天津市第五中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

数 学 学 科 试 卷 一.选择题(每小题5分，共计45分) 1. 设集合A={1, 2, 6}, B={2, 4}, C={1, 2, 3, 4}, 则(A∪B)∩C=( ) A.{2} B. {1, 2, 4} C. {1, 2, 4, 6} D. {1, 2, 3, 4, 6} 2. 设x∈R, 则“”是的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为() A. B. 35 C. D . 4. 已知a∈R, 设函数的图象在点处的切线为 , 则 在y轴上的截距为() 5. 直线与圆 相交于A, B 两点, 则|AB|=( ) A. D. 6.已知奇函数在R 上是增函数，若则a，b，c的大小关系为() A. c<b<a B. b<a<c C. a<b<c D. c<a<b 7.已知双曲线的右焦点为F ，点A在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为() B 8. 设函数其中若 且的最小正周期大于2π，则 D. 9. 已知函数 设a∈R，若关于x的不等式 在R上恒成立， 则a的取值范围是 () D. [-2,2] 二.填空题(每小题5分，共计30分) 10. 已知为虚数单位, 若 为实数，则a的值为 . 的展开式中的系数为 . 12.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 . 13.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，则随机变量X 的数学期望为 ； 14. 若则 的最小值为 . 15.在△ABC中,若 且 则λ的值为 . 三.解答题 (共计75分) 16. (本小题满分14分) 在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别为a, b, c. 已知 (Ⅰ) 求cosA的值; (Ⅱ) 求 sin(2B﹣A)的值. 17.(本小题满分15分) 如图,在三棱锥P-ABC中, PA⊥底面ABC, ∠BAC=90°. 点D, E, N分别为棱PA,PC, BC的中点, M 是线段AD的中点, (Ⅰ) 求证: MN//平面BDE; (Ⅱ) 求二面角C-EM-N的正弦值; (Ⅲ)已知点H在棱PA上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为 求线段AH的长. 18. (本小题满分15分)H 已知为等差数列，前n项和为, {bₙ}是首项为2的等比数列，且公比大于0, (Ⅰ) 求和的通项公式; (Ⅱ) 求数列{a₂ₙbₙ}的前n项和(n∈N*). 19. (本小题满分15分) 设椭圆 的左焦点为F ，右顶点为 A ，离心率为 ，已知A是抛物线 的焦点，F到抛物线的准线 的距离为 (Ⅰ)求椭圆的方程和抛物线的方程； (Ⅱ)设上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(B异于A)，直线BQ与x轴相交于点D. 若△APD的面积为 求直线A P的方程。 20. (本小题满分16分) 设已知函数 (Ⅰ) 求的单调区间; (Ⅱ) 已知函数 的图象在公共点(x₀,y₀)处有相同的切线, (i) 求证:在 处的导数等于0； (ii)若关于x的不等式 在区间 上恒成立，求b的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $