精品解析：河北省承德市双滦区实验中学2025-2026学年高二上学期摸底考试数学试卷

2025-2026学年高二年级数学摸底考试 一､单选题 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 或 B. C. D. 或 2. 已知是等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 3. 已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（ ） A. 6 B. 12 C. D. 4. 已知F1，F2分别为椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点，|F1F2|＝2，过椭圆左焦点且斜率为的直线交椭圆于A，B两点，若4，则弦长|AB|＝（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 5. 在数列中，，且，则其前项的和为（ ） A. 841 B. 421 C. 840 D. 420 6. 中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智，如南宋数学家杨辉在《详解九章算法•商功》一书中记载的三角垛、方垛等的求和都与高阶等差数列有关．如图是一个三角垛，最顶层有个小球，第二层有个，第三层有个，第四层有个，则第层小球的个数为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线（，）被圆截得的弦长为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线分别交双曲线左、右两支于A、B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题 9. 直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（ ） A. B. C. D. 10. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，其中从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知抛物线，为抛物线上的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 过点A与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有一条 B. 动点到直线的最小距离为 C. 动点到直线的距离与到轴距离之和的最小值为1 D. 过作直线交抛物线于两点，若线段的中点坐标为，则直线斜率为1 三､填空题 12. 已知双曲线（）的焦点到渐近线的距离为4，则该双曲线的渐近线方程为______． 13. 已知数列的前n项和为，若，则数列的通项公式为_________． 14. 已知抛物线的焦点为，若上存在三点，且为的重心，则三边中线长之和为______． 四､解答题 15. 已知点为圆上的一点，圆心坐标为，且过点的直线被圆截得的弦长为. （1）求圆的方程； （2）求直线的方程. 16. 为等差数列 的前n项和， 已知 （1）求数列 的通项公式; （2）求，并求的最小值. 17. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆E经过点． （1）求椭圆E的标准方程； （2）直线交椭圆E于M，N两点，若线段中点的横坐标为，求直线l的方程． 18. 已知数列满足，且时，，，成等差数列． （1）求证：数列为等比数列； （2）求数列的前项和． 19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若的面积为． （1）求双曲线E的方程； （2）若直线与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二年级数学摸底考试 一､单选题 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】先求直线的斜率，根据斜率和倾斜角的关系求倾斜角. 【详解】直线方程可化为：，所以直线的斜率为：.设倾斜角为，则且，故. 故选：B 2. 已知是等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案. 【详解】∵为等比数列的前n项和， ∴，，成等比数列， ∴，， ∴， ∴. 故选：B. 3. 已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（ ） A. 6 B. 12 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，由椭圆定义得，由余弦定理求出，从而利用三角形面积公式求出答案. 【详解】由椭圆，得，，. 设，， ∴，在中，由余弦定理可得：， 可得，得， 故. 故选：C. 4. 已知F1，F2分别为椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点，|F1F2|＝2，过椭圆左焦点且斜率为的直线交椭圆于A，B两点，若4，则弦长|AB|＝（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过三角形的面积以及弦长公式，转化求解即可． 【详解】解：因为，所以，， 过椭圆左焦点且斜率为， ． 故选：． 【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，以及直线与椭圆的位置关系的应用，属中档题． 5. 在数列中，，且，则其前项的和为（ ） A. 841 B. 421 C. 840 D. 420 【答案】A 【解析】 【分析】设数列的前项和为，则，利用等差数列求和公式计算可得. 【详解】设数列的前项和为，因为，且， 则 . 故选：A 6. 中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智，如南宋数学家杨辉在《详解九章算法•商功》一书中记载的三角垛、方垛等的求和都与高阶等差数列有关．如图是一个三角垛，最顶层有个小球，第二层有个，第三层有个，第四层有个，则第层小球的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记第层有个球，则根据题意可得，再根据累加法求解即可. 【详解】记第层有个球，则，，，， 结合高阶等差数列的概念知，，，，， 则第层的小球个数： ． 故选：. 7. 若直线（，）被圆截得的弦长为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得直线过圆心，整理得，结合基本不等式运算求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 由题意可得：直线过圆心，则，即， 则，当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为25. 故选：B. 8. 已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线分别交双曲线左、右两支于A、B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为，所以，设，则，设，则，．由角平分线的性质可得，由双曲线的定义可得，，再结合余弦定理可得，从而可求解. 【详解】因为，则，所以， 设，则， 设，则，， 因为平分，由角平分线定理可知 所以， 所以， 由双曲线定义知，则，则， 所以， 又由，可得， 所以，，， 在中，由余弦定理知， 在中，由余弦定理知， 化简得，解得． 故选：B． 二､多选题 9. 直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，分直线的截距为0和直线的截距不为0，两种情况讨论，结合直线的截距式方程，即可求解. 【详解】当直线的截距为0时，此时直线的方程为，即． 当直线的截距不为0时，设直线的方程为， 则，解得或， 当时，可得直线的方程为，即； 若时，可得则直线的方程为，即． 故选：BCD. 10. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，其中从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】列出数列前几项，可计算AB；由可计算CD. 【详解】对于A，由题意，数列的前7项为：1，1，2，3，5，8，13，故，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，由题意，， 所以， ，，，，， 所以，故C正确； 对于D，由C可知， ，故D正确. 故选：ACD 11. 已知抛物线，为抛物线上的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 过点A与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有一条 B. 动点到直线的最小距离为 C. 动点到直线的距离与到轴距离之和的最小值为1 D. 过作直线交抛物线于两点，若线段的中点坐标为，则直线斜率为1 【答案】BCD 【解析】 【分析】由抛物线的性质可知A错误，求出过点且与直线平行的抛物线切线方程可得B正确；利用抛物线定义将距离之和的最小值转化为焦点到直线的距离的最值问题可得C正确；联立直线和抛物线方程并利用的中点坐标求得直线方程可得D正确. 【详解】对于A，如下图所示： 过点A与抛物线只有一个公共点的直线有两条， 一条是以为切点的切线，另一条是过点A且斜率为0的直线；所以A错误； 对于B，将直线平移到与抛物线相切，切点为A时，动点到直线的距离最小，如下图所示： 不妨设切线方程为，联立并整理可得， 此时，解得，即切线为； 此时两平行线之间的距离最小为,即B正确； 对于C，易知抛物线焦点，准线方程为， 作垂直于准线，垂直于直线，如下图所示： 由抛物线定义可得，所以动点到轴的距离为， 而动点到直线的距离为， 所以动点到直线的距离与到轴距离之和为， 显然当三点共线时，距离之和最小； 最小值为焦点到直线的距离再减去1，即，可知C正确； 对于D，设过点的直线的方程为，； 与抛物线联立并整理可得， 由韦达定理可得， 若线段的中点坐标为，可得，可得， 又在直线上，解得，即，即直线斜率为1，可得D正确. 故选：BCD 三､填空题 12. 已知双曲线（）的焦点到渐近线的距离为4，则该双曲线的渐近线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线方程确定一个焦点、一条渐近线，利用点线距离公式列方程求参数b，即可写出渐近线方程. 【详解】由题设，双曲线其中一个焦点为，一条渐近线为， 所以，故该双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 13. 已知数列的前n项和为，若，则数列的通项公式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】令，得，当时，，由此推导出数列是首项为3，公比为3的等比数列，从而得到． 【详解】解：令，得，解得， 当时， 由， 得 两式相减得， 即， 整理得， ∴数列是首项为，公比为3的等比数列， ∴，∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查递推关系，是中档题． 14. 已知抛物线的焦点为，若上存在三点，且为的重心，则三边中线长之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求抛物线焦点坐标，根据三角形重心坐标公式可得，由抛物线焦半径，结合三角形重心的性质，可求三边中线长之和. 【详解】如图： 依题意知，设，， 因为为的重心，所以，即． 由抛物线的定义可知，所以边的中线长为， 同理可得边和边的中线长分别为，. 所以三边中线长之和为． 故答案为： 四､解答题 15. 已知点为圆上的一点，圆心坐标为，且过点的直线被圆截得的弦长为. （1）求圆的方程； （2）求直线的方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，从而可求出圆的方程； （2）根据已知条件求出圆心C到直线的距离，然后分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 设圆C的半径为，则， 则圆C的方程为：； 【小问2详解】 因为圆C的半径为1， 所以当直线与圆相交所得的弦长为时，圆心C到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线，此时圆心C到直线的距离为，满足题意 当直线的斜率存在时，设直线，即①. 则，解得， 代入①得： 综上，直线的方程为或. 16. 为等差数列 的前n项和， 已知 （1）求数列 的通项公式; （2）求，并求的最小值. 【答案】（1） （2），最小值为 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式和前项和列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列的通项公式． （2）求出．从而时，的最小值为． 【小问1详解】 为等差数列的前项和，，． ， 解得，， 数列的通项公式． 【小问2详解】 ． 时，的最小值为． 17. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆E经过点． （1）求椭圆E的标准方程； （2）直线交椭圆E于M，N两点，若线段中点的横坐标为，求直线l的方程． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意，求出的值，代入椭圆方程即得； （2）将直线与椭圆方程联立，写出韦达定理，利用中点的横坐标建立方程，求出的值，即得直线l的方程. 【小问1详解】 椭圆E经过点，， 椭圆E的长轴长是短轴长的倍，， 椭圆E的标准方程为； 【小问2详解】 如图，设， 由消去得：， 由，可得， 则， 线段中点的横坐标为， ， 解得，则，因两个值都满足， 故直线l的方程为，即或. 18. 已知数列满足，且时，，，成等差数列． （1）求证：数列为等比数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）由题意，当时，，，成等差数列， 则，即， ， 又， 数列是以1为首项，2为公比的等比数列． （2）2nn﹣1 【解析】 【分析】（1）利用等差中项的知识列出算式，然后整理算式，对算式进行变形可发现数列为等比数列； （2）先根据（1）的结论得出数列的通项公式，然后根据通项公式的特点分组求和即可得到前项和． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），知， 即，． ． 【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的性质应用，以及分组求和方法的应用．本题属中档题． 19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若的面积为． （1）求双曲线E的方程； （2）若直线与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】 （1）依题意可得，所以得到，根据的面积，计算可得； （2）联立直线方程与曲线方程，消元、列出韦达定理，依题意得到，从而求出参数的取值范围，利用弦长公式表示出，，即可得到的取值范围； 【详解】解：（1）因为双曲线为等轴双曲线， 所以，设双曲线的焦距为2c，， 故，即． 因为BC过右焦点F，且垂直于x轴， 将代入，可得，故． 将的面积为， 所以，即， 所以，，故双曲线E的方程为． （2）依题意，直线与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点， 联立方程组消去y可得，， 所以解得，且 所以 ． 联立方程组得，同理， 所以． 所以，其中， 所以． 【点睛】本题考查直线与双曲线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $