考点培优练01 平面向量三大定理及四心培优归类7大考点（高效培优专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

考点培优练01 平面向量三大定理及四心培优归类7大考点 考点预览 目录 考点01 三角形的重心 1 考点02 三角形的外心 2 考点03 三角形的内心 4 考点04 三角形的垂心 6 考点05 奔驰定理的应用 8 考点06 三角形四心与奔驰定理综合应用 12 考点07 极化恒等式应用 16 考点通关 考点01 三角形的重心 1、定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点； 2、重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． 在平面向量的应用：（1）设点是△所在平面内的一点，则当点是△的重心时，有或（其中为平面内任意一点）； （2）在向量的坐标表示中，若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、 、，，则有 【典例1】（25-26高三下·江西·阶段检测）在三角形中，边上的中线，外心为，重心为，则的取值范围是__________. 【跟踪训练】1．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）已知点P是的重心，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三·全国·一轮复习）设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 3．（2024·四川南充·三模）点为所在平面内一点，若，则点为的（    ） A．内心 B．重心 C．垂心 D．外心 4．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 5．（2026·浙江·模拟预测）已知点是的重心，点是所在平面内一点.若，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知为的重心，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·河北·模拟预测）已知中，，，若G为的重心，则的最大值为（    ） A．4 B．3 C． D． 8．（2026高三·全国·专题练习）已知点是的重心，若，，则的最小值是________． 考点02 三角形的外心 1、定义：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等； 2、外心的性质：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 3、外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． 在平面向量的应用：若点是△的外心，则 或 ； 【典例2】（24-25高三下·重庆北碚·阶段检测）中，角、、分别对应的边为、、，且，. (1)求证：为钝角三角形； (2)若，，为的外心，求. 【跟踪训练】1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知是所在平面内的一点，所对的边分别为，若，则是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 2．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）在中，，若为的外心，设，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆·一模）边长为 2 的等边三角形 的外心为 ，则 （    ） A． B．2 C． D． 4．（2025·河北张家口·一模）在平面直角坐标系中，，，，点分别是的外心和垂心，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，O为的外心，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·四川德阳·二模）(多选)下列命题中正确的是（   ） A．若，则向量与的夹角为钝角 B．若，则向量在向量方向上的投影向量为 C．两个非零向量，若，则与共线且反向 D．若为的外心，，则为的垂心 7．（25-26高三上·黑龙江·期中）(多选)下列命题中正确的是（    ） A．若，则向量在向量方向上的投影向量为 B．两个非零向量，若，则与共线且反向 C．若，则向量与的夹角为钝角 D．若为的外心，，则为的垂心 8．（25-26高三上·江苏宿迁·期末）已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为______. 9．（25-26高三下·江西·阶段检测）在三角形中，边上的中线，外心为，重心为，则的取值范围是__________. 考点03 三角形的内心 1、定义：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心 2、内心的性质：①三角形的内心到三角形三边的距离相等 ②三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 3、内切圆 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形 在平面向量的应用：若点是△的内心，则有 【典例3】（23-24高三下·浙江温州·期中）如图，在平行四边形中，，分别是线段，的中点，记，，且，，. (1)试用向量，表示，； (2)①求，的值；②设为的内心，若，求的值. 【跟踪训练】1．（25-26高三下·重庆·阶段检测）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．已知O是的内心，且．设的内切圆半径为，外接圆半径为，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三·全国·一轮复习）A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 3．（24-25高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，I为的内心，若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·山东菏泽·期中）已知O为的内心，三个角对应的边分别为，已知，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026高三·全国·专题练习）设为的内心，且，则角为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·江苏泰州·阶段检测）(多选)已知是边长为4的正三角形，该三角形的内心为点，下列说法正确的是（    ） A．在方向上的投影向量的模为2 B． C． D．若为外接圆上任意一点，则 7．（公式定理35三角形内心向量公式【思想方法】）在中，I为的内心，若，则__________. 8．（专题10三角形“四心”的向量表示与应用【讲】（高三二轮提升）高考关键题型突破）已知点均在所在平面内，以下所有正确说法的序号是______． ①若动点满足，则点为的重心； ②若动点满足，则动点的轨迹一定经过的内心； ③若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心； ④若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心． 考点04 三角形的垂心 1.定义：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心； 在平面向量的应用：若是△的垂心，则或 【典例4】（2026高一·全国·专题练习）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则_____. 【跟踪训练】1．（第5讲三角形四心向量可表示）已知为所在平面内一点，动点满足：，其中，则动点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 2．（25-26高三·安徽淮北·期末）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 3．如图，已知是的垂心，且，则（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·广西防城港·期末）如图，已知是的垂心，且，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（2025·吉林·一模）在直角三角形中，，的重心、外心、垂心、内心分别为，，，，若（其中），当取最大值时，（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26高三上·天津和平·阶段检测）已知点在所在的平面内，则下列各结论正确的有（   ） ①若为的垂心，，则； ②若为边长为2的正三角形，则的最小值为； ③若为锐角三角形且外心为P，且，则； ④若，则动点的轨迹经过的外心． A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 7．（25-26高三·全国·一轮复习）瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离之半，这个定理就是著名的欧拉线定理．设中，点，，分别是其外心、垂心、重心，则下列四个选项中结论正确的是（   ） A． B． C．设边的中点为，则有 D． 8．（第07讲平面向量的奔驰定理与四心问题）是所在平面上的一定点，动点满足，，，则点 形成的图形一定通过 的____．（填外心或内心或重心或垂心） 考点05 奔驰定理的应用 1、奔驰定理：O是△ABC内一点，且，则 2、奔驰定理推论：O是△ABC所在平面内一点，且，则： ① ② 由于这个定理对应的图像和奔驰定理的图标很相似，我们把它称为奔驰定理. 【典例5】（（拔高练）专题）（多选）奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，则．如图，设是内一点，的三个内角分别为，，，的面积分别为，若，则以下命题正确的有（    ）    A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 【跟踪训练】1．（23-24高一下·甘肃·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.若为的垂心，，则（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26高一下·重庆·阶段检测）(多选)如图，为内任意一点，角的对边分别为．总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理．则以下命题是真命题的有（   ） A．若是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，，则 3．（25-26高一下·宁夏银川·阶段检测）(多选)三角形中的奔驰定理是指：是内一点，，，的面积分别为，，，则．若，则以下命题正确的有（   ） A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 4．（23-24高三上·河北保定·阶段检测）(多选)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．设是内一点，的三个内角分别为，，，，，的面积分别为，，，若，则以下命题错误的有（    ） A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 5．（24-25高一下·河北·阶段检测）(多选)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 6．（25-26高一下·重庆·阶段检测）(多选) “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若M为的垂心，，则 D．若，，M为的外心，则 7．（22-23高一下·山东·阶段检测）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 8．（23-24高三上·江西新余·期末）(多选)“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：如图所示，已知是内一点，，，的面积分别为，且．以下命题正确的有（   ）    A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，为的外心，则 D．若为的垂心，则 考点06 三角形四心与奔驰定理综合应用 三角形四心与奔驰定理的关系 ①是的重心：． ②是的内心： ③是的外心：． ④是的垂心： 【典例6】请你根据“奔驰定理”对以下命题进行判断： ①若P是的重心，则有； ②若成立，则P是的内心； ③若，则； ④若P是的外心，，，则； ⑤若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，O为内的一点且为内心.若，则的最大值为. 则正确的命题有________.（填序号）    【跟踪训练】1．（2026高三·全国·专题练习）在中， 若是的内心，的延长线交于， 则有称之为三角形的内角平分线定理， 现已知，，且， 则实数（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）解决平面向量问题一个重要的定理：，的充要条件是三点共线.如图所示，分别是的中点，则=（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（22-23高二上·安徽安庆·开学考试）(多选)如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立,此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中，正确的有（    ） A．若是的重心，则有 B．若，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，且，则 4．（23-24高三上·江西新余·期末）(多选)“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：如图所示，已知是内一点，，，的面积分别为，且．以下命题正确的有（   ）    A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，为的外心，则 D．若为的垂心，则 5．（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）(多选)如图，P为内任意一点，角A，B，C的对边分别为a，b，c总有优美等式成立，因为图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理，则以下正确的命题为（    ） A．若P是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若P是的外心，，，则的最小值是 D．若，则 6．（25-26高三上·江西南昌·期中）(多选)若是锐角内的一点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则到三边距离之和为定值 B．若，则的面积与的面积之比为 C．若点为的内心，则 D．若，则 7．（24-25高二上·重庆万州·开学考试）(多选)平面向量中有一个优美的结论，有趣的是，这个结论对应的图形与“奔驰”轿车的非常相似，该结论如下：如图，已知是内部一点，将、、的面积分别记为，则．根据上述结论，下列命题中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为的内心，且，则 D．若为的垂心，则 8．（2025·湖南长沙·一模）(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M是△ABC所在平面上一点，且 则下列说法正确的是（   ） A．若，则M在内部 B．若，则M为的重心 C．若，则的面积是面积的 D．若，M为外接圆圆心，则 考点07 极化恒等式应用 基础知识： 在△中，是边的中点，则. 【典例7】（25-26高三下·广东潮州·阶段检测）阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②.由①-②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形中，，为中点. (1)若，求的面积； (2)若，求的值； (3)若为平面内一点，求的最小值. 【跟踪训练】1．（23-24高三下·湖南长沙·阶段检测）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 2．（21-22高一下·重庆沙坪坝·阶段检测）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（    ） A．32 B．-32 C．16 D．-16 3．（2026高三·全国·专题练习）（多选）阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②．由①②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算．如图所示的四边形中，，，点为的中点，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·辽宁锦州·阶段检测）阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②.由①②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形中，，，点E为的中点，且，则__________ 四、解答题 5．（25-26高三上·广东珠海·阶段检测）如图，外接圆半径等于，三角形内角B是锐角，，点D在AC上，且（）A，B，C所对的边分别是a，b，c. (1)若，证明极化恒等式：，并用此结论求的最大值； (2)若，且BD是角B的平分线，求的面积. 6．（2026高三·全国·专题练习）如图，外接圆半径等于，三角形内角B是锐角，，点D在AC上，且（）A，B，C所对的边分别是a，b，c. 若，证明极化恒等式：，并用此结论求的最大值； 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点培优练01 平面向量三大定理及四心培优归类7大考点 考点预览 目录 考点01 三角形的重心 1 考点02 三角形的外心 8 考点03 三角形的内心 16 考点04 三角形的垂心 24 考点05 奔驰定理的应用 34 考点06 三角形四心与奔驰定理综合应用 50 考点07 极化恒等式应用 65 考点通关 考点01 三角形的重心 1、定义：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点； 2、重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． 在平面向量的应用：（1）设点是△所在平面内的一点，则当点是△的重心时，有或（其中为平面内任意一点）； （2）在向量的坐标表示中，若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、 、，，则有 【典例1】（25-26高三下·江西·阶段检测）在三角形中，边上的中线，外心为，重心为，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】以A为原点，AB所在直线为x轴，过点A，且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，求出重心坐标结合基本不等式求出的范围，再求出外心坐标即可利用两点间距离公式求解. 【详解】以A为原点，AB所在直线为x轴，过点A，且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系， 则，重心，即， 则由边上的中线得，即， 所以，故，当且仅当时等号成立， 所以即， 因为外心O在AB中垂线上，也在AC中垂线上，，AC中点为， 所以AC中垂线所在直线方程为， 将代入得， 所以外心， 则， 所以的取值范围是. 【跟踪训练】1．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）已知点P是的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理逐项验证判断即得. 【详解】取的中点，根据中线性质可得， 因为是的重心，所以,将上式代入，得，故A,B错误； 又因,故C错误； ，故D正确. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 【答案】C 【详解】由题可得， 由于是的外心，设为线段的中点， 故且，即， 所以，同理，，故是的垂心． 故选：C. 3．（2024·四川南充·三模）点为所在平面内一点，若，则点为的（    ） A．内心 B．重心 C．垂心 D．外心 【答案】A 【分析】分别在边上取同方向的单位向量和，由条件推得，进而得到平分，同理平分，即得结论. 【详解】如图，向量，分别表示在边和上取同方向的单位向量和， 则， 由可得， 因，则平分， 同理由，可知平分， 故为的内心. 4．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 【答案】A 【分析】先将整理，得到，再利用平面向量的三角形法则，求出，得到，从而得到直线BD一定经过三角形ABC的垂心. 【详解】，， ，，， 是三角形的高线，直线BD一定经过三角形ABC的垂心. 故选：A. 5．（2026·浙江·模拟预测）已知点是的重心，点是所在平面内一点.若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用重心的性质及平面向量基本定理即可求解. 【详解】因为点是的重心，所以，即， ， 又不共线，所以，故. 故选：C 6．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知为的重心，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三点共线得到的关系式，再代入，利用导数求得函数最值即可. 【详解】因为为的重心， 所以， 又因为，， 所以， 又因为三点共线， 所以， 因为在线段上，所以与同向且， 于是，同理， 结合得. 目标函数为， 记，， 求导，得：， 所以在上单调递增， 故选：C 7．（2026·河北·模拟预测）已知中，，，若G为的重心，则的最大值为（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】建立直角坐标系，设点根据数量积得出，再根据重心得出，再应用两点间距离公式得出，最后平方化简得出的最大值即可求解. 【详解】以中点为坐标原点，以为轴，以过中点垂直为轴，建立直角坐标系， 所以，设，因为， 又因为， 所以，所以， G为的重心，， 所以， 令，则， 当且仅当时，取得的最大值，即得的最大值. 故选：D. 二、填空题 8．（2026高三·全国·专题练习）已知点是的重心，若，，则的最小值是________． 【答案】 【分析】根据向量的线性表示和向量的数量积运算求解. 【详解】 如图所示，已知，，则，化简得， 由，所以，当且仅当时等号成立， 由于点是的重心，所以，所以， 因为，即， 因此，所以的最小值是. 考点02 三角形的外心 1、定义：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等； 2、外心的性质：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 3、外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． 在平面向量的应用：若点是△的外心，则 或 ； 【典例2】（24-25高三下·重庆北碚·阶段检测）中，角、、分别对应的边为、、，且，. (1)求证：为钝角三角形； (2)若，，为的外心，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用余弦定理计算得出，结合角的取值范围可知为钝角，即可证得结论成立； （2）利用两角差的余弦公式可得出，由（1）可知、均为锐角，结合余弦函数的基本性质可求出的值，并求出的值，并求出外接圆的半径，再利用平面向量数量积的定义可求得的值. 【详解】（1）因为，，由余弦定理得， 又因为，故角为钝角，即为钝角三角形. （2）因为 ，即， 由（1）可知，为钝角，则、均为锐角，即、， 所以，故或 因为，则，故不成立，即有，从而可得， 设的外接圆半径为，由正弦定理可得，故， 如下图所示： 在优弧上取一点（异于点、），则， 所以， 由平面向量数量积的定义可得. 【跟踪训练】1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知是所在平面内的一点，所对的边分别为，若，则是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算，结合向量加法的几何意义判断即可. 【详解】依题意，， ，由，得， 即， 记，其中分别表示方向上的单位向量，因此， 可视为以点为起点的某个菱形的对角线向量，与共线，该对角线平分， 因此平分，所以为内心. 2．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）在中，，若为的外心，设，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设的中点为，连接，则，结合条件，利用向量的数量积的运算律可得，，进而可得，利用基本不等式可求的最大值． 【详解】设所对的边为， 取的中点为，连接，则， 故，同理，而， 则， 即，也即①， 又， 即，也即②， 由①②解得，则， ，当且仅当，即时取等号， 所以. 3．（2026·重庆·一模）边长为 2 的等边三角形 的外心为 ，则 （    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】取BC边的中点D，连接AD，可得，利用向量的数量积的运算法则计算可求得. 【详解】取BC边的中点D，连接AD， 因为O为边长为2的等边三角形的外心， 所以，所以， 所以 . 故选：A.    4．（2025·河北张家口·一模）在平面直角坐标系中，，，，点分别是的外心和垂心，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线方程求解的坐标，即可根据向量的坐标得，且求解. 【详解】由于关于原点对称，故在轴上， ，则中点为，易知, 因此直线的垂直平分线方程为， 令，则，故, 边上的高所在的直线方程为，故， 故， ， 故，且， 由可得， 由于，因此，解得， 故，解得， 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据直线的方程，结合外心和垂心的性质求解故,. 5．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，O为的外心，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理边角互化，再利用辅助角公式求解即可. 【详解】∵，由正弦定理， 得， 即， 而，所以， ∵， 由正弦定理，得， ∴，而， ∴，∴， 因为，所以，∴． 设的外接圆半径为，则， ∴，而， ∴， 故选：C 6．（2026·四川德阳·二模）(多选)下列命题中正确的是（   ） A．若，则向量与的夹角为钝角 B．若，则向量在向量方向上的投影向量为 C．两个非零向量，若，则与共线且反向 D．若为的外心，，则为的垂心 【答案】BCD 【详解】对于A：因为，即，所以向量与的夹角为钝角或平角，A错误； 对于B：若，则，所以向量在向量方向上的投影向量为，B正确； 对于C：将两边平方，化简得，所以，结合向量夹角的范围得夹角为，C正确； 对于D：因为为的外心，，则， 所以， 所以，同理可得，故为的垂心，D正确. 7．（25-26高三上·黑龙江·期中）(多选)下列命题中正确的是（    ） A．若，则向量在向量方向上的投影向量为 B．两个非零向量，若，则与共线且反向 C．若，则向量与的夹角为钝角 D．若为的外心，，则为的垂心 【答案】ABD 【分析】对于A根据已知坐标及投影向量的定义求投影向量的坐标；对于B应用向量数量积的运算律和定义化简条件得判断；对于C由向量数量积的定义确定夹角余弦值符号，即可判断；对于D根据已知得，再应用向量数量积的运算律和垂直表示得，同理有判断. 【详解】对于A：若，则，所以向量在向量方向上的投影向量为，A正确； 对于B：将两边平方，化简得，所以，结合向量夹角的范围得夹角为，B正确； 对于C：因为，即，所以向量与的夹角为钝角或平角，C错误； 对于D：因为为的外心，， 则， 所以， 所以，同理可得，故为的垂心，D正确. 故选：ABD 8．（25-26高三上·江苏宿迁·期末）已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为______. 【答案】 【分析】由题可得，从而得到为直角三角形，由投影向量的概念求解. 【详解】因为， 所以，即， 所以在上， 又因为点为的外心， 所以的外接圆以为圆心，为直径， 所以为直角三角形，且，为中点，    因为向量在向量上的投影向量为， 所以，即， 又，所以 由于为锐角，所以 故答案为： 9．（25-26高三下·江西·阶段检测）在三角形中，边上的中线，外心为，重心为，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】以A为原点，AB所在直线为x轴，过点A，且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，求出重心坐标结合基本不等式求出的范围，再求出外心坐标即可利用两点间距离公式求解. 【详解】以A为原点，AB所在直线为x轴，过点A，且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系， 则，重心，即， 则由边上的中线得，即， 所以，故，当且仅当时等号成立， 所以即， 因为外心O在AB中垂线上，也在AC中垂线上，，AC中点为， 所以AC中垂线所在直线方程为， 将代入得， 所以外心， 则， 所以的取值范围是. 考点03 三角形的内心 1、定义：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心 2、内心的性质：①三角形的内心到三角形三边的距离相等 ②三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 3、内切圆 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形 在平面向量的应用：若点是△的内心，则有 【典例3】（23-24高三下·浙江温州·期中）如图，在平行四边形中，，分别是线段，的中点，记，，且，，. (1)试用向量，表示，； (2)①求，的值；②设为的内心，若，求的值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据向量的线性运算求解即可； （2）根据向量数量积的运算法则、数量积的定义运算求模；再由三角形内心的性质化简可得. 【详解】（1）； . （2）①由（1）知：，则， 又， ，. ②为的内心， ， . 【跟踪训练】1．（25-26高三下·重庆·阶段检测）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．已知O是的内心，且．设的内切圆半径为，外接圆半径为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得到，再结合为内心，得到，即可求解. 【详解】由题意可得． 又因为为三角形内心时，，，， 所以． 故可设，，，， 故三角形为直角三角形．为直角边，为斜边， 由三角形面积 得，又． 故． 2．（25-26高三·全国·一轮复习）A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解. 【详解】 令， 则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量， 即在的平分线上， ，共线， 故点P的轨迹一定通过△ABC的内心， 故选：B 3．（24-25高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，I为的内心，若，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到，求得，得到的值，再由三角形内心的性质和向量的线性运算，求得，结合题意，得到，即,进而求得的值，得到答案. 【详解】因为，由正弦定理得， 又因为， 可得，解得， 因为，所以； 如图所示，设，延长交于点， 则， 所以，同理可得， 过点作， 则 又由，所以, 所以，可得， 即， 因为为的外心，设的内切圆的半径为， 可得， 可得，即， 又因为，即，可得， 由正弦定理得, 又因为，可得，因为且，所以，可得， 所以，可得，. 故选：D. 4．（24-25高一下·山东菏泽·期中）已知O为的内心，三个角对应的边分别为，已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算结合角平分线性质可得，再利用余弦定理和数量积的运算律可得计算结果. 【详解】连接并延长，交于， 因为O为的内心，故为角平分线，由角平分线的性质可得， 同理， 而，故，且，故， 故， 而，故， 故， 故 ， 故选：C. 5．（2026高三·全国·专题练习）设为的内心，且，则角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由内心的向量表示可得，结合余弦定理的推论计算即可得. 【详解】∵为的内心， ∴， ∴， 设，（）， 则， 又，所以. 故选：B. 6．（24-25高三上·江苏泰州·阶段检测）(多选)已知是边长为4的正三角形，该三角形的内心为点，下列说法正确的是（    ） A．在方向上的投影向量的模为2 B． C． D．若为外接圆上任意一点，则 【答案】ABD 【分析】利用投影向量的定义及模的定义判断A，利用数量积的定义判断B，由向量的和的运算判断C，由向量线性运算法则判断D． 【详解】如图，正的内心为点，则也为的外心和重心， 分别是中点，则，在上， ，则， 在方向上的投影向量为，所以在方向上的投影向量的模等于在方向上的投影向量的模，模为2，A正确； ，B正确； ，C错误； ，D正确． 故选：ABD． 7．（公式定理35三角形内心向量公式【思想方法】）在中，I为的内心，若，则__________. 【答案】 【分析】根据内心的性质和向量关系可得到三角形三边的比值，然后根据勾股定理的逆定理可知三角形为直角三角形，从而得出的值. 【详解】根据题意，画出图形为： 因为是的内心，所以根据内心的性质和向量关系可知， 若，则，分别为三角形三边的长度. 因为，所以， 根据勾股定理的逆定理，则. 故答案为：90°. 8．（专题10三角形“四心”的向量表示与应用【讲】（高三二轮提升）高考关键题型突破）已知点均在所在平面内，以下所有正确说法的序号是______． ①若动点满足，则点为的重心； ②若动点满足，则动点的轨迹一定经过的内心； ③若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心； ④若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心． 【答案】①②③④ 【分析】根据平面向量运算的几何表示，结合三角形五心的定义，可得答案. 【详解】对于①，因为动点满足，所以，则点是的重心，①正确． 对于②，，所以， 所以点在的平分线所在直线上，所以动点的轨迹一定经过的内心，②正确． 对于③，，所以， 过点作，垂足为，如下图： 则，所以， 则点在边上的中线所在直线上，因此动点的轨迹一定经过的重心，③正确． 对于④，，所以， 所以， 所以，所以动点的轨迹一定经过的垂心，④正确． 故所有正确说法的序号是①②③④． 故答案为：①②③④. 考点04 三角形的垂心 1.定义：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心； 在平面向量的应用：若是△的垂心，则或 【典例4】（2026高一·全国·专题练习）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则_____. 【答案】/ 【分析】由O是垂心，可得，结合可得，根据三角形内角和为，结合正切的和差角公式即可求解. 【详解】∵是的垂心，∴，， ∴，， ∴ ， 同理可得， 延长交于点，则. ∴ ， 同理可得，∴， 又， ∴， 又， ∴， 不妨设，其中， ∵， ∴，解得或， 当时，此时， 则都是钝角，则，矛盾； 故，则， ∴是锐角，， 于是，解得. 【跟踪训练】1．（第5讲三角形四心向量可表示）已知为所在平面内一点，动点满足：，其中，则动点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】根据已知结合数量积运算律计算数量积为0即可判断选项. 【详解】，， 由正弦定理得，则 令， 因为， 所以 所以， 等式两边点乘得， 所以点的轨迹一定过的垂心， 故选：D． 2．（25-26高三·安徽淮北·期末）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【答案】B 【分析】根据数量积的运算可得，进而根据可得，结合垂线的定义即可求解. 【详解】由 ， 则，即， 故，即点的轨迹经过的垂心. 故选：B 3．如图，已知是的垂心，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂心的性质，通过面积比，得出三个角的正切值之比，根据题目条件列出方程，根据两角和的正切公式和同角三角函数关系，求出角的余弦值. 【详解】是的垂心，延长交与点， 设， ， 同理可得，， 又，， 又，， 不妨设，其中， ， ，解得或， 当时，此时，则都是钝角， 则，矛盾. 故，则，是锐角，， 于是，解得. 故选：A. 4．（23-24高三下·广西防城港·期末）如图，已知是的垂心，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长，，分别交边，，于点，，，利用同底的两个三角形面积比推得，从而得解. 【详解】是的垂心，延长，，分别交边，，于点，，，如图， 则，，，，， 因此，， 同理， 于是得， 又 由“奔驰定理”有 即，所以， 故选：A 5．（2025·吉林·一模）在直角三角形中，，的重心、外心、垂心、内心分别为，，，，若（其中），当取最大值时，（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用的重心、外心、垂心、内心的位置特征，结合向量的线性运算，求出并比较大小. 【详解】直角三角形中，，为中点，的重心为，如图所示，   ， 则，； 直角三角形中，，的外心为，则为中点，如图所示，   ，则，； 直角三角形中，，的垂心为，则与点重合，， 则，； 直角三角形中，，的内心为，则点是三角形内角平分线交点，    直角三角形中，角的对边分别为，设内切圆半径为， 则，得， ， ，. 最大，所以当取最大值时，. 故选：B. 6．（25-26高三上·天津和平·阶段检测）已知点在所在的平面内，则下列各结论正确的有（   ） ①若为的垂心，，则； ②若为边长为2的正三角形，则的最小值为； ③若为锐角三角形且外心为P，且，则； ④若，则动点的轨迹经过的外心． A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】①由得到；②建立平面直角坐标系，写出点的坐标，设，得到的表达式，求出最小值；③变形得到，设为的中点，则三点共线，结合是的外心，得垂直平分，所以，③正确；④变形得到，设是的中点，推理证得，即得结论. 【详解】对于①，若为的垂心，则，又， 所以，①正确； 对于②，取的中点，以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系如图，      则，设， 则，， 故， 故当时，取得最小值为，②错误； 对于③，因，则， 即， 如图，设为的中点，则，故，则三点共线，      又因是的外心，所以垂直平分，所以，③正确； 对于④，由题意，， 则 ，则， 如图，设是的中点，则，故， 即，故，即动点的轨迹经过的外心，④正确.      故选：D 7．（25-26高三·全国·一轮复习）瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离之半，这个定理就是著名的欧拉线定理．设中，点，，分别是其外心、垂心、重心，则下列四个选项中结论正确的是（   ） A． B． C．设边的中点为，则有 D． 【答案】AB 【分析】依题意作出图形，根据重心、垂心、外心的性质一一判断即可. 【详解】由题意作图，如图所示，易知的中点与，共线． 对于A，由题意得，，，所以， 所以，故A正确； 对于B，由题意得，，所以，故B正确； 对于C，由题意知，又因为， 所以，所以，故C错误； 对于D，因为为的外心，向量的模相等，方向不同，故D错误． 故选：AB 8．（第07讲平面向量的奔驰定理与四心问题）是所在平面上的一定点，动点满足，，，则点 形成的图形一定通过 的____．（填外心或内心或重心或垂心） 【答案】垂心 【分析】根据直角三角形中三角函数及向量的夹角可得，据此可由向量的线性运算知P点在BC边垂线上，即可得解. 【详解】， 与垂直， ， 点在的高线上，即的轨迹过的垂心. 故答案为：垂心． 考点05 奔驰定理的应用 1、奔驰定理：O是△ABC内一点，且，则 2、奔驰定理推论：O是△ABC所在平面内一点，且，则： ① ② 由于这个定理对应的图像和奔驰定理的图标很相似，我们把它称为奔驰定理. 【典例5】（（拔高练）专题）（多选）奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，则．如图，设是内一点，的三个内角分别为，，，的面积分别为，若，则以下命题正确的有（    ）    A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 【答案】AD 【分析】根据奔驰定理即可求解A，根据重心的性质即可求解B，根据外心的性质，结合三角形面积公式可求解C，利用面积公式，结合内心的性质求解D. 【详解】对于A，由奔驰定理可得，， 因为不共线，所以，故A正确； 对于B，若是的重心，则，因为， 消去，可得，即三点共线，与题意不符，故B错误； 对于C，当为的外心时，，所以， 故由A项结论，， 即，故C错误； 对于D，当为的内心时，， 因，（为内切圆半径，分别为角的对边）， 则，所以，即，故D正确． 故选：AD 【跟踪训练】1．（23-24高一下·甘肃·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.若为的垂心，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据和得，从而可以得出，设，，得，，再结合垂心和直角三角形余弦值即可求解. 【详解】    如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点. 由为的垂心，，且， 得，所以， 又，则，同理可得，所以， 设，，则，， 所以，即，， 所以， 所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用“奔驰定理”得到，从而利用对顶角相等得到，由此得解. 2．（25-26高一下·重庆·阶段检测）(多选)如图，为内任意一点，角的对边分别为．总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理．则以下命题是真命题的有（   ） A．若是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，，则 【答案】ABD 【分析】根据重心性质可得，再由奔驰定理可判断A正确，结合内心性质以及奔驰定理可知，因此是的内心，即B正确；利用平面向量共线定理可知，计算可得C错误，再由外心性质以及三角换元结合辅助角公式，由三角函数值域计算可得D正确. 【详解】对于A，不妨取分别为的中点，如下图所示： 所以，， 同理可得，所以， 又因为，所以，即A正确； 对于B，记点到的距离分别为， ， 因为，所以， 即，又因为，所以， 因此是的内心，即B正确； 对于C，若，所以， 因此，， 可得 化简可得， 又因为不共线，所以，解得； 因此， 则，所以C错误； 对于D，若是的外心，，所以， 又易知，所以， 因为，则， 化简可得，由题意可得同时为负， 记,其中，则， 因为，所以， 可得，即，因此D正确. 3．（25-26高一下·宁夏银川·阶段检测）(多选)三角形中的奔驰定理是指：是内一点，，，的面积分别为，，，则．若，则以下命题正确的有（   ） A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 【答案】ACD 【详解】根据奔驰定理：的系数之比等于对应三角形的面积之比，即. 若是的重心，则，与，所以不是的重心. 当为的外心时，， 所以，即. 当为的内心时，，其中为内切圆半径，所以，因此，所以为直角三角形. 4．（23-24高三上·河北保定·阶段检测）(多选)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．设是内一点，的三个内角分别为，，，，，的面积分别为，，，若，则以下命题错误的有（    ） A． B．有可能是的重心 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则为直角三角形 【答案】BC 【分析】由奔驰定理可判断A选项，利用重心结论可判断B选项；由外心可知，即可判断C选项；由内心可知，满足勾股定理，D选项正确. 【详解】对于A，由奔驰定理可得，， 因为，，不共线，所以，故A正确； 对于B，若是的重心，， 因为，所以，即共线，故B错误． 对于C，当为的外心时，， 所以， 即，故C错误． 对于D，当为的内心时，（为内切圆半径）， 所以，所以，故D正确. 故选：BC. 5．（24-25高一下·河北·阶段检测）(多选)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 【答案】ABD 【分析】根据重心的性质推导出，结合重心的定义可判断A选项；由“奔驰定理”结合平面向量的线性运算可判断BC选项；推导出，可得出为直角，结合锐角三角函数的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则， 取线段的中点，连接，则， 所以，，即，故、、三点共线， 分别取线段、的中点、，连接、， 同理可证、、三点共线，、、三点共线，则为的重心， 因此，若，则为的重心，A对； 对于B选项，若，由“奔驰定理”可得， 所以，，所以，， 故，B对； 对于C选项，若，即， 即，即， 又，不共线， 所以， 所以由“奔驰定理”可得，C错； 对于D选项，若为的内心，设的内切圆半径为， 则， 因为，则，故， 设，则，，则，故为直角， 所以，，D对. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于利用平面向量的线性运算与三角形的面积比的关系，转化为“奔驰定理”判断结论即可. 6．（25-26高一下·重庆·阶段检测）(多选) “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若M为的垂心，，则 D．若，，M为的外心，则 【答案】ABC 【分析】对于A，取中点，连接，由题意可得，即有，同理可得，，即可判断；对于B，设内切圆的半径为，由三角形的面积公式可得，整理即可判断；对于C，由题意可得，再由三角形的面积公式可得 ，，设，可得，进而可得，，，即可判断；对于D，设的外接圆半径为，根据题意及三角形的面积公式可得，，，即可判断. 【详解】A选项，因为，所以， 取的中点，则，所以， 故三点共线，且， 同理，取中点，中点，可得三点共线，三点共线， 所以M为的重心，A正确； B选项，若M为的内心，可设内切圆半径为， 则，，， 所以， 即，B正确； C选项，若M为的垂心，， 则， 如图，⊥，⊥，⊥，相交于点， 又， ，即， ，即， ，即， 设，，，则，，， 因为，， 所以，即， 同理可得，即，故， ，则， 故， ，则， 故， ， 故， 同理可得， 故，C正确； D选项，若，，M为的外心， 则， 设的外接圆半径为，故， ， 故，，， 所以，D错误. 故选：ABC 7．（22-23高一下·山东·阶段检测）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 【答案】ABD 【分析】A选项，，作出辅助线，得到，，三点共线，同理可得为的重心；B选项，设内切圆半径为，将面积公式代入得到；C选项，设外接圆半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值；D选项，得到，作出辅助线，由面积关系得到线段比，设，，，表示出，，，结合三角函数得到，进而求出余弦值. 【详解】对A选项，因为，所以， 取的中点，则，所以， 故，，三点共线，且， 同理，取中点，中点，可得，，三点共线，，，三点共线， 所以为的重心，A正确； 对B选项，若为的内心，可设内切圆半径为， 则，，， 所以， 即，B正确； 对C选项，若，，为的外心，则， 设的外接圆半径为，故，， ， 故，，， 所以，C错误； 对D选项，若为的垂心，， 则， 如图，，，，相交于点， 又， ，即， ，即， ，即， 设，，，则，，， 因为，， 所以，即， ，则，D正确； 故选：ABD. 8．（23-24高三上·江西新余·期末）(多选)“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：如图所示，已知是内一点，，，的面积分别为，且．以下命题正确的有（   ）    A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，为的外心，则 D．若为的垂心，则 【答案】ABD 【分析】对于A，取中点，连接，由题意可得，即有，同理可得，，即可判断；对于B，设内切圆的半径为，由三角形的面积公式可得，整理即可判断；对于C，设的外接圆半径为，根据题意及三角形的面积公式可得，，，即可判断；对于D，由题意可得，再由三角形的面积公式可得 ，，设，可得，进而可得，，，即可判断. 【详解】解：对于A，取中点，连接，    因为， 则， 所以，， 所以三点共线，且， 设分别是的中点， 同理可得，， 所以为的重心，故A正确； 对于B，因为为的内心， 设内切圆的半径为，    则有， 所以， 即，故B正确； 对于C，因为为的外心， 设的外接圆半径为， 又因为，    则有，，， 所以， ， ， 所以，故C错误； 对于D，延长交于，延长交于，延长交于，如图所示：    因为为的垂心，， 则， 又因为， 则， 设， 因为， 同理可得， 则， 所以， 所以， 所以在中，， 所以在中，； 所以在中，， 所以在中，； 所以 ， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解三角形的重心、内心、外心、垂心. 考点06 三角形四心与奔驰定理综合应用 三角形四心与奔驰定理的关系 ①是的重心：． ②是的内心： ③是的外心：． ④是的垂心： 【典例6】请你根据“奔驰定理”对以下命题进行判断： ①若P是的重心，则有； ②若成立，则P是的内心； ③若，则； ④若P是的外心，，，则； ⑤若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，O为内的一点且为内心.若，则的最大值为. 则正确的命题有________.（填序号）    【答案】①②④⑤ 【分析】根据已知可推得，根据“奔驰定理”即可得出①；记点P到AB，BC，CA的距离分别为，，，根据“奔驰定理”得出，进而结合已知即可得出②；根据平面向量基本定理表示出，根据“奔驰定理”化简，结合，不共线，即可推得③错误；根据已知得出，换元为三角函数，根据辅助角公式化简即可得出④；根据已知推得.然后根据余弦定理，结合基本不等式，即可得出范围. 【详解】对于①：如图所示，因为D，E，F分别为CA，AB，BC的中点， 所以，，， 同理可得，， 所以， 又因为， 所以，故①正确； 对于②：记点P到AB，BC，CA的距离分别为，，， 则，，， 因为，则， 即. 又因为， 所以，所以点P是的内心，故②正确； 对于③：因为， 所以，，， 所以 ， 化简得， 又因为，不共线， 所以，即， 所以，，故③错误； 对于④：因为P是的外心，， 所以，，. 因为， 则， 化简得 . 由题意知m，n不同时为正.记，， 则， 因为， 所以，即， 所以，故④正确； 对于⑤：∵O为的内心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即，， ∴. ∵(当且仅当时取等号)， ∴，∴， ∴(当且仅当时取等号)， ∴的最大值为，故⑤正确. 故答案为：①②④⑤. 【跟踪训练】1．（2026高三·全国·专题练习）在中， 若是的内心，的延长线交于， 则有称之为三角形的内角平分线定理， 现已知，，且， 则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由角平分线定理可得出，求得，再由角平分线定理可得，由向量相等的性质可得结果. 【详解】因为是的内心，的延长线交于， ，，， 由角平分线定理可得，可得，， 即，则， 又因为，，且为的角平分线， 所以，，所以，， 又，且向量、不共线，所以，，所以. 故选：C. 2．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）解决平面向量问题一个重要的定理：，的充要条件是三点共线.如图所示，分别是的中点，则=（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】令，由三点共线，可得到一个向量等式，由三点共线可得到另一个等式，两者结合可求，进而得的值. 【详解】由三点共线，是的中点，得，① 令， 由三点共线，是的中点， 可得，② 比较①、②，得，解得． 则. 故选：B. 3．（22-23高二上·安徽安庆·开学考试）(多选)如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立,此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中，正确的有（    ） A．若是的重心，则有 B．若，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，且，则 【答案】ABD 【分析】根据三角形重心的性质可得，结合奔驰定理可判断A; 设点P到边的距离分别为，结合三角形面积公式可得，与比较，可判断B;由化简得，和奔驰定理比较可判断C;由三角形外心性质结合三角形面积公式可判断D. 【详解】对于A，是的重心，则, 代入就得到,正确； 对于B，设点P到边的距离分别为， 由得，，即，与已知条件比较知，，则是的内心，正确； 对于，即， 与比较得到，，错误； 对于D，是的外心，且，则，设三角形外接圆半径为R， 所以， 代入奔驰定理即可得到，正确， 故选：ABD. 4．（23-24高三上·江西新余·期末）(多选)“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：如图所示，已知是内一点，，，的面积分别为，且．以下命题正确的有（   ）    A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，为的外心，则 D．若为的垂心，则 【答案】ABD 【分析】对于A，取中点，连接，由题意可得，即有，同理可得，，即可判断；对于B，设内切圆的半径为，由三角形的面积公式可得，整理即可判断；对于C，设的外接圆半径为，根据题意及三角形的面积公式可得，，，即可判断；对于D，由题意可得，再由三角形的面积公式可得 ，，设，可得，进而可得，，，即可判断. 【详解】解：对于A，取中点，连接，    因为， 则， 所以，， 所以三点共线，且， 设分别是的中点， 同理可得，， 所以为的重心，故A正确； 对于B，因为为的内心， 设内切圆的半径为，    则有， 所以， 即，故B正确； 对于C，因为为的外心， 设的外接圆半径为， 又因为，    则有，，， 所以， ， ， 所以，故C错误； 对于D，延长交于，延长交于，延长交于，如图所示：    因为为的垂心，， 则， 又因为， 则， 设， 因为， 同理可得， 则， 所以， 所以， 所以在中，， 所以在中，； 所以在中，， 所以在中，； 所以 ， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解三角形的重心、内心、外心、垂心. 5．（25-26高一下·江苏苏州·阶段检测）(多选)如图，P为内任意一点，角A，B，C的对边分别为a，b，c总有优美等式成立，因为图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理，则以下正确的命题为（    ） A．若P是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若P是的外心，，，则的最小值是 D．若，则 【答案】ABC 【分析】对于A利用重心的性质，代入奔驰定理公式即可；对于B利用三角形的面积公式结合奔驰定理，可知点到三边的距离相等；对于C根据外心性质结合三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将两边平方，化简可得，结合一般不等式求解范围即可；对于D由，整理得，再根据奔驰定理求解面积比值即可. 【详解】选项A：若是的重心，根据重心性质，三个小三角形面积相等：， 代入奔驰定理得：，即，A正确； 选项B：若，结合奔驰定理， 得面积比. 又，，，可得， 即到三边距离相等，故是的内心，B正确； 选项C：是外心，故（为外接圆半径）， 由，得圆心角. 由，得， 代入，，化简得. 因为在内，结合奔驰定理系数为正，得， 故， 所以，即，当且仅当时取等号， 最小值为，C正确； 选项D：由，整理得：， 即，根据奔驰定理， 所以，D错误. 6．（25-26高三上·江西南昌·期中）(多选)若是锐角内的一点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则到三边距离之和为定值 B．若，则的面积与的面积之比为 C．若点为的内心，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用等面积法即可证明A，先证明向量中的奔驰定理， 再用奔驰定理结合三角形的面积计算方法可判断B，C，D． 【详解】设到三边的距离分别为， 则由等面积法可得： 即，故A正确； 先证明向量中的奔驰定理： 如图：延长与边相交于点 则 由向量中的奔驰定理可得：， 根据，可得， 所以，故B错误； 由点为的内心，所以点到各边距离都等于内切圆的半径， 则根据奔驰定理可得：， 即可得：，故C正确； 由， 同理可证明， ， 所以可知点是的垂心，如图：延长，且， 由图可得，所以， 而，则，同理可证明， 即， 再由奔驰定理可得： ，故D正确； 故选：ACD． 7．（24-25高二上·重庆万州·开学考试）(多选)平面向量中有一个优美的结论，有趣的是，这个结论对应的图形与“奔驰”轿车的非常相似，该结论如下：如图，已知是内部一点，将、、的面积分别记为，则．根据上述结论，下列命题中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为的内心，且，则 D．若为的垂心，则 【答案】ABCD 【分析】根据奔驰定理的公式可以直接判断选项A正确； 利用，整理可得结合奔驰定理可判断选项B正确； 根据三角形的内心性质，结合奔驰定理可得，所以，即可判断C正确； 利用三角形的面积公式以及平面向量的基本关系和数量积公式得到，从而可判断选项D正确. 【详解】对A，由，， 且不共线，所以，A正确； 对B，由，可得， 整理得，，所以，B正确； 对C，若为的内心，且， 则， 又，（为三角形内切圆的半径） 所以，则为直角三角形，且，C正确； 对D， ，， ， 若为的垂心， 则， ， ， 所以，，， 又因为， ， 又因为 所以 即， 同理可得，， 所以 ， 结合奔驰定理可知，D正确； 故选：ABCD. 8．（2025·湖南长沙·一模）(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M是△ABC所在平面上一点，且 则下列说法正确的是（   ） A．若，则M在内部 B．若，则M为的重心 C．若，则的面积是面积的 D．若，M为外接圆圆心，则 【答案】ABD 【分析】根据向量的线性运算对选项逐一判断即可. 【详解】 对于选项A，当时，三点共线，由向量的线性运算可知， 当时，M在内部，故A 正确； 对于选项B，设BC中点N，G为△ABC的重心，，故B正确； 对于选项C，已知， 则 这说明M在线段BC上，且，那么， 因为和 高相同，根据三角形面积公式可知的面积与 面积之比等于它们底边MC 与BC之比， 即的面积是面积的故C错误； 对于选项D₁ M为外心， 故 ， 所以，所以，故D正确. 故选：ABD. 考点07 极化恒等式应用 基础知识： 在△中，是边的中点，则. 【典例7】（25-26高三下·广东潮州·阶段检测）阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②.由①-②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形中，，为中点. (1)若，求的面积； (2)若，求的值； (3)若为平面内一点，求的最小值. 【答案】(1)10； (2)240； (3)-32. 【分析】（1）结合数量积的定义和三角形面积公式求解； （2）根据“极化恒等式”列出式子计算即可 （3）连接，，取的中点，连接，将进行转化求最值. 【详解】（1）因为，所以， 即，所以， 又，所以， 所以； （2）因为，， 由极化恒等式得 ， 所以， 又，所以， 由极化恒等式得 ； （3）连接，，取的中点，连接， 由，， 则 ， 所以当点与重合时， . 【跟踪训练】1．（23-24高三下·湖南长沙·阶段检测）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 【答案】A 【分析】可以把三角形补形为平行四边形，,利用已知条件求解即可. 【详解】由题设，可以补形为平行四边形， 由已知得． 故选：A． 2．（21-22高一下·重庆沙坪坝·阶段检测）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（    ） A．32 B．-32 C．16 D．-16 【答案】D 【分析】由题设有，代入极化恒等式求即可. 【详解】由题设，，， . 故选：D 3．（2026高三·全国·专题练习）（多选）阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②．由①②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算．如图所示的四边形中，，，点为的中点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据极化恒等式，代入数据求出，再根据求解即可. 【详解】因为，，由极化恒等式得 ， 所以． 又，所以，由极化恒等式得 ． 故选：AC 4．（25-26高一下·辽宁锦州·阶段检测）阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②.由①②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形中，，，点E为的中点，且，则__________ 【答案】240 【详解】因为，，由极化恒等式得： ， 所以.又，所以，由极化恒等式得： . 四、解答题 5．（25-26高三上·广东珠海·阶段检测）如图，外接圆半径等于，三角形内角B是锐角，，点D在AC上，且（）A，B，C所对的边分别是a，b，c. (1)若，证明极化恒等式：，并用此结论求的最大值； (2)若，且BD是角B的平分线，求的面积. 【答案】(1)证明见解析；的最大值为 (2)的面积为 【分析】（1）由题意可得，，计算可证；结合，计算求的最大值； （2）由已知可得，结合正弦定理可得，结合（1）知，利用三角恒等变换可求得，利用三角形面积公式计算可求面积. 【详解】（1）当时，为的中点，故，且，所以， 又，， 则 由为的中点，所以， 两边平方得， 即①， 又， 即②， 由①②得， 因为外接圆半径等于，，所以， 所以，又因为三角形内角B是锐角，所以， 所以，所以 化简得，又，所以，解得， 当且仅当时取等号， 所以的最大值为； （2）当时，， 又BD是角B的平分线，故，即， 又，所以， 由（1）得，，所以， 所以，即， 所以，所以，又，所以， 则，所以， 所以的面积为. 6．（2026高三·全国·专题练习）如图，外接圆半径等于，三角形内角B是锐角，，点D在AC上，且（）A，B，C所对的边分别是a，b，c. 若，证明极化恒等式：，并用此结论求的最大值； 【答案】当时，为的中点，故，且，所以， 又，， 则， 由为的中点，所以， 两边平方得， 即①， 又， 即②， 由①②得， 因为外接圆半径等于，，所以， 所以，又因为三角形内角B是锐角，所以， 所以，所以 化简得，又，所以，解得，当且仅当时取等号， 所以的最大值为； 【分析】由题意可得，，计算可证；结合，计算求的最大值； 【详解】略. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $