第8讲四心与面积比的向量方法专项训练-2027届高三数学一轮复习

四心与面积比的向量方法 平面向量 · 专题篇 一 重心与中线 一、重心的向量刻画。 设 是 的重心，则 。 反过来，对平面内任意一点 ，若 ，则 一定是 的重心 —— 这是充要的，可以两向用。 ★ 由它还能读出「三等分」：，这里 是平面内任意一点。 二、用两边表示重心。 取 为起点，则 。 ★ 两个系数都是 —— 这是本节最常用的一句，凡是要把重心的位置写成 、 的组合，直接套。 验证也简单：把 与 代进去，整理后正好得到 。 三、中线方向的识别。 的方向就是 边中线的方向 ——把 与 首尾相接看作两个位移，它们的和指向「两端点的中点」那一侧。 所以凡条件写成 （）的动点，轨迹都是从 出发的那条中线所在的直线，而直线一定过重心。 ★ 更一般地：只要括号里是 （两个系数相等），方向就还是中线方向。若两个系数不等，方向就换成了别的分割线，终点也不再是重心。 四、重心的面积性质。 三条中线把 分成 个面积相等的小三角形，所以 。 ★ 反过来也用：若 、、 的面积相等且 在内部，则 是重心。 例1（单选·★★☆☆☆） 已知菱形的边长为2，，是菱形内一点， 若，则 = （ ） A. B. C. D. 2 变式1-1（多选·★★★★☆） 在中，，，是所在平面内一点且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点在直线上 B. 若点是的重心，则 C. 若，且，，则 D. 若点在内（含边界），则 变式1-2（多选·★★★★☆） 已知点是所在平面内一点，点为的中点，，，且，则（ ） A. 是的外心 B. 是的重心 C. D. 变式1-3（单选·★★★☆☆） 已知，，，，则下列结论错误的是（ ） A. 若是的重心，则 B. 若是的内心，则 C. 若是的垂心，则 D. 若是的外心，则 例2（单选·★★★★☆） 已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的 A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 二 外心与垂直平分线 一、外心的刻画。 是 的外心，当且仅当 。 几何上它就是三边垂直平分线的交点，也是外接圆的圆心， 是外接圆半径。 ★ 题干里出现「到三角形的三个顶点距离相等」（写成 也一样）就是在说外心。 二、外心与数量积的桥梁。 设 为 的中点，则 ，把 拆成 ，与 作数量积时后一项为零，得 。 同理 、。 ★ 这一组式子把「外心的位置」换成了「几条边的长度」，是本节大多数题目的第一步。右边是边长平方的一半，不是边的长度，别少写那个平方。 三、由 求系数。 把两边分别与 、 作数量积，用第二条把左边的 换成 ，就得到关于 、 的两个方程。 再与题目另外给的条件（例如 ）联立，未知数就够解了。 ★ 联立时不必求出 ，除非题目问的是 本身。 四、由 求半径。 把式子移项后两边平方，左端出现 这类项，再用圆心角 把它化成 。 ★ 若三个角的余弦不好求，也可以只算一个数量积：。 五、外心在图形中的位置。 锐角三角形的外心在内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在外部。 ★ 判断「外心的位置」类选项时，先看三角形的形状即可，不必算坐标。 例3（单选·★★☆☆☆） 边长为 2 的等边三角形 的外心为 ，则 = （ ） A. B. 2 C. D. 变式3-1（单选·★★★☆☆） 已知点为所在平面内一点，，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式3-2（填空·★★★☆☆） 已知 为 的外心，，，，其中 ，且 ，则 = ______。 变式3-3（填空·★★★☆☆） 已知的外心O满足，若，且，则面积的最大值为____________。 变式3-4（填空·★★★☆☆） 在中，为其外心，，若，则 = ________。 变式3-5（单选·★★★☆☆） 在中，，点在所在平面内且满足，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 变式3-6（单选·★★★★☆） 在平面直角坐标系中，，，，点分别是的外心和垂心，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例4（填空·★★★★☆） 设点为的外心，，，。若，则 = ________。 三 内心与角平分线、垂心与高 一、内心的方向刻画。 的方向就是 的平分线方向 ——两个同向的单位向量首尾接起来，合向量必然落在它们的角平分线上。 所以凡条件写成 的动点，轨迹都落在 的平分线上，而角平分线的交点就是内心。 ★ 与重心那条对比记：括号里是 （长度相加）得中线方向、过重心；括号里是单位向量相加得角平分线方向、过内心。 二、内心的坐标（三边加权）。 记 、、，则 。 ★ 权取的是对边：用 时配的是 （顶点 的对边），用 时配的是 （顶点 的对边）。这个地方最容易配错。 如果把三个顶点都写进去，就是 （ 为任意点），它是「三边加权平均」的另一种写法。 三、内切圆半径。 由 （ 为半周长）得 。 ★ 内心到三条边的距离都等于 ，这也是「内心 ⇒ 三个小三角形等高」的来源，面积比 由它而来。 四、垂心的两条垂直关系。 、、 三条里任取两条即可定出 。 坐标形式下，先由一条垂直关系把 的某个坐标定下来，再用第二条求另一个坐标。 ★ 垂心还有一个对称的数量积刻画：。 五、同一个基底下的四心对比。 设 ，把四个心代进去，得到的系数各不相同： 重心是 ；内心是 ；外心与垂心要现算（前者用垂直平分线、后者用高）。 ★ 于是「判断 是哪个心」这类题，只要把四个候选系数都算出来与选项对照即可。 例5（单选·★★★★☆） 已知在中，边上的高为是的内心，若 ，则 = （ ） A. B. C. D. 变式5-1（单选·★★★☆☆） 已知O是锐角所在平面内的一定点，动点P满足：，，则动点P的轨迹一定通过的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 变式5-2（多选·★★★★☆） 中，，点满足，设，则（ ） A. 若为的重心，则 B. 若为的内心，则 C. 若为的垂心，则 D. 若为的外心，则 四 奔驰定理与面积比 一、面积的分割。 是 内一点时，三个小三角形把大三角形恰好铺满：。 记 、、，下标与「不含哪个顶点」对应。 ★ 这一条是本节求最值的约束来源：三个面积之和是定值（即大三角形的面积）。 二、奔驰定理。 是 内一点时 。 反过来也用：若 且 、、 都为正，则 。 ★ 记忆办法：系数与「对面的那个小三角形」一一对应 —— 的系数是 ，而 正是不含 的那块（）。 三、四心对应的系数比。 把四心的性质代进奔驰定理，得到一组可以直接背的结论： 重心对应 ，即 ； 内心对应 ，即 （、、 为三边）； 外心对应 ；垂心对应 。 ★ 判断「 是哪个心」时，先把题给等式的系数比读出来，再与上面四条对照 —— 比逐个求坐标快得多。 四、由面积和求最值。 当题目给出两个小面积是 、 而第三个已知时，由「三者之和等于大三角形面积」得到 为定值，再把待求式化成单变量函数。 配方或用基本不等式求最值；分式结构常用「先通分、再令分子分母同除」的办法。 ★ 求最值时别忘了 、，以及由 为定值带来的范围限制。 例6（多选·★★★★☆） "奔驰定理"因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论。奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联。它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且。以下命题正确的是（ ） A. 若，则M为的重心 B. 若M为的内心，则 C. 若，，M为的外心，则 D. 若M为的垂心，，则 变式6-1（多选·★★★★☆） "奔驰定理"是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与"奔驰"轿车的标志很相似，所以形象地称其为"奔驰定理".奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，则。设O是内一点，的三个内角分别为A，B，C，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（ ） A. B. O有可能是的重心 C. 若O为的外心，则 D. 若O为的内心，则为直角三角形 变式6-2（单选·★★★☆☆） 已知是内的一点，且，。若，和的面积分别为1，，，则的最小值是（ ） A. B. 9 C. 15 D. 20 变式6-3（单选·★★★★☆） 已知M是内一点且，，若，和的面积分别为，x，y，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 四心与面积比的向量方法 平面向量 · 专题篇 一 重心与中线 一、重心的向量刻画。 设 是 的重心，则 。 反过来，对平面内任意一点 ，若 ，则 一定是 的重心 —— 这是充要的，可以两向用。 ★ 由它还能读出「三等分」：，这里 是平面内任意一点。 二、用两边表示重心。 取 为起点，则 。 ★ 两个系数都是 —— 这是本节最常用的一句，凡是要把重心的位置写成 、 的组合，直接套。 验证也简单：把 与 代进去，整理后正好得到 。 三、中线方向的识别。 的方向就是 边中线的方向 ——把 与 首尾相接看作两个位移，它们的和指向「两端点的中点」那一侧。 所以凡条件写成 （）的动点，轨迹都是从 出发的那条中线所在的直线，而直线一定过重心。 ★ 更一般地：只要括号里是 （两个系数相等），方向就还是中线方向。若两个系数不等，方向就换成了别的分割线，终点也不再是重心。 四、重心的面积性质。 三条中线把 分成 个面积相等的小三角形，所以 。 ★ 反过来也用：若 、、 的面积相等且 在内部，则 是重心。 例1（单选·★★☆☆☆） 已知菱形的边长为2，，是菱形内一点， 若，则 = （ ） A. B. C. D. 2 【切入点】条件是「」，这正是重心的刻画 —— 先把重心定下来，再把 用 、 写出来。 【关键】由 知 是 的重心，所以 。 菱形 中 ，，所以 是边长为 的等边三角形，。 于是 ；其中 。 所以 ，选 D。 【易错】第一处是菱形相邻内角互补： 对应 ，写成 会把 算成负的。第二处是 与 的区别：本题的等边三角形使得两者都是 ，但换成一般菱形时就只有一个角能用。第三处是 的两个系数都取 ——写成 就变成了「 在中线上离 两格」的错误位置。 【答案】D 变式1-1（多选·★★★★☆） 在中，，，是所在平面内一点且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点在直线上 B. 若点是的重心，则 C. 若，且，，则 D. 若点在内（含边界），则 【切入点】题干给的是「 为起点、 与 为一组基」的表示，四个选项分别在问直线、重心、面积与内部区域 —— 逐项翻译成坐标。 【关键】A 正确。以 为原点、、 为基， 且 说明 、、 三点共线，即 在直线 上。 B 错误。若 是重心，则 ，即 ，，不是 。 C 错误。取 为原点、 沿 轴、 沿 轴，则 、。由 、 得 ，即 。 于是 、，、，。 由 得 ，所以 ，不是 。 D 正确。 在 内（含边界）时，用这组基表示的两个系数满足 、且 ，所以 。故选 AD。 【易错】第一处是 B 项的数值：重心的两个系数都是 ，它们的和是 —— 把「系数」与「系数和」混起来就会选中 B。第二处是 C 项的面积算法：用坐标求三角形面积，可以先用数量积求出夹角的正弦，再代 ；若直接拿两向量的数量积当面积，得到的是余弦那一支，答案会完全走样。第三处是 D 项要连边界一起算： 落在边 上时 ，落在顶点 时 ，两个端点都取得到，所以是闭区间。 【答案】AD 变式1-2（多选·★★★★☆） 已知点是所在平面内一点，点为的中点，，，且，则（ ） A. 是的外心 B. 是的重心 C. D. 【切入点】题干给了一串「某点是某线段中点」的关系，以及一个向量等式 —— 把这三条关系都翻译成「以 为原点」的向量等式，看看它们合起来说的是什么。 【关键】把题干的三条关系整理成以 为起点的式子：由 得 ；由 得 ；由 为 中点得 。 B 正确。把 移项，注意 ，得 ，即 ——这正是重心对 的刻画，故 是重心。 A 错误。重心只保证 到三个顶点的向量和为零，与 到三个顶点的距离是否相等无关；外心要的是 ，题干没有给出这个条件。 C 正确。由 、 得 、，且 与 是同一个角。 代入 得 。 D 错误。 既然是重心，把 与三个顶点两两相连，得到的 、、 面积都相等（各占 的三分之一），所以 ，而不是两倍关系。故选 BC。 【易错】第一处是移项时的符号： 换成 要变号，符号弄错就成了三条向量的差，B 项会被误判为错。第二处是重心与外心的区别 ——这是本节最常考的一对，看见「向量和为零」想重心，看见「模相等」想外心，两者不能互换。第三处是面积比的算法：把每个向量按系数放大，面积就按系数之积放大，所以从 、 到 、 乘的是 。 【答案】BC 变式1-3（单选·★★★☆☆） 已知，，，，则下列结论错误的是（ ） A. 若是的重心，则 B. 若是的内心，则 C. 若是的垂心，则 D. 若是的外心，则 【切入点】三个点都给了坐标，问的是「 换成四心之一时 等于多少」——把每种心的坐标求出来，再解出 、。 【关键】，。设 ，由 得 且 ，两式相减消去 ：。 A 正确。重心 ，，，；代回得 ，故 。 B 错误。内心 由三边加权平均给出：、、，分母为 。代入算得 ，不是 。 C 正确。垂心 ：由 且 沿 轴，得 的横坐标为 ；再由 解出 。，由 得 ，，。 D 正确。外心 在 的垂直平分线 上，再由 得 。，由 得 ，，。故选 B。 【易错】第一处是内、外心的求法不一样：外心是「到三点等距」的点，用垂直平分线求；内心是「到三边等距」的点，坐标要用三边长度加权平均（哪条边对哪个顶点要看清）。第二处是垂心的两条垂直关系：用 只能定出一个坐标，还要再加一条 才够。第三处是 、 有正有负：垂心在三角形外部时会出现负系数，解方程时不要想当然地以为都是正数。 【答案】B 例2（单选·★★★★☆） 已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的 A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 【切入点】轨迹的形状由括号里那两个向量的方向决定 —— 要判断它们合并之后指向哪条特殊直线。 【关键】由正弦定理，、，于是 ， —— 两者相等。 记这个公共值为 ，则括号里 。 的方向是 边中线的方向，所以 始终在从 出发的中线所在直线上， 时 与 重合、 增大时 沿中线前进 ——这条轨迹一定通过重心，选 C。 【易错】第一处是分子分母的搭配：两个分母分别是 与 ，分母里的正弦与向量的终点字母对应，写成同一个角就不会相等，也就得不到中线方向。第二处是别把它当成角平分线：角平分线方向是 （单位向量之和），本题的分母多了一个正弦因子，凑出来的是中线。第三处是 的范围只影响 跑多远，不影响轨迹所在的直线 —— 判断「通过哪个心」时用不到它。 【答案】C 二 外心与垂直平分线 一、外心的刻画。 是 的外心，当且仅当 。 几何上它就是三边垂直平分线的交点，也是外接圆的圆心， 是外接圆半径。 ★ 题干里出现「到三角形的三个顶点距离相等」（写成 也一样）就是在说外心。 二、外心与数量积的桥梁。 设 为 的中点，则 ，把 拆成 ，与 作数量积时后一项为零，得 。 同理 、。 ★ 这一组式子把「外心的位置」换成了「几条边的长度」，是本节大多数题目的第一步。右边是边长平方的一半，不是边的长度，别少写那个平方。 三、由 求系数。 把两边分别与 、 作数量积，用第二条把左边的 换成 ，就得到关于 、 的两个方程。 再与题目另外给的条件（例如 ）联立，未知数就够解了。 ★ 联立时不必求出 ，除非题目问的是 本身。 四、由 求半径。 把式子移项后两边平方，左端出现 这类项，再用圆心角 把它化成 。 ★ 若三个角的余弦不好求，也可以只算一个数量积：。 五、外心在图形中的位置。 锐角三角形的外心在内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在外部。 ★ 判断「外心的位置」类选项时，先看三角形的形状即可，不必算坐标。 例3（单选·★★☆☆☆） 边长为 2 的等边三角形 的外心为 ，则 = （ ） A. B. 2 C. D. 【切入点】题干只说了「外心」，问的却是一个数量积 —— 这正是「外心与数量积的桥梁」那条性质能直接用上的地方。 【关键】 是等边三角形 的外心，由垂直平分线的性质 ，代入 得 。 而所求的是 ，与 差一个负号，所以 ，选 A。 【易错】第一处是 与 的方向：桥梁公式给出的是 ，本题问的是 ，两者互为相反数 —— 这正是选项 B 设的陷阱。第二处是平方不能漏：，写成 会得到 ，四个选项里没有，但下一步若继续算就会错下去。第三处是本题其实用不到「等边」这个条件 ——只要 是外心、，结论就成立；「等边」只是让图形更好画。 【答案】A 变式3-1（单选·★★★☆☆） 已知点为所在平面内一点，，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】三个模相等说明 是外心，于是 、、 都在以 为圆心的圆上 —— 把 用 、 表示，系数就是单位圆上的三角函数值。 【关键】由 知 是外心。由 与圆周角定理，圆心角 。 以 为原点、 为单位长度，取 沿 轴、 沿 轴，则 ，于是 、，。 点 落在弦 的另一侧：，所以 从 取到 （两端开）。 于是 ，该区间上 的最小值为 （当 时取到），最大值趋近 但取不到。故选 C。 【易错】第一处是 与 的倍半关系：圆周角是圆心角的一半，所以圆心角是 ，方向别写反。第二处是 在哪一侧 ——这是本题的关键：由 （大于半圆）可知 在 的另一侧，所以 的取值范围不是小小的一个锐角区间。第三处是端点的开闭： 对应 与 重合，三角形退化，故最大值 取不到 —— 选项 B 就设在这里。 【答案】C 变式3-2（填空·★★★☆☆） 已知 为 的外心，，，，其中 ，且 ，则 = ______。 【切入点】题干给了外心、两条边的长度和一个关于系数的线性条件，求的是外接圆半径 —— 先由桥梁公式把 换成边长。 【关键】由外心的桥梁公式 、。把 代入得 与 。 再联立 。由它得 ，代回两式消去 后解得 、，于是 ，。 【易错】第一处是 要敢用：题干只写 ，没有排除 ，所以解出 是允许的。第二处是 ——这两个向量互为相反向量，模相同，不要因为写了 就以为所求是别的量。第三处是回代检验： 时 ，说明 是 的中点 ——这正对应「 时外心在斜边中点」，与 、 的直角三角形相符。 【答案】 变式3-3（填空·★★★☆☆） 已知的外心O满足，若，且，则面积的最大值为____________。 【切入点】外心 ＋ 系数线性条件 ＋ 一条边的长度，求面积的最大值 —— 先把外心的两个桥梁公式写出来，把几何量之间的关系理顺。 【关键】记 、、，。由外心性质 、。 把 分别代入这两式，整理后解出 、。 代入 并通分：左边为 ，右边通分后为 。 两边同乘 并移项，左边恰好可以分解：。 由 知 ，所以只能是 ，即 。 代入余弦定理 得 。于是 ， 所以 。 平方后看成关于 的二次函数：，当 （即 ）时取最大值 ，所以 的最大值为 。 【易错】第一处是通分后那一步的因式分解：是本题的关键 —— 分解不开就只能在 、、 三者里乱试。第二处是为什么要舍掉 ：它代回 的表达式正好让分子为零，即 ，与题设「」冲突。第三处是最后一步的配方：把 看成关于 的二次函数，顶点在 处；要顺便检查这个 是否使 ——此时 ，确实合法。 【答案】 变式3-4（填空·★★★☆☆） 在中，为其外心，，若，则 = ________。 【切入点】外心 ＋ 一条边的长度 ＋ 一个关于三个位置向量的等式 —— 把等式移项后平方，就能把半径和圆心角联系起来。 【关键】记 。由 移项得 。 两边平方：左边为 ，右边为 。再代入 （ 为 ）， 得 ，即 。由 得 。 又 ，所以 。 【易错】第一处是移项方向：要单独留出一项再平方，不挪项直接平方会让左右两边都带交叉项，越算越乱。第二处是圆心角与圆周角的倍半：，所以数量积里出的是 ，用二倍角公式换成 之后才能与 挂钩。第三处是化简：，分母有理化要做干净。 【答案】 变式3-5（单选·★★★☆☆） 在中，，点在所在平面内且满足，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【切入点】三个平方相等说明 是外心，要求的是一个数量积的最大值 —— 先把目标式化简成一个只与角有关的式子。 【关键】由 知 是 的外心，记 。由 、 得 ，即 。 把目标式合并：。而 ，所以原式等于 。 再由外心的桥梁公式的反向用法：延长 交圆于另一点，或用圆心角，可得 （）。因为 ，所以 ，最大值 在 时取到。故选 C。 【易错】第一处是 ——用的是减法法则，别把它当成 。第二处是别急着求 的具体值： 的上界是 ，只要 落在允许范围内就能取到，而 确实允许。第三处是 的求法：由正弦定理 比用坐标快得多。 【答案】C 变式3-6（单选·★★★★☆） 在平面直角坐标系中，，，，点分别是的外心和垂心，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】题目同时给了外心 与垂心 ，又给了一个关于 的等式 —— 要把 用 表示，先得把两个心的位置写出来。 【关键】、，所以外心 在 的垂直平分线（ 轴）上，设 。 垂心 满足 。设 ，由 与 垂直、 解得 ，其中 。 于是 。题干说 与 平行，而 沿 轴，所以 的纵坐标必须为 ：。 代入前面那个关系式得 。又横坐标满足 ，解出 。 由 不在 上知 ，即 ，所以 。在这个区间上 、，故 ，且 时 、 时 ，所以 ，选 A。 【易错】第一处是「 与 平行」这个条件的威力： 沿 轴，所以 的纵坐标为零 ——这一步把 与 联系起来，是本题的转折点。第二处是 的范围： 是三角形的一个顶点，不能在直线 上，所以 是开区间内的值，对应的 也取不到端点。第三处是答案区间的方向： 从 走到 时 单调递增（从 到 ），不会出现正数，所以 B、D 都不对。 【答案】A 例4（填空·★★★★☆） 设点为的外心，，，。若，则 = ________。 【切入点】 用 、 表示，又给了一个关于系数的线性条件 —— 把向量等式分别与两条边作数量积，得到方程组。 【关键】设 。由外心的桥梁公式：，。 把 分别与 、 作数量积，注意 ： ，。再联立 。 由 代入第一式：，即 。代入第二式：。 把 代入后一项，整理得关于 的一次方程，解得 ，；回代得 。 【易错】第一处是数量积里那个 ： 不是 ，要乘夹角的余弦。第二处是联立时别急着求 、 ——本题问的是 ，把 、 当成中间量、最后消掉更快。第三处是检验： 对应 约为 ，是锐角，与「外心在三角形内」相容。 【答案】 三 内心与角平分线、垂心与高 一、内心的方向刻画。 的方向就是 的平分线方向 ——两个同向的单位向量首尾接起来，合向量必然落在它们的角平分线上。 所以凡条件写成 的动点，轨迹都落在 的平分线上，而角平分线的交点就是内心。 ★ 与重心那条对比记：括号里是 （长度相加）得中线方向、过重心；括号里是单位向量相加得角平分线方向、过内心。 二、内心的坐标（三边加权）。 记 、、，则 。 ★ 权取的是对边：用 时配的是 （顶点 的对边），用 时配的是 （顶点 的对边）。这个地方最容易配错。 如果把三个顶点都写进去，就是 （ 为任意点），它是「三边加权平均」的另一种写法。 三、内切圆半径。 由 （ 为半周长）得 。 ★ 内心到三条边的距离都等于 ，这也是「内心 ⇒ 三个小三角形等高」的来源，面积比 由它而来。 四、垂心的两条垂直关系。 、、 三条里任取两条即可定出 。 坐标形式下，先由一条垂直关系把 的某个坐标定下来，再用第二条求另一个坐标。 ★ 垂心还有一个对称的数量积刻画：。 五、同一个基底下的四心对比。 设 ，把四个心代进去，得到的系数各不相同： 重心是 ；内心是 ；外心与垂心要现算（前者用垂直平分线、后者用高）。 ★ 于是「判断 是哪个心」这类题，只要把四个候选系数都算出来与选项对照即可。 例5（单选·★★★★☆） 已知在中，边上的高为是的内心，若 ，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】题干给了两条腰和一条高，问的是内心用基底表示的系数比 —— 先把三条边都求出来，再用「三边加权」写出内心。 【关键】， 边上的高为 。设 中点为 ，则 、，于是 ，所以 。 记 、、，则内心满足 ， 即 、，所以 ，选 A。 【易错】第一处是权的对应： 前的系数用 ，而不是 ——「用哪条边配哪个顶点」是本题唯一的坑。第二处是 的求法：等腰三角形底边的一半、高与腰构成直角三角形，所以 ，不要直接拿 当底边。第三处是可以用另一种办法检验：先算 ，半周长 ，内切圆半径 ，再取 为原点、 沿 轴算出内心的坐标，结果与上面一致。 【答案】A 变式5-1（单选·★★★☆☆） 已知O是锐角所在平面内的一定点，动点P满足：，，则动点P的轨迹一定通过的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 【切入点】与上一节的「轨迹过重心」同一套路，只是括号里的配比换了 —— 先看两个向量的方向合起来指向哪条特殊直线。 【关键】由正弦定理，， —— 两者相等，记为 。 于是 ，同理第二项为 。括号里整体等于 ，方向正是 的平分线方向。 所以 在 的平分线上，这条直线与另外两条角平分线的交点是内心，选 B。 【易错】第一处是分母的次数：本题分母是 ，比上一节多了一个 ——正是这个多出来的模把 变成了单位向量。第二处是两个分母里的角：与 配套的角是 的对边关系，这里写的是 ，两个正弦仍然相等（都是 ），所以结论不变 —— 但换成别的系数就不一定了。第三处是「轨迹过哪个心」的答题方式：直线过内心，但 不一定跑遍整条直线，选项说的是「轨迹一定通过」，用词是准确的。 【答案】B 变式5-2（多选·★★★★☆） 中，，点满足，设，则（ ） A. 若为的重心，则 B. 若为的内心，则 C. 若为的垂心，则 D. 若为的外心，则 【切入点】同一个基底、同一个待定参数 ，四个选项各自指定 是哪一个心 —— 把四个心的系数分别算出来即可。 【关键】 中 、，记 、、。 A 正确。重心 ，。 B 正确。内心 ，。 C 正确。垂心：等腰三角形中垂心在对称轴上。以 中点为原点、 沿 轴，则 、、。由 解得 ，，解出 ，。 D 错误。外心 也在对称轴上，由 得 ，，解出 ，，不是 。故选 ABC。 【易错】第一处是内心系数的权重： 配 、 配 ，本题恰好相等所以看不出差别；换成不等边的三角形就必须按「对边」配。第二处是垂心与外心的位置：等腰三角形里两个心都在对称轴上，先用对称性把横坐标定成 ，再解纵坐标，比直接列两条垂直关系快。第三处是四个 的量级：重心 最大，内心 、垂心 、外心 依次减小 ——选项把外心写成 （比重心还大），从量级上就能先怀疑它。 【答案】ABC 四 奔驰定理与面积比 一、面积的分割。 是 内一点时，三个小三角形把大三角形恰好铺满：。 记 、、，下标与「不含哪个顶点」对应。 ★ 这一条是本节求最值的约束来源：三个面积之和是定值（即大三角形的面积）。 二、奔驰定理。 是 内一点时 。 反过来也用：若 且 、、 都为正，则 。 ★ 记忆办法：系数与「对面的那个小三角形」一一对应 —— 的系数是 ，而 正是不含 的那块（）。 三、四心对应的系数比。 把四心的性质代进奔驰定理，得到一组可以直接背的结论： 重心对应 ，即 ； 内心对应 ，即 （、、 为三边）； 外心对应 ；垂心对应 。 ★ 判断「 是哪个心」时，先把题给等式的系数比读出来，再与上面四条对照 —— 比逐个求坐标快得多。 四、由面积和求最值。 当题目给出两个小面积是 、 而第三个已知时，由「三者之和等于大三角形面积」得到 为定值，再把待求式化成单变量函数。 配方或用基本不等式求最值；分式结构常用「先通分、再令分子分母同除」的办法。 ★ 求最值时别忘了 、，以及由 为定值带来的范围限制。 例6（多选·★★★★☆） "奔驰定理"因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论。奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联。它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且。以下命题正确的是（ ） A. 若，则M为的重心 B. 若M为的内心，则 C. 若，，M为的外心，则 D. 若M为的垂心，，则 【切入点】题干已经把奔驰定理写出来了，四个选项分别把它与四心挂钩 —— 逐项把「系数比」翻译成「面积比」，再判断。 【关键】A 正确。若 ，由奔驰定理得 ，所以 是 的重心。 B 正确。 是内心时， 到三边的距离都是内切圆半径 ，于是 、、，即 。代入奔驰定理并对 约分，得 ；而 、、，正是选项写的那一条。 C 错误。 是外心时 ，所以 。、、，对应的三个正弦值之比为 ，不是 。 D 正确。 是垂心时 。由题给的系数比得 。设 ，由 得 ，解得 ，所以 、。故选 ABD。 【易错】第一处是外心与垂心的系数比顺序：外心是 ，垂心是 ，两者不要互换；记忆的钩子是「外心连半径、出现圆心角 」。第二处是内心情形的推导：关键一步是「三个小三角形的高都是 」，所以面积比等于底边比 ——这一步不写出来，直接背 容易配错边。第三处是 D 项用到的三角恒等式：只在 时成立，是三角形内角才有的关系。 【答案】ABD 变式6-1（多选·★★★★☆） "奔驰定理"是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与"奔驰"轿车的标志很相似，所以形象地称其为"奔驰定理".奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，则。设O是内一点，的三个内角分别为A，B，C，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（ ） A. B. O有可能是的重心 C. 若O为的外心，则 D. 若O为的内心，则为直角三角形 【切入点】题干先给出奔驰定理，再给一个具体的系数等式 ，选项围绕它问面积比与心的类型 —— 先把系数比读成面积比。 【关键】由奔驰定理，系数比就是面积比，所以 。 A 正确。这正是上面读出的比例。 B 错误。重心要求 ，而 三块面积互不相等，所以 不可能是重心。 C 正确。 为外心时 。 D 正确。 为内心时 ，设 、、，由 知 是直角三角形。故选 ACD。 【易错】第一处是 A 项的方向：奔驰定理里「系数对应的是不含该顶点的小三角形」，所以 的系数 对应 （即 ），顺序不能倒。第二处是 D 项的关键一步：由 想到勾股数是自然的，但要写清「、、 是三条边」以及「最大边作斜边」，才能断定直角。第三处是 C 项与 D 项是「同一个比例、两种心」，这说明光看面积比不足以定出是哪个心，必须结合题目额外给的条件（这里是外心、内心的身份）。 【答案】ACD 变式6-2（单选·★★★☆☆） 已知是内的一点，且，。若，和的面积分别为1，，，则的最小值是（ ） A. B. 9 C. 15 D. 20 【切入点】题干给了两条边的夹角与数量积，又给了三块小面积中的一块 —— 先用数量积算出大三角形的面积，再靠「面积之和」得到 为定值。 【关键】由 与 得 ，所以 。 于是 。由面积分割得 ，即 （、）。 把 代入待求式：。求导并令其为零：，解得 。 代回得 ，选 C。 【易错】第一处是数量积与面积的关系： 给的是余弦那一支，面积用的是正弦那一支，要从数量积先解出两条边的乘积，再乘正弦。第二处是 的来源：「三块小面积之和等于大三角形面积」这一步必须写出来，它是本题唯一的约束。第三处是别忘了 ：驻点 确实在这个区间内，最值可以取到。 【答案】C 变式6-3（单选·★★★★☆） 已知M是内一点且，，若，和的面积分别为，x，y，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【切入点】与上一题同族，只是数值换了 —— 仍然先用数量积求大三角形面积，再靠面积和得约束。 【关键】由 与 得 ，于是 。 由 与面积分割得 ，即 （、）。 把 代入：。求导并令其为零：，解得 。 代回得 ，选 D。 【易错】第一处是待求式里只有 与 ，没有 那一项 ——与上一题对照着看，不要因为结构相似就把式子抄错。第二处是化简时统一分母：，这一步把分母的分数去掉，后面求导才清爽。第三处是驻点的范围： 要满足 ，确实在区间内，最值可以取到。 【答案】D 学科网（北京）股份有限公司 $