第3讲 等差数列的前 n 项和与最值专项训练-2027届高三数学一轮复习

等差数列的前 n 项和与最值 数列 · 专题篇 一 求和公式与三个基本量 一、两个求和公式。 。 ★ 第一式要 ，第二式只用 与 ；给的条件里出现哪几个量，就选哪一式。 二、五个量·知三求二。 、、、、 五个量之间只有两条独立关系（通项与求和），故知道其中三个就能定出另外两个。 ★ 遇到「」这类把两个和相除的条件，先把每个和都用 、 写开，再约分 —— 通常能直接得到 与 的比例。 三、由和反求基本量。 给两个 的值（如 、）时，联立 解出 、。 ★ 下标差得越远， 的系数越大、数值越稳；算完代回原始条件验一遍，比再解一次快。 四、解答题的两问结构。 第（1）问一般由两个线性条件求通项（联立 、）；第（2）问把 代入新数列 ，再按 的形态选求和法： 是等差 × 等比用错位相减； 是「一次式 ＋ 指数」用分组求和； 是「相邻两项之积的倒数」用裂项相消。 ★ 第（2）问的 最后要代 （有时再代 ）与 对一遍，这是检查求和式最简单的办法。 例1（单选·★★★☆☆） 记为等差数列的前n项和，若，，则 = （ ） A. 11 B. 9 C. 8 D. 5 【切入点】 是奇数项之和 —— 它等于 倍的中间项 ，一步就能把 挖出来。 【关键】，故 ；又 ，公差 。 于是 ，选 A。 【易错】第一， 里的中间项下标是 （），不是 。第二， 到 相差 个公差， 不是 。第三， 与 相差 个公差。 【答案】A 变式1-1（填空·★★★☆☆） 已知数列为等差数列，为其前项和，满足，，则的值为________。 【切入点】给的是 与 两个和 —— 联立解 、，再跳到 。 【关键】，即 ；，两边除以 得 。 两式联立：由 代入第二式，，故 、。 于是 。 【易错】第一， 的公差系数是 ，不是 。第二，化简时把 除以 更省事，但两式要同除。第三， 与 差 个公差。 【答案】 变式1-2（解答·★★★★☆） 已知等差数列的前项和为，，。（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和。 【切入点】第（1）问由 与 定基本量；第（2）问 是「等比 × 一次式」，走错位相减。 【关键】第（1）问：，故 ；又 ，公差 ，。 第（2）问：，。两边乘 后相减得 。 中间用等比求和：，整理得 ，即 。 所以 ，。 【易错】第一，错位相减时乘的是公比 ，两式错一位相减。第二，中间那段等比的首项是 、项数是 。第三， 要验 ：，公式给 ，一致。 【答案】； 变式1-3（解答·★★★★☆） 设等差数列的前项和为，且，。（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和。 【切入点】第（1）问照常定基本量；第（2）问 是「等比 ＋ 等差」，分组求和。 【关键】第（1）问：，；又 ，故 ，。 第（2）问：，。 于是 。 所以 ，。 【易错】第一，首项 、公比 的等比求和是 ，不是 。第二，，别漏除以 。第三，验 ：，公式给 ，一致。 【答案】； 变式1-4（解答·★★★★☆） 已知等差数列的前项和为，且，。（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和。 【切入点】第（1）问两个条件都能落到 与 ；第（2）问 是「相邻两项之积的倒数」，裂项相消。 【关键】第（1）问：，故 ；，故 ，公差 ，。 第（2）问：。 累加得 ，通分后为 。 所以 ，。 【易错】第一，裂项后前面要乘 （分母两因式相差 ）。第二，累加时只剩首尾两项，中间全消。第三，验 ：，公式给 ，一致。 【答案】； 例2（填空·★★★☆☆） 记等差数列的前n项和为。若，，则 = ______。 【切入点】 把两个和绑在一起 ——两边都用 、 写开，约掉公因式就能得到 与 的关系。 【关键】、，由 得 ，即 。 再由 得 、，故 。 【易错】第一，（不是 ）。第二，约分后得到的是 ，不是 。第三， 与 差 个公差，用 代换后正好是 。 【答案】 变式2-1（填空·★★☆☆☆） 已知是等差数列的前项和，若，则 = _____。 【切入点】、、 的下标成等差 ——片段 、、 也成等差。 【关键】、，故第三段与第二段之差为 ，。 于是 。 【易错】第一，等差的是片段（每段 项），不是 与 本身。第二，公差是片段差的两倍关系： 公差 。第三，，别忘了加回去。 【答案】 变式2-2（填空·★★★☆☆） 在等差数列中，为其前项和，若，则 = __________。 【切入点】两个和都给，直接联立；也可用片段和的性质检验。 【关键】，即 ；，即 。 两式相减得 、，故 。 【易错】第一，，公差系数是 。第二，解得 是允许的（首项可以为 ）。第三，可用片段和验：、，但两段项数不同（ 与 ），不能直接套等差 —— 这是本题的坑。 【答案】 变式2-3（填空·★★★☆☆） 记为等差数列的前项和，若，则 = __________。 【切入点】两个条件都是「项的和」—— 全部拆成 与 ，解出基本量再算 。 【关键】；。 联立解得 、，故 。 【易错】第一， 展开是 ， 的系数 要乘到 上。第二，解出 后 全靠 。第三，（奇数和），也可用 直接得 。 【答案】 变式2-4（多选·★★★☆☆） 分别是等差数列的前项和，则（ ） A. 是等差数列 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【切入点】四个选项分别考「线性组合仍是等差」「 型比值」「片段和」——逐个用基本量核。 【关键】 项：等差数列的线性组合 仍为等差数列（公差为 ），正确。 项：由 得 ，与 不符，错误。 项：取 、，则 、，故 ，正确。 项：、、 成等差，即 成等差，得 ，，与 不符，错误。故选 AC。 【易错】第一， 项用的结论是 ， 要配 。第二， 项是「不同下标的比」，必须回到 算。第三， 项的片段差是 ，第三段应为 。 【答案】AC 二 片段和与二级结论 一、片段和成等差。 把前 项切成三段：、、，它们成等差数列，公差为 。 ★ 判据是三段项数相等；项数不等（如 与 ）时不能直接套，这是本节最常见的错。 二、平均值成等差。 ，故 是首项 、公差 的等差数列。 ★ 由它可以直接读出 （首项）和 （公差的两倍）；给「 是等差数列」的条件时，等价于说 是关于 的二次式。 三、二次结构与「过原点」。 ——常数项一定是 。 ★ 反过来：若题目给出 且 ，则从第 项起才是等差数列， 要单独算。 四、由 的表达式反求 。 ； 时 。若 是二次式， 就是一次式（等差）；若 带指数项， 从第 项起才成等差。 ★ 含指数时要分段验 ，这一条与第 1 讲的作差法完全一致。 五、比值型的基本量。 给 （或 ）这类条件时，把每个 都写成 ，约去公共因子后得到一个只含 的方程。 ★ 解出 后，再用 的表达式中 的多项式求目标比值。 例3（单选·★★★★☆） 已知等差数列的前项和为，，，若，则 = （ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【切入点】 是第二个「 项段」， 又要拆成 —— 先把 设成二次式 。 【关键】设 。，即 ；。 由 代入得 ，即 、、。 于是 化为 ， 时 ，选 A。 【易错】第一， 的常数项是 ，写成 会多一个未知量。第二， 对应 （ 减去 ）。第三， 是正整数，另一个解 舍去。 【答案】A 变式3-1（单选·★★★☆☆） 已知等差数列的前项和为，若，，则 = （ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 【切入点】 与 正好是等长的两段 —— 、、 成等差。 【关键】片段和成等差，但公差未知，故设 联立：、。 两式相减得 ，即 ，回代得 。 于是 。 所以 ，选 A。 【易错】第一，片段和成等差是对的，但公差 未知，不能只凭 与 直接算中项 —— 必须用二次式联立。第二，，把 与 当成两个整体解。第三，答案 恰好是 之类巧合的陷阱区，要按方程算。 【答案】A 变式3-2（多选·★★★☆☆） 记为等差数列的前n项和，若，,则（ ） A. B. 公差 C. D. 若,则， 【切入点】 说明第 项之和为 ，中间项 —— 由它定公差。 【关键】，故 ；又 ，。 由 得 ，；于是 。 项：，正确。 项：公差为 ，错误。 项：，错误。 项：，故 ，其中 ，，故和为 ，正确。故选 AD。 【易错】第一， 是「奇数和 = 中间项乘项数」， 故 。第二， 要用 、 重算，不能沿用 。第三， 从 到 是 （成对为 ），符号为负。 【答案】AD 变式3-3（解答·★★★★☆） 已知数列的前项和为，且，数列是公差为的等差数列。（1）求的通项公式；（2）设，记数列的前项和为，求使得成立的最小正整数的值。 【切入点】条件给的是 成等差 —— 先写出它的通项，再化成 与 的关系。 【关键】，公差 ，故 ，即 。 把 代入得 ，整理为 ，即 。 累乘得 ，于是 。 第（2）问：。逐项累加：、，且 使 递增，故最小的 。 所以 ，且最小的正整数 。 【易错】第一， 的首项是 ，不是 。第二，整理时 ，得 ，符号别丢。第三，累乘的上下限从 到 ，首项 要单独留。 【答案】；最小的 变式3-4（多选·★★★☆☆） 记为数列的前项和，若，则下列说法正确的是（ ） A. 为等差数列 B. 为单调递增数列 C. D. 的最小值为 【切入点】 是二次式 —— 先反求 ，再逐项判四个说法。 【关键】； 时 ，对 也得 ，故 。 项：公差为 ，是等差数列，正确。 项：公差 ，单调递增，正确。 项：前六项为 ，绝对值之和为 ，与 不等，错误。 项：，逐项为 ，最小值为 （），正确。故选 ABD。 【易错】第一， 必须单独验：，才能写成一条通项。第二， 项是「绝对值之和」， 的绝对值是 。第三， 项不能直接对 取极限（高中不学极限），要逐项比较或配方。 【答案】ABD 例4（单选·★★★☆☆） 为等差数列的前项和，若，且，则 = （ ） A. 12 B. 15 C. 16 D. 18 【切入点】 说明第 到第 项之和为 ——这五个下标的中点是 ，故 。 【关键】，故 。 把 都用 表示：、、，相加得 。 公差 （否则 不成立时为常数列），故 ，选 B。 【易错】第一， 是五项之和，中间项是 。第二，三个项都用 作基准，系数是 、、，相加得 。第三， 时 恒成立但条件「」会退化成 ，与题设的正数无关，故按 处理。 【答案】B 变式4-1（单选·★★★☆☆） 若等差数列的前项和为，且，则 = （ ） A. B. C. D. 2 【切入点】条件里全是「 的比」—— 把 写成 的形式，约分后只剩一个参数。 【关键】设 （），则 。 化简：，即 ，整理得 ，。 于是 ，，选 C。 【易错】第一，设 时把 约掉了，这正是简化计算的要点。第二，展开时要仔细：左边 ，右边 。第三， 是唯一解（重根），说明 有 处的零点。 【答案】C 变式4-2（填空·★★★☆☆） 已知等差数列的前项和为，且，，则 = _________。 【切入点】、、 是等长的三段 —— 片段和成等差，用它比联立二次式更快。 【关键】三段为 、、，由等差中项 。 化简得 ，即 ，。 【易错】第一，第二段是 ，符号要看清。第二，第三段是 ，不是 。第三，三段项数都是 ，才可以套片段和等差。 【答案】 三 S_n 的最值与正负项分界 一、最值的判据。 与 的大小由 决定： 则 ， 则 。 ★ 故 先增后减 ⟺ 项先正后负；最大值在最后一个正项处取到。若某个 ，则 ，最大（或最小）值点有两个。 二、最值的求法。 由 解出 的范围，取最大整数；再把该 代回 计算。 ★ 二次式 的对称轴是 （也就是 的位置），与上面的判据是同一件事的两种说法。 三、奇数和与偶数和。 （奇数和 = 项数 × 中间项）；。 ★ 判断 的符号时，奇数下标优先用第一式、偶数下标优先用第二式，能把「求整个和」降成「看一两个项的符号」。 四、由 的不等式反读项的符号。 ；；。 ★ 给「」这类连写的不等式，先拆成「」与「」，再压成中间项符号。 五、 的最小 。 由 解出 的范围；或先定 的零点位置（ 与 ），再看哪一侧为负。 ★ 这类题的答案常是 与 中的某一个 ——用奇数和／偶数和公式核一遍最快。 例5（单选·★★☆☆☆） 已知等差数列的前项和为，若，，则使最大的的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 7或8 D. 8或9 【切入点】 是奇数和，等于 倍的 —— 先挖出 ，再由 定公差，最后看 何时变号。 【关键】，故 ；又 ，公差 。 于是 ：、、。 故 同为最大值， 取 或 ，选 C。 【易错】第一， 里的中间项是 （）。第二，，负号容易丢。第三， 让 ，只写「7」会漏掉「8」。 【答案】C 变式5-1（填空·★★★☆☆） 已知等差数列中，，，求前项和的最小值为____。 【切入点】条件 只涉及项，先解出 ，再看 的最值与它的表达式。 【关键】，代入 得 ，即 。 于是 ，。 故 时取最小值 。 【易错】第一，、，系数别错。第二， 是二次式，配方后看顶点。第三，最小值的 是正整数，符合要求。 【答案】 变式5-2（多选·★★★☆☆） 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 数列的公差小于0 B. 数列的公差与数列的公差相等 C. 中最大 D. 使得的正整数的最小值为23 【切入点】连写的不等式 先拆成两条，压出 、 的符号。 【关键】 得 ； 得 ，故 ，公差 。 项：公差小于 ，正确。 项： 的公差是 ，与 不等，错误。 项：、， 在 取最大，正确。 项：，，故最小的 ，正确。故选 ACD。 【易错】第一， 用的是偶数和公式。第二， 是奇数和 = 项数 × 中间项， 为负故 。第三， 项的公差关系是 ，题目说「相等」就是为了诱你上当。 【答案】ACD 变式5-3（多选·★★★☆☆） 已知等差数列的前项和为，若，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 【切入点】 拆开就能读出 、 的符号。 【关键】 得 ； 得 。 项：由 得 ，正确。 项：由 得 ，正确。 项：， 先增后减，最大值是 ，正确。 项：，两个加数一正一负、大小未知，符号不能定，错误。故选 ABC。 【易错】第一， 直接给 ，不用求通项。第二， 的下标和是 ，配成 正好。第三，符号未知就不能断言 。 【答案】ABC 变式5-4（多选·★★★☆☆） 已知是等差数列的前项和，为公差，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，取最小值 C. D. 【切入点】、 一负一正 —— 先看 的符号，再看 的表达式。 【关键】；，即 ，而 。 项：由 知 由降转升，公差 ，正确。 项：最小值点要看 的符号，题设未给，无法确定在 处，错误。 项： 的符号不定（只知 ），错误。 项：，正确。故选 AD。 【易错】第一， 是最直接的结论，别忘了它。第二， 只说明「前 项之和为负」，推不出 。第三，最小值点必须靠 的符号定，不能凭 猜。 【答案】AD 例6（单选·★★★☆☆） 已知等差数列的前项和为且则的最大值为（ ） A. B. 92 C. 91 D. 90 【切入点】两个条件分别定 与 ；定出通项后求「最后一个正项」，再算 。 【关键】，；，故 ，，公差 。 于是 ：、，故最大值在 。 ，选 B。 【易错】第一， 是下标和性质（）。第二，，别把 写成 。第三，最大值是和（），不是项（）。 【答案】B 变式6-1（单选·★★★☆☆） 已知等差数列的前项和为，且，则使得的的最小值为（ ） A. 4049 B. 4050 C. 4051 D. 4052 【切入点】比值小于 说明两项异号、且前一项的绝对值更大 —— 由此定出 、 的符号与和。 【关键】，若 则各项同号，比值不可能为负，故 ，且 ；由 得 。 于是 ，而 。 故使得 的 的最小值为 ，选 C。 【易错】第一， 等价于「异号且 」，不能只读成「小于 」。第二， 用偶数和公式，配成 。第三， 是奇数和 = 项数 × 中间项。 【答案】C 变式6-2（填空·★★★☆☆） 设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为___________。 【切入点】两个条件都是「项的和」，先把它们压成单独一项，再求最后一个正项。 【关键】，；，故 ，公差 。 于是 ：、，最大值在 。 ？—— 用 更稳：，故 。 【易错】第一， 是下标和性质（）。第二，，别用 直接代。第三， 是奇数和，也等于 ，两条路都对。 【答案】 四 和的比值与不等式型 一、 之比的核心结论。 若 、 都是等差数列，则 。 ★ 由来：，两个「项数 × 中间项」一比，项数约掉。所以见到 就给 代 ，直接得 。 二、不同下标的比怎么办。 （）不能套上面的结论 ——把两个和都设成 ，再各自作差。 ★ 步骤：先由 定出两组基本量的比例，再分别算 与 。 三、 的语言。 成等差（公差 ），反过来 就等价于它成等差。 ★ 题目若给「 是等差数列」和两个 值，就先写出 的通项，再乘 回 。 四、不等式恒成立。 形如 对一切 成立，先把 单独移到一边：，再求右边式子的最大值。 ★ 分离后若右边只在有限个 上为正、之后转负，最大值必在前面几项，逐项算即可。 五、 与 的混合等式。 形如 的条件，把 写成 与 、 的式子， 也展开，两边比对 的同次项系数。 ★ 这类题的解往往要求 与 成固定比例，代回后还能简化目标值。 例7（单选·★★★★☆） 已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，且，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】要求 —— 两个下标相同，直接用 。 【关键】。 所以选 C。 【易错】第一，代的是 ，不是 直接代原式。第二，分子 ，分母 。第三，若要求 就不能这么做，下标必须相同。 【答案】C 变式7-1（多选·★★★☆☆） 已知数列是公差不为0的等差数列，前项和为，满足，下列选项正确的有（ ） A. B. C. 最小 D. 【切入点】 把 与 绑成比例 ——先解出 ，再逐项判。 【关键】，，故 ，即 。 项：，正确。 项：，，相等，正确。 项： 说明 ，它们是同一侧的极值点；题目说「 最小」不成立（ 时这两项同为最大），错误。 项：，错误。故选 AB。 【易错】第一， 是 ， 的系数 要乘进 。第二， 时 ，两个极值点，只写一个会判错。第三， 的下标和是 ，配不出 ，只能老实展开。 【答案】AB 变式7-2（单选·★★★☆☆） 已知等差数列公差不为0，记其前n项和为，若，，则正整数k的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 12 【切入点】 由下标和性质给 ，故 —— 通项立刻明朗。 【关键】，故 ，即 。 条件 ：，。 约去 得 ，即 ，解得 （另一个根 不是正整数），选 B。 【易错】第一， 要舍去，题目要正整数。第二， 的系数是 （项数的一半）。第三，代回检验： 时 ，，相等。 【答案】B 变式7-3（填空·★★★☆☆） 已知等差数列各项不为零，前n项和为，若，则 = _______。 【切入点】 是「和 = 相邻两项之积」——两边都写成 与 、 的式子，比对系数。 【关键】；。 比较 的系数：，由 得 ；代回后 的一次项两边自动相等，比较常数项得 ，即 。 各项不为零，故 ，于是 ，。 【易错】第一， 用「 乘平均」的形式展开，指数比对才清楚。第二，（各项不为零）才能约去。第三， 代 ，不是 。 【答案】 变式7-4（多选·★★★☆☆） 已知数列的前项和，则下列说法正确的是（ ） A. 若是等差数列，则 B. 若不是递增数列，则 C. 若，则 D. 若的最小值为3，则 【切入点】 的常数项是 ，不是 —— 先用它判 与整列的关系。 【关键】； 时 。 项：整列等差要求 在 时也等于 ，即 ，，正确。 项：不是递增 ⟺ 存在 使 ； 时段内已不增， 时看衔接处 ，即 ；两支合并为 ，正确。 项：，与 不等价，错误。 项：，最小值 时可得 ，正确。故选 ABD。 【易错】第一， 与 是两段，判等差必须让两段接上。第二，判「不递增」要按 的正负分支。第三， 的表达式里 与 同时出现，求最值要先定 的符号。 【答案】ABD 例8（单选·★★★★☆） 已知等差数列，的前项和分别为和，若，且是整数，则n的值为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【切入点】条件仍是同比值，但目标是 ——下标不同，只能回到「设 」再各自作差。 【关键】取 、（公共常数 会约掉）。；。 故 。 把它写成 ，要求 为整数： 时才可能，逐项验得 时值为 ，故 ，选 C。 【易错】第一， 要把 代入 的差分，不是把 的式子再代 。第二，恒等变形 是对的做法，直接猜整数容易漏。第三， 必须是正整数， 时 ，整体为 。 【答案】C 变式8-1（解答·★★★★☆） 记等差数列的前n项和为，数列的前n项和为，已知。（1）求的通项公式；（2）求；（3）若成立，求实数k的最小值。 【切入点】第（1）问由 、 定公差；第（2）问把 裂项；第（3）问分离参数求最值。 【关键】第（1）问：，，；。 第（2）问：，故 。 第（3）问： 即 ，整理得 。 右边逐项： 为 、 为 、 为 ， 时为负，故最大值为 ， 的最小值为 。 所以 ，， 的最小值为 。 【易错】第一， 裂项后系数是 ，别忘了。第二，第（3）问要把 单独移出，不能整体对不等式两边求导。第三，右边只在 时非负，最大值 出现在 。 【答案】；； 的最小值为 变式8-2（解答·★★★★☆） 已知数列的前项和为 ，若数列 是等差数列，且 （1）求数列的通项公式 ;（2）设 求数列的前项和。 【切入点】条件说 是等差数列 ——先写出它的通项，再乘 回 。 【关键】、，公差 ，故 ，即 。 于是 。 第（2）问：，但 是例外。 。 所以 ，。 【易错】第一， 的公差用 算，不是 。第二， 是负数，裂项公式的适用起点是 ， 必须单独算。第三，验 ：，公式给 ，一致；验 ：，公式给 ，一致。 【答案】； 学科网（北京）股份有限公司 $ 等差数列的前 n 项和与最值 数列 · 专题篇 一 求和公式与三个基本量 一、两个求和公式。 。 ★ 第一式要 ，第二式只用 与 ；给的条件里出现哪几个量，就选哪一式。 二、五个量·知三求二。 、、、、 五个量之间只有两条独立关系（通项与求和），故知道其中三个就能定出另外两个。 ★ 遇到「」这类把两个和相除的条件，先把每个和都用 、 写开，再约分 —— 通常能直接得到 与 的比例。 三、由和反求基本量。 给两个 的值（如 、）时，联立 解出 、。 ★ 下标差得越远， 的系数越大、数值越稳；算完代回原始条件验一遍，比再解一次快。 四、解答题的两问结构。 第（1）问一般由两个线性条件求通项（联立 、）；第（2）问把 代入新数列 ，再按 的形态选求和法： 是等差 × 等比用错位相减； 是「一次式 ＋ 指数」用分组求和； 是「相邻两项之积的倒数」用裂项相消。 ★ 第（2）问的 最后要代 （有时再代 ）与 对一遍，这是检查求和式最简单的办法。 例1（单选·★★★☆☆） 记为等差数列的前n项和，若，，则 = （ ） A. 11 B. 9 C. 8 D. 5 变式1-1（填空·★★★☆☆） 已知数列为等差数列，为其前项和，满足，，则的值为________。 变式1-2（解答·★★★★☆） 已知等差数列的前项和为，，。（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和。 变式1-3（解答·★★★★☆） 设等差数列的前项和为，且，。（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和。 变式1-4（解答·★★★★☆） 已知等差数列的前项和为，且，。（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和。 例2（填空·★★★☆☆） 记等差数列的前n项和为。若，，则 = ______。 变式2-1（填空·★★☆☆☆） 已知是等差数列的前项和，若，则 = _____。 变式2-2（填空·★★★☆☆） 在等差数列中，为其前项和，若，则 = __________。 变式2-3（填空·★★★☆☆） 记为等差数列的前项和，若，则 = __________。 变式2-4（多选·★★★☆☆） 分别是等差数列的前项和，则（ ） A. 是等差数列 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二 片段和与二级结论 一、片段和成等差。 把前 项切成三段：、、，它们成等差数列，公差为 。 ★ 判据是三段项数相等；项数不等（如 与 ）时不能直接套，这是本节最常见的错。 二、平均值成等差。 ，故 是首项 、公差 的等差数列。 ★ 由它可以直接读出 （首项）和 （公差的两倍）；给「 是等差数列」的条件时，等价于说 是关于 的二次式。 三、二次结构与「过原点」。 ——常数项一定是 。 ★ 反过来：若题目给出 且 ，则从第 项起才是等差数列， 要单独算。 四、由 的表达式反求 。 ； 时 。若 是二次式， 就是一次式（等差）；若 带指数项， 从第 项起才成等差。 ★ 含指数时要分段验 ，这一条与第 1 讲的作差法完全一致。 五、比值型的基本量。 给 （或 ）这类条件时，把每个 都写成 ，约去公共因子后得到一个只含 的方程。 ★ 解出 后，再用 的表达式中 的多项式求目标比值。 例3（单选·★★★★☆） 已知等差数列的前项和为，，，若，则 = （ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 变式3-1（单选·★★★☆☆） 已知等差数列的前项和为，若，，则 = （ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 变式3-2（多选·★★★☆☆） 记为等差数列的前n项和，若，,则（ ） A. B. 公差 C. D. 若,则， 变式3-3（解答·★★★★☆） 已知数列的前项和为，且，数列是公差为的等差数列。（1）求的通项公式；（2）设，记数列的前项和为，求使得成立的最小正整数的值。 变式3-4（多选·★★★☆☆） 记为数列的前项和，若，则下列说法正确的是（ ） A. 为等差数列 B. 为单调递增数列 C. D. 的最小值为 例4（单选·★★★☆☆） 为等差数列的前项和，若，且，则 = （ ） A. 12 B. 15 C. 16 D. 18 变式4-1（单选·★★★☆☆） 若等差数列的前项和为，且，则 = （ ） A. B. C. D. 2 变式4-2（填空·★★★☆☆） 已知等差数列的前项和为，且，，则 = _________。 三 S_n 的最值与正负项分界 一、最值的判据。 与 的大小由 决定： 则 ， 则 。 ★ 故 先增后减 ⟺ 项先正后负；最大值在最后一个正项处取到。若某个 ，则 ，最大（或最小）值点有两个。 二、最值的求法。 由 解出 的范围，取最大整数；再把该 代回 计算。 ★ 二次式 的对称轴是 （也就是 的位置），与上面的判据是同一件事的两种说法。 三、奇数和与偶数和。 （奇数和 = 项数 × 中间项）；。 ★ 判断 的符号时，奇数下标优先用第一式、偶数下标优先用第二式，能把「求整个和」降成「看一两个项的符号」。 四、由 的不等式反读项的符号。 ；；。 ★ 给「」这类连写的不等式，先拆成「」与「」，再压成中间项符号。 五、 的最小 。 由 解出 的范围；或先定 的零点位置（ 与 ），再看哪一侧为负。 ★ 这类题的答案常是 与 中的某一个 ——用奇数和／偶数和公式核一遍最快。 例5（单选·★★☆☆☆） 已知等差数列的前项和为，若，，则使最大的的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 7或8 D. 8或9 变式5-1（填空·★★★☆☆） 已知等差数列中，，，求前项和的最小值为____。 变式5-2（多选·★★★☆☆） 设等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 数列的公差小于0 B. 数列的公差与数列的公差相等 C. 中最大 D. 使得的正整数的最小值为23 变式5-3（多选·★★★☆☆） 已知等差数列的前项和为，若，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 变式5-4（多选·★★★☆☆） 已知是等差数列的前项和，为公差，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，取最小值 C. D. 例6（单选·★★★☆☆） 已知等差数列的前项和为且则的最大值为（ ） A. B. 92 C. 91 D. 90 变式6-1（单选·★★★☆☆） 已知等差数列的前项和为，且，则使得的的最小值为（ ） A. 4049 B. 4050 C. 4051 D. 4052 变式6-2（填空·★★★☆☆） 设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为___________。 四 和的比值与不等式型 一、 之比的核心结论。 若 、 都是等差数列，则 。 ★ 由来：，两个「项数 × 中间项」一比，项数约掉。所以见到 就给 代 ，直接得 。 二、不同下标的比怎么办。 （）不能套上面的结论 ——把两个和都设成 ，再各自作差。 ★ 步骤：先由 定出两组基本量的比例，再分别算 与 。 三、 的语言。 成等差（公差 ），反过来 就等价于它成等差。 ★ 题目若给「 是等差数列」和两个 值，就先写出 的通项，再乘 回 。 四、不等式恒成立。 形如 对一切 成立，先把 单独移到一边：，再求右边式子的最大值。 ★ 分离后若右边只在有限个 上为正、之后转负，最大值必在前面几项，逐项算即可。 五、 与 的混合等式。 形如 的条件，把 写成 与 、 的式子， 也展开，两边比对 的同次项系数。 ★ 这类题的解往往要求 与 成固定比例，代回后还能简化目标值。 例7（单选·★★★★☆） 已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，且，则 = （ ） A. B. C. D. 变式7-1（多选·★★★☆☆） 已知数列是公差不为0的等差数列，前项和为，满足，下列选项正确的有（ ） A. B. C. 最小 D. 变式7-2（单选·★★★☆☆） 已知等差数列公差不为0，记其前n项和为，若，，则正整数k的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 12 变式7-3（填空·★★★☆☆） 已知等差数列各项不为零，前n项和为，若，则 = _______。 变式7-4（多选·★★★☆☆） 已知数列的前项和，则下列说法正确的是（ ） A. 若是等差数列，则 B. 若不是递增数列，则 C. 若，则 D. 若的最小值为3，则 例8（单选·★★★★☆） 已知等差数列，的前项和分别为和，若，且是整数，则n的值为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 变式8-1（解答·★★★★☆） 记等差数列的前n项和为，数列的前n项和为，已知。（1）求的通项公式；（2）求；（3）若成立，求实数k的最小值。 变式8-2（解答·★★★★☆） 已知数列的前项和为 ，若数列 是等差数列，且 （1）求数列的通项公式 ;（2）设 求数列的前项和。 学科网（北京）股份有限公司 $