精品解析：福建厦门市禾山中学2026—2027学年八年级上学期10月 数学学情自测卷

厦门市禾山中学2026—2027学年（上）八年级阶段调研练习 数学试题 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A选项图形沿中间竖直直线对折，左右两部分能完全重合，是轴对称图形． B、C、D选项图形均找不到任何一条直线使对折后两部分重合，不是轴对称图形． 2. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）． A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系．三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．本题中只要把每组数中较小的两条边长相加，如果和大于最长的一条边，则三边即可组成三角形． 【详解】解：A、，、、不能组成三角形，故A选项不符合题意； B、，、、不能组成三角形，故B选项不符合题意； C、，、、能组成三角形，故C选项符合题意； D、，、、不能组成三角形，故D选项不符合题意； 故选：C． 3. 如图，与关于直线对称，，，则长度为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】解：与关于直线对称， 与是对应线段， ． ， ． 4. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握“全等三角形的对应角相等，对应边相等”是解题的关键． 根据全等三角形的性质可得答案． 【详解】解：由边长为的边是角的对应边，再根据全等三角形的性质可得 故选：A． 5. 在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点应是( ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，网格与勾股定理，全等三角形的性质与判定，证明平分是解题的关键．证明，则根据全等三角形的对应角相等得到，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， 根据网格得出，， 在与中 ∴， ∴， 即平分 ∴到两边距离相等的格点应是点， 故选A 6. 如图O是的重心，若的面积是12，则阴影部分的面积和是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形重心，三角形中线平分面积的知识，理解重心的概念，三角形中线平分面积是关键． 三角形的重心：是三角形三条中线的交点，由此得到是的中线，根据三角形中线平分三角形面积得到由此即可求解． 【详解】解：∵O是的重心， ∴是的中线，即点分别是的中点， ∴是的中线， ∴， ∵， ∴ ， 故选：B ． 7. 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图形可知三角形的两边和夹边，于是根据即可画出一个与原来完全一样的三角形．此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 【详解】解：已知三角形的两角和夹边， ∴两个三角形全等的依据是， 故选：B． 8. 如图，是的角平分线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线定义求出，再根据三角形内角和定理求出，然后根据解答即可． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． 9. 等腰三角形的两条边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长是（       ） A. 10 B. 13 C. 17 D. 13或17 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，分两种情况讨论：当腰为3时和当腰为7时，根据三角形两边之和大于第三边，判断哪种情况成立，从而计算周长即可． 【详解】解：∵等腰三角形的两边分别为3和7， ∴可能情况：①腰为3，底为7；②腰为7，底为3； 对于①：因为，不满足三角形三边关系，舍去； 对于②：因为，满足三角形三边关系； 故周长为， 故选：C． 10. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点．若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，再根据等边对等角和三角形外角的性质推出，则． 【详解】解：如图，连接， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 二．填空题（共6小题，每题4分，共24分．） 11. 射击是一项用枪支对准目标打靶的竞技项目，在正常情况下，射击时要保证瞄准点在准星和缺口确定的直线上（如图所示），才能射中目标，这样做的数学依据是__________________． 【答案】两点确定一条直线 【解析】 【分析】本题主要考查了两点确定一条直线，根据两点确定一条直线进行判断即可． 【详解】解：在正常情况下，射击时要保证瞄准点在准星和缺口确定的直线上（如图所示），才能射中目标，这样做的数学依据是两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 12. 在中，，，则________． 【答案】##27度 【解析】 【详解】解：∵三角形的内角和为， ∴， ∵，， ∴． 13. 如图，在中，，，则的外角________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和解答． 【详解】解：∵是的外角，且， ∴． 14. 命题“互为余角的两个角之和等于”的逆命题为_______． 【答案】两个角之和等于，则这两个角互为余角 【解析】 【分析】本题主要考查逆命题；根据逆命题的定义：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，即可解答． 【详解】解：∵原命题“互为余角的两个角之和等于”中，条件是“两个角互为余角”，结论是“这两个角之和等于”， ∴根据逆命题的定义，交换条件和结论，得逆命题为“如果两个角之和等于，那么这两个角互为余角”． 故答案为：两个角之和等于，则这两个角互为余角． 15. 如图，在正方形网格中，∠1+∠2+∠3=_____________ 【答案】135° 【解析】 【分析】先证明△ABC≌△AEF，然后证明∠1+∠3=90°，再根据等腰直角三角形的性质可得∠2=45°，进而可得答案． 【详解】解：如下图 ∵在△ABC和△AEF中， ∴△ABC≌△AEF（SAS）， ∴∠BAC＝∠4， ∵∠BAC＝∠1， ∴∠4=∠1， ∵∠3+∠4=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∵AG=DG，∠AGD=90°， ∴∠2=45°， ∴∠1+∠2+∠3=135°， 故答案为：135° 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，准确识图判断出全等三角形是解题的关键． 16. 如图，在△中，点是内部的平分线上一点，连接，点是、平分线的交点，若，则的度数为___ °． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线，掌握相关知识是解题的关键．先求出的度数，进一步得到的度数，据此得到的度数，最后根据角平分线的定义即可解决问题． 【详解】解：由题知， ∵点是、平分线的交点， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵点是内部的平分线上一点， ∴． 故答案为： 三．解答题（共9小题，共86分） 17. 计算 （1）解方程组：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 得 ， 解得 ， 把代入②得 ， 解得 ， 因此原方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得 ， 解不等式②得 ， 因此原不等式组的解集为． 18. 如图，，．求证：． 【答案】 证明：在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据证明即可得出结论． 【详解】略 19. 如图，画出关于y轴对称的，并写出点的坐标． 【答案】作图见解析，． 【解析】 【分析】分别画出关于轴对称的点，再顺次连接，得即为所求的三角形，再根据图形的位置写出的坐标即可． 【详解】解：如图，分别画出关于轴对称的点，再顺次连接． 由图形可得：． 【点睛】本题考查的是图形与坐标，轴对称的作图与性质，掌握画关于纵轴对称的图形是解题的关键． 20. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°． （1）尺规作图： ①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 【答案】 （1）①点D即为所求， ②射线AE即为所求． （2）∠DAE＝35°． 【解析】 【分析】（1）①利用尺规作出线段AB的垂直平分线DF，交CB于D，交AB于F，连接AD； ②作∠CAD的角平分线交BC于E，点D，射线AE即为所求． （2）首先证明DA＝DB，推出∠DAB＝∠B＝30°，利用三角形内角和定理求出∠BAC，∠DAC即可解决问题． 【详解】解：（1）略 ②略 （2）∵DF垂直平分线段AB， ∴DB＝DA， ∴∠DAB＝∠B＝30°， ∵∠C＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°， ∴∠CAD＝100°﹣30°＝70°， ∵AE平分∠DAC， ∴∠DAE＝∠DAC＝35°． 【点睛】本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 21. 如图，在中，，是的平分线，于点E，点F在上，，求证：． 【答案】 证明：∵于点E， ∴ ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，先结合于点E，得，根据角平分线的性质，故，又因为，即可证明． 【详解】略 22. 如图，在中，，D是边的中点，连接，平分交于点E． （1）若，求的度数； （2）过点E作交于点F，求证：是等腰三角形． 【答案】（1） （2） 证明：∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，，则有； （2）根据角平分线的性质得．由平行线的性质得，则，有，即可说明是等腰三角形． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，D为的中点， ∴， ∴． ∴； 【小问2详解】 略 23. 在平面直角坐标系中，对点作如下变换：若，作点P关于y轴的对称点；若，作点P关于x轴的对称点，我们称这种变换为“变换”． （1）点作“变换”后的坐标为________；点作“YS变换”后的坐标为________； （2）已知点，，，其中，且点A，B作“变换”后对应的点分别为M，N两点，，求m的值． 【答案】（1）；． （2）． 【解析】 【分析】（1）比较每个点的横、纵坐标大小，按规则分别作关于 轴或 轴的对称变换． （2）先判断 、 两点对应的变换类型，求出 、 坐标，再用“底乘高的一半”求三角形面积，列方程解出 ． 【小问1详解】 解：由题意，当 时，点 关于 轴对称，对应点为 ；当 时，点 关于 轴对称，对应点为 ． 点 中，，即 ，故变换后坐标为 ． 点 中，，即 ，故变换后坐标为 ． 【小问2详解】 解：已知 ，，，且 ． 对于点 ，横坐标 （纵坐标），即 ，故 关于 轴对称，得 ． 对于点 ，横坐标 （纵坐标），即 ，故 关于 轴对称，得 ． 观察 与 ，两点横坐标相同，所以线段 垂直于 轴，长度为 ． 点 到直线 的距离为 ． ． 由题意 ，解得 ． 经检验， 满足 ，符合题意． 【点睛】本题关键是读懂“YS变换”的分段规则——比较横、纵坐标决定作关于 轴还是 轴的对称变换；第（2）问中利用 、 横坐标相同这一特征，把三角形面积用“底乘高÷”转化为关于 的一次方程求解． 24. 阅读材料，回答问题． 主题 “错”中取义——“非法约分”的规律探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生，他在查看约分的作业本时，发现不可思议却又约分正确的练习题：，，小明称之为“非法约分”，据此，他提出猜想：若一个分数“约去”分子和分母中相同的数字，则得到的数与原分数值相等． 分析问题 问题1：小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例． 解决问题 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情，并举例验证猜想，为了研究分子、分母均为两位数且“非法约分”正确的一般结构，进而推广到其他分数的情形，规定：分子、分母均为两位数且“非法约分”正确的分数的分子、分母分别为，，且该分数的“非法约分”表示为：． 小华提出并证明了以下命题． 命题：若分数，则必有，或当 a , b , c 两两不等时，有序数对有且仅有4对． 证明：依题意知，，整理，得…①， 当时，，显然成立； 当时，，所以矛盾，舍去； 当时，，所以矛盾，舍去； 当时，因为，所以不是9的倍数，由①得b为3的倍数，所以，6或9， 若，则由①得，，由得，c不是整数，舍去； 若，则由①得，________，为________； 若，则由①得，________，为________； 综上所述，a，b，c应满足或时，有序数对有且仅有4对．故命题成立． 推广延伸 问题2：若把的分子、分母中相同数字9“拉长”至n个得到分数，则它的“非法约分”是否正确？证明你的结论． （1）解决问题1； （2）请把“解决问题”环节中所缺的证明过程补充完整； （3）解决问题2． 【答案】（1）解：小明的猜想不正确，理由如下： 反例：，“非法约分”后为，而， 故小明猜想不成立（反例不唯一，合理即可）. （2）解：当时，，有序数对为，； 当时，，有序数对为， （3）该“非法约分”正确， 证明：设拉长后分子、分母中相同数字9的个数为（为正整数），则分子可表示为，分母可表示为， ， ， 即约去所有相同数字9后得到的与原分数值相等，故“非法约分”正确 【解析】 【分析】（1）举反例即可判断求解； （2）仿照前面的推论补充证明过程即可； （3）求出原式化简后的结果，再求出“非法约分”的结果即可求证； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①， 由c是整数知，或2， 或； 故为或； ②， 由c是整数知，，2，5，10， ，， 或4， 或； 故为或； 【小问3详解】 略 25. 根据题意解答下列问题： （1）【问题初探】在数学活动课上，朱老师给出如下问题：如图，在中，，点D在外，连接、、，且，过点A作于点E，请直接写出、、之间的数量关系． 小马的解题思路如下：如图1，在BD上截取，连接AF，通过证明，进而得到、、之间的数量关系为________； （2）【类比分析】为了帮助学生更好地感悟转化思想，朱老师提出下面的问题，请你解答．如图2，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是边上的中线，连接交于点F，请探究、、之间的数量关系，并说明理由； （3）【学以致用】如图3，在中，，，点D在边上，过点B作交的延长线于点E，延长至点F，连接，使，连接交于点G，若，，求的面积． 【答案】（1）； （2）解：，理由如下， 如图，在上截取，连接， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是边上的中线，是等腰直角三角形， ∴平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）在上截取，连接，与交于点，然后证明，则有，再由等腰三角形的三线合一定理可得，从而有，即， （2）在上截取，连接，由等边三角形的性质可得，，，则有，再通过等边对等角可得，证明，所以，再证明为等边三角形，所以，则； （3）过作于点，证明，所以，，则有，然后证明，所以，最后通过即可求解． 【小问1详解】 解：如图，在上截取，连接，与交于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图，过作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市禾山中学2026—2027学年（上）八年级阶段调研练习 数学试题 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）． A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 如图，与关于直线对称，，，则长度为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 8 4. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点应是( ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 6. 如图O是的重心，若的面积是12，则阴影部分的面积和是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 7. 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的角平分线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 等腰三角形的两条边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长是（       ） A. 10 B. 13 C. 17 D. 13或17 10. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点．若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 二．填空题（共6小题，每题4分，共24分．） 11. 射击是一项用枪支对准目标打靶的竞技项目，在正常情况下，射击时要保证瞄准点在准星和缺口确定的直线上（如图所示），才能射中目标，这样做的数学依据是__________________． 12. 在中，，，则________． 13. 如图，在中，，，则的外角________． 14. 命题“互为余角的两个角之和等于”的逆命题为_______． 15. 如图，在正方形网格中，∠1+∠2+∠3=_____________ 16. 如图，在△中，点是内部的平分线上一点，连接，点是、平分线的交点，若，则的度数为___ °． 三．解答题（共9小题，共86分） 17. 计算 （1）解方程组：； （2）解不等式组：． 18. 如图，，．求证：． 19. 如图，画出关于y轴对称的，并写出点的坐标． 20. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°． （1）尺规作图： ①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 21. 如图，在中，，是的平分线，于点E，点F在上，，求证：． 22. 如图，在中，，D是边的中点，连接，平分交于点E． （1）若，求的度数； （2）过点E作交于点F，求证：是等腰三角形． 23. 在平面直角坐标系中，对点作如下变换：若，作点P关于y轴的对称点；若，作点P关于x轴的对称点，我们称这种变换为“变换”． （1）点作“变换”后的坐标为________；点作“YS变换”后的坐标为________； （2）已知点，，，其中，且点A，B作“变换”后对应的点分别为M，N两点，，求m的值． 24. 阅读材料，回答问题． 主题 “错”中取义——“非法约分”的规律探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生，他在查看约分的作业本时，发现不可思议却又约分正确的练习题：，，小明称之为“非法约分”，据此，他提出猜想：若一个分数“约去”分子和分母中相同的数字，则得到的数与原分数值相等． 分析问题 问题1：小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例． 解决问题 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情，并举例验证猜想，为了研究分子、分母均为两位数且“非法约分”正确的一般结构，进而推广到其他分数的情形，规定：分子、分母均为两位数且“非法约分”正确的分数的分子、分母分别为，，且该分数的“非法约分”表示为：． 小华提出并证明了以下命题． 命题：若分数，则必有，或当 a , b , c 两两不等时，有序数对有且仅有4对． 证明：依题意知，，整理，得…①， 当时，，显然成立； 当时，，所以矛盾，舍去； 当时，，所以矛盾，舍去； 当时，因为，所以不是9的倍数，由①得b为3的倍数，所以，6或9， 若，则由①得，，由得，c不是整数，舍去； 若，则由①得，________，为________； 若，则由①得，________，为________； 综上所述，a，b，c应满足或时，有序数对有且仅有4对．故命题成立． 推广延伸 问题2：若把的分子、分母中相同数字9“拉长”至n个得到分数，则它的“非法约分”是否正确？证明你的结论． （1）解决问题1； （2）请把“解决问题”环节中所缺的证明过程补充完整； （3）解决问题2． 25. 根据题意解答下列问题： （1）【问题初探】在数学活动课上，朱老师给出如下问题：如图，在中，，点D在外，连接、、，且，过点A作于点E，请直接写出、、之间的数量关系． 小马的解题思路如下：如图1，在BD上截取，连接AF，通过证明，进而得到、、之间的数量关系为________； （2）【类比分析】为了帮助学生更好地感悟转化思想，朱老师提出下面的问题，请你解答．如图2，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是边上的中线，连接交于点F，请探究、、之间的数量关系，并说明理由； （3）【学以致用】如图3，在中，，，点D在边上，过点B作交的延长线于点E，延长至点F，连接，使，连接交于点G，若，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $