数列不等式中的n的最值问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

数列不等式中的n的最值问题 1.已知正项数列的首项为2，前项和为，且，，数列的前项和为，若，则的值可以为（ ） A．543 B．542 C．546 D．544 2.已知数列满足，当时，，则数列的最大项为（    ） A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项 3.已知数列的前项和，若，则的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．14 4.已知等差数列的前n项和为，且，，则（    ） A． B．当时，最大 C．当时， D．数列的最小项为 5.设等比数列满足，则当时，正整数的最大值为__________. 6.已知数列满足，． (1)令，求数列的通项公式； (2)设的前n项和为，若，求n的最大值． 7.已知数列满足，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)设，若，求满足条件的最大正整数. 8.已知等差数列的前项和为，数列是各项均为正数的等比数列，，. (1)求数列的通项公式； (2)在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答. 问题：已知，___________，是否存在正整数，使得数列的前项和？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） 9.已知数列满足，，且对任意，都有． (1)求证：是等比数列，并求的通项公式； (2)求使得不等式成立的最大正整数m． 10.已知数列中，. （1）求证：数列是常数数列； （2）令为数列的前项和，求使得的的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列不等式中的n的最值问题 1.已知正项数列的首项为2，前项和为，且，，数列的前项和为，若，则的值可以为（ ） A．543 B．542 C．546 D．544 【答案】AB 【解析】因为，所以， 即，故数列是首项为，公差为2的等差数列， 则，则， 所以， 则， 令，解得，即， 故选:AB 2.已知数列满足，当时，，则数列的最大项为（    ） A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项 【答案】C 【解析】当时，由题意得，又，故； 当时，由题意得，又，故； 当时，， 因为函数在上是减函数， 故时，达到最大，故第4项为最大项． 3.已知数列的前项和，若，则的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．14 【答案】B 【分析】利用与关系求出数列的通项公式求解即可. 【详解】由,当时， 当时，， 当时，满足条件； 所以数列的通项公式为 则，解得， 因为，所以． 4.已知等差数列的前n项和为，且，，则（    ） A． B．当时，最大 C．当时， D．数列的最小项为 【答案】BCD 【解析】因为，即． 因为，所以的公差小于零， 则，，则，故，A错误； 因为当时，，且当时，，则当时，最大，B正确； 因为，，， 所以，，C正确； 因为当时，，且当时，， 所以当时，，此时． 又因当时，最小，且时，单调递减， 所以数列的最大值为，故数列的最小项为，所以D正确． 5.设等比数列满足，则当时，正整数的最大值为__________. 【答案】9 【解析】设等比数列的公比为，， 由等比数列通项性质可得，代入已知条件，，解得， 将代入，得，解得， 因此数列通项公式为， 记前项乘积为，则：， 所以，即，两边取常用对数得： ，整理得， 令，由二次函数性质知在上单调递增， 因为,所以, 因为，, 所以的最大正整数为. 6.已知数列满足，． (1)令，求数列的通项公式； (2)设的前n项和为，若，求n的最大值． 【解】（1）由，可得，即， 当时，有， 累加，得 ， 又，所以， 验证可知也符合上式，所以． （2）因为，且，所以， 所以， 则， 令，得，解得， 所以n的最大值为7． 7.已知数列满足，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)设，若，求满足条件的最大正整数. 【解】（1）由题得：，则，整理得 ， 又，得， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得，所以 ， 又 ，   所以 ，则， 又时， ， 时， 则满足条件的最大正整数. 8.已知等差数列的前项和为，数列是各项均为正数的等比数列，，. (1)求数列的通项公式； (2)在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答. 问题：已知，___________，是否存在正整数，使得数列的前项和？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） 【解析】（1）设等比数列的公比为，由得：，，又， 因此有，即，解得，(舍去)，则， 所以数列的通项公式. （2）若选①：设等差数列公差为d，则，，解得， 于是得：，， 则有， 由，解得，而为正整数，则的最小值为， 所以存在正整数满足要求，的最小值为. 若选②：设等差数列公差为d，则，，解得， 于是得，， 则有， 由，解得，而为正整数，则的最小值为， 所以存在正整数满足要求，的最小值为. 若选③：设等差数列公差为d，则，，解得， 于是得：，， ， 令，得，显然数列()是递减的， 当时，，当时，， 即由得，则的最小值为 所以存在正整数满足要求，的最小值为. 9.已知数列满足，，且对任意，都有． (1)求证：是等比数列，并求的通项公式； (2)求使得不等式成立的最大正整数m． 【解析】(1)由，得， 所以是等比数列. 所以 从而 所以，． (2)设 即，所以，， 于是，． 因为，且， 所以，使成立的最大正整数． 10.已知数列中，. （1）求证：数列是常数数列； （2）令为数列的前项和，求使得的的最小值. 【解析】（1）由得：，即 ，即有数列是常数数列； （2）由（1）知： 即， 当为偶数时，，显然无解； 当为奇数时，，令，解得：， 结合为奇数得：的最小值为 所以的最小值为 学科网（北京）股份有限公司 $