解得 。故当 时，两向量互相垂直。 【答案】（1）；（2） 例 8（多项选择题） 已知 中，，点 为边 上的动点，满足 （ ， 为实数），则下列说法正确的有（  ） A． 的面积的最大值为 　　B．若 ，则 的最小值为 C．若 的面积为 面积的 ，则 　　D．当 为 中点时， ●解析 记 ，。由 ，，平方得 ，故 。 A 项：。由 得 ，等号当 时成立，故 ，正确。 B 项： 时 ，即 ，结合 得 ， 为等边三角形。 在 上，由结论 2.2，，，。展开：，最小值为 ，错误。 C 项： 在 上时 ， 与 同高，面积比等于 。由 及 得 ，错误。 D 项： 为 中点时 ，，故 ，正确。 【答案】AD 变式训练 变 16（填空题） 已知点 是 的外心，直线 与线段 交于点 。若 ，，，则 = ________。 ●解析 由 ， 得 ， 为等腰三角形。以 为原点、 所在直线为 轴建系：，，，设 （  ）。由结论 1.3 的建系思路与结论 4.2 的外心性质列方程组。 由 ：，即 。外心 在 的中垂线 上，设 。由 展开得 ，结合前式得 ，即 。又 ，， 三点共线，直线 的斜率为 ，故 ，即 。两式联立：，得 ；与 联立得 ，由 得 ，。于是 ，。 【答案】 变 17（填空题） 在矩形 中，，，，点 是平面 内的动点，且 ，则 = ________；若 ，则 的最小值为 ________。 ●解析 第一空由结论 4.3 的减向量配对： 即 ，故 ，（  在以 为直径的圆上）。 第二空：建系 ，，，，，圆心 ，半径 ，设 。第一个模：，其模为 。第二个模：，其中 在线段 上。故该模是 到定点 的距离，最小值为 到圆的距离 （  在圆外： ）。于是原式的最小值为 ，记两个被开方数为 ，，只需证 。当 时，；当 时，两边平方，只需 ，作差可得 ，故不等式成立。等号当且仅当 （此时 ，， 取线段 与圆的交点）时成立，故最小值为 。 【答案】； 变 18（填空题） 在四边形 中，，，，且 ，则 = ________。 ●解析 由 知 。以 为原点、 所在直线为 轴建系：，，，，。则 ，点 。 由 ：，即 ；由 ：，即 。两式相减，，得 ，故 。 【答案】 变 19（填空题） 在平面四边形 中，，，，点 在边 （含端点）上运动，设 ，则 的取值范围是 ________。 ●解析 以 为原点、， 所在直线为 轴， 轴建系，设 ，，则 ，，，，，。设 （  ），则 。由 ，得 ，，故 。 【答案】 变 20（单选题） 在平面直角坐标系中，已知 为坐标原点，，，，，且 ，则 的最大值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 先定形：，夹角为 。设 ，则 在与 成 角、模为 的方向上： 或 ，均不超过 ；而 。故 ，，两个绝对值直接去掉，原式化为 。 由结论 4.1：，。由数量积的定义，，故原式 。等号当 与 反向时取得：此时由 可解得 ，，均小于 ，去绝对值的过程依然成立。故最大值为 。 【答案】B 学科网（北京）股份有限公司 $ 平面向量之线性运算与三点共线 高三数学专题复习 · 向量第一讲 0 题型概说 本讲研究的问题：向量的线性运算——加、减、数乘三则运算的几何意义与代数表达，以及由此派生的两大高频问题：三点共线定系数（ 、、 共线  ）与图形中的线性表示（把目标向量用基底或已知向量表出，求系数或系数的组合如  ）。它是整个向量模块的地基：数量积、模与夹角的所有运算都建立在线性表示之上。 新高考的命题形态：以三角形、正方形、梯形等图形为载体，给定比例关系（ 、三等分点）或动点约束（  在线段/圆上），要求用基底表示目标向量、求系数和 、或由”恒成立/存在”反求参数；小题为主，四心（重心/外心/内心/垂心）的线性表示特征是高频交叉点。 识别信号总览： 题面特征 方法指向 单元 型动点轨迹，判断过哪个心 几何意义与系数恒等化 单元一 “用 表示 ”、求 三角形法则与共线定理 单元二 在线段/图形（含边界）上运动，求 范围 端点代入与线性规划思想 单元三 垂直/共线条件下的参数 共线定量式 与方程组 单元四 单元一 加减数乘与几何意义 1.1 识别特征 动点 满足 （  或  ），括号内是已知向量的组合；或给出 型模的最值、恒成立条件，求参数或最值。 1.2 结论与推导 结论 1.1（系数恒等化判轨迹）　动点式 （  ）表示 在从 出发沿 方向的射线上。判轨迹的关键是把括号内的组合化成与某个特征向量共线的形态：如 中由正弦定理 ，两系数相等，组合化为 （  为 中点）——轨迹过重心；若把系数换为 、 本身（两系数仍相等），组合同样落在中线方向；若两系数不相等（一般情形，如分别为 与  ），方向不再指向中线，需重新按共线定理判定落点。 推导：正弦定理 给出 （同乘 ），这是”系数恒等化”的常用恒等式；共线判心对照表——中线方向对应重心、角平分线方向（  ）对应内心、 对应重心、高线（顶点与对边垂足的连线）方向对应垂心。 结论 1.2（模的最值的几何意义）　 表示从 的终点到直线 （  的终点的轨迹）上动点的距离：最小值为 的终点到直线 的垂线段长，即 ，取等条件是 。“对任意实数 恒有 ”等价于该垂线段 （用判别式法可代数化： 的二次式恒非负）。 推导： 变动时 的终点扫过整条直线 ；点到直线距离垂线段最短。代数化： 对一切 成立，是关于 的二次不等式，开口向上恒成立等价于判别式 。 结论 1.3（四心坐标特征的线性表示）　设 （或以任一顶点为基点），四心有确定表示：重心 ；等腰三角形（  ）的内心/外心/垂心全在 的中线上，；一般三角形的外心与垂心满足 （  为外心时 为垂心）。求 的标准动作：建系（利用对称性选坐标轴）或点乘两个基底向量列方程组。 推导： 两边点乘 、 得两个方程，解出 （用 表示）；建系法与之等价，对称图形优先建系。 1.3 方法决策表 题面 动作 判过哪个心 系数恒等化后共线判心（结论 1.1） 最值/恒成立 垂线段几何意义或判别式（结论 1.2） 四心的 或 建系或点乘基底列方程（结论 1.3） 例题精讲 例 1（单选题） 已知 是平面上一定点，，， 是平面上不共线的三个点，动点 满足 ，，则点 的轨迹一定通过 的（  ） A．外心　　B．内心　　C．重心　　D．垂心 ●解析 由结论 1.1，关键是把括号内的组合化成与某条特征线共线的形态。由正弦定理 ，两边同乘 ，得 。设该公共值为 （  ），则括号内组合化为 。设 为 的中点，则 ，于是 ，即 。由 ，点 在射线 上，而三角形的重心在中线 上，故轨迹必过重心。 例 2（多项选择题） 中，，，点 满足 ，设 ，则（  ） A．若 为 的重心，则 B．若 为 的内心，则 C．若 为 的垂心，则 D．若 为 的外心，则 ●解析 由结论 1.3，等腰三角形各心均在底边中线上，建系后统一解 。设 中点为 ，以 为原点、， 所在直线为 轴， 轴建系，则 ，，，，。设 （各心均在 轴上），则 。由两向量横坐标得 ，即 ；代入纵坐标得 ，故 。于是只需读出各心的纵坐标 。 A 项：重心 ，，正确。 B 项：由结论 4.2 的等面积法，，内心到 的距离即 ，故 ，，正确。 C 项：垂心 满足 ：，，数量积为 ，得 ，，正确。 D 项：外心 满足 ：，得 ，，错误。 变式训练 变 1（单选题） 已知 ，，，，则下列结论错误的是（  ） A．若 是 的重心，则 　　B．若 是 的内心，则 C．若 是 的垂心，则 　　D．若 是 的外心，则 变 2（单选题） 已知点 为 所在平面内一点，，，若 ，则 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 3（填空题） 在 中，，， 为 的外心，若 ，，，则 = ________。 变 4（填空题） 已知向量 ， 满足 ， 与 的夹角为 ，则当实数 变化时， 的最小值为 ________。 变 5（填空题） 已知非零向量 ，， 满足 ，且对任意实数 ，。则 在 上的投影向量的模的最小值为 ________。 单元二 三点共线与定系数 2.1 识别特征 “用 表示 ”“已知 ，求 ”“，， 三点共线，求 ”——给定比例结构（ 、三等分点、 为 上一点）求线性表示的系数。 2.2 结论与推导 结论 2.1（三角形法则的链式代入）　线段比例全部化为向量式（ ； ），再沿”起点至终点”的路径逐段链式代入：，最后把中间向量（  ）用基底表出、合并系数。 推导：每一步只用 与数乘分配律；“中点结构”（对边中点）与”定比分点”式（  时  ）是两个最高频的中间件。 结论 2.2（三点共线定系数）　 在直线 上 ；对平面内任意点 ， 且 ，， 共线 。图形交点问题（两直线 与 交于  ）：把 分别沿两条直线表示（各带一个参数  ），由基底表示唯一性（同基底系数必相等）列方程组解出参数。 推导：平面向量基本定理——不共线基底 下的表示唯一，这是”比较系数法”的合法性来源； 由 的系数和恒为 直接读出。 结论 2.3（线性表示后的继续运算）　求得 后，常接：①模的最值——，结合面积/角度条件化为均值或二次函数；②数量积—— 逐项展开；③动点参数 的目标函数——设 （  ），目标化为 的二次函数求最值。 推导：线性表示把”几何位置”完全翻译为”基底的系数”，此后一切运算都是代数的；参数 （线段上动点）给出二次函数的闭区间，最值比较端点与顶点。 2.3 方法决策表 题面 动作 比例关系求表示 化向量式 + 链式代入（结论 2.1） 三点共线 / 交点参数 与比较系数（结论 2.2） 表示后的模/数量积 逐项展开化二次函数（结论 2.3） 例题精讲 例 3（填空题） 在 中，， 为 上一点，。记 ，，用 和 表示 = ________；若 ， 的面积为 ，则 的最小值为 ________。 ●解析 第一空由结论 2.1 链式代入：。代入 ，得 。 第二空由结论 2.3 化为基底数据的运算。面积条件：，得 ，从而 。于是 。由基本不等式，，等号当 且 ，即 ， 时成立。故 的最小值为 ， 的最小值为 。 例 4（填空题） 已知 中，点 为边 上一点，且 ，则 = ________（用 与 表示）；若点 为 内的一点，，满足 ，则 = ________。 ●解析 第一空由结论 2.1：。 第二空：由 得 ，。取 的中点 ，由中点公式 ；又 ，条件化为 ，即 在 的中垂线上。于是 。由 ，，展开得 。 变式训练 变 6（填空题） 在边长为 的正方形 中，点 在线段 上，且 。设 ，则 = ________。若点 在线段 上运动，点 为 的中点，则 的最小值为 ________。 变 7（多项选择题） 已知四边形 是正方形，延长 至 ，使 ，点 是线段 上的任意一点。设向量 ，则 的可能取值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 8（多项选择题） 在正方形 中， 为 中点， 为线段 上的动点，，则下列结论正确的是（  ） A．当 为线段 的中点时，　　B． 的最大值为 C． 的取值范围为 　　D． 的取值范围为 变 9（单选题） 在 中，，，，点 为 所在平面内一点，满足 ，其中 。当 取最小值时，则 =（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 10（单选题） 已知在 中，， 边上的高为 ， 是 的内心，若 （  ），则 =（  ） A．　　B．　　C．　　D． 单元三 图形中的线性表示与动点 3.1 识别特征 以正方形、矩形、菱形、梯形、等腰/直角三角形为载体，动点 在线段、对角线或整个图形（含边界）上运动，，求 （或  ）的取值范围；或判断”满足某系数和的点有几个”。 3.2 结论与推导 结论 3.1（建系读数法）　以图形顶点为原点、邻边为轴建系： 时 （正方形即 型）。动点在某边上时 或 为定值， 是一次函数；动点遍历整个图形（含边界）时 跑遍矩形， 的范围由四个端点角给出。 推导：坐标化后 与坐标一一对应（基底正交时即 等直读）；线性目标在矩形区域上的最值在顶点处取得——这是线性规划思想的直接应用。 结论 3.2（绕边一周的分段讨论）　动点沿多边形边绕行一周（按 、、、、 的顺序）：逐边写出 的表达式（每边一个一次函数），分段列出取值区间后取并集；“满足 的点的个数”= 与各段值域的交点计数。 推导：多边形边界是分段线性曲线，线性目标沿每段单调，故每段贡献一个区间；并集叠加后与水平线 的交点数即点数。 结论 3.3（共线结构的中点/重心迁移）　中点三角形（三边中点连成）与原三角形重心重合、面积比为 ；图形内一点 型条件：先移项化为 的标准形（用 回代），再读系数；后续三点共线用 。 推导：中点结构三次套用可证 、、 的重心与原三角形重心重合（将 、、 三式相加即得  ）；移项标准化是处理” 分 、 连线”型条件的统一入口。 3.3 方法决策表 题面 动作 动点在边上/图形内 建系读数 + 端点最值（结论 3.1） 绕边一周 / 点的个数 分段一次函数取并集（结论 3.2） 中点三角形 / 混合比例条件 标准化移项 + 重心迁移（结论 3.3） 例题精讲 例 5（单选题） 已知直角梯形 中，，，且 ，，点 是梯形 内（含边界）任意一点，设 （  ），则 的取值范围为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由结论 3.1 建系读数：以 为原点、， 所在直线为 轴， 轴建系，设 ，则 ，，，。设 ，则 ，故 ，，。当 跑遍梯形（含边界）时， 跑遍相应区域，线性目标的最值在顶点处取得：顶点 ，，， 对应的值分别为 ，，，。故 。 例 6（多项选择题） 在 和 中，点 ，， 分别为 ，， 的中点， 为 内一点（含边界），且 （  ），下列说法正确的是（  ） A． 和 的面积相等　　B． 和 的重心重合 C．延长 交 于点 ，则 　　D． 的最小值是 ●解析 A 项： 为 中点， 与 的底边 与 在同一直线上且长度相等，公共顶点 到该直线的距离相同，故面积相等，正确。 B 项：设 为平面内任意一点，由中点公式：，，。三式相加得 ，即 ，由结论 3.3，两三角形的重心（各自顶点向量和的三等分点）重合，正确。 C、D 项：建系 ，，，设出 ，， 的坐标，由中点关系联立方程组，解得 ，，。C 项：直线 的参数式为 ，令横坐标为零得 ，故 ，，错误。D 项：由 ， 的坐标即 ， 在 三个顶点处的值分别为 ，，，线性目标的最小值在顶点取得，为 ，正确。 变式训练 变 11（多项选择题） 在菱形 中，，延长边 至点 ，使得 。动点 从点 出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到 点，若 ，则（  ） A．当点 在线段 上移动时，　　B．满足 的点 有且只有一个 C．满足 的点 有两个　　D． 最大值为 变 12（多项选择题） 在边长为 的正方形 中，，则下列结论正确的是（  ） A．若点 在 上，则 　　B． 的取值范围为 C．若点 在 上，则 的最小值为 D．若 ，，则 在 上的投影向量为 变 13（填空题） 已知 是 内一点，。若 ，，且 ，， 三点共线，则 的值为 ________；若 ，，向量 在向量 上的投影向量为 ，则 = ________。 变 14（填空题） 在直角梯形 中，，，且 ，，对角线 与 交于点 ，点 满足 （  ），则 的取值范围是 ________。 变 15（填空题） 在 中，，，。 为 所在平面内的动点，且 ，若 ，给出下面四个结论：① 的最大值为 ；② 的最小值为 ；③ 的最小值为 ；④ 的最大值为 。其中正确命题的序号是 ________（写出所有正确命题的序号）。 单元四 综合与共线垂直参数 4.1 识别特征 模长计算、垂直求参的标准解答题；外心/内心的线性表示综合（  求比值）；数量积与轨迹条件混合（  判轨迹）；四边形中线性表示与垂直条件的联立。 4.2 结论与推导 结论 4.1（模与垂直的规范流程）　 逐项展开；垂直即数量积为零， 与 垂直给出关于 的一次方程。这一套是向量解答题的书写模板：先算基底数据（  ），再展开目标。 推导：完全平方展开与分配律；“先列基底数据表再展开”可杜绝运算跳步错误。 结论 4.2（心的线性表示比值）　外心： 时，点乘 得 （外心到两端等距， ），同理点乘 得第二个方程，解出 或其比。内心：等面积法求内切圆半径与内心坐标（等腰三角形内心在对称轴上）。 推导：外心性质 由 平方相减得到——这是”外心+线性表示”题的核心等式。 结论 4.3（数量积条件定轨迹）　 型：移项配因式 ，即 ， 在以 为直径的圆上。轨迹定出后，一切”目标最值”转化为圆上动点的参数化（设  ）问题。 推导：减向量配对 是识别直角的标准动作（同起点的两条向量垂直）；圆上动点问题统一用参数角处理，系数 随之化为 的组合，用辅助角求范围。 4.3 方法决策表 题面 动作 模长 / 垂直求参 基底数据表 + 展开（结论 4.1） 外心/内心的线性表示比值 点乘两基底列方程（结论 4.2） 数量积相等定轨迹 减向量配对判直角 + 参数化（结论 4.3） 例题精讲 例 7（解答题） 已知向量 ，，若 ，， 与 的夹角为 。（1）求 ；（2）当 为何值时，向量 与向量 互相垂直？ ●解析 先列基底数据表：，，。 （1）由结论 4.1 展开：，故 。 （2）垂直即数量积为零：，解得 。故当 时，两向量互相垂直。 例 8（多项选择题） 已知 中，，点 为边 上的动点，满足 （ ， 为实数），则下列说法正确的有（  ） A． 的面积的最大值为 　　B．若 ，则 的最小值为 C．若 的面积为 面积的 ，则 　　D．当 为 中点时， ●解析 记 ，。由 ，，平方得 ，故 。 A 项：。由 得 ，等号当 时成立，故 ，正确。 B 项： 时 ，即 ，结合 得 ， 为等边三角形。 在 上，由结论 2.2，，，。展开：，最小值为 ，错误。 C 项： 在 上时 ， 与 同高，面积比等于 。由 及 得 ，错误。 D 项： 为 中点时 ，，故 ，正确。 变式训练 变 16（填空题） 已知点 是 的外心，直线 与线段 交于点 。若 ，，，则 = ________。 变 17（填空题） 在矩形 中，，，，点 是平面 内的动点，且 ，则 = ________；若 ，则 的最小值为 ________。 变 18（填空题） 在四边形 中，，，，且 ，则 = ________。 变 19（填空题） 在平面四边形 中，，，，点 在边 （含端点）上运动，设 ，则 的取值范围是 ________。 变 20（单选题） 在平面直角坐标系中，已知 为坐标原点，，，，，且 ，则 的最大值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． 学科网（北京）股份有限公司 $