精品解析：天津市第三中学2026-2027学年高三年级第一学期阶段性检测数学试卷

天津市第三中学2026~2027学年度第一学期 高三年级阶段性检测试卷（2026.10） 数学 第I卷 选择题 一、选择题（共8题，每题4分，共32分） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 6. 正方体中，错误的是（ ） A. B. 平面 C. 平面平面 D. 平面平面 7. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为，若，且的面积为6，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，对任意，恒有，且在上单调递增，则下列选项中不正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 函数图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数，函数的对称轴方程为， D. 在上的最小值为 第II卷 非选择题 （共11题，共68分） 二、填空题（共8题，每题4分，共32分） 9. i是虚数单位，复数________________. 10. 在的展开式中，常数项是________． 11. 计算：__________. 12. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________． 13. 已知直三棱柱的顶点均在球面上，，，，则该球的表面积为__________． 14. 已知圆，过点的直线与圆交于两点，且，则直线的方程为_____． 15. 如图，在中，，，为上一点，且满足，则____________；若，则的最小值为____________． 16. 已知，则函数有个不同的零点，则的取值范围是_____ . 三、解答题（共3题，共36分） 17. 已知． （1）求最小正周期； （2）若，求的最大值和最小值； （3）若，，求． 18. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 已知椭圆的离心率，且椭圆过点，为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的右焦点作斜率存在的直线交椭圆于、两点，过点作轴的垂线，交椭圆于另一点，连接交轴于点，求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第三中学2026~2027学年度第一学期 高三年级阶段性检测试卷（2026.10） 数学 第I卷 选择题 一、选择题（共8题，每题4分，共32分） 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解. 【详解】由题意，，所以, 所以. 故选：D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，解得：或， 即时，成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 3. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】单调递增，则，故， ， ， 故． 4. 函数的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断奇偶性，再取特殊点判断即可. 【详解】，则函数为奇函数，故排除A，，故排除CD. 故选：B 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用特殊点以及奇偶性进行判断. 5. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，确定函数单调性，利用零点存在性定理判断得解. 【详解】函数在上都单调递增，则函数在定义域上单调递增， 而，， 所以的零点所在区间为. 故选：C 6. 正方体中，错误的是（ ） A. B. 平面 C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】D 【解析】 【分析】解法一：A项，通过证明四边形是平行四边形，即可证明结论；B项，通过，，即可证明平面；C项，通过证明平面，平面，即可证明结论；D项，假设垂直，得出平面，结合几何知识得出矛盾，即可得出结论. 解法二：建立空间直角坐标系，求平面、平面和平面的法向量，利用空间向量判断线、面关系. 【详解】解法一：由题意，在正方体中， A项， ，，∴四边形是平行四边形，∴，A正确； B项，由几何知识得，，， ，平面，平面， ∴平面，故B正确； C项， ∵，平面，平面，∴平面， 由几何知识得，，，∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平面，平面，∴平面， ∵，，∴平面平面，C正确； D项， 假设平面平面，则交线为，此时有， ∴平面， ∵平面，∴， 连接，， 由几何知识得，，则，故 在中，由几何知识得，， ∴三角形为等边三角形，，矛盾， 故D错误. 解法二：以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，，，，，， 可得，，，， 对于A：因为，可得，故A正确； 对于B：根据正方体的性质可知平面 ，故B正确； 对于C：设平面的法向量为，则， 设，可得，可得； 设平面的法向量为，则， 设，可得，可得； 因为，所以平面平面，故C正确； 对于D：由题意可知：平面的一个法向量， 因为，可知平面与平面不垂直，故D错误. 7. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为，若，且的面积为6，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由题意得到焦点和渐近线方程，再由点到直线距离公式结合求出a，且由面积求出b即可计算离心率. 【详解】由题，双曲线（，）的一条渐近线方程为， 则到渐近线的距离为， 所以，且即， 所以双曲线的离心率为. 8. 已知函数，对任意，恒有，且在上单调递增，则下列选项中不正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 函数图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数，函数的对称轴方程为， D. 在上的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】由题意先求，再逐项验证即可. 【详解】因为对任意，恒有，所以为的一条对称轴， 所以， 又在上单调递增，所以， 所以当时，，故A正确；所以， 由为奇函数，故B正确； 由函数图像向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩为原来的得到函数， 令，解得，，故C正确； 由，所以，当，即时，故D错误； 故选：D. 第II卷 非选择题 （共11题，共68分） 二、填空题（共8题，每题4分，共32分） 9. i是虚数单位，复数________________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简求解即可. 【详解】， 故答案为：. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 10. 在的展开式中，常数项是________． 【答案】 【解析】 【分析】写出的展开式的通项公式，让的指数为零，求出常数项. 【详解】因为的展开式的通项公式为：， 所以令，常数项为. 【点睛】本题考查了利用二项式展开式的通项公式求常数项的问题，考查了运算能力. 11. 计算：__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用指数幂的运算和对数的运算法则即可得解. 【详解】 . 故答案为：. 12. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解. 【详解】由题意，， 所以， 所以，解得（负值舍去）. 故答案为：. 13. 已知直三棱柱的顶点均在球面上，，，，则该球的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【详解】分别取的外心，为线段的中点，连接，则点为球心， 因为，，则在中由正弦定理得，， 则， 因为，所以，则在中， 则该球的表面积为 14. 已知圆，过点的直线与圆交于两点，且，则直线的方程为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解。 【详解】由题知，圆的圆心为，半径为2． 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为，符合题意． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即 所以圆心到直线的距离为， 解得直线的方程为． 综上可知，直线的方程为或． 故答案为：或． 15. 如图，在中，，，为上一点，且满足，则____________；若，则的最小值为____________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】由，得，把改写为的线性组合，利用C，P，D 三点共线，则系数之和为1，求出；对平方展开，代入得到表达式；再用基本不等式，求出的最小值，开方得到模长最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 因为三点共线，由向量三点共线结论：若，则， 所以，所以； 所以， 因为，所以，得， 因为， 所以， 由基本不等式，， 当且仅当，即时取等号， 所以，所以，即的最小值为. 16. 已知，则函数有个不同的零点，则的取值范围是_____ . 【答案】 【解析】 【分析】令，则，由题意可得必有不同两个根，且，转化为二次函数的两根分布在和内，列出不等式组求解即可. 【详解】作出函数的图象，如图所示： 令，则， 令，则有， 由图象可知可使有5个解， 则有必有不同两个根， 不妨设，则， 即二次函数的两根分布在和内， 所以，解得. 所以实数的取值范围为. 三、解答题（共3题，共36分） 17. 已知． （1）求最小正周期； （2）若，求的最大值和最小值； （3）若，，求． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦型函数周期计算公式计算求解； （2）利用换元法，结合正弦函数性质求解； （3）根据同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和的正弦公式计算求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 若，则， 由正弦函数性质可知，当，即时，函数有最小值，即， 当，即时，函数有最大值，即. 所以函数的最大值为，最小值为； 【小问3详解】 若，，所以， 则，， 则. 18. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； 【小问3详解】 由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 19. 已知椭圆的离心率，且椭圆过点，为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的右焦点作斜率存在的直线交椭圆于、两点，过点作轴的垂线，交椭圆于另一点，连接交轴于点，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题中条件可得出关于、、的方程组解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）设点、，则点，分析可知直线不与轴重合，设直线的方程为，其中，将该直线方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出点的坐标，利用三角形的面积公式结合不等式的基本性质可求得面积的取值范围. 【小问1详解】 由题意可得，解得，故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 如下图所示： 设点、，则点，易知点. 若直线与轴重合，则点与原点重合，不符合题意， 根据题意，设直线的方程为，其中， 联立可得， 则， 由韦达定理可得，， 所以 直线的方程为， 在直线的方程中，令可得， ，即点， 所以， 因为，所以，故. 故面积的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $