第1-3章题型精练：解答题-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

第1-3章题型精练：解答题-2026-2027学年数学九年级上册苏科版 考点汇总 考点：一元二次方程的概念与解法 考点：一元二次方程的根与系数的关系 考点：用一元二次方程解决问题 考点：反比例函数的图象与性质 考点：用反比例函数解决问题 考点：圆的对称性 考点：圆周角问题 考点：点与直线、直线与圆的位置关系 考点：正多边形与圆、圆锥、扇形 跟踪特训 考点：一元二次方程的概念与解法 1．（2026•越秀区校级二模）已知． （1）化简P； （2）若a为方程的一个解，求P的值． 2．（2024秋•永寿县校级期中）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由． 3．（2026春•扬州校级月考）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”． （1）判断一元二次方程5x2﹣8x+3＝0是否为“和美方程”，请说明理由． （2）已知关于x的一元二次方程7x2﹣bx+c＝0是“和美方程”，求b2﹣6c的最小值． 4．（2026秋•和平区校级月考）解一元二次方程： （1）x2﹣4x+1＝0； （2）（y﹣1）2+2y（y﹣1）＝0． 考点：一元二次方程的根与系数的关系 5．（2026秋•西城区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若该方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2＝x1x2+1，求k的值． 6．（2026秋•天津校级月考）关于x的一元二次方程x2﹣x+p﹣1＝0有两个实数根x1，x2． （1）求p的取值范围； （2）若（x1+p）（x2+p）＝7，求p的值． 7．（2026春•让胡路区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0． （1）若方程有两个实数根，求实数k的取值范围； （2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2＝﹣x1•x2，求k的值． 8．（2026春•新昌县期末）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均为常数，a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程中，按上述定义 _______ （填序号）是“邻根方程”． ①x2+x＝0；②x2﹣2x+1＝0；③x2+3x+2＝0． （2）若（x﹣2）（x+n）＝0是“邻根方程”，求n的值． （3）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均为常数，a≠0）为“邻根方程”，求出a，b，c应满足的数量关系． 考点：用一元二次方程解决问题 9．（2026秋•碑林区校级月考）某服装店以每件50元的价格购进一批T恤，如果以每件60元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高2元，销售量就会减少10件． （1）当该服装店将销售单价定为74元时，那么销售量为________ 件； （2）若服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润6000元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应定为多少元？ 10．（2026秋•西城区校级同步）某超市以30元/件的进价购进一批商品．当商品售价为40元/件时，一月销售250件，二月、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月的销售量达到360件． （1）求二月、三月销售量的月平均增长率； （2）从四月起，超市采用降价促销的方式回馈顾客．经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加6件，当商品降价a元时，超市获利1950元，求a的值． 11．（2025秋•新疆期末）为了美化校园环境，学校在靠墙的一侧设计一个矩形花圃ABCD，其中墙长20米，花圃三边外围用篱笆围起，篱笆共52米长．若花圃面积为240平方米．求花圃一边AB的长． 12．（2026秋•碑林区校级月考）【项目主题】水果店石榴促销方案设计 临潼石榴是陕西一大特产．它集全国石榴之优，素以色泽艳丽，果大皮薄，汁多味甜，核软鲜美，籽肥渣少，品质优良等特点而著称． 【收集素材】 据了解：某水果店正常情况下，石榴的售价为每斤10元时，每天可售出200斤，通过市场调查发现，若每斤每降价1元，每天可多售出25斤．为尽量减少库存，现决定降价促销． 【任务解决】 （1）任务一：该水果店要使销售石榴每天所获得的销售额为1800元，那么石榴每斤的定价应为多少元？ （2）任务二：该水果店销售石榴每天所获得的销售额能否达到3000元？请计算说明． 考点：反比例函数的图象与性质 13．（2025秋•茂名月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝x﹣4与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为（6n，2n）和（m，﹣6）． （1）求反比例函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集． 14．（2026•太和县模拟）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数y＝ax+2（a≠0）的图象交于A，B两点，点A，B的横坐标分别为2，﹣6，直线AB交y轴于点C． （1）求k，a的值； （2）过点A作AD⊥x轴于点D，连接CD，求△BCD的面积． 15．（2025秋•铜仁市期中）如图，反比例函数y（x＞0）的图象经过点A，已知点B（4，0），且OA＝AB，S△ABO＝4． （1）求k的值． （2）在反比例函数y（x＞0）的图象上是否存在点M，使得S△OMB＝18？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 16．（2025秋•邢台月考）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD，BC＝8，点A、B在y轴的正半轴上，边BC与AD分别与反比例函数的图象相交于E、F两点，且点E的坐标为（2，m），点F的坐标为（m+3，1）．点P在反比例函数的图象上（点P不与点E、F重合），其横坐标为n． （1）求k的值； （2）连接PE、PC，当△PEC的面积是该矩形面积的一半时，求点P的坐标． 考点：用反比例函数解决问题 17．（2026•花溪区二模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求该反比例函数的表达式； （2）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？ 18．（2026•西安校级模拟）小明新买了一盏亮度可调节的台灯，他发现调节的原理是：当电压U一定时，通过调节电阻控制电流的变化，从而改变灯光的明暗．台灯的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，其图象如图所示． （1）I关于R的函数表达式为____________________ ；当R＝2000时，I＝_________ ； （2）若该台灯工作的最小电流为0.04A，最大电流为0.25A，求该台灯的电阻R的取值范围． 19．（2025秋•广阳区期末）一辆客车从A地出发前往B地，平均速度v（千米小时）与所用时间t（小时）的函数关系如图所示，其中60≤v≤120． （1）求v与t的函数关系式； （2）客车上午8点从A地出发，客车需在当天14点至15点30分（含14点与15点30分）间到达B地，求客车行驶速度v的取值范围． 20．（2026•黔南州模拟）如图①，这是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度ρ（单位：kg/m3）随容器体积V（单位：m3）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，解答下列问题． （1）该容器内氧气的质量为_____ kg． （2）求容器内氧气的密度ρ关于体积V的函数解析式． （3）若该容器的体积V为25m3，求氧气的密度ρ． 考点：圆的对称性 21．（2026秋•宿城区校级月考）如图，在⊙O中，且BD⊥OC，垂足为D．若AB＝8，CD＝2，求⊙O的半径． 22．（2025秋•西丰县期末）如图，在⊙O中，AB为弦，CD为直径，且AB⊥CD于点E，连接AC，过点B作BF⊥AC于点F，BF与CD相交于点G，连接BD． （1）求证：E是线段DG的中点． （2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径． 23．（2026•蜀山区校级三模）如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为H，BC⊥AB，交AD延长线于点C． （1）求证：D是AC的中点； （2）若AB＝12，，求⊙O的半径． 24．（2025秋•无为市期末）如图，两个圆都是以O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点． （1）求证：AC＝BD； （2）若AB＝8，BD＝1，小圆的半径为5，求大圆的半径R的值． 考点：圆周角问题 25．（2025秋•昌都市期末）已知：如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠1＝∠2，AC＝5cm． （1）求证：； （2）求BD的长． 26．（2026•宿松县二模）如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，点B在⊙O上，点D为⊙O上一点，连接BD，且B为的中点，BE⊥AC于点E，连接CD交BE于点F． （1）求证：BF＝CF； （2）若AB＝4，BD＝2，求BE的长． 27．（2026•柳州二模）如图，AB为⊙O的直径，点D是弦AC延长线上一点，AC＝CD，连接DB并延长，交⊙O于点E，连接CE． （1）求证：CE＝CD； （2）若所对圆心角的度数为108°，求∠E的度数． 28．（2026•眉山一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O，点D为中点（点A、D在BC的异侧），连接AD交⊙O于点E，连接BE、CE． （1）求证：∠CBE＝∠ACE； （2）若∠CBE＝30°，求证：AE＝DE． 考点：点与直线、直线与圆的位置关系 29．（2026•青海模拟）如图，AB是⊙O的直径，D为圆上一点，AC平分∠DAB交⊙O于点C，过C点作CE⊥AD的延长线于点E． （1）求证：CE为⊙O的切线； （2）已知AB＝8，AE＝6，求AC的长． 30．（2025秋•沙市区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，连接CB，以DC为边在DC的左侧作∠CDF，交BA的延长线于点F，且∠FDC＝2∠B． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若CD＝10，BH＝5AH，求⊙O的半径． 31．（2026•攀枝花）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H．E为上一点，连结AE交CD于点F，EF的垂直平分线交CD的延长线于点G，连结GE． （1）若⊙O的半径为3，AH＝2，求CD的长； （2）求证：EG是⊙O的切线． 32．（2026•宁明县三模）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AD，连接BD交⊙O于点C．连接CO，过点B作CO的垂线交其延长线于点E，交⊙O于点F，连接AF． （1）求证：∠CBE＝∠D； （2）若⊙O的半径为4，AF＝2，求AD的长． 考点：正多边形与圆、圆锥、扇形 33．（2025秋•武威校级期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，P为上一点，连接AP，FP． （1）求∠APF的度数； （2）当点P为的中点时，PE是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值． 34．（2025秋•镇原县期末）如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题： 作法：如图2． 1．作直径AF． 2．以点F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N． 3．连接AM，MN，NA． （1）△AMN是正三角形吗？请说明理由． （2）从点A开始，以DN的长为边长，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值． 35．（2026•崇川区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线，OD⊥AB与过点C的切线交于点D，与AC交于点E，AB的延长线与切线DC交于点F． （1）求证：DE＝DC； （2）若点E为OD的中点，⊙O的半径为1，求，BF，CF围成的阴影部分的面积． 36．（2025秋•久治县期末）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为25cm、底面半径为15cm的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． （1）这顶锥形草帽的高为_______ cm，侧面积为_________ cm2（结果保留π）； （2）计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 参考答案与试题解析 1．（2026•越秀区校级二模）已知． （1）化简P； （2）若a为方程的一个解，求P的值． 【解答】解：（1） • • • ＝a（a﹣3） ＝a2﹣3a； （2）∵a为方程的一个解， ∴a2﹣a﹣5＝0， ∴a2﹣3a﹣15＝0， ∴a2﹣3a＝15， ∴P＝15． 2．（2024秋•永寿县校级期中）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由． 【解答】解：△ABC为等腰三角形．理由如下： 把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形． 3．（2026春•扬州校级月考）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”． （1）判断一元二次方程5x2﹣8x+3＝0是否为“和美方程”，请说明理由． （2）已知关于x的一元二次方程7x2﹣bx+c＝0是“和美方程”，求b2﹣6c的最小值． 【解答】解：（1）该方程是“和美方程”，理由如下， ∵当x＝1时，方程左边＝5﹣8+3＝0，右边＝0， ∴左边＝右边， ∴x＝1是该方程的解， ∴该方程是“和美方程”； （2）由题意得：7﹣b+c＝0， ∴b＝7+c， ∴b2﹣6c＝（7+c）2﹣6c ＝c2+8c+49 ＝（c+4）2+33， ∵（c+4）2≥0， ∴（c+4）2+33≥33， ∴b2﹣6c的最小值为33． 4．（2026秋•和平区校级月考）解一元二次方程： （1）x2﹣4x+1＝0； （2）（y﹣1）2+2y（y﹣1）＝0． 【解答】解：（1）x2﹣4x＝﹣1， x2﹣4x+4＝3， （x﹣2）2＝3， x﹣2＝±， 所以x1＝2，x2＝2； （2）（y﹣1）（y﹣1+2y）＝0， y﹣1＝0或y﹣1+2y＝0， 所以y1＝1，y2． 5．（2026秋•西城区校级月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若该方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2＝x1x2+1，求k的值． 【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4k≥0， 解得k； （2）根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝k， ∵x1+x2＝x1x2+1， ∴3＝k+1， 解得k＝2， ∵k， ∴k的值为2． 6．（2026秋•天津校级月考）关于x的一元二次方程x2﹣x+p﹣1＝0有两个实数根x1，x2． （1）求p的取值范围； （2）若（x1+p）（x2+p）＝7，求p的值． 【解答】解：（1）由题意得，Δ＝（﹣1）2﹣4（p﹣1）＝5﹣4p≥0， ∴， ∴p的取值范围是； （2）根据根与系数的关系得：x1+x2＝1，x1•x2＝p﹣1， ∵（x1+p）（x2+p）＝7， ∴， ∴p﹣1+p+p2＝7， ∴p2+2p﹣8＝0， 解得p1＝﹣4，p2＝2， ∵， ∴p＝﹣4， ∴p的值为﹣4． 7．（2026春•让胡路区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0． （1）若方程有两个实数根，求实数k的取值范围； （2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2＝﹣x1•x2，求k的值． 【解答】解：（1）由条件可知： Δ＝（2k+1）2﹣4×1×（k2+1）＝4k﹣3≥0，解得． 即实数k的取值范围为． （2）由条件可知x1+x2＝﹣（2k+1），， 又∵x1+x2＝﹣x1•x2， ∴﹣（2k+1）＝﹣（k2+1），解得k1＝0，k2＝2． 由（1）知，故k1＝0不符合要求舍去，因此k＝2． 8．（2026春•新昌县期末）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均为常数，a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程中，按上述定义 　①③　 （填序号）是“邻根方程”． ①x2+x＝0；②x2﹣2x+1＝0；③x2+3x+2＝0． （2）若（x﹣2）（x+n）＝0是“邻根方程”，求n的值． （3）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均为常数，a≠0）为“邻根方程”，求出a，b，c应满足的数量关系． 【解答】解：（1）解方程x2+x＝0得x1＝0，x2＝﹣1， ∵0﹣（﹣1）＝1， ∴方程x2+x＝0为“邻根方程”． 解方程x2﹣2x+1＝0得x1＝x2＝1， ∵1﹣1＝0， ∴方程x2﹣2x+1＝0不是“邻根方程”． 解方程x2+3x+2＝0得x1＝﹣1，x2＝﹣2， ∵（﹣1）﹣（﹣2）＝1， ∴方程x2+3x+2＝0为“邻根方程”． 故答案为：①③； （2）（x﹣2）（x+n）＝0， x﹣2＝0或x+n＝0， 解得x1＝2，x2＝﹣n， ∵（x﹣2）（x+n）＝0是“邻根方程”， ∴2﹣（﹣n）＝1或﹣n﹣2＝1， 解得n＝﹣1或n＝﹣3； （3）设一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个分别为t，t+1， 根据题意得Δ＝b2﹣4ac＞0， ∵t+t+1，t（t+1）， ∴t， ∴（1）， 整理得b2﹣4ac＝a2， 即a，b，c应满足的数量关系为b2﹣4ac＝a2． 9．（2026秋•碑林区校级月考）某服装店以每件50元的价格购进一批T恤，如果以每件60元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高2元，销售量就会减少10件． （1）当该服装店将销售单价定为74元时，那么销售量为　230　 件； （2）若服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润6000元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应定为多少元？ 【解答】解：（1）根据题意得：30010 ＝300﹣70 ＝230（件）， ∴当该服装店将销售单价定为74元时，销售量为230件． 故答案为：230； （2）设T恤的销售单价提高x元，则每件的销售利润为（60+x﹣50）元，月销售量为（30010）件， 根据题意得：（60+x﹣50）（30010）＝6000， 整理得：x2﹣50x+600＝0， 解得：x1＝20，x2＝30， 又∵要尽可能减少库存， ∴x＝20， ∴x+60＝20+60＝80（元）． 答：T恤的销售单价应定为80元． 10．（2026秋•西城区校级同步）某超市以30元/件的进价购进一批商品．当商品售价为40元/件时，一月销售250件，二月、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月的销售量达到360件． （1）求二月、三月销售量的月平均增长率； （2）从四月起，超市采用降价促销的方式回馈顾客．经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加6件，当商品降价a元时，超市获利1950元，求a的值． 【解答】解：（1）设二月、三月销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：250（1+x）2＝360， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：二月、三月销售量的月平均增长率为20%； （2）根据题意得：（40﹣a﹣30）（360+6a）＝1950， 整理得：a2+50a﹣275＝0， 解得：a1＝5，a2＝﹣55（不符合题意，舍去）． 答：a的值为5． 11．（2025秋•新疆期末）为了美化校园环境，学校在靠墙的一侧设计一个矩形花圃ABCD，其中墙长20米，花圃三边外围用篱笆围起，篱笆共52米长．若花圃面积为240平方米．求花圃一边AB的长． 【解答】解：设AB的长为x米，则BC的长为（52﹣2x）米， 依题意列一元二次方程得：x（52﹣2x）＝240， 解得：x1＝20，x2＝6， 当x＝6时，52﹣2x＝52﹣2×6＝40＞20，不符合题意，舍去； 当x＝20时，52﹣2x＝52﹣2×20＝12＜20，符合题意． 答：花圃一边AB的长为20米． 12．（2026秋•碑林区校级月考）【项目主题】水果店石榴促销方案设计 临潼石榴是陕西一大特产．它集全国石榴之优，素以色泽艳丽，果大皮薄，汁多味甜，核软鲜美，籽肥渣少，品质优良等特点而著称． 【收集素材】 据了解：某水果店正常情况下，石榴的售价为每斤10元时，每天可售出200斤，通过市场调查发现，若每斤每降价1元，每天可多售出25斤．为尽量减少库存，现决定降价促销． 【任务解决】 （1）任务一：该水果店要使销售石榴每天所获得的销售额为1800元，那么石榴每斤的定价应为多少元？ （2）任务二：该水果店销售石榴每天所获得的销售额能否达到3000元？请计算说明． 【解答】解：（1）设石榴每斤的定价为x元，则每天可售出200+25（10﹣x）＝（450﹣25x）斤， 根据题意得：x（450﹣25x）＝1800， 整理得：x2﹣18x+72＝0， 解得：x1＝6，x2＝12， ∵要尽量减少库存， ∴x＝6． 答：石榴每斤的定价应为6元； （2）该水果店销售石榴每天所获得的销售额不能达到3000元，理由如下： 假设该水果店销售石榴每天所获得的销售额能达到3000元，设石榴每斤的定价为y元，则每天可售出200+25（10﹣y）＝（450﹣25y）斤， 根据题意得：y（450﹣25y）＝3000， 整理得：y2﹣18y+120＝0， ∵Δ＝（﹣18）2﹣4×1×120＝﹣156＜0， ∴原方程无实数根， ∴假设不成立，即该水果店销售石榴每天所获得的销售额不能达到3000元． 13．（2025秋•茂名月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝x﹣4与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为（6n，2n）和（m，﹣6）． （1）求反比例函数的解析式； （2）直接写出不等式的解集． 【解答】解：（1）把点A（6n，2n）代入y＝x﹣4得，2n＝6n﹣4， 解得：n＝1， ∴点A的坐标为：（6，2）， ∵反比例函数的图象过点A， ∴k＝6×2＝12， ∴反比例函数的解析式为； （2）把点B（m，﹣6）代入直线y＝x﹣4得，﹣6＝m﹣4， 解得m＝﹣2， ∴B（﹣2，﹣6）， 由函数图象可知：当﹣2＜x＜0或x＞6时，一次函数图象在反比例函数图象的上方， ∴不等式的解集为﹣2＜x＜0或x＞6． 14．（2026•太和县模拟）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数y＝ax+2（a≠0）的图象交于A，B两点，点A，B的横坐标分别为2，﹣6，直线AB交y轴于点C． （1）求k，a的值； （2）过点A作AD⊥x轴于点D，连接CD，求△BCD的面积． 【解答】解：（1）由条件可得： ， 解得， 即k＝6，． （2）当x＝2时，，即AD＝3． ∴． 15．（2025秋•铜仁市期中）如图，反比例函数y（x＞0）的图象经过点A，已知点B（4，0），且OA＝AB，S△ABO＝4． （1）求k的值． （2）在反比例函数y（x＞0）的图象上是否存在点M，使得S△OMB＝18？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）过点A作AD⊥x轴于点D， ∵点B（4，0），且OA＝AB， ∴DO＝DB＝2， ∵S△ABOOB•AD＝4， ∴AD＝2， ∴A（2，2）， 将点A（2，2）代入， 则k＝2×2＝4； （2）存在，理由如下： ∵k＝4， ∴反比例函数解析式为， 设， ∵S△OMB＝18， ∴， 解得， ∴． 16．（2025秋•邢台月考）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD，BC＝8，点A、B在y轴的正半轴上，边BC与AD分别与反比例函数的图象相交于E、F两点，且点E的坐标为（2，m），点F的坐标为（m+3，1）．点P在反比例函数的图象上（点P不与点E、F重合），其横坐标为n． （1）求k的值； （2）连接PE、PC，当△PEC的面积是该矩形面积的一半时，求点P的坐标． 【解答】解：（1）由条件可知k＝2m＝（m+3）×1， 解得m＝3， ∴E（2，3），F（6，1）， ∴k＝2×3＝6； （2）∵E（2，3），F（6，1）， ∴AB＝3﹣1＝2， ∵BC＝8， ∴矩形面积＝2×8＝16，EC＝8﹣2＝6， ∴， 设△PEC中，CE边上高为h， ∴， 解得， P点在CE下方时， ，则xP＝18， ∴当时，x＝18， ∴P点的坐标为， P点在CE上方时， ，， ∴当时，， ∴P点的坐标为， ∴P点的坐标为或． 17．（2026•花溪区二模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求该反比例函数的表达式； （2）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应不小于多少？ 【解答】解：（1）设p， ∵点A（0.8，120）在反比例函数解析式上， ∴k＝0.8×120＝96， ∴反比例函数的表达式为p； （2）由题意得：140， 140V≥96， 解得：V． 答：气体的体积应不小于m3． 18．（2026•西安校级模拟）小明新买了一盏亮度可调节的台灯，他发现调节的原理是：当电压U一定时，通过调节电阻控制电流的变化，从而改变灯光的明暗．台灯的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，其图象如图所示． （1）I关于R的函数表达式为　　 ；当R＝2000时，I＝　0.11　 ； （2）若该台灯工作的最小电流为0.04A，最大电流为0.25A，求该台灯的电阻R的取值范围． 【解答】解：（1）设I关于R的函数表达式为， 由题意可得：， 解得：U＝220， ； 当R＝2000Ω时，． 故答案为：，0.11 （2）当I＝0.04A时，（Ω）， 当I＝0.25A时，（Ω）， ∴该台灯的电阻R的取值范围为880Ω≤R≤5500Ω． 19．（2025秋•广阳区期末）一辆客车从A地出发前往B地，平均速度v（千米小时）与所用时间t（小时）的函数关系如图所示，其中60≤v≤120． （1）求v与t的函数关系式； （2）客车上午8点从A地出发，客车需在当天14点至15点30分（含14点与15点30分）间到达B地，求客车行驶速度v的取值范围． 【解答】解：（1）设v与t的函数关系式为，把点（6，100）代入得，， 解得k＝600， ∴v与t的函数关系式是； （2）由题意得，6≤t≤7.5， 当t＝6时，， 当t＝7.5时，， ∵v随着t的增大而减小， ∴80≤v≤100， 即客车行驶速度v的取值范围为80≤v≤100． 20．（2026•黔南州模拟）如图①，这是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度ρ（单位：kg/m3）随容器体积V（单位：m3）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，解答下列问题． （1）该容器内氧气的质量为　8　 kg． （2）求容器内氧气的密度ρ关于体积V的函数解析式． （3）若该容器的体积V为25m3，求氧气的密度ρ． 【解答】解：（1）m＝2×4＝8（kg）， 故答案为：8； （2）设所求的函数解析式为， ∴k＝xy＝4×2＝8． ∴所求函数的解析式为． （3）∵该容器的体积V为25m3，∴． 答：氧气的密度ρ为0.32kg/m3． 21．（2026秋•宿城区校级月考）如图，在⊙O中，且BD⊥OC，垂足为D．若AB＝8，CD＝2，求⊙O的半径． 【解答】解：如图，过点O作AB的垂线交AB于点E，交于点F，连接OB． ∵OF⊥AB，AB＝8， ∴，AE＝BEAB8＝4， ∵2， ∴， ∴∠BOC＝∠BOF， ∴OB是∠COF的平分线， ∵BD⊥OC， ∴BD＝BE＝4， 设⊙O的半径为r，则OB＝OC＝r， ∵CD＝2， ∴OD＝OC﹣CD＝r﹣2， 在Rt△BOD中利用勾股定理，得BD2+OD2＝OB2， ∴42+（r﹣2）2＝r2， ∴r＝5， ∴⊙O的半径为5． 22．（2025秋•西丰县期末）如图，在⊙O中，AB为弦，CD为直径，且AB⊥CD于点E，连接AC，过点B作BF⊥AC于点F，BF与CD相交于点G，连接BD． （1）求证：E是线段DG的中点． （2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：∵AB⊥CD，BF⊥AC， ∴∠CFG＝∠GEB＝∠DEB， ∵∠CGF＝∠BGE， ∴∠C＝∠GBE， ∵， ∴∠C＝∠DBE， ∴∠GBE＝∠DBE， ∵， ∴△BGE≌△BDE（ASA）， ∴ED＝EG， ∴E是线段DG的中点； （2）解：连接OA， 设OA＝r，则DG＝r+1， 由（1），知ED＝EG， ∴， ∵AB⊥CD， ∴OE2+AE2＝OA2，即， 解得（负值已舍去）， ∴⊙O的半径为． 23．（2026•蜀山区校级三模）如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB，垂足为H，BC⊥AB，交AD延长线于点C． （1）求证：D是AC的中点； （2）若AB＝12，，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：如图，连接BD． ∵AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB， ∴D是的中点， ∴， ∴AD＝BD， ∴∠BAD＝∠ABD， ∵BC⊥AB， ∴∠ABC＝90°， ∴∠BAD+∠C＝90°，∠ABD+∠DBC＝90°， ∴∠C＝∠DBC， ∴BD＝CD， ∴AD＝CD， 即D为AC的中点； （2）解：如图，连接OA． ∵半径OD⊥AB，垂足为H，AB＝12， ∴， ∵D是AC的中点，， ∴， ∴根据勾股定理得，， 设OD＝OA＝r，则OH＝r﹣4， 在Rt△OAH中，根据勾股定理得，OH2+AH2＝OA2， ∴（r﹣4）2+62＝r2， 整理得，8r＝52， ∴， 即⊙O的半径为． 24．（2025秋•无为市期末）如图，两个圆都是以O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点． （1）求证：AC＝BD； （2）若AB＝8，BD＝1，小圆的半径为5，求大圆的半径R的值． 【解答】（1）证明：作OE⊥AB于E， ∴AE＝BE，CE＝DE， ∴BE﹣DE＝AE﹣CE， ∴AC＝BD； （2）解：连接OD，OB， ∵OE⊥AB，AB＝8，BD＝1， ∴BE＝AE＝4，DE＝4﹣1＝3， 在Rt△OBE中，由勾股定理，得OE2＝OB2﹣BE2， 和Rt△ODE中，由勾股定理，得OE2＝OD2﹣DE2， ∴OD2﹣DE2＝OB2﹣BE2， ∴52﹣32＝OB2﹣42， 解得： ∴大圆的半径为． 25．（2025秋•昌都市期末）已知：如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠1＝∠2，AC＝5cm． （1）求证：； （2）求BD的长． 【解答】（1）证明：∵A、B、C、D是⊙O上的点，∠1＝∠2， ∴∠1+∠COB＝∠2+∠COB， ∴∠DOB＝∠COA． ∴； （2）由（1）知， ∴AC＝BD， ∵AC＝5cm， ∴BD＝AC＝5cm． 26．（2026•宿松县二模）如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，点B在⊙O上，点D为⊙O上一点，连接BD，且B为的中点，BE⊥AC于点E，连接CD交BE于点F． （1）求证：BF＝CF； （2）若AB＝4，BD＝2，求BE的长． 【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠ACB． ∵BE⊥AC， ∴∠CEB＝90°， ∴∠EBC＝90°﹣∠ACB， ∴∠EBC＝∠A． ∵B为的中点， ∴， ∴∠DCB＝∠A，‘ ∴∠EBC＝∠DCB， ∴BF＝CF； （2）解：∵B为的中点，BD＝2， ∴， ∴BC＝BD＝2． ∵AB＝4，由（1）知∠ABC＝90°， ∴． 在Rt△ABC中，由等面积法得， ∴， ∴AB＝4，BD＝2，则． 27．（2026•柳州二模）如图，AB为⊙O的直径，点D是弦AC延长线上一点，AC＝CD，连接DB并延长，交⊙O于点E，连接CE． （1）求证：CE＝CD； （2）若所对圆心角的度数为108°，求∠E的度数． 【解答】（1）证明：AB为⊙O的直径，点D是弦AC延长线上一点，AC＝CD，如图，连接BC． ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC⊥AD． 又∵AC＝CD， ∴BA＝BD， ∴∠A＝∠D． ∵∠A＝∠CED， ∴∠CED＝∠D， ∴CE＝CD． （2）解：如图，连接OE ∵∠AOE＝108°， ∴∠ACE＝54°． ∵∠ACE＝∠CED+∠D，∠CED＝∠D， ∴． 28．（2026•眉山一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O，点D为中点（点A、D在BC的异侧），连接AD交⊙O于点E，连接BE、CE． （1）求证：∠CBE＝∠ACE； （2）若∠CBE＝30°，求证：AE＝DE． 【解答】（1）证明：∵BC为⊙O的直径， ∴∠CEB＝90°， ∴∠CBE+∠BCE＝90°， 又∵∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O，连接AD交⊙O于点E，连接BE、CE， ∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝90°， ∴∠CBE＝∠ACE； （2）证明：如图，连接BD、CD， 设⊙O的半径为r，则BC＝2r， ∵∠CEB＝90°，∠CBE＝30°， ∴， ∵点D为中点 ∴， ∴BD＝CD， ∵BC为⊙O的直径， ∴∠BDC＝90°， ∴BD2+CD2＝2CD2＝BC2＝4r2， ∴， ∵∠CDE＝∠CBE＝∠ECA，∠CAD＝∠EAC， ∴△CAD∽△EAC， ∴， ∴， ∴， ∴DE＝AE． 29．（2026•青海模拟）如图，AB是⊙O的直径，D为圆上一点，AC平分∠DAB交⊙O于点C，过C点作CE⊥AD的延长线于点E． （1）求证：CE为⊙O的切线； （2）已知AB＝8，AE＝6，求AC的长． 【解答】（1）证明：如图1，AC平分∠DAB，连接OC， ∴∠DAC＝∠OAC． ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴AD∥OC． ∵CE⊥AD， ∴CE⊥半径OC， ∴CE是⊙O的切线； （2）解：如图2，AB是⊙O的直径，连接BC， ∴∠ACB＝90°． ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠BAC． ∵CE⊥AD， ∴∠AEC＝90°＝∠ACB， ∴△AEC∽△ACB， ∴． ∵AB＝8，AE＝6， ∴， 解得：（负值已舍去）． 30．（2025秋•沙市区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，连接CB，以DC为边在DC的左侧作∠CDF，交BA的延长线于点F，且∠FDC＝2∠B． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若CD＝10，BH＝5AH，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：如图1，AB⊥CD，AB是⊙O直径，连接OD， ∴， ∴∠COA＝∠DOA＝2∠B， ∵∠FDH＝2∠B， ∴∠FDH＝∠DOA， ∵CD⊥AB， ∴∠DHO＝90°， ∴∠AOD+∠HDO＝90°， ∴∠FDH+∠HDO＝90°，即∠FDO＝90°， ∴OD⊥FD， ∵OD是⊙O的半径， ∴DF是⊙O的切线； （2）解：如图2，AB⊥CD，AB是⊙O直径，连接OC， ∴HC＝HD＝5， ∵BH＝5AH， ∴设AH＝x，则BH＝5x， ∴OA＝OC＝3x，OH＝2x， 在Rt△COH中，由勾股定理得：HC2+HO2＝CO2， ∴52+（2x）2＝（3x）2， 解得：x（负值已舍去）， ∴， ∴⊙O的半径为． 31．（2026•攀枝花）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H．E为上一点，连结AE交CD于点F，EF的垂直平分线交CD的延长线于点G，连结GE． （1）若⊙O的半径为3，AH＝2，求CD的长； （2）求证：EG是⊙O的切线． 【解答】（1）解：连接CO， ∵⊙O的半径为3， ∴OA＝OC＝3， ∵弦CD⊥AB， ∴∠CHO＝90°，CD＝2CH， ∵AH＝2， ∴OH＝1， ∴CH2， ∴CD＝2CH＝4； （2）证明：连接OE， ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA， ∵点G在线段EF的垂直平分线上， ∴GF＝GE， ∴∠GEF＝∠GFE， ∵∠AFH＝∠GFE， ∴∠GEF＝∠AFH， ∵∠AHF＝90°， ∴∠FAH+∠AFH＝90°， ∴∠AEO+∠GEF＝90°， ∴∠GEO＝90°， ∵OE是⊙O的半径， ∴EG是⊙O的切线． 32．（2026•宁明县三模）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AD，连接BD交⊙O于点C．连接CO，过点B作CO的垂线交其延长线于点E，交⊙O于点F，连接AF． （1）求证：∠CBE＝∠D； （2）若⊙O的半径为4，AF＝2，求AD的长． 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AD，连接BD交⊙O于点C， ∴AD⊥AB，OC＝OB， ∵BF⊥CO交CO的延长线于点E，交⊙O于点F， ∴∠CEB＝∠BAD＝90°， ∵∠CBE+∠ECB＝90°，∠D+∠ABD＝90°，且∠ECB＝∠ABD， ∴∠CBE＝∠D． （2）解：∵⊙O的半径为4，AF＝2， ∴CO＝OA＝OB＝4， ∴AB＝2OA＝8， ∵CO是⊙O的半径，BF是⊙O的弦，且CO⊥BF于点E， ∴EF＝EB， ∴OEAF＝1， ∴CE＝CO+OE＝4+1＝5， ∵∠BAD＝∠CEB＝90°，∠ABD＝∠ECB， ∴tan∠ABD＝tan∠ECB，且BE， ∴AD， ∴AD的长是． 33．（2025秋•武威校级期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，P为上一点，连接AP，FP． （1）求∠APF的度数； （2）当点P为的中点时，PE是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值． 【解答】解：（1）如图1，连接OA，OF， ∵正六边形ABCDEF内接于⊙O， ∴． ∴； （2）连接PO，EO，DO， 由题意可得：． ∵点P为的中点， ∴， ∴n＝360÷30＝12． 34．（2025秋•镇原县期末）如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题： 作法：如图2． 1．作直径AF． 2．以点F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N． 3．连接AM，MN，NA． （1）△AMN是正三角形吗？请说明理由． （2）从点A开始，以DN的长为边长，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值． 【解答】解：（1）△AMN是正三角形． 理由如下：如图，连接ON，NF， 由题意可得FN＝OF＝ON， ∴△FON是等边三角形， ∴∠NFA＝60°， ∴∠NMA＝60°， 同理可得∠ANM＝60°， ∴∠MAN＝60°， ∴△AMN是正三角形； （2）如图，连接OD， ∵∠AON＝120°，∠AMN＝60°， ∵， ∴∠NOD＝∠AOD﹣∠AON＝144°﹣120°＝24°， ∵360°÷24°＝15， ∴从点A开始，以DN的长为边长，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，则n的值是15． 35．（2026•崇川区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线，OD⊥AB与过点C的切线交于点D，与AC交于点E，AB的延长线与切线DC交于点F． （1）求证：DE＝DC； （2）若点E为OD的中点，⊙O的半径为1，求，BF，CF围成的阴影部分的面积． 【解答】（1）证明：连接OC， ∴OC⊥CD，则∠DCE+∠OCA＝90°， ∵OD⊥AB， ∴∠OAE+∠AEO＝90°， 又OA＝OC， ∴∠OAE＝∠OCA， ∴∠DCE＝∠AEO， 又∠CED＝∠AEO， ∴∠CED＝∠DCE， ∴DE＝DC； （2）解：由条件可知， ∵DE＝DC， ∴△CDE为等边三角形， ∴∠D＝60°， ∴∠F＝90°﹣60°＝30°， ∴∠COF＝90°﹣30°＝60°， ∴， ， ， ∴． 36．（2025秋•久治县期末）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为25cm、底面半径为15cm的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． （1）这顶锥形草帽的高为　20　 cm，侧面积为　375π　 cm2（结果保留π）； （2）计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【解答】解：（1）∵母线长为25cm、底面半径为15cm， ∴圆锥的高20（cm）， 侧面积为πrl＝15×25π＝500π（cm2）， 故答案为：20；375π； （2）设扇形卡纸的圆心角的度数为n°， 由题意得：， 解得n＝288， 所以所需扇形卡纸的圆心角的度数为288度． 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为288度． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $