平面向量 第4讲 向量的最值与范围 基础专项训练-2027届高三数学一轮复习

向量的最值与范围 先平方、极化恒等式与图形中的动点 模的最值：先平方 求模的最值，第一条路是「先平方」。，所以把目标式平方以后，出现的都是两个模的平方与一个数量积；再把数量积用基本不等式 换成模，就得到一个只含模的不等式，最值随之出现。 第二条路是「几何解释」，通常更快。 就是两个向量终点之间的距离。所以当其中一个向量的终点固定、另一个的终点在一个圆上时，距离的最值就是「圆心到定点的距离，加减半径」。这条结论的依据正是三角不等式：，等号在两者同向或反向时取到。 还有一类题给的是「两个模的和等于常数」，比如 。这正是椭圆的定义：动点到两个定点的距离之和为定值，轨迹是以这两个定点的终点为焦点、长轴长为 的椭圆。记住它的「中心」是两焦点的中点、「短半轴」满足 ，求模的范围时直接用这两条即可。 最后提醒一件事：算出的最值要能取到。用不等式放缩得到的上界，往往需要「两个向量同向」或「反向」这类附加条件；条件不满足时，那个数只是上界而不是最大值。所以每一步放缩之后，都顺手说一句「等号在什么情况下成立」，这个习惯能挡掉一大半的错。另外，两条路常常可以互相印证：用不等式算出一个数之后，再想一下它对应的是哪两张图重合的位置，两者对得上，答案才算稳。 例1（单选·★★☆☆☆） 已知向量，满足，，则的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 变式1-1（填空·★★★☆☆） 已知向量满足，则的取值范围为____________． 变式1-2（单选·★★★☆☆） 已知向量满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例2（单选·★★☆☆☆） 已知向量，，向量满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式2-1（填空·★★★☆☆） 已知点，分别是直线和圆上的动点，，则的最小值为____________. 例3（单选·★★★☆☆） 平面内三个向量，，满足，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 变式3-1（填空·★★☆☆☆） 已知平面向量，，，若，则的最小值为_______. 数量积的最值：极化恒等式与投影 数量积的最值有一条主力恒等式，值得先自己推一遍。设 是线段 的中点，则 。推导只用一次「拆成中点」：、，相乘后交叉项抵消，剩下的正是上式。 这条式子的好处是把「两个向量的数量积」换成了「一个点到定点的距离平方减去常数」。于是当 在一个圆上运动时，最小值就是「圆心到 的距离减去半径」的平方再减常数；当 在一条直线上时，最小值就是「 到该直线的距离」的平方再减常数。两类问题的答案都只差一个「量距离」的动作。 第二条路是投影。 在 方向上的投影，所以只要把 放在坐标轴上， 就只由 的一个坐标决定。动点若在圆上，那个坐标的取值范围就是「中心加减半径」；这一步常常比设两个坐标再配方更短。 第三个办法是「设参数 + 二次函数」，最通用也最笨。把动点用一个参数表示出来，把目标写成这个参数的二次式，再看参数允许的范围，求二次式在区间上的最值。★ 这里最常见的错是忘了看参数范围：配方得到的顶点若落在允许范围之外，最值只能在端点取，直接读顶点就错了。所以每写下一个二次式，紧接着就把「参数的允许范围」写在旁边，再判断顶点落不落在里面 —— 这一步只要多写一行，却常常决定整道题的对错。 例4（单选·★★★☆☆） 已知线段，点满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式4-1（单选·★★★☆☆） 已知菱形的边长为2，，点在线段上，点在线段上，，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. －2 变式4-2（单选·★★★☆☆） 中，，则的最大值为（ ） A. 6 B. C. 12 D. 例5（单选·★★★☆☆） 已知三点在单位圆上运动，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式5-1（单选·★★★☆☆） 已知点坐标为，直线与圆交于两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式5-2（单选·★★★☆☆） 已知，且满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 例6（填空·★★★☆☆） 键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要.有机物萘可以用如图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为如图所示的图形.已知六边形与六边形为全等的正六边形，且，点为正六边形内的一点（包含边界），则的取值范围是__________. 变式6-1（填空·★★★☆☆） 已知是边长为2的等边三角形，点D在边上，且，则 = ______；若平面内动点P满足，则的最小值为_____． 综合最值：图形、动点与轨迹 到了综合题，目标不再只是模或数量积，而可能是面积、距离、比值，甚至是像 这样的代数式。但路数没变，还是三条。第一条是建系设参：把动点用一个参数表示，把目标写成参数（常常是二次式）的函数，再看参数的允许范围求最值。这是最通用的一条，绝大多数题都能走通。 第二条是轨迹识别，能走通时最快。题目说「某动点到定点的距离等于定值」，它就在一个圆上；说「到两定点距离相等」，它就在中垂线上；说「到两定点距离之和为定值」，它就在椭圆上。把轨迹认出来以后，「到某条直线的距离的最大值」这类问题就变成「圆心到直线的距离加减半径」，一步就能读出答案。 第三条是面积与比值的转化。三角形被一个内点分成三块时，三块面积之和等于总面积，这条等式常常就是把两个自由变量变成一个有约束问题的关键；再配合基本不等式或二次函数，最值就出来了。用得上它的题有一个特征：条件里出现了「面积分别为 …」这样的三个量。 最后一条经验：看题目给的数字，猜它想让你用哪条路。给的是两个定点加一个定长，多半用轨迹；给的是一个内点加三块面积，多半用面积等式；给的是一堆坐标或角度，那就直接建系。数字其实常常就是提示，顺着它走，比盲目设参数少走很多弯路。 例7（单选·★★★☆☆） 在平面直角坐标系中，已知点、点，动点B满足，点C满足，记的面积为S，则S的最大值为（ ） A. B. C. D. 变式7-1（填空·★★★☆☆） 在边长为3的正方形中，三点分别在上，满足，则五边形面积的最大值是___________． 变式7-2（填空·★★★☆☆） 已知向量，则当取得最大值时， = ____________． 例8（填空·★★★☆☆） 已知的外心O满足，若，且，则面积的最大值为____________． 变式8-1（单选·★★★☆☆） 若直线上存在点，圆上存在点，使得，则 最大值为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 变式8-2（单选·★★★☆☆） 已知向量 ，（），且 ，则 的最小值为（　） A. e B. C. 4 D. 例9（填空·★★★☆☆） 已知圆O：，直线，点，点P在圆O上运动，点Q满足（O为坐标原点），则点Q到直线l距离的最大值为______． 变式9-1（填空·★★★☆☆） 如图，给定两个平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上，且（其中），则的取值范围为_______. 变式9-2（单选·★★☆☆☆） 在直角梯形中，，，，，E，F分别为，的中点，点P在以A为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示），若，其中，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 向量的最值与范围 先平方、极化恒等式与图形中的动点 模的最值：先平方 求模的最值，第一条路是「先平方」。，所以把目标式平方以后，出现的都是两个模的平方与一个数量积；再把数量积用基本不等式 换成模，就得到一个只含模的不等式，最值随之出现。 第二条路是「几何解释」，通常更快。 就是两个向量终点之间的距离。所以当其中一个向量的终点固定、另一个的终点在一个圆上时，距离的最值就是「圆心到定点的距离，加减半径」。这条结论的依据正是三角不等式：，等号在两者同向或反向时取到。 还有一类题给的是「两个模的和等于常数」，比如 。这正是椭圆的定义：动点到两个定点的距离之和为定值，轨迹是以这两个定点的终点为焦点、长轴长为 的椭圆。记住它的「中心」是两焦点的中点、「短半轴」满足 ，求模的范围时直接用这两条即可。 最后提醒一件事：算出的最值要能取到。用不等式放缩得到的上界，往往需要「两个向量同向」或「反向」这类附加条件；条件不满足时，那个数只是上界而不是最大值。所以每一步放缩之后，都顺手说一句「等号在什么情况下成立」，这个习惯能挡掉一大半的错。另外，两条路常常可以互相印证：用不等式算出一个数之后，再想一下它对应的是哪两张图重合的位置，两者对得上，答案才算稳。 例1（单选·★★☆☆☆） 已知向量，满足，，则的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【切入点】两个向量的模都给了，夹角没有给 —— 这说明答案与夹角无关，考虑用三角不等式把模的和差夹住。 【关键】由 ，代入 、 得 。 【关键】下界的等号在 与 反向时取到：取 、，则 ，符合条件，所以最小值 确实取得到，选 B。也可以平方核对：，而 ，所以原式 。 【易错】第一，这条不等式是 ，左边要取绝对值 —— 写成 会得到 ，那是负数、不可能是模。第二，下界必须验证能取到；本题两个向量的方向没有限制，反向合法。第三，四个选项是 、、、，选 是把它当成「两个模可以相互抵消」，但模是长度，抵消不掉。 【答案】B 变式1-1（填空·★★★☆☆） 已知向量满足，则的取值范围为____________． 【切入点】条件写成了「两个模的和等于 」—— 这正是椭圆的定义式，先把两个「定点」找出来。 【关键】记 ，则条件就是 。目标 。 【关键】由 ， 的终点在以 与 的终点为焦点的椭圆上。，所以 ，长半轴 ，短半轴 ，椭圆中心在 的终点处。目标正好是「 的终点到中心的距离」，所以取值范围为 。 【易错】第一，椭圆的长半轴是和的一半，即 ，不要写成 。第二， 是两焦点距离的一半，两个焦点是 与 ，距离为 ，所以 。第三，目标恰好写成「到中心的距离」省了不少事；若目标不是到中心的距离，就不能直接读半轴，要另作处理。 【答案】 变式1-2（单选·★★★☆☆） 已知向量满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】与上一题同型：条件是「两个模的和等于 」，先把它整理成到两个定点的距离之和。 【关键】记 ，则条件为 ，所以 的终点在以 与 的终点为焦点的椭圆上。，所以 ，长半轴 ，短半轴 。 【关键】目标 ，而 的终点正是椭圆的中心（两个焦点 与 的中点）。所以目标是「动点到中心的距离」，取值范围为 ，选 A。 【易错】第一，目标里的 是「 减中心的位置向量」，这个观察是本题的关键；看不出中心在哪里就只能硬算。第二， 的模是 ，它的一半才是 （这里 的 倍即 ，恰好等于焦点距离的一半）。第三，四个选项里只有 A 是闭区间且长度合理，若算出 却选了别的，多半是把半轴记反了。 【答案】A 例2（单选·★★☆☆☆） 已知向量，，向量满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 只受一个数量积条件的约束，所以要先把那个「被乘的向量」算出来，再用数量积的定义把 反解出来。 【关键】，。设 与 的夹角为 ，则 。 【关键】解出 。因为数量积是正数，所以 ，于是 ，，取值范围是 ，选 A。 【易错】第一， 的取值范围是 而不是 —— 数量积为正已经排除了钝角与直角，漏掉这一点会把范围写成 。第二， 的方向可以任意取，所以 没有上界，范围是右闭左开的半直线。第三，化简 ，不要停在一开始的分数形式上。 【答案】A 变式2-1（填空·★★★☆☆） 已知点，分别是直线和圆上的动点，，则的最小值为____________. 【切入点】 里 是定点、 与 各在一条直线和一个圆上，所以先把它换成中点的形式。 【关键】设 为 的中点，则 ，于是只要最小化 。而 ，当 跑遍直线 、 跑遍圆 时， 跑遍直线 ， 跑遍圆 ，两者相加即 跑遍「到那条直线距离不超过 的区域」。 【关键】 到直线 的距离为 ，所以 ，于是 。 【易错】第一，，最后要乘 ，漏掉就得到 。第二， 与 是独立取值的，所以中点的集合是「直线平移出的带宽」，不是某一条曲线。第三， 到直线 的距离与它到原直线 的距离不同 —— 系数翻倍后常数项不变，距离会变，这一步最容易直接把原直线的距离拿来用。 【答案】 例3（单选·★★★☆☆） 平面内三个向量，，满足，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件是「 与 的夹角为 」—— 以 、 的终点为定点、以 的终点为动点看，这正是一个「定弦对定角」的圆弧。 【关键】先由 定出图形：，所以两向量夹角为 ，，即 。以 为弦、张角为 的圆，其半径 满足 ，所以 ，圆心到弦 的距离为 。 【关键】又 到弦 中点 的距离为 ，所以圆心正好是 沿背离 的方向再走 的那个点，它到 的距离是 。于是 的终点在这个圆上， 的最大值为「圆心到 的距离加半径」，即 ，选 D。 【易错】第一，圆心有两个（弦的两侧各一个），题目要的是最大值，所以要取离 远的那个；另一个圆过 ，算出来最大只有 。第二， 是由数量积为 推出来的，不能当成已知条件直接用。第三，本题的 是圆周角，写成圆心角会让半径算成 倍。 【答案】D 变式3-1（填空·★★☆☆☆） 已知平面向量，，，若，则的最小值为_______. 【切入点】 是点 到原点的距离平方，而共线条件给出的是一条直线 —— 所以问题就是「求原点到这条直线的距离」。 【关键】由 得 ，即 ，也就是点 在直线 上。 【关键】 到原点的距离的最小值就是原点到该直线的距离：，所以 的最小值为 。也可以直接配方：，最小值同样是 。 【易错】第一，共线判据是「交叉相乘相减」，写成相加会得到另一条直线。第二，题目问的是 而不是 ，所以最后不开方；填 是本题最常见的错。第三，用配方算时要看清 是否允许 —— 题目对 没有别的限制，所以这个最小值能取到。 【答案】 数量积的最值：极化恒等式与投影 数量积的最值有一条主力恒等式，值得先自己推一遍。设 是线段 的中点，则 。推导只用一次「拆成中点」：、，相乘后交叉项抵消，剩下的正是上式。 这条式子的好处是把「两个向量的数量积」换成了「一个点到定点的距离平方减去常数」。于是当 在一个圆上运动时，最小值就是「圆心到 的距离减去半径」的平方再减常数；当 在一条直线上时，最小值就是「 到该直线的距离」的平方再减常数。两类问题的答案都只差一个「量距离」的动作。 第二条路是投影。 在 方向上的投影，所以只要把 放在坐标轴上， 就只由 的一个坐标决定。动点若在圆上，那个坐标的取值范围就是「中心加减半径」；这一步常常比设两个坐标再配方更短。 第三个办法是「设参数 + 二次函数」，最通用也最笨。把动点用一个参数表示出来，把目标写成这个参数的二次式，再看参数允许的范围，求二次式在区间上的最值。★ 这里最常见的错是忘了看参数范围：配方得到的顶点若落在允许范围之外，最值只能在端点取，直接读顶点就错了。所以每写下一个二次式，紧接着就把「参数的允许范围」写在旁边，再判断顶点落不落在里面 —— 这一步只要多写一行，却常常决定整道题的对错。 例4（单选·★★★☆☆） 已知线段，点满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 是「到一个定点的距离与到另一个定点的距离成定比」，先把 的轨迹求出来，再用极化恒等式把数量积转成距离。 【关键】取 、，。由 得 ，整理得 —— 在以 为圆心、 为半径的圆上。 【关键】设 为 的中点，则 、，由极化恒等式 。 在圆上运动时， 的取值范围是 ，平方得 ，所以 ，选 C。 【易错】第一， 展开后要配方才能看出是圆，直接整理成一般式容易漏掉圆心；算出来圆心是 ，恰好是 上靠近 的那一侧。第二，极化恒等式里的常数是 ，最后要把整个区间减 ，只算 的范围会选到 D。第三， 的范围是「距离范围」的平方，不是距离范围本身 —— 平方之后两个端点都变了。 【答案】C 变式4-1（单选·★★★☆☆） 已知菱形的边长为2，，点在线段上，点在线段上，，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. －2 【切入点】、 分别在线段 、 上且 —— 一个参数 就能同时把它们表示出来。 【关键】取 、，由 得 、。设 （），则 ，。 【关键】，，作数量积得 。这是开口向下的二次函数，顶点 落在 内，最大值 ，选 A。 【易错】第一， 与 的位置要用同一个参数表示，但方向相反： 从 向 走、 从 向 走，所以一个用 、一个用 的系数。第二，菱形的四个顶点坐标要一次写全， 是 处的角，别用到 处。第三，最大值是负数，说明两个向量的夹角始终是钝角，这与图上两者的方向一致。 【答案】A 变式4-2（单选·★★★☆☆） 中，，则的最大值为（ ） A. 6 B. C. 12 D. 【切入点】已知一条边与它的对角，要求另一组「边与夹角的数量积」的最大值 —— 用正弦定理把三条边都换成角的正弦。 【关键】由 ，所以外接圆半径 ，。又 ，所以 。 【关键】把 代进去展开：，于是原式等于 。最大值 ，选 D。 【易错】第一， 与 的夹角是角 ，不要与角 混；题目给的是 ，要换到 。第二， 这一步来自三角形内角和，代进 时用的是两角差的正弦。第三，最后一步用 的最大值为 ，这里 、，。 【答案】D 例5（单选·★★★☆☆） 已知三点在单位圆上运动，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】、、 都在单位圆上，而 的长度固定 —— 先把 、 的关系（数量积）定下来，再把目标写成 与一个固定向量的数量积。 【关键】由 与 得 ，于是 ，即 。 【关键】。而单位向量 与模为 的固定向量 的数量积的取值范围是 ，所以原式 ，选 A。 【易错】第一， 与 都是「终点减起点」，分别是 与 ，写成加号会把答案变成另一组数。第二， 的模是 ，这个数要用「模的平方」算，不能凭 、 都是单位向量就认为和也是 。第三， 可以在圆上任意取，所以 与那个固定向量的夹角可以取遍 ，两个端点都能取到。 【答案】A 变式5-1（单选·★★★☆☆） 已知点坐标为，直线与圆交于两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】目标 里 、 是直线与圆的交点 —— 先用极化恒等式把它换成「 到弦中点距离的平方减常数」，而弦中点就是圆心。 【关键】把直线整理成关于 的一次式：，令括号内都为零得 、，所以直线恒过定点 。圆 配方为 ，圆心正好是那个定点（半径 ）。所以弦 是直径，，中点就是圆心。 【关键】由极化恒等式 。而 ，。记 ，这是开口向上的二次函数，顶点 ，所以它在 上递减，，故原式 ，选 C。 【易错】第一，识别「直线过定点」要按 整理，看出它恰好是圆心 —— 这是整道题的枢纽，否则要求弦长与弦心距，会复杂很多。第二，顶点 在区间外，所以最值取在端点而不是顶点；直接把顶点值代进去是最常见的错。第三， 展开后要用 化简，别留着两个三角函数。 【答案】C 变式5-2（单选·★★★☆☆） 已知，且满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】条件 说的是「从 看 、 张直角」，所以 在以 为直径的圆上；再用极化恒等式处理目标。 【关键】设 为 的中点，由 得 。因为 ，所以 是 外接圆的圆心，。 【关键】由极化恒等式 。而 ，所以 ，选 D。 【易错】第一，要看出 是直角三角形外接圆的圆心（斜边中点），所以 等于斜边的一半 —— 这一步是本题的关键。第二， 的最大值用三角不等式「」得到，等号在 、、 共线时取到，而 可以取到直径端点，所以确实能取到。第三， 是已知，不要把它与 混；两者之差才是 的下界。 【答案】D 例6（填空·★★★☆☆） 键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要.有机物萘可以用如图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为如图所示的图形.已知六边形与六边形为全等的正六边形，且，点为正六边形内的一点（包含边界），则的取值范围是__________. 【切入点】（ 在 方向上的投影）—— 所以只要看 在 方向上的投影能取多大。 【关键】把图形放进坐标系：两个正六边形全等、边长都是 ，取 所在直线为 轴、 为原点，则 。由正六边形的结构可读出 所在的六边形 沿 方向的投影区间为 。 【关键】于是 在 方向上的投影的取值范围是 ，乘上 得 。 【易错】第一，正六边形的六个顶点在同一圆上、相邻顶点所张圆心角为 ，所以沿某一条边方向的投影跨度是「两条边」的长度，读图时要把这条数清楚。第二， 可以取到六边形的边界，所以两个端点都要取，区间是闭的。第三，本题不必把 的坐标写成参数再配方 —— 投影法的整个计算只有「读区间、乘模长」两步。 【答案】 变式6-1（填空·★★★☆☆） 已知是边长为2的等边三角形，点D在边上，且，则 = ______；若平面内动点P满足，则的最小值为_____． 【切入点】两问都围绕等边三角形 展开：第一问用分点公式算一个数量积，第二问先把 的轨迹定出来，再算最值。 【关键】取 、、。由 得 。于是 ，，。 【关键】第二问： 取 的中点 ，则 ，条件化为 ，所以 在过 且与 垂直的直线上。，取法向量 ，设 。代入 ，顶点在 ，最小值为 。 【易错】第一，第一问的 在 上且 ，所以 靠近 ，系数是 而不是 。第二， 里的 是 中点，不是 中点；取错中点会让 的轨迹整条错掉。第三，顶点 对应的 没有范围限制（ 在整个平面上），所以最小值在顶点取到、不必看端点。 【答案】； 综合最值：图形、动点与轨迹 到了综合题，目标不再只是模或数量积，而可能是面积、距离、比值，甚至是像 这样的代数式。但路数没变，还是三条。第一条是建系设参：把动点用一个参数表示，把目标写成参数（常常是二次式）的函数，再看参数的允许范围求最值。这是最通用的一条，绝大多数题都能走通。 第二条是轨迹识别，能走通时最快。题目说「某动点到定点的距离等于定值」，它就在一个圆上；说「到两定点距离相等」，它就在中垂线上；说「到两定点距离之和为定值」，它就在椭圆上。把轨迹认出来以后，「到某条直线的距离的最大值」这类问题就变成「圆心到直线的距离加减半径」，一步就能读出答案。 第三条是面积与比值的转化。三角形被一个内点分成三块时，三块面积之和等于总面积，这条等式常常就是把两个自由变量变成一个有约束问题的关键；再配合基本不等式或二次函数，最值就出来了。用得上它的题有一个特征：条件里出现了「面积分别为 …」这样的三个量。 最后一条经验：看题目给的数字，猜它想让你用哪条路。给的是两个定点加一个定长，多半用轨迹；给的是一个内点加三块面积，多半用面积等式；给的是一堆坐标或角度，那就直接建系。数字其实常常就是提示，顺着它走，比盲目设参数少走很多弯路。 例7（单选·★★★☆☆） 在平面直角坐标系中，已知点、点，动点B满足，点C满足，记的面积为S，则S的最大值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】目标是面积，而 —— 先把面积用叉积写开，看哪些项能合并掉。 【关键】。取 、，动点 ，则 。 【关键】所以 。括号内恒为负（），所以绝对值里是 ，它的最大值是 ，故 的最大值为 ，选 A。 【易错】第一，面积用叉积时要先看式子里的 能不能被消掉 —— 与 平行的部分叉积为零，这一步省掉一半计算。第二，括号内的正负要先判断： 的最小值是 ，加上 以后恒为负，所以绝对值等于取相反数。第三，求的是 而不是括号内的量，最后还要乘 。 【答案】A 变式7-1（填空·★★★☆☆） 在边长为3的正方形中，三点分别在上，满足，则五边形面积的最大值是___________． 【切入点】 的位置由 完全确定，而 、 各在一条边上、由 相联系 —— 一个参数就够了。 【关键】取 、、、，由 得 。设 、，则 、，由 得 ，即 。 【关键】五边形 的面积等于正方形面积减去 与 ：。由基本不等式 （等号在 时），得 ，所以最大值是 。 【易错】第一，、 分别在哪条边上要看清楚： 在 上、 在 上，所以它们的横坐标是 与 ，各自只剩一个自由参数。第二，面积用「大减小」算最快 —— 五边形是不规则图形，直接分割成三角形反而麻烦。第三， 落在 内，所以最大值取得到；若 的范围变了，就要改用端点值。 【答案】 变式7-2（填空·★★★☆☆） 已知向量，则当取得最大值时， = ____________． 【切入点】 用「数量积除以叉积」算最方便，所以先把 的坐标解出来。 【关键】由 得 。于是 ，。 【关键】。这是关于 的函数，求导得最大值在 处，所以 。 【易错】第一，正切值等于「叉积的绝对值」除以「数量积」。分子是叉积的绝对值、分母是数量积，两者不要写反。第二， 的坐标里是 ，系数 要除到两个分量上。第三，函数 在 处取最大，这个最值对 而言是对称的，所以 都行，而题目问的是 。 【答案】 例8（填空·★★★☆☆） 已知的外心O满足，若，且，则面积的最大值为____________． 【切入点】条件里的 与 都是「约束」，而目标是面积 —— 先把「外心」翻译成两条数量积等式，再把面积用两条邻边表示。 【关键】以 为原点，记 、，、、。由 是外心得 、。代入 并记 ，消元可得 与 。 【关键】再由 得 ，面积 。记 ，这个式子是关于 的函数，在 处取最大值 （此时 、，满足 且 、），所以面积的最大值为 。 【易错】第一，「 是外心」要翻译成两条等式（到 、 等距），只写一条解不出。第二，最后一步是把面积写成 的函数再求最值，而不是解出 、 的具体值 —— 、 只是过路的参数。第三，取到最大值的 是负数，题目只要求 ，所以合法。 【答案】 变式8-1（单选·★★★☆☆） 若直线上存在点，圆上存在点，使得，则 最大值为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 【切入点】 说明 是 向上平移一个单位 —— 把 设成参数， 的坐标跟着就定了，再要求 在圆上。 【关键】设 （在直线 上），则 。 在圆 上，所以 ，整理得关于 的二次方程 。 【关键】题目说「存在点 、」，所以这个方程要有实数解，判别式非负：，整理得 ，即 ，所以 的最大值为 ，选 D。 【易错】第一，「存在」等价于「方程有实数解」，所以用判别式而不是求根公式 —— 这是「存在型」问题的标准写法。第二， 的纵坐标是 （在 的基础上升 ），写成 会把整个方程改掉。第三，判别式整理后是 ，解得 ，所以 ；只取右半边会漏掉 的下界（虽然本题只要最大值）。 【答案】D 变式8-2（单选·★★★☆☆） 已知向量 ，（），且 ，则 的最小值为（　） A. e B. C. 4 D. 【切入点】 给出的是一个关于 与 的方程，所以 是 的函数 —— 求 的最小值就是求这个函数的最小值。 【关键】由 得 ，所以 （）。 【关键】记 ，。 时 、 时 ，所以 在 处取最小值 ，选 B。 【易错】第一，共线的判据是「交叉相乘相减」，这里 ，顺序颠倒会得到 。第二，求导后要列表判断符号，确认 是极小值点而不是极大值点。第三，题目问的是 的最小值，就是函数的最小值，不必再开方或取倒数。 【答案】B 例9（填空·★★★☆☆） 已知圆O：，直线，点，点P在圆O上运动，点Q满足（O为坐标原点），则点Q到直线l距离的最大值为______． 【切入点】 是「两个位置向量相加」，所以 的轨迹就是把 的圆平移过去。 【关键】 在圆 上，即 在以原点为心、 为半径的圆上；而 ，所以 在以 为心、同样 为半径的圆上。 【关键】 到直线 的距离为 ，所以 到 的距离的最大值为 。 【易错】第一， 是位置向量相加，所以是把圆整体平移到以 为心；写成「以 为切点」之类的理解都会错。第二，半径仍是 —— 平移不改变半径。第三，题目问的是最大值，所以用「距离加半径」；最小值则是「距离减半径」，这里 ，所以最小值也取得到。 【答案】 变式9-1（填空·★★★☆☆） 如图，给定两个平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上，且（其中），则的取值范围为_______. 【切入点】点 在以 为圆心的圆弧 上，而目标 是 在两个已知方向上的系数和 —— 把 放原点、两条向量放到坐标轴上， 就成了一个坐标的线性式。 【关键】取 为原点、 沿 轴，设 ，夹角为 ，则 、。由 比较纵坐标得 ；比较横坐标得 ，于是 。 【关键】 在半径 的圆上，所以 的取值范围是 ；又 只在圆弧 （不含另一端）上，取不到负值那一半，所以取值范围为 。 【易错】第一， 要化成 的坐标的线性式，这需要先解出 、 用 的坐标表示 —— 系数方程组别解错。第二， 与 的夹角是 ，所以 的横坐标带负号、纵坐标为正。第三， 在圆弧上而不是整圆上，所以范围要砍掉一半；端点取不取要看题目说的是「圆弧」还是「弧」（含端点）——本题说的是圆弧 ，两端点都含，故为闭区间。 【答案】 变式9-2（单选·★★☆☆☆） 在直角梯形中，，，，，E，F分别为，的中点，点P在以A为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示），若，其中，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】目标是 ，而 、 是 在两组已知向量下的系数 —— 先把它们用 的坐标反解出来。 【关键】取 、、、。 是 中点，所以 ； 是 中点，所以 。、。设 ，由 得 、，解得 、。 【关键】于是 。 在圆弧 上，即圆心角从 转到 ， 在其中取到最小值 、最大值 ，所以 ，选 D。 【易错】第一，、 的反解要「两式相加消 、相减消 」，系数容易配错。第二， 在圆弧上取不到 —— 那对应圆周角 ，不在 内；直接按整圆算会得到 （干扰项 B 附近）。第三， 是「终点减起点」即 ，写反会让 的符号变。 【答案】D 学科网（北京）股份有限公司 $