平面向量中的奔驰定理以及三角形四心的相关计算专项训练-2027届高考数学一轮复习

平面向量中的奔驰定理以及三角形四心的相关计算 目录 奔驰定理和四心的性质及证明 奔驰定理以及四心的向量式 题型一四心的识别 题型号奔驰定理 题型三 四心的相关计算 题型四奔驰定理与四心的综合题 知识点·梳理 技巧一.四心的概念介绍： (1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1. (2)内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等. (3)外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等. (4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直. 技巧二，奔驰定理一一一解决面积比例问题 重心定理：三角形三条中线的交点. 已知△ABC的顶点A(,,B(,,C(x),则△ABC的重心坐标为G++,++班 3 3 注意：(1)在△ABC中，若O为重心，则OA+OB+OC=0. (2)三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等. 重心的向量表示：AG=号A丽+子AC. 奔驰定理：SAOA+SBOB+S。OC=0,则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于A3:1:11 奔驰定理证明：如图，令11OA=OA1,OB=OB1,1OC=OC1,即满足OA1+OB1+OC1=0 六调·京故5w说A S△AOB 技巧三.三角形四心与推论： (1)0是△ABC的重心：SABo0:S%o4:S△4s=11:1台OA+OB+OC=d. (2)0是△ABC的内心：SBOC:Sc04:SAOB=a:b:c台aOA+bO元+cOC=0. (3)O是△ABC的外心： S△Bo:S△coA:S△AoB=sin2A:sin2B:sin2C台sin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0. (4)O是△ABC的垂心： SAB0C:SACOA:SAAOB-tan A:tanB:tanC+tanAOA+tanBOB+tanCOC=0. 技巧四.常见结论 (1)内心：三角形的内心在向量 AB AC 所在的直线上 AB AC AB|·PC+BC·PC+|CA·PB=0P为△ABC的内心. (2)外心：PA=PB=PC台P为△ABC的外心. (3)垂心：PA·PB=PB·PC=PC.PAP为△ABC的垂心. (4重心：PA+PB+PC=0台P为△ABC的重心. 奔驰定理和四心的性质及证明（全） 【重心】：若O为△ABC重心 (1)SABOC:SACOA:SMAOB-1:1:1: (2)0A+OB+OC=0: (3)动，点P满足OP=OA+A(AB+AC),A∈(0，+oo),则P的轨迹一定通过△ABC的重心 (4)动点P满足OP=OA+1 AB AC ,A∈(0十∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC ABsinB ACsinC 的重心 (5)重心坐标为： (DA十CB十rCA十yB十yc 3 3 【垂心】：若O为△ABC垂心 (1)0A.OB=0B.OC=OC.OA (2)0A+BC=0B+CAP-OC+AB (3)动点P满足OP=OA+ AB AC ,A∈(0，+oo),则动点P的轨迹一定通过△ABC AB cosB AC cosC 的垂心 (4)S△Boc:SAco4:S△aoB=tanA:tanB:tanC (5)tanA.OA+tanB.OB+tanC.OC=0. 【内心】：若O为△ABC内心 (1)SABOC:SACOA:SAAOB-a:b:C (2)aOA+b.0B+c.OC=0 3)动点P满足OP=OA+A丽+AC ,A∈[0，+o),则P的轨迹一定通过△ABC的内心 (4)OA. AC AB OB BC BA CA CB =0 AC ABI BC BA ICA 【外心】：若O为△ABC外心 B (1)OA=OB=OC; 2)动点P满足O驴=O丽0C+ AB AC 2 ,A∈(0，十o),则动点P的轨迹一定通过 ABcosB AC cosC △ABC的外心： (3)若(OA+OB)·AB=(OB+OC)·BC=(OA+OC)·AC=0,则O是△ABC的外心： (4)S△Boo:Sco4:S△4oB=sin2A:sin2B:sin2C: (5)sin2A.OA+sin2B.OB+sin2C.OC=0. 奔驰定理以及四心的向量式 证明：已知O是△ABC内的一点，△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为SA,SB,Sc,求证：SA·OA+ SaOi+So·0C=0 【解答】如图，延长OA与BC边相交于点D则 BD SAABD SABOD SAABD SABOD So DC SAACD SACOD SACD-SACOD SE o-%0丽+肥0d BC = _SO2+。 Se OC Se+Sc SB+Sc OD=SpoDScop.=Saop+Scop8 OA SBOA SCOA SBOA+SCOA SB+Sc .O=- SA OA SB+Sa SA OA= Se OC SB+Sc SBOB+ SB+Sc SB+So ∴.S4OA+SgOB+SoOC=0 推论：O是△ABC平面内的一点，且xOA+yOB+zOC=0,则 S0ScOSy5B0C S△ABC x+y+z 【奔驰定理与三角形四心向量式】 1、O是AABC的重心台SABOC:Sco4:SaA0B=1:1:1台OA+OB+O元=d 2、0是△ABC的内心台SABOC:Sco4Sa4oB=a:b:c台a·OA+bOi+cOC=0 3、O是△ABC的外心台SABOC:SACOA:SAAOB=sin2A:sin2B:sin2C sin2A.OA+sin2B.OB+sin2C.OC=0 4、O是△ABC的垂心台SABOC:S&COA:S△4oB=tanA:tanB:tanC tanA.OA+tanB.OB+tanC.OC=0 0 证明：如图0为三角形的垂心，tanA=CD D:tanB=CD tan A:tanB=DB:AD DB SABOC:SACOA=DB:AD .SABOC:SACOA=tanA:tanB 同理得SACOA:SAAOB=tanB:tanC,SABOC:SaoB=tanA:tanC SABoc:SACOA:SMAOB=tan A:tan B:tanC 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一 题型一四心的识别 题目1)己知点P是△ABC所在平面内点，有下列四个等式： 甲：PA+P元+PC=0;乙：P☑(PA-P)=PC.(PA-PB): 丙：PA=|P=PC丁：PA·PB=PB.PC=PC·PA. 如果只有一个等式不成立，则该等式为() A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【答案】B 【解析】 甲：P为△ABC的重心： 乙：(PA-PC·(PA-PB)=0→CA·BA=0,即△ABC为Rt△： 丙：P为△ABC的外心： 丁：P为△ABC的垂心（投影转换） 则△ABC为等边三角形时，三心重合，故选B, 题目2已知点O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足O=OA+ AC A∈[0，+∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的（) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【答案】B构造菱形 题目3若O在△ABC所在的平面内，a,b,c是△ABC的三边，满足以下条件 a·OA+b·OB+c·OC=0,则O是△ABC的() A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心 【答案】B奔驰定理 题目4)若O在△ABC所在的平面内，且满足以下条件 OA.AC AB =OB BC BA CA CB =0,则O是△ABC的 BA CB () A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心 【答案】B构造菱形 【四心之垂心】 题目5已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足O2=OA+ AB AC A∈(0，+oo),则动点P的轨迹一定通过△ABC的(). ABcosB AC cosC A.重心 B.外心 C.内心 D,垂心 【解析】原式为A下= AB AC ABcosB ACcosC 等式两边同时乘BC,得A下.BC=A AB·BC AC.BC ABcosB ACcosC AB·BC AC.BC ABcosB ACcosC =BC-|BC=0,∴AP·BC=0→AP⊥BC 题目6P是△ABC所在平面上一点，若PA·PB=PB·PC=PC·PA,则P是△ABC的() A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 【解析】PA·PB=PB·P乙→PB·(PA-PC=0→PB⊥CA,其它同理 题目7若H为△ABC所在平面内一点，且HA+BC-H|+CA=HC+AB}P 则点H是△ABC的() A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 【解析】HA+BC=HP+CAHA+(B五+C)'=+(C+HA)P 得HA·B=HC·HA→HA·C元=0，即HA⊥C死，同理可得B⊥AC,HC⊥BC 【四心之重心】 题目8已知G是△ABC所在平面上的一点，若GA+G五+GC=0,则G是△ABC的(). A.重心 B.外心 C.内心 D,垂心 【解析】A重心的性质 题目9已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+(AB+ AC),1∈(0，+oo),则P的轨迹一定通过△ABC的(). A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 【解析】OP=OA+A(AB+AC)→AP=A(AB+AC) 题目10O是△ABC所在平面内一点，动点P满足OP=OA+A AB AC ABsinB ACsinc 1∈(0，+o),则动点P的轨迹一定通过△ABC的() A.内心 B.重心 C.外心 D,垂心 【解析】 AB AC A正+A ,h为BC边上的高 ABsinB ACsinc h h .AP= (B+) 【补充】--重心坐标为（匹4十十C,A+y十2 3 3 【四心之外心】 题目11已知O是△ABC所在平面上一点，若OA=OB=OC°，则O是△ABC的(). A.重心 B.外心 C.内心 D,垂心 【解析】外心的性质 题目2己知0是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足O=O丽+O正 2 AB AC ,1∈(0，+o),则动点P的轨迹一定通过△ABC的()。 ABcosB ACcosC A.重心 B.外心 C.内心 D,垂心 【解析】取BC中点1M,则O丽+O正 2 =OD. OP-O= AB AC 移项后同乘BC ABcosB ACcosC DP=入 AB AC →DP.BC= AB.BC AC·BC AB cosB ACcosC ABcosB ACcosC DP.BC=A(-BC+BC列=0，即DF⊥BC 题目13]O是△ABC所在平面上-点，若(OA+OB)·AB=(OB+OC)·BC=(OA+OC)·AC= 0,则O是△ABC的(). A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 【解析】记AB中点为D,(OA+OB)·AB=0→OD⊥AB,其它同理 题型二 奔驰定理 题目1)已知点P是△ABC所在平面内一点，满足2PA+5P2+3PC=0,SA4B0=s,则SP0 2 【解析】（法1）：由结论推广可得， SAPBC SAABC 2+5+35所以SP05 (法2)：由2PA+5PB+3PC=0可得2(PA+PB)+3(PB+PC)=0,设AB,BC中点分别是D,E, 得2师+丽-司，所以点P在中位线上，里品-号所以3g号3c号号3青 1 题目2已知点P是△ABC所在平面内一点，满足PA+PB+2PC=3AB,则△ABP与△ABC面积之 比是 【解析】（法1）：由PA+PB+2PC=3AB得，PA+PB+2PC=3(PB-PA,即4PA-2PB+2PC 一，海始论广得-号专 2 (法2)：由PA+PB+2PC=3AB得，PA+PB+2PC=3(PB-PA),即4PA-2PB+2PC=0,化 简得2PA-PB+PC=了，由PA-PB+PA+PC=0,得AB=PA+PC,设AB中点为D,则AB =2PD,所以点P在△ABC的中位线上，所以S2=1 SAABC -2 题目3设P为△ABC所在平面上一点，且满足3PA+4P元=mAB(m>0).若△ABP的面积为8， 则△ABC的面积为 【答案】14 【解析】法一：共线系数和+分点恒等式+等积变形 马P风+P元=9m>0,谈H为线段AC上-点，且A=AC, 则☑+元=店=丽， PD∥AB,S8p=SN=8x子=14 D 法二：奔驰定理推论：O是△ABC平面内的一点，且xOA+yOB+zOC=0,则 ①S:S4Sa4o9=lll2；②g0c=，卫 S△AB0x+y+Z .3PA+4PC=mAB(m+3)PA-mPB+4PC=0, S△APC 4 SAABC m+3-m+4-7 →SAB014 题目4已知O是△ABC内部的一点，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a=3,b=2,c=4,若sinA·OA +sinB·OB+sinC.OC=0,则△AOB与△ABC的面积之比为() A吉 B c号 D号 【答案】A 【解析】由正弦定理 b sinA-sinB sinC =K,又a=3,b=2,c=4,所以得 7301+20丽+100=0，国为是≠0所以30i+20+1,0C=0 设OA=30A,OB=20B,0C=40C,可得OA+OB+OC=0,则O是△4B1C1的重心，S04 =So8G=SoAa=S,利用S=号AOB,sin.∠A,OB,sin2A0B=sin∠A,OB,所以S09= S 号OA·OBsin/AOB OA·OB }0A·0Bsin∠A,0B30A·20元 吉州以8一吉8同理可件吉8.5ae方3 所以△A0B与△ABC的面积之比为合S到合3+号S+是S)=49即为吉 9 10 题目5已知O是三角形ABC内部一点，且OA+2O厉+OC=0,则△AOB的面积与△ABC的面积 之比为() A方 B c D.g 【答案】C 【解析】如图，设OA+OC=O元，OA+2OB+OC=0,.OD=-2OB,设AC与OD交于点M, 则M平分AC,BD,∴.OM=-OB,O是BM中点， 故选：C M 题目6若点M是△ABC所在平面内的一点，点D是边AC靠近A的三等分点，且满足5A☑=AB+ AC,则△ABM与△ABD的面积比为() A司 B子 .3 D.25 【答案】C 【解析】M是△ABC所在平面内一点，连接AM,BM,延长AM至E使AE=5AM, .5AM=AB+AC=AE..AB=AE-AC=CE. 连接BE,则四边形ABED是平行四边形，向量AB和向量C五平行且模相等， 由于AC=3Ad,所以Sa0号8ac,又A亚=5，所以Sar-号Saae, 1 在平行四边形中，S△ABD=S△HBB,则△ABM与△ABD的面积比为 SEABD 5, 故选：C A M D B E 题目7平面上有△ABC及其内一点O,构成如图所示图形，若将△OAB,△OBC,△OCA的面积分别 记作S。,S。,S。,则有关系式S。OA+S,OB+S。OC=0.因图形和奔驰车的1ogo很相似，常把上 述结论称为“奔驰定理”.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若满足a·OA+b·OB +c·OC=0,则O为△ABC的() B A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【答案】B 【解折1h品0A180店00-0得01-受0月受0c Sa 由a·0A+boB+c0d=i得0A=-bO-eO元， 0. 单指手西向亚运去定理得-受台受-吕 所以8=6，g=e Sa a'Sa a 延长CO交AB于E,延长BO交AC于F, A 0 B D 12 0S。-AE,又S6=b所以4b ACI S。- Sa a BE a BC' 所以CE为∠ACB的平分线， 同理可得BF是∠ABC的平分线， 所以O为△ABC的内心. 题型三 四心的相关计算 题目1著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外 心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理.己知 △ABC的外心为O,重心为G,垂心为H,M为BC中点，且AB=5,AC=4,则下列各式正确的有 ①AG·BC=-3②AO·BC=-6 ③Oi=OA+OB+OC④AB+AC=4OM+2HM 【答案】①③④ 【解折】时于①，△ABC重心为G,有AG=号=吉店+4AC, 故AC元=丽+ACAC-)=AC-A)=16-25)=-3,故①正确： 对于②，△ABC外心为O,过三角形ABC的外心O分别作AB、AC的垂线，垂足为D、E,易知D、E 分别是AB、AC的中点，有A0·A店=号A丽=岁，A0AC=AC=8 A0·BC=A0(4C-A=8-空=号故②误： D G B M 对于③，由欧拉线定理得2OG=G7,即Oi=3OG,又有GA+GB+GC=0, *OA+OB+OC=(OG+GA)+(OG+GB)+(OG+GC)=30G+GA+GB+GC=30G, Oi=OA+O元+OC,故③正确： 对于④，由Oi=3OG得Mi-M0=3(MG-MO),故MG=号MO+1Mi, 所以AB+AC=2AM=-6MG=4Od+2M,故④正确. 题目2若0为△ABC的重心（重心为三条中线交点），且OA+O2+OC=0,则A=一 【答案】1 【解析】在△ABC中，取BC中点D,连接AD 由重心的性质可得O为AD的三等分点，且OA=一2OD, 又D为BC的中点，所以OB+OC=2OD, 所以OA+OB+OC=-20D+OD=0,所以1=1. 故答案为：1 题目3锐角△ABC中，a,b,c为角A,B,C所对的边，点G为△ABC的重心，若AG⊥BG,则cosC 的取值范围为 【s传9) 【解折1由通意G-号×号aC+庙=}0+，武=号×号厨+0=}厨+0。 B 又AGLBG,则AG·BC=AC+A(a☑+BC)=号Ad·BA+AC·BC+A正·BA+A BC)=0, 所以CA·CB=AC·AB+BA·BC+AB,即abcosC=bccosA+accosB+c, 由ca1-2,a8-cmC- 所以a46=5 oC=号8+合. a2+b=5c2 由△AC为气角三商形夏上式，即之脚可得9>名>香 a b2+c2>a2 3 所以cOsC在 ∈(5,1)上递减，在(1,5)上遥增，则≤cosC< a 3 2 5 3 故答案为：53) [46 题目④设点0是△ABC外接圆的圆心，AB=3,且Ad·BC=-4,则sinB的值是 sinC 【答案】号 【解折】A0·BC=Ad0(AC-A西)=2AC-2→AC=1 1 外心向量计算可以构造方程组 题目司己知点0是△ABC的外心，若Ad=青A店+号AC,则cos∠BAC- 【g平 【解析】一一构造方程组 [A0·AB=青AB+AC·AB [引AB|=AB+AC.cosA A=2AC·cosA A0·AC=吉A店·A0+号ACAC=AosA+AC{7AC=8A店c0sA 解得cos∠BAC=7(负值已舍去) 4 题目6已知点0是△ABC的内心，若Ad0=吉A丽+号AC,则cos∠BAC=() A号 B c D 【答案】C A F 4k 16k 4k -16k 16k H 5k C 36k B 15 江西赣州市高一期中第16题一一外心、重心相关计算 题目7△ABC中，AB=3,AC=6,G为△ABC的重心，O为△ABC的外心，则AO·AG= 【答案】空 【解折】0·AG=专40·（正+A0)=合A正+AC)= 题目8(1)己知△ABC的外心为O,且AB=5,AC=3,则AO·BC= (2)己知△ABC的重心为O,且AB=5,AC=3,则AO·BC= (3)己知△ABC的重心为0，且AB=5,AC=3,A=号，D为BC中点，则A0:O历= 【答))-8：2-9：38 【解折1140·B0-A0(AC-A=号-空=-8： 2A6·元=号店+Ad(厨+AC)=号AC-)=9 3a0-0而=号0=号m=5丽+AC=S×25+9+15)=8 题目9设H为△ABC的垂心，且3HA+4HB+5HC=0,则cos∠AHB= 【答案】-6 6 【解析】 [方法1]H为△ABC的垂心.A·B=H元.HC=HC.HA HA·(3HA+4HB+5HC)=3HA+4HA·HB+5HA·H元=0 则有3HA+9HA.H酝=0→HA.HE=- HA ,同理可得A酝=_ B HA·HB (HA·HB)2 coS∠AHB= HA·H VHA.HBP [方法2]奔驰定理 D 3HA+4HB+5H乙=0→tanA·HA+tanB·HB+tanC.HC Sa:SB:So=tanA:tanB:tanC=3:4:5 itanA=3x,tanB=4x,tanC=5x 1-20m9x= tanA=-tan(B+C)=3x=-72 5 C=a→∠AHB=π-∠C 16 tanC=. 5W5 5 6 cOS∠AHB=- 6 6 题目10（多选）对于给定的△ABC,其外心为O,重心为G,垂心为H,则下列结论正确的是（) A.A0A店=A B.OA·OB=OA·OC=OB.OC C.过点C的直线1交AB、AC于E、R,若AE=A,A=AC,则是+上=3 D.A五与 AB AC 一共线 ABIcos B ACIcosC 【答案】ACD 【解析】显然A正确，B错误，OA·OB=OA·OC=OB·OC。O是垂心 A M C B 对于C选项：AG=t面+(1-)A=t材A店+1-AC=专店+专AC t切=号 所以 → (1-t)μ=3 1)1得子+3，故C正确 34 AB AB·BC AC·BC D选项： AC BC BC+BC =0. ABcosB ACcosC AB cosB ACcosC 题目11著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到 外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理. 已知△ABC的外心为O,垂心为H,重心为G,且AB=2,AC=3,则下列说法正确的是（) A.Ali.BC=0 B.GC-号 C.A0BC=号 D.OH=OA+0B+OC 【答案】ACD 【解析】常规法&特殊化处理 A OG H a BH C 对于A选项，显然正确， 对于B选项，AGBC=专（店+AC)(AC-A丽）=号，也可结合国像排除，显然夫角为锐角 对于C选项，结合投影，AdBG=A0:(4C-A=多 对于D选项，O月=30G=3(OA+AG=30A+AB+AC =3OA+AO+OB+AO+OC=OA++OB+OC,故D正确 【重心恒等式补充】P为平面内任意一点，有P元=号(P网+P丽+P元) 题目12著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到 外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理. 设点O,H分别是△ABC的外心、垂心，且M为BC中点，则() A.AB+AC=3HM+3MO B.AB+AC=3HM-3MO C.AB+AC=2HM+4MO D.AB+AC=2HM-4MO 【答案】D 【解答】解：如图所示的Rt△ABC,其中角B为直角，则垂心H与B重合， Mf--- B(H O为△ABC的外心，.OA=OC,即O为斜边AC的中点， 又：M为BC中点，∴.A五=2OM, :M为BC中点，AB+AG=2AM=2(A7+Hi)=2(2O+m=4Oi+2H7=2H7- 4MO.故选：D. 山东省枣庄、滕州市高一期中联考第16题一一外心相关计算 题目13已知0是△ABC的外心，AB=6,AC=10,若A0=xAB+yAC,且2x+10y=5(x≠0)，则 △ABC的面积为 【答案】20√2 【解析】 AO·AB=xAB+yAC·AB→18=36x+60y:cosA→3=6x+10 y.cosA 代入10y=5-2x,得3=6x+(5-2x)·cos0 AO·AC=xAB·AC+yAC→50=60x·c0sA+100y→5=6x·cosA+10y 代入5=2m+10g,得2=6c0 sAcosA=号sinA=2y2 3 3 故面积为20√2 【补充】若去掉条件(x≠0)，则需要考虑外心在AC上的情况，此时△ABC为Rt△，面积为24 题目14(1)已知△ABC的外心为O,且AB=5,AC=3,则A0·BC=一· (2)己知△ABC的重心为O,且AB=5,AC=3,则AO·BC= (3)已知△ABC的重心为0，且AB=5,AC=3,A=行，D为BC中点，则A0.O历= 【答案】-8 -16 49 3 18 【解析】(1)由题意得：如图 过O作OD⊥BC,垂足为D,则D是BC的中点 BC=AC-AB.AO=AD+DO,AD=(AB+AC) 叉：AC=3,AB=5 ·A0·BC=(AD+D0)·BC=AD·B元=A+AC(AG-A)=2AC-A)=-8 B D (2)根据重心的性质，知重心将相应的中线分成2：1两部分 19 Ad=号AD=号A+AC,BC=AC-A 40·元=}+AC(4C-=青4C-)=-9 A B D C (3)根据重心的性质，知重心将相应的中线分成2：1两部分 0i=2A6,A6=号AD=号(A店+4AC A店+AC=A+AC+2 BACCosA-=25+9+30×号=49 A0.0-a0-号A=吉A+AC六×49-碧 A B C D 题目15在△ABC中，AB·AC=16,SAAB0=6,BC=3,且AB>AC,若 O为△ABC的内心，则AO·BC=· 【答案】-3 【解析】因为AB·AC=16,所以AB·ACCosA=16, 因为S△c=6,所以ABACsin A=6, 所以是又n46A=1,o4>0n4≥0， D 所以n4-号c0s4-青所以ABAC-0, 5 20 由余弦定理可得BC2=AB+AC2-2AB·ACcosA,又BC=3, 所以AB+AC=41,又AB>AC,所以AB=5,AC=4, 所以△ABC为以AB为斜边的直角三角形， 设△ABC的内切圆与边AC相切于点D,内切圆的半径为r, 由直角三角形的内切圆的性质可得r=AC+C-AB=1,故OD=1, 2 因为AD⊥BC,所以AD·BC=0, 因为OD⊥AC,BC⊥AC,所以OD∥BC,所以DO·BC=-3 所以AO·BC=(AD+DO)·BC=A⑦·BC+DO·BC=-3. 故答案为：一3. 题目16设I为△ABC的内心，AB=AC=5,BC=6,A=mAB+nBC,则m+n为 【塔品 【解析】因为AB=AC=5,所以取BC中点为O,连接AO, 则AO⊥BC,且△ABC的内心I在AO上，IO即为△ABC的内切圆半径T, 又BC=6,所以AO=√AB-BO=4, 因为S=号8C×A0=AB+BC+A0)×m,即6×4=5+5+6)×I0, 所以0=A= 2 以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立坐标系，则A(0,4),B(-3,0),C(3,0),则AB=( -3,-,Bc=(6,0,d=(0-5) 因为及=mA+nBC,即(0-多)=m-3,-+n6.0. 所以 烟之，解得m-0-=品州以m+君亮=品 -3m+6m=0 题目回在△ABC中，casA=是.0为△ABC的内心，若A0=A店+yAC红yE,则x+y的最 大值为() A号 B.6-6 .7-7 D.8-22 5 6 7 【答案】D 【解析】如图：圆O在边AB,BC上的切点分别为E,F,连接OE,OF,延长AO交BC于点D 设∠0AB=0,财co8A=cos20=1-2sim0=星，则sn0=平 4 设AD=1AO=1cAB+1yAC :B,D.C三点共线，则证+刘=1，即x+y=月 1AO AO 1 40+0D≤A0+0FF1+Q5 1-8-2W2 1+9器 1+sin 1+ 7 AO 即x+y≤8-22 7 E DF 题目18已知点0是△ABC的内心，若A0=是A正+号AC,则c0s∠BAC= 【答发]行 【解折】国为-0A=2(0丽-0A+(00-0A,即0C=-3(OA+0B), 取AB中点D,连接OD,则OA+OB=2OD,故OC=-6O元，故点C,O,D共线， 又∠AC0=∠B0.故AC=BC,且CD1AB,所以c0s∠BAC=8-8肥=吉 故答案为：工 6 o 22 题目19已知O为△ABC的外心，AC=3,BC=4,则OC·AB= 【答】司 【解析】如图：E,F分别为CB,CA的中点，则OE⊥BC,OF⊥AC .OC.AB=OC.(CB-CA)=OC.CB-OC.CA =(OE+EC)·C2-(OF+FC)·CA =OE.CB+EC.CB-OF.CA-FC.CA =-IC-(cAF) =号0-l0@)=号×9-16)=-7 故答案为：一子 题目20在△ABC中，AB=6,AC=35.点M满足A=A店+子AC.过点M的直线1分别与 边AB,AC交于点D,E且AD=A正，A应=1AC.已知点G为△ABC的外心，AG=A店+ AC,则AC为 【答案】3√10 【解析】：D,M,E三点共线，.可设A=tAD+(1-t)AE(0<t<1), 古=，4C=1-,脚0=高，=4C, 5t 条=为 1,即1=5t,u=4-4t,AG=5tAB+(4-4t)AC: 41-t)= ..CG=AG-AC=5tAB+(3-4t)AC,BG=AG-AB=(5t-1)AB+(4-4t)AC, :G为△ABC的外心，∴AG=BG=CG, [(40t-40t)AB·A+(4-4t)AC2=(30t-40t)AB·AC+(3-4t)AC 125tAB+(40t-40t)AB·AC=(5t-1)2AE+(5t-1)(8-8t)AB·AC 整理可得： [10tAB·AC-(8t-7)AC=360t-315 (8t-8)AB·AC=(10t-1)A=360t-36' :4.AC=360t315=360t-36,解得：t=-7-3v7(舍)或t=-7±3W7 10t 8t-8 2 2 :AG2=AE+2wAB.AC+r2AC2=9002+10t4-4地×360t-36+454-4)°=-1802-1260t 8t-8 +720=-180(t+7t-4)=90, .AG=310. 题目2已知H为△ABC的垂心（三角形的三条高线的交点），若A丽=号A正+2AC,则sin∠BAC 3 5 【客们分6 【解折1国为丽=号丽+号C, 所以丽-丽+A丽=号丽+号C,月理C丽-C+A丽-}A丽-AC, H 由H为△ABC的垂心，得丽AC=0,即（号A店+号AC列A0=0, 可知号AC-号Ao∠BAC,即cs∠BAC= 3AC 5AB 同理有丽·店=0，即（号-号AC)市=0，可知号丽=号ACo∠BAC,即 5AB cos∠BAC= 9AC 所以cos∠BAC=分in∠BAC=1-s∠BAC=1-青=号又∠BACe(0,, 所以sin∠BAC=V 3 题目22设H是△ABC的垂心，且4HA+5HB+6HC=0,则cos∠AHB= 【答案】22 11 【解析】：H是△ABC的垂心， .HA⊥BC,HA·BC=HA·(HC-HE)=0, .H·HB=IC·HA,同理可得，HB,HC=HC.HA, 故HA·B=B·HO=HC.HA, :4HA+5H元+6H元=0， .4HA+5HA·HB+6HA·HC=0, 24 “函丽=-丽，同理可求得丽·西=那， 11 HB·HA - B·HA -引 ∴.cos∠AHB= ,cos∠AHB= HB HA HB HA HB HA HB HA .cos∠AHB= ,即c0s∠AHB=V2 2 1 题目23在△ABC中，点O、点H分别为△ABC的外心和垂心，|AB=5,AC=3,则O五·BC= 【答案】8 【解析】O匠=A豆-AO Oi.BC=(Ai-AO·BC=Ai.BC-AO·BC 因为H为垂心， 所以Ai.BC=0,Oi.BC=-AO·BC, 设∠AOB=A,∠AOB=B,外接圆的半径为T, 由余弦定理得AB=AOP+OBP-2AO·|OB·cosA, =r2+r2-2r2.c0sA, =2m2-2r2.c0sA, 同理AC=AOP+OCP-2AO·OC·cosA, =r2+r2-2r2.c0sB =2r2-2r2.c0sB, 所以AO·BC=AO·(B0+OC), =A0·B0+A0·OC =0A.O0B-OA·OC, =OA·OB .CosA-OA·OC.cosB, =r2.CosA-r2.cosB, =(AC-AB)×号=-8， 所以O五.BC=8 题型四奔驰定理与四心的综合题 题目1]已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,O为△ABC内一点，若分别满足下列四个 25 条件： ①aOA+bOB+cOC=0: ②tanA·OA+tanB.OB+tanC.OC=d; ③sin2A·OA+sin2B.OB+sin2C.OC=0: ④OA+OB+OC=0: 则点O分别为AABC的（) A.外心、内心、垂心、重心 B.内心、外心、垂心、重心 C.垂心、内心、重心、外心 D.内心、垂心、外心、重心 【答案】D 【解析】先考虑直角△ABC,可令a=3,b=4,c=5, 可得A(0,4),B(3,0),C(0,0),设O(m,n), B龙 ①a0A+b0B+c0C=d,即为3(-m,4-n)+4(3-m,-n)+5(-m,-n)=(0,0), 即有-12m+12=0,-12m+12=0,解得m=n=1, 即有O到x,y轴的距离为1，O在∠BCA的平分线上，且到AB的距离也为1， 则O为△ABC的内心： ③sin2A·OA+sin2B·OB+sin2C.OC=i, 即为-m-n+3-mnj+0-m列)=00. 可得3-2m=0,4-2n=0.解得m=号，n=2, 由OA=0B=OC=号，故0为△ABC的外心： ④OA+OB+OC=0,可得(-m,4-n+(3-m,-n)+(-m,-n)=(0,0), 即为3-3m=0,4一3n=0,解得m=1,n=青 由4C的中点D为02，DA=E,00=2,脚0分中线D8比为23， 故O为△ABC的重心： 26 B末 考虑等腰△ABC,底角为30°， 设C(-1,√3)，B(2,0),A(0,0),O(x,y), ②tanA·OA+tanB-OB+tanC:OC=i, 即为多+号p玉助191后0-00， 3 可得9+9=0,9y+1=0,得=1，g=5, 3 即0-1l-v,由0C上A0,kakg3(-9)-1,即有0A⊥BC, 故O为△ABC的垂心. 题目2奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为SA,S,S则S, S4OA+SgO序+S。OC=0“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的 图形与“奔驰”轿车(Mercedes benz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若O是锐角 △ABC内的一点，A,B,C是△ABC的一个内角，且点O满足则OA·OB=OB·OC=OC.OA,则 （) A B C A.O为△ABC的垂心 B.∠AOB=π-C C.OA:B:0C=sinA:sinB:sinc D.tanA·OA+tanB·OB+tanC.Od=d 【答案】ABD C选项：OA·OB=O元·OC→OACoSZA0B=OC.cos.∠COB→OAOC=cosA:cosC 同理，OA·OB=OC.OA-OOC=cosB:cosC,OA:OB:OC=cosA:cosB:cosC 27 D选项：如图， SA-DC BD.1 “tamC=tanA,同理可得S4=tanA S。DA- BD.tanA tanC SB tanB 则有S4:Sa:Sg=tanA:ta,nB:tanC A B 题目3)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三 叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC, △AOC,△AOB的面积分别为S4、Sa、Sg,则有S4OA+SaOB+ScOC=d,设O是锐角△ABC内的 一点，∠BAC,∠ABC,∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题错误的是() A.若OA+OB+OC=0,则O为△ABC的重心 B.若OA+2OB+3OC=0,则S4:Sg:So=1:23 C.则O为△ABC(不为直角三角形)的垂心，则tan∠BAC.OA+tan∠ABC:OB+tan∠ACB·OC =0 D.若0A=0=2.∠A0B=g,20A+305+40C=0.则Sae=号 【答案】D 【解析】对于A:如下图所示， 28 假设D为AB的中，点，连接OD,则OA+O元=2OD=CO,故C,O,D共线，即O在中线CD上， 同理可得O在另外两边BC,AC的中线上，故O为△ABC的重心，即A正确： 对于B:由奔驰定理O是△ABC内的一点，△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为SA,SB,Sc, 则有S4OA+SBOB+ScOC=0可知， 若OA+2OB+3OC=0,可得S4:Sa:S。=1:2:3,即B正确： 对于C:由四边形内角和可知，∠BOC+∠BAC=π，则OB·OC=OB引DC cos.∠BOC= -OBOCcosZBAC, 同理，OB.OA=OBOA cosZB0A=-OBOAcos∠BCA, 因为O为△ABC的垂心，则OB·AC=O元·(OC-OA=OB·OC-OB·OA=0, 所以OCcos.∠BAC=OA CoS∠BCA,同理得OC cosZABC=OB cos.∠BCA,OAcos.∠ABC= |OB cos.∠BAC, OA:OB:OC=CosZBAC:CosZABC:COs/BCA, 令OA=mcos∠BAC,OB=mcosLABC,OC=mcos∠BCA, 由S,=号osin∠B0C,则SA=号Csin.∠BAC=7Ycos∠ABCcos.∠CAsin∠BAC 同里：S=CiABC=-ycos∠BACeos/BCAsim.∠ABC,S。=OAOEsn∠BCA =m? os∠BACcos.∠ABCsin∠BCA, 2 综上，S.Sa:S。-sn∠BAC:sin∠ABC:sin∠BC=tan∠BAC:tan∠ABC:tan∠BCA, cOS∠BAC'cOS∠ABC'cos/BCA 根据奔驰定理得tan∠BAC·OA+tanABC:OB+tan/ACB·OC=d,即C正确. 对于D:由O=O丽=2∠40B=答可知，5号×2×2xsin答-1. 6 又20A+30B+400=0,所以S4S:So=234 由5。=1可得，S=号S是 所以5c-S+95。-方是+1=呈即D错误： 29 故选：D 题目4（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰” 轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是△ABC内 点，△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为SA,Sa,So,则S4OA+SaO元+SgOC=i,O是 △ABC内的一点，∠BAC,∠ABC,∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题正确的有() A.若2OA+3OB+40C=0,则S4:SBSc=4:3:2 B.若OM列=0=2，∠A0B=5,且20+30丽+0C=0.则S= 9W3 4 C.若OA.OB=OB·O乙=O元.OA,则0为△ABC的垂心 D.若0为△ABC的内心，且50A+12OB+130C=0,则∠ACB=受 【答案】BCD 【解析】对选项A:20A+3O元+4OC=0,则S4:SSo=2.3:4,错误： 对选项B:Sa0=×2×2×sin120=V5,20+30丽+400=0， 故85a8=234,80=星×5=4，正确： 对选项C:OA·OB=OB·OC,即(OA-OC)·O元=C·OB=0,故CA⊥OB 同理可得C死⊥OA,AB⊥OC,故O为△ABC的垂心，正确： 对选项D:50A+12O元+13OC=0,故S:S:So=5:12:13,设内接圆半径为r, S,=BC,Sa=AC,S。=AB,即BC:AC:AB=-51213, 即AB=AC+BC,∠ACB=号，正确，故选：BCD 题目⑤（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰” 轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：己知O是△ABC内 点，△BOC、△AOC、△AOB的面积分别为SA、Sa、S,则S4OA+SaOB+S。OC=0.设0是锐 角△ABC内的一点，∠BAC、∠ABC、∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题正确的有() 30 B A.若OA+2OB+30C=0,则S4S:Sc=1:2:3 B.O=O=2,∠A0B=若，20+30丽+40C=0.则Se=号 C.若0为△ABC的内心，30A+40B+50C=0,则∠C-=号 D.若O为△ABC的重心，则OA+OB+OC=0 【答案】ACD 【解析】对于A选项，因为OA+2O元+3OC=0,由“奔驰定理”可知S4:SBSo=1:23,A对： 对于B选项，由O=O丽=2，∠A0B=,可知8。=号×2×2×n答=1， 6 又20A+30B+4OC=0,所以S4SB:S。=2:34, 由8=1可得，S=7:S=是 所以50=9+8+8。号是+1=号 ,B错： 对于C选项，若0为△ABC的内心，3OA+4O店+5OC=0,则S4SB:So=3:4:5, 又S,SaS。=方ar宁br号or=ab:ar为△MBC内切圆半径)， 所以，。+6=c,故∠C=号，C对 对于D选项，如下图所示， B 因为O为△ABC的重心，延长CO交AB于点D,则D为AB的中点， 所以，0C=20D,Sa0-5a05o,且S0-号5：S.a0D方5 所以，S4=S=Sc,由“奔驰定理”可得OA+OB+OC=0,D对.故选：ACD 题目6在给出的下列命题中，正确的是() A.己知O为△ABC的外心，边AB、AC长为定值，则AO·BC为定值， 31 B.△ABC中，已知AB=3,AC=2,∠BAC=,则AD=A AB AC (1>0),且AD=uA正 +(1-w)AC,则AD=3(6+V2 5 C.M为△ABC为所在平面内一点，且AC-AB=2AM·BC,则动点M的轨迹必通过△ABC的 重心 D.H为△ABC的垂心，2HA+3HB+4HC=0,则cos∠AHB=- √7 7 【答案】ABD 【解析】 解：对于A,O为△ABC的外心，边AB、AC长为定值，AO·BC=AO·(AC-AB)=AO·AC -A0·=号AC号A为定值， 故A正确： △ABC中，已知AB=3,AC=2,∠BAC= 6 由AD=入 AB AC (A>0),可得D在∠BAC的平分线上，又AD=uAB+(1-)AC,可得 AB ACI D,B,C三点共线， 即有AD为角平分线，由S△ABC=S△ABD+S△CAD,即有号AB·AC·sin30°=号AB·AD ·sini5+7AC,AD·sin15, 可得号·32·号=号·3AD,6,2+号·2AD6,2 4 4 则AD=36+D,故B正确 5 对于C,如图所示： D 设线段BC的中点为D,则AB+AC=2AD :AC-AB=2AM·BC,.(AC+AB)·(AC-AB)=2A☑·BC, :.BC·(AB+AC-2AM=0, :.BC·M而=0，.MD⊥BC且平分BC 32 因此动，点M的轨迹必通过△ABC的外心，故C错误： 对于D,由H为△ABC的垂心（三角形三条高的交点）， 所以HA·(H正-HC)=0,即有HA·HB=HA·HC, 同理，HA·HB=B·HC, 即有HA·B=HA·HC=HB·HC, 设HA·B=HA·HG=B·HC=x, 因为2HA+3B+4HC=0, 所以2HA·HB+3HB+4HC·HB=0,即有2x+3HB+4x=0, 所以HB=√-2E(x<0), 同理可求得HA= 7x 2 HA·HB 所以cos∠AHB 7 -2m·√受 故D正确. HA·HB 7 33平面向量中的奔驰定理以及三角形四心的相关计算 目录 奔驰定理和四心的性质及证明 奔驰定理以及四心的向量式 题型一四心的识别 题型号奔驰定理 题型三 四心的相关计算 题型四奔驰定理与四心的综合题 知识点·梳理 技巧一.四心的概念介绍： (1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1. (2)内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等. (3)外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等. (4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直. 技巧二，奔驰定理一一一解决面积比例问题 重心定理：三角形三条中线的交点. 已知△ABC的顶点A(,,B(,,C(x),则△ABC的重心坐标为G++,++班 3 3 注意：(1)在△ABC中，若O为重心，则OA+OB+OC=0. (2)三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等. 重心的向量表示：AG=号A丽+子AC. 奔驰定理：SAOA+SBOB+S。OC=0,则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于A3:1:11 奔驰定理证明：如图，令11OA=OA1,OB=OB1,1OC=OC1,即满足OA1+OB1+OC1=0 六调·京故5w说A S△AOB 技巧三.三角形四心与推论： (1)0是△ABC的重心：SABo0:S%o4:S△4s=11:1台OA+OB+OC=d. (2)0是△ABC的内心：SBOC:Sc04:SAOB=a:b:c台aOA+bO元+cOC=0. (3)O是△ABC的外心： S△Bo:S△coA:S△AoB=sin2A:sin2B:sin2C台sin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0. (4)O是△ABC的垂心： SAB0C:SACOA:SAAOB-tan A:tanB:tanC+tanAOA+tanBOB+tanCOC=0. 技巧四.常见结论 (1)内心：三角形的内心在向量 AB AC 所在的直线上 AB AC AB|·PC+BC·PC+|CA·PB=0P为△ABC的内心. (2)外心：PA=PB=PC台P为△ABC的外心. (3)垂心：PA·PB=PB·PC=PC.PAP为△ABC的垂心. (4重心：PA+PB+PC=0台P为△ABC的重心. 奔驰定理和四心的性质及证明（全） 【重心】：若O为△ABC重心 (1)SABOC:SACOA:SMAOB-1:1:1: (2)0A+OB+OC=0: (3)动，点P满足OP=OA+A(AB+AC),A∈(0，+oo),则P的轨迹一定通过△ABC的重心 (4)动点P满足OP=OA+1 AB AC ,A∈(0十∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC ABsinB ACsinC 的重心 (5)重心坐标为： (DA十CB十rCA十yB十yc 3 3 【垂心】：若O为△ABC垂心 (1)0A.OB=0B.OC=OC.OA (2)0A+BC=0B+CAP-OC+AB (3)动点P满足OP=OA+ AB AC ,A∈(0，+oo),则动点P的轨迹一定通过△ABC AB cosB AC cosC 的垂心 (4)S△Boc:SAco4:S△aoB=tanA:tanB:tanC (5)tanA.OA+tanB.OB+tanC.OC=0. 【内心】：若O为△ABC内心 (1)SABOC:SACOA:SAAOB-a:b:C (2)aOA+b.0B+c.OC=0 3)动点P满足OP=OA+A丽+AC ,A∈[0，+o),则P的轨迹一定通过△ABC的内心 (4)OA. AC AB OB BC BA CA CB =0 AC ABI BC BA ICA 【外心】：若O为△ABC外心 B (1)OA=OB=OC; 2)动点P满足O驴=O丽0C+ AB AC 2 ,A∈(0，十o),则动点P的轨迹一定通过 ABcosB AC cosC △ABC的外心： (3)若(OA+OB)·AB=(OB+OC)·BC=(OA+OC)·AC=0,则O是△ABC的外心： (4)S△Boo:Sco4:S△4oB=sin2A:sin2B:sin2C: (5)sin2A.OA+sin2B.OB+sin2C.OC=0. 奔驰定理以及四心的向量式 证明：已知O是△ABC内的一点，△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为SA,SB,Sc,求证：SA·OA+ SaOi+So·0C=0 【解答】如图，延长OA与BC边相交于点D则 BD SAABD SABOD SAABD SABOD So DC SAACD SACOD SACD-SACOD SE o-%0丽+肥0d BC = _SO2+。 Se OC Se+Sc SB+Sc OD=SpoDScop.=Saop+Scop8 OA SBOA SCOA SBOA+SCOA SB+Sc .O=- SA OA SB+Sa SA OA= Se OC SB+Sc SBOB+ SB+Sc SB+So ∴.S4OA+SgOB+SoOC=0 推论：O是△ABC平面内的一点，且xOA+yOB+zOC=0,则 S0ScOSy5B0C S△ABC x+y+z 【奔驰定理与三角形四心向量式】 1、O是AABC的重心台SABOC:Sco4:SaA0B=1:1:1台OA+OB+O元=d 2、0是△ABC的内心台SABOC:Sco4Sa4oB=a:b:c台a·OA+bOi+cOC=0 3、O是△ABC的外心台SABOC:SACOA:SAAOB=sin2A:sin2B:sin2C sin2A.OA+sin2B.OB+sin2C.OC=0 4、O是△ABC的垂心台SABOC:S&COA:S△4oB=tanA:tanB:tanC tanA.OA+tanB.OB+tanC.OC=0 0 证明：如图0为三角形的垂心，tanA=CD D:tanB=CD tan A:tanB=DB:AD DB SABOC:SACOA=DB:AD .SABOC:SACOA=tanA:tanB 同理得SACOA:SAAOB=tanB:tanC,SABOC:SaoB=tanA:tanC SABoc:SACOA:SMAOB=tan A:tan B:tanC 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一 题型一四心的识别 题目1)己知点P是△ABC所在平面内点，有下列四个等式： 甲：PA+PB+PC=0:乙：PA·(PA-PB)=PC.(PA-PB: 丙：PA=|P=PC丁：PA·PB=PB.PC=PC·PA. 如果只有一个等式不成立，则该等式为（) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 题目2已知点O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+ A医 AC A∈[0，+oo),则P的轨迹一定通过△ABC的（) ABI LACI A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 题目3若O在△ABC所在的平面内，a,b,c是△ABC的三边，满足以下条件 a·OA+b·OB+c·OC=0,则O是△ABC的() A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心 题目4)若O在△ABC所在的平面内，且满足以下条件 OA AC OB BC BA CA CB BA =0,则O是△ABC的 AC AB BC CA 1C1 () A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心 【四心之垂心】 题目5己知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+ AB AC 1∈(0，+o),则动点P的轨迹一定通过△ABC的(). AB cosB ACcosC A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 题目6P是△ABC所在平面上一点，若PA·PB=PB·PC=PC·PA,则P是△ABC的() A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 题目7若H为△ABC所在平面内一点，且HAP+BC=HEP+CA=C+A 则点H是△ABC的() A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 【四心之重心】 题目8已知G是△ABC所在平面上的一点，若GA+G第+GC=0,则G是△ABC的(). A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 题目9己知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足O2=OA+(AB+ AC),1∈(0，+o),则P的轨迹一定通过△ABC的(. A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 题目10O是△ABC所在平面内一点，动点P满足OP=OA+A AB AC ABsinB ACsinc' A∈(0，+o),则动点P的轨迹一定通过△ABC的（) A.内心 B.重心 C.外心 D,垂心 【四心之外心】 题目11①已知O是△ABC所在平面上一点，若OA=OB=OC,则O是△ABC的(). A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 题目12已知O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=O厉+OC 2 AB AC ,1∈(0，+o),则动点P的轨迹一定通过△ABC的()。 ABcosB ACcosC A.重心 B.外心 C.内心 D,垂心 题目13O是△ABC所在平面上-点，若(OA+OB)·AB=(O2+OC)·BC=(OA+OC)·AC= 0,则O是△ABC的() A.重心 B.外心 C.内心 D,垂心 题型二 奔驰定理 题目1已知点P是△ABC所在平面内一点，满足2PA+5PB+3PC=0,SaAB0=s,则SAPEC= 题目2)已知点P是△ABC所在平面内一点，满足PA+PB+2PC=3AB,则△ABP与△ABC面积之 比是 题目3设P为△ABC所在平面上-点，且满足3PA+4PC=mAB(m>0).若△ABP的面积为8， 则△ABC的面积为 题目4已知O是△ABC内部的一点，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a=3,b=2,c=4,若sinA·OA +sinB.OB+sinC.OC=0,则△AOB与△ABC的面积之比为() A B c D.5 题目5已知O是三角形ABC内部一点，且OA+2OB+OC=0,则△AOB的面积与△ABC的面积 之比为() A B c D青 题目6)若点M是△ABC所在平面内的一点，点D是边AC靠近A的三等分点，且满足5A☑=AB+ AC,则△ABM与△ABD的面积比为（) A青 B号 c号 D号 题目7平面上有△ABC及其内一点O,构成如图所示图形，若将△OAB,△OBC,△OCA的面积分别 记作S。,S。,S.,则有关系式S。·OA+S,OB+S。OC=d.因图形和奔驰车的1ogo很相似，常把上 述结论称为“奔驰定理”.己知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若满足a·OA+b·OB +c·OC=0,则O为△ABC的() A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 题型三 四心的相关计算 题目1著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外 心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理.已知 △ABC的外心为O,重心为G,垂心为H,M为BC中点，且AB=5,AC=4,则下列各式正确的有 ①AG·BC=-3②AO·BC=-6 ③Oi=OA+OB+OC④AB+AC=4OM+2HM 题目2)若O为△ABC的重心（重心为三条中线交点），且OA+OB+AOC=0,则A= 题目3锐角△ABC中，a,b,c为角A,B,C所对的边，点G为△ABC的重心，若AG⊥BG,则cosC 的取值范围为 题目司设点0是△A8C外按圆的圆心，AB-3,且A0·风-4，则部品的值是 外心向量计算可以构造方程组 题目已知点O是△ABC的外心，若Ad-号A店+号AC,则c0s∠BAC- 题目D已知点0是△ABC的内心，若A0=告A正+号AC,则cos∠BAC=(） 9 A号 B c D.g 江西赣州市高一期中第16题一一外心、重心相关计算 题目7AABC中，AB=3,AC=6,G为△ABC的重心，O为△ABC的外心，则AO·AG= 题目8(1)己知△ABC的外心为O,且AB=5,AC=3,则AO·BC= (2)已知△ABC的重心为O,且AB=5,AC=3,则AO·BC= (3)己知△ABC的重心为0，且AB=5,AC=3,A=号，D为BC中点，则A0·OD= 题目9设H为△ABC的垂心，且3HA+4HB+5HC=0,则cos∠AHB= 题目10]（多选）对于给定的△ABC,其外心为O,重心为G,垂心为H,则下列结论正确的是() A.A0A店=}A B.0A0B=0A·0C=0B.0C C过点G的直线交AB、AC于ER,若钷=，正=AC,则分+=3 D.A五与 AB AC 一共线 AB cos B ACcosC 题目卫著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到 外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理， 己知△ABC的外心为O,垂心为H,重心为G,且AB=2,AC=3,则下列说法正确的是() A.Ai·BC=0 B.AG-BC=号 c.A0Bc=号 D.OH=OA+0B+OC 题目12著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到 外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理， 设点O,H分别是△ABC的外心、垂心，且M为BC中点，则() A.AB+AC=3HM+3MO B.AB+AC=3HM-3MO C.AB+AC=2H☑+4Md D.AB+AC=2HM-4MO 山东省枣庄、滕州市高一期中联考第16题一一外心相关计算 题目13已知0是△ABC的外心，AB=6,AC=10,若A0=xAB+AC,且2x+10y=5(x≠0)，则 △ABC的面积为 题目14(1)己知△ABC的外心为O,且AB=5,AC=3,则AO·BC= (2)己知△ABC的重心为O,且AB=5,AC=3,则AO·BC= (3)己知△ABC的重心为O,且AB=5,AC=3,A=,D为BC中点，则AO·OD= 3 题目15在△ABC中，AB·AC=16,SAB0=6,BC=3,且AB>AC,若0为△ABC的内心，则A0. BC- 题目16设I为△ABC的内心，AB=AC=5,BC=6,A1=mAB+nBC,则m+n为 题目17在△ABC中，cosA=3,0为△ABC的内心，若Ad=A正+yAC,y∈R),则x+y的最 4 大值为（) A号 B.6-√6 C.7-7 D.8-22 5 6 7 题目18已知点0是△ABC的内心，若A0=号A店+AC,则cos∠BAC= 题目19]已知O为△ABC的外心，AC=3,BC=4,则OC·AB= 题目20在△ABC中，AB=6,AC=35.点M满是A=号A店+子AC.过点M的直线1分别与 边AB,AC交于点D,E且AD=1A丽，A正=1AC.己知点G为△ABC的外心，AG=1AB+ uAC,则AG为 题目2四已知H为△ABC的垂心（三角形的三条高线的交点），若丽=号正+号AC,则n∠BAC 题目22设H是△ABC的垂心，且4HA+5HE+6HC=0,则cos∠AHB= 题目23)在△ABC中，点O、点H分别为△ABC的外心和垂心，AB=5,AC=3,则O7·BC= 题型四 奔驰定理与四心的综合题 题目1己知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,O为△ABC内一点，若分别满足下列四个 条件： ①aOA+bOB+cOC=i: ②tanA.OA+tanB·OB+tanC.OC=i: ③sin2A·OA+sin2B·OB+sin2C.OC=-0: ④OA+OB+O0=0: 则点O分别为△ABC的() A.外心、内心、垂心重心 B.内心、外心、垂心、重心 C.垂心、内心、重心、外心 D.内心、垂心、外心、重心 题目2奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC,△AOC,△AOB的面积分别为SA,Sa,Sc则S, S4OA+SOB+S。OC=0“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的 图形与“奔驰”轿车(Mercedes benz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若O是锐角 △ABC内的一点，A,B,C是△ABC的一个内角，且点O满足则OA·OB=OB.OC=OC.OA,则 () A B A.O为△ABC的垂心 B.∠AOB=π-C C.OA:OB:OC=sinA:sinB:sinC D.tanA·OA+tanB·OB+tanC.OC=d 题目3“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三 叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC, △AOC,△AOB的面积分别为S4、SB、S。,则有S4OA+SOB+SOC=d,设O是锐角△ABC内的 一点，∠BAC,∠ABC,∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题错误的是() A.若OA+OB+OC=0,则O为△ABC的重心 B.若OA+20B+30C=0,则S4:Sg:5o=1:23 C.则O为△ABC(不为直角三角形)的垂心，则tan∠BAC·OA+tan∠ABC.OB+tan∠ACB·OC =0 D.若O=O=2,∠A0B=誓，20A+30店+40C=0,则5-号 题目4（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰” 轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是△ABC内一 点，△B0C,△AOC,△AOB的面积分别为S4,S,So,则S4OA+SBOB+SOC=i,O是 △ABC内的一点，∠BAC,∠ABC,∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题正确的有() 12 A.若2OA+3OB+40C=j,则S4:Sg:Sc=4:3:2 B.若OA=0=2,∠A0B=于，且20+30B+40元=0，则S- 4 C.若OA.OB=OB.OC=OC.OA,则0为△ABC的垂心 D.若0为△ABC的内心，且5OA+120B+130C=0,则∠ACB=号 题目5（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰” 轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是△ABC内一 点，△BOC、△AOC、△AOB的面积分别为S4、Sa、Sc,则S4OA+SBOB+ScOC=0.设O是锐 角△ABC内的一点，∠BAC、∠ABC、∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题正确的有() A.若OA+2OB+30C=0,则S4:SB:Sc=1:2:3 B.O网=0应=2，∠A0B=.20A+305+400-0.则5e=号 C.若0为△ABC的内心，307+40+50C=0,则∠C=号 D.若O为△ABC的重心，则OA+OB+O乙= 题目6)在给出的下列命题中，正确的是（) A.已知O为△ABC的外心，边AB、AC长为定值，则AO·BC为定值， B.AABC中，已知AB=3,AC=2,∠BAC=吾，则AD=A AB AC (1>0),且AD=AB AB AC +(1-)AC,则AD=3(6+V② 5 C.M为△ABC为所在平面内一点，且AC-AB=2AM·BC,则动点M的轨迹必通过△ABC的 重心 D.H为△ABC的垂心，2H☑+3H+4HC=0,则cos∠AHB=-7 7