精品解析：河北石家庄市部分校2026-2027学年高二上学期第一次月考数学测评试题

高二数学测评 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章2.2． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】直线的斜率为，故倾斜角为 3. 若，，，四点共面，为空间中任意一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知，，，四点共面，且， 根据四点共面的充要条件知，解得． 4. 若 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可知，直线与直线平行， 则，得 5. 在正四棱台中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在正四棱台中，由，，可得，即，解得． 6. 已知直线与直线都经过点，记点、，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，可知点，的坐标满足方程，从而确定直线的方程. 【详解】已知直线与直线都经过点， 所以和分别满足方程，， 即点、的坐标都满足方程， 因此直线的方程为，故B正确. 7. 把边长为2的正六边形纸片沿对角线折成直二面角，忽略纸片的厚度，则翻折后点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】如图，取的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系. 正六边形边长为 2，则，. ，，， 点到直线的距离. 8. 在平面直角坐标系中，点，，若直线上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由及得到点在线段上，即直线与线段相交，整理直线的方程得到直线经过定点，算出临界值斜率，确定直线斜率的取值范围，进而求解. 【详解】由题可知， 因为，所以点在线段上， 直线的方程可化为，所以直线经过定点， ，， 又点在直线上，所以直线与线段相交， 所以直线的斜率或， 即或，解得或 所以的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，是两个不同的平面，直线的一个方向向量为，且，则下列结论正确的是（ ） A. 是的一个法向量 B. 是的一个单位法向量 C. 若是的一个法向量，则 D. 若直线，则是的一个方向向量 【答案】AB 【解析】 【分析】由直线 垂直平面 ，确定直线 的方向向量 即为平面 的法向量；选项 A、B，先根据与平面法向量共线的向量仍是该平面的法向量，再结合向量模长判断是否为单位法向量；选项C，利用两平面平行的充要条件是法向量共线，检验两个法向量之间是否存在数乘关系；选项D，通过向量点积判断该向量与平面法向量垂直，得到向量平行于平面，同时辨析概念，向量平行于平面并不代表平面内任意直线都以该向量作为方向向量. 【详解】 ，是的方向向量， 为平面的一个法向量， ， 选项 A：，与 共线， 是平面的一个法向量， 正确； 选项 B：，与 共线， ，模长为 1， 是 的一个单位法向量， 正确； 选项 C：若 是 的一个法向量，则，即两法向量共线， 假设，即：， ，方程组无解，与不共线，故 与 不平行， 错误； 选项 D：若直线，则是的一个方向向量， ， ∴，说明 平面 ， 但平面 内有无数条方向不同的直线，不能说任意 都以为方向向量， 错误. 10. 如图，，，，，为线段上的动点，则（ ） A. 点的坐标为 B. 直线在轴上的截距为 C. 直线与直线可能垂直 D. 直线绕点逆时针旋转后，所得直线的倾斜角可能为锐角 【答案】ABD 【解析】 【分析】作射线，利用平面几何知识可得，设，利用斜率可求出坐标判断A，根据直线方程判断B，利用向量的数量积不为0判断C，取特例计算旋转后直线的倾斜角判断D. 【详解】如图，作射线， 因为，所以. 又，所以. 设，则，且， 解得，所以点的坐标为，A正确； 由直线的方程为，可知直线在轴上的截距为，B正确； 设，则，，所以，则与不可能垂直，C错误； 连接，因为，所以直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角可取，此时直线绕点逆时针旋转后，所得直线的倾斜角为，D正确. 11. 定义集合是满足下列性质的所有空间向量构成的集合：若，，，，，且，，则．在正方体中，，，．若，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】由集合的定义，逐项验证各选项是否符合题意. 【详解】在正方体中，，，， 所以空间直角坐标系如图所示，有， ， A选项：且时，若， 则，解得， 不满足，所以，A选项正确； B选项：，， 且时，若， 则，解得， 不满足，所以，B选项错误； C选项：，且时，若， 则，解得， 满足题意，有，C选项正确； D选项：，且时，若， 则，解得， 不满足，所以，D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，三点共线，则______． 【答案】7 【解析】 【详解】已知，，三点共线，则有与共线， 所以，解得. 13. 已知是圆柱的母线，在底面圆上，，，，则该圆柱的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用空间两点距离公式求出底面圆半径与母线长，代入圆柱体积公式计算. 【详解】因为点在底面圆上，所以底面圆的半径是点到圆心的距离，因此底面半径. 因为是圆柱的母线，且母线长等于圆柱的高，由，，得向量， 所以母线长（即圆柱的高）. 故圆柱体积为. 14. 在三棱锥中，，，，点在平面内的投影为点，，，若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，并向上建立轴，根据线面角的向量求法即可得到的坐标，从而得到答案. 【详解】因为，，所以是等腰三角形，取的中点为，连接，则， 在中，，，所以， 因为，且在平面内的投影为，所以，这意味着点在的中垂线上，即在直线上， 已知，而，所以在上，且，则， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，并向上建立轴，如图所示， 各点坐标如下，，，， 因为在上，且，所以的坐标为，即，点在的正上方，，所以， 已知点 ，计算向量， ， 设平面 的法向量为 ，则，令，则，，所以， 点在线段上，设，其中， 向量，直线与平面所成角 ，为锐角， ， 平方得 ，解得或（舍去，不在内）， 所以，此时，，，，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线与直线垂直． （1）求的值； （2）求与两坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以，解得． 【小问2详解】 由（1）可得直线的方程为， 令，得，令，得， 所以与两坐标轴围成的三角形的面积为． 16. 如图，在直三棱柱中，． （1）以为空间的一个基底表示向量； （2）若，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算，将逐步拆分为的线性组合； （2）借助直三棱柱垂直性质得到向量数量积为，展开数量积运算后代入已知模长与夹角求值. 【小问1详解】 如图，连接，则， ． 【小问2详解】 根据直三棱柱的性质可得底面，平面， 所以，且． 因为，，所以， 则 ． 17. 在平面直角坐标系中，将直线先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得直线与自身重合． （1）求的斜率． （2）设过点． （ⅰ）求的一般式方程； （ⅱ）若过点的直线与，轴围成等腰三角形，求直线的一般式方程． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）或或或． 【解析】 【分析】（1）（方法一）依题可知的斜率存在，设的方程为，求得平移直线方程，可得，求解即可；（方法二）设为直线l上任意一点，则也在直线l上，可求直线斜率； （2）（ⅰ）求得直线方程，利用等式性质化为一般式即可；（ⅱ）设直线m与直线l，x轴围成的等腰三角形为，分类讨论可求直线的一般式方程． 【小问1详解】 （方法一）依题可知的斜率存在，设的方程为， 则，则， 所以，即l的斜率为． （方法二）设为直线l上任意一点，则也在直线l上， 所以直线l的斜率． 【小问2详解】 （ⅰ）依题意得直线l的方程为，即． （ⅱ）如图，直线l过点P和． 设直线m与直线l，x轴围成的等腰三角形为． 若，则或，即或． 当点B的坐标为时，直线m的方程为，即； 当点B的坐标为时，直线m的方程为，即． 若，则，即， 此时直线m的方程为，即． 若，过点B作，垂足为H，则H为的中点． 由，得，即，解得， 所以，则，即， 此时直线m的方程为，即． 综上，直线m的一般式方程为或或或． 18. 如图，在几何体中，底面为矩形，，，，． （1）证明：平面平面． （2）若为上的动点，证明：直线到平面的距离小于8． （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：连接AC，与BD交于点O，则O为BD的中点．连接EO． 由，得． 因为底面为矩形，，， 所以，，， 所以，则． 因为，所以平面． 因为平面，所以平面平面 （2）证明：由，得． 因为平面，平面，所以平面． 同理可证平面．因为，所以平面平面 因为平面，所以平面， 则直线到平面的距离即为点到平面的距离． 分别取，的中点，，连接，． 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 如图所示． 根据题意可得，，，，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则， 所以点到平面的距离， 故直线到平面的距离小于8． （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定证明；（2）易证平面，则直线到平面的距离即为点到平面的距离，利用空间向量的距离公式求解；(3)利用空间向量的二面角公式求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 由（2）可得，． 设平面的法向量为，则， 令，则． 由（2）知平面平面，所以是平面的一个法向量． 因为， 且由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 19. 如图，四边形为矩形，，，，，，将矩形四周的三角形沿该矩形的边向上折起，使，，，四点重合于点P，得到四棱锥．已知． （1）证明：平面． （2）若E为棱上的动点，求异面直线与所成角的余弦值的取值范围． （3）设Q为四棱锥外接球球面上的动点，求G与Q两点之间的距离的最大值． 【答案】（1）因为，，所以，． 因为，所以． 又，平面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线线垂直可证平面； （2）过点作，垂足为，过点作，交于点，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，可求得，利用换元法可求得异面直线与所成角的余弦值的取值范围； （3）设四棱锥外接球的球心为，半径为，可得矩形对角线的交点为，可得，计算可求得G与Q两点之间的距离的最大值． 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 过点作，垂足为，过点作，交于点． 因为平面平面，平面平面，所以平面． 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示．在中，， 在中， ，，则，， 所以，． 因为，所以点G与点F重合，则． 设，，则． 因为，所以． 令，则． 因为，所以，则， 所以，则所求取值范围为． 【小问3详解】 设四棱锥外接球的球心为，半径为． 可得矩形对角线的交点为， 则底面．设．由，得， 解得，则，． 因为， 所以G与Q两点之间的距离的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学测评 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章2.2． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 若，，，四点共面，为空间中任意一点，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 若 ，则（ ） A. B. C. D. 5. 在正四棱台中，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与直线都经过点，记点、，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 把边长为2的正六边形纸片沿对角线折成直二面角，忽略纸片的厚度，则翻折后点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，点，，若直线上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，是两个不同的平面，直线的一个方向向量为，且，则下列结论正确的是（ ） A. 是的一个法向量 B. 是的一个单位法向量 C. 若是的一个法向量，则 D. 若直线，则是的一个方向向量 10. 如图，，，，，为线段上的动点，则（ ） A. 点的坐标为 B. 直线在轴上的截距为 C. 直线与直线可能垂直 D. 直线绕点逆时针旋转后，所得直线的倾斜角可能为锐角 11. 定义集合是满足下列性质的所有空间向量构成的集合：若，，，，，且，，则．在正方体中，，，．若，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，三点共线，则______． 13. 已知是圆柱的母线，在底面圆上，，，，则该圆柱的体积为______． 14. 在三棱锥中，，，，点在平面内的投影为点，，，若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线与直线垂直． （1）求的值； （2）求与两坐标轴围成的三角形的面积． 16. 如图，在直三棱柱中，． （1）以为空间的一个基底表示向量； （2）若，，求． 17. 在平面直角坐标系中，将直线先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得直线与自身重合． （1）求的斜率． （2）设过点． （ⅰ）求的一般式方程； （ⅱ）若过点的直线与，轴围成等腰三角形，求直线的一般式方程． 18. 如图，在几何体中，底面为矩形，，，，． （1）证明：平面平面． （2）若为上的动点，证明：直线到平面的距离小于8． （3）求二面角的余弦值． 19. 如图，四边形为矩形，，，，，，将矩形四周的三角形沿该矩形的边向上折起，使，，，四点重合于点P，得到四棱锥．已知． （1）证明：平面． （2）若E为棱上的动点，求异面直线与所成角的余弦值的取值范围． （3）设Q为四棱锥外接球球面上的动点，求G与Q两点之间的距离的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $