天津市第四十七中学2026-2027学年第一学期高三年级第一次阶段性检测数学试卷

天津市第四十七中学2026一2027第一学期高三年级 第一次阶段性检测数学试卷答案 一：选择题：（共9小题，每小题5分，共45分） 1.D 2.B 3.D 4.A 5.C 6.C 7.C 8.B 9.B 二：填空题：（本大题共6小题.每题5分共30分） √2 2 10 11.252 12.2 155 ①28②6 13 √3+1 .①1②2 14 15.[0,1 三.解答题.（共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16.【详解】(1) n *-3cos*-2 si 1 2 -cos- T=4π，T= 2元_2r=4元 @1 ()的最小正周期为 2 …5 +2km≤-元≤3 由2 Γ23-2 +2kmkeZ, 6 5π+4km≤x≤ 解得 ih kez. 3 所以函数(x)的单调递减区间是L 1+4k 5+4k,3 k∈Z 7 x+- y=2sin 6 =2sin π 24 (2)将()的图象先向左平移6个单位长度，得到函数 1 再将其横坐标缩小为原来的2，纵坐标不变得到函数 …9 πV2 √62 sin 据题意有 8 ………………11 则 c=am引+月引-om引}me,9l- 8282 8 …14 17.【答案】方法-(q)连接4C∩4C=E,连接DE, :四边形ACC4为正方形，E为AC中点，：D为BC的中点，DEAB, :ABt平面ADC,DEC平面ADC,·AB∥平面ADC: 方法二(1)取4C的中点0，AG的中点0，连接OB,O0, △ABC为等边三角形，∴OB⊥AC, :平面ACC4上平面ABC,平面ACCA∩平面ABC=AC,OBC平面ABC, ∴0B1平面4CC4,:O0C平面4CC4,OB1O0,0B,0C,00两两垂直， 以0为原点，OB为x轴，0C为y轴，00为z轴建立空间直角坐标系，…2 B C方 B D 51 AB=2,..OB=3 22 C(0,12).B(50,0）.A(0,-1,0）.4(0,-12) 。。。 .3 设平面4DC的法向量为元=(：，片，名)， nD=33 2x+2=0 则(， -C=2y+2名=0，令=5，则=-，名=1，i=5-1川.…5 4B=(N51,-2.4B-元=0.AB文平面4ADC ∴AB∥平面ADC .7 .CD- (2) 4B=(5,10）.4=(00,2), 设平面1BB,4的法向量为m=(x,八2)， m.AB=3x+y=0 则( m:A4=2z=0 ，令=5，则y=-3,=0,m=(5,-3,0) ，9 设直线CD与平面ABB,4所成角为0， m.CD 3,3 CD)E 22-V15 ∴.sin0=cos(m CD 2W3×V510 5 直线CD与平面ABB4所成角的正弦值为10，…11 (设角和答问有其一就给分，都没有减一分) 5 (3)假设在棱BB上存在一点M,使得点M到平面4DC的距离为2，设BB B,M=(0≤元≤) B(N5,0,2BB=(0,0,-2）..BM=元BB=(0,0,-2) .M(N3,02-2.MA=(-5,-1,2-2 …12 AD AC=(0,2,2) 由(1)向得，平面0C的法向量为万-(5，-山，) d= MA元_-3+1+2元-2-5 则点M到平面4DC的距离为同 √5 2 …………13 =3 解得4 5 BM 3 ∴在棱BB上存在一点M,使得点M到平面ADC的距离为2，此时B,B4。 …15 18.【详解】(1)因为短轴长为2，所以b=1, 因为ME=7ME,MF+MEl=7ME+ME=8ME=2a =ME=7wE- 所以 又因为ME1轴，所以ME=MF+FE, )2 7a )2 +4c2 且a2-b3=a2-1=c2,解得a=2, 测椭圆C的标准方程为4+广=】 …4 2)设，)，则B(乃)，A(,-)4(,) x=ty+m 联立+4y=4,整理符+4)厂+2m网y+m2-4=0 …5 则△>0台t2+4>m2 m2-4 -2tm %%=P+4+为=+4 …7 BA,:y-为=4+4(x-x) 直 x2-x1 D 令y=0,得 x=y+=+m)%++m）凸_25+m+）-=m+21.业， y+y32 +y2 片+y2 y+yz …9 m+m-任04，） 故m m …10 A0gge5侣 ……11 由于△ABD与△MBA的面积相等，故D,A到直线AB的距离相等， 因此AD的中点在x=y+m上， 21.1,m21 可得m2 29+m m2+m)=21 m 2 m=- 29+m 23 4 -m m2= m=25 则m2，解得3，又0<m<2,所以3 …15 aas as 19.【答案】(1)证明如下：设等比数列a,}的公比为9，所以4≠0，g≠0由a-4a,+4a=0,得 aiq=ag' a=1 a9-4a,9+4a=0,解得9=2 因此数列{a,}为“超凡数列”；。 …4 bb2 (2)①由 =1,S=h-2b,-A,得4=2 …5 bb bnb 当n≥2时，由b,=S-S1,得 =26，-b)26.-b） 整理得b1+b1=2b, …7 所以数列也，}是首项和公差均为1的等差数列， ……8 因此，数列也，}的通项公式为b.=n(n∈N) ②由O蜘，b=k,keN, 因为数列，}为“超凡数列”，设公比为9，所以9=1,9>0， 因为4≤b≤c,所以9≤k≤g,其中k=l,23,,m, 当k=1时，有9≥1： …10 当k=2,3,,m时，有k Ik sids ink °k-1 g-刘 ,则 则当xe(,e)时，f'()>0,当x∈(e,+∞)时，f'(x<0」 故f()在（，c)上单调递增，在(e,+）上单调递减， In2 In8 In9 In3 因为2663，所以 )=f3)=h3 nk≤l 取9=5，当k=1234,5时， 9,即k≤g, …12 1(x-）-nx1-1-lnx 令6-0>)6 ,则 (x-1) 一(x- 1-n,42c0 令 ,则 故()在（，+o)上单调递减，则A()sh0)-=1-1-0=0. 即8'()<0在山，+切)上恒成立，即8(，在（，+∞）上单调递减。 a)号容学 物血gs血t 因此所求m的最大值不小于5，即 k-1qsk …14 若m≥6，分别取k=3,6,得3≤q,且9≤6，从而95≥243，且95≤216， 所以9不存在，因此所求m的最大值小于6， 故m的最大值为5.… …15 20.【详解】(1)当a=1时， f(x)=e*-1-x- x+1,则 f()=e-1-1- -2 5 +1 f(x)=e-1-+2x (x+1)2 0=c-1-+2-e-7 (1+1)2 4 。。。。。。 ………3 则曲线”=f(在点f》处的切线方程为： -e-e-4- 整理得：(4e-7)x-4y-3=0 f(x)=e*-1-a. 2+2x (2)因为 x+),所以f'(O)=0 8(y)=e-1-a.r+2x '(x)=e*-2a (x+,则 (x+.故8(0)=1-2a5 9、1 ①当a>2时，8(0)=1-2a<0,而当x→+0时， 8'(x)=e*-,2a (x+1)月 由零点存在性定理可知，∈(0，+0），使得8()=0 当x∈(0，)时，g(✉)<0,8()单调递减，赦3()g(0)=0, 则f()在(0，x)上单调递减，f(<f(0)=0,与f()20恒成立相矛盾，故舍去.…7 2as1≤1g0)2c-1 ②当≤2时，x≥0，有e≥1.（+(C+1,则 (x+1) h(x)=e*-,1 )(x+,则 (x)=e*+,3 4>0 令 e(x+1 故h(在[0，+o)上单调递增，h(x)≥h(0)=0 则8()20,8(x)在[0，+切)上单调递增，8()≥8(0)=0， 故(x)在[0，+∞)上单调递增，()≥f(0)=0,符合题意. 综上，实数a的取值范围是 …9 a= (3)由(2)知，当 2时，x≥0，有()20，即 21+x+ 2(x+1) 当且仅当x=0时等号成立. 1， -=1+ 0N) k2k(k+1) 对有 …11 +n 构造函数p(x)=x-ln(1+x),x∈(0，+o) p-140 六p()在(0，+0)上单调递增，p()>o(0)=0,故有>血(1+)在(0，+o)上恒成立.14 乡-keN海之---a 经2n-)b]-m2-b-a3-n+o+0-b小-hle) 2>n+na+2+ …16 天津市第四十七中学2026~2027第一学期高三年级 第一次阶段性检测数学试卷 一、选择题 1．已知集合，，，则 A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为 A． B． C． D． 4．函数，对任意，都有，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 5．设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是 A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 6．给出下列说法，其中正确的是 A．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17 B．已知数据，，，的平均数为2，方差为3，那么数据，，，的平均数和方差分别为5，13 C．在回归直线方程中，相对于样本点的残差为 D．样本相关系数 7．《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“粟米问题”．现有9人分粟米，每人所得粟米质量（单位：铢）从小到大构成数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，，，则这9人所得粟米质量的和为 A．284 B．381 C．384 D．484 8．已知函数在区间上单调递增，且在区间内恰有两个零点，则的取值范围是 A． B． C． D． 9．已知椭圆和双曲线有公共焦点分别为，，设两曲线在第一象限的交点为，，的离心率分别为，，当时，不可能等于 A． B． C． D． 二、填空题 10．已知是虚数单位，复数满足，则． 11．二项式的展开式中的常数项为． 12．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线在第一象限的交点为，若，则以点为圆心，3为半径的圆被轴截得的弦长为． 13．某校发起“AI赋能乡村教育”公益项目，项目团队下设技术研发组5人、课程设计组3人．为推进乡村高中智能教学设备落地，需从两个组中随机抽取2人组成执行小组．抽取2人中恰好有1名课程设计组成员的概率为；已知抽取的2人中至少有1名课程设计组成员，则其中恰好有1名课程设计组成员的概率为． 14．已知平面向量，，满足：与的夹角为，，，则的最大值是；记是的最大值，则的最小值是． 15．若函数恰有一个零点，则实数的取值范围为． 三、解答题 16．已知函数． （1）求函数的最小正周期及单调递减区间； （2）将的图象先向左平移个单位长度，再将横坐标缩为原来的（纵坐标不变）得到函数．若，，求的值． 17．如图，在三棱柱中，四边形为正方形，为等边三角形，平面平面，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 18．已知椭圆的短轴长为2，左右焦点分别为，．为椭圆上一点，且轴，． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线且与椭圆交于，两点，点关于原点的对称点为，关于轴的对称点为，直线与轴交于点，若与的面积相等，求的值． 19．定义首项为1且公比为正数的等比数列为"超凡数列"． （1）已知等比数列满足：，．求证：数列为"超凡数列"； （2）已知各项为正数的数列满足：，，其中是数列的前项和． （i）求数列的通项公式； （ii）设为正整数，若存在"超凡数列"，对任意正整数，当时，都有成立，求的最大值． 20．已知函数，其中为实数，定义域为． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：对任意的正整数都有． 学科网（北京）股份有限公司 $