精品解析：河北省三河市第一中学2026-2027学年高一年级上学期第一阶段测试数学试题

高一年级第一次阶段考试 数学学科 2026.10.15 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 2．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 3．作答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 4．本试卷共4页，满分150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 命题：，，则为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，，则的子集共有 （ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3. 已知，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若则 D. 若，则 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 下列图象中，不能作为的函数图象的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列每组中的两个函数是相同函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 已知集合，定义叫做集合的长度，若集合的长度为2，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设集合，，若，则实数的取值可能为（ ） A. －3 B. 0 C. D. 10. 已知全集，，，，，，则下列选项正确的为（ ） A. B. A的不同子集的个数为8 C. D. 11. 设正实数，满足，则（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 的最小值为 D. 有最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________． 13. 已知集合，则a＝______． 14. 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，，已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，，全集为实数集． （1）求，； （2）如果，求的取值范围． 16. （1）求函数的定义域（用区间表示）； （2）函数的定义域为，求实数的取值范围． 17. 设全集，集合，集合 （1）求集合； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 18. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． （1）若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ （2）若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ （3）若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 19. 设，． （1）当时，写出关于的不等式的解集； （2）解关于的不等式（结果用解集表示）； （3）设命题，，若为真命题，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级第一次阶段考试 数学学科 2026.10.15 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 2．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 3．作答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 4．本试卷共4页，满分150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 命题：，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由含有一个量词的命题的否定进行辨析即可. 【详解】对于存在量词命题：，，其否定为：，. ∴命题：，，其否定为：，. 故选：B. 2. 已知集合，，，则的子集共有 （ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的交集的定义求出集合；利用集合的子集的个数公式求出的子集个数． 【详解】解：， ， 的子集共有 故选：． 3. 已知，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质及举反例对选项逐一分析即可. 【详解】对于：取，，故错误； 对于：，则，故错误； 对于：则，所以，故正确； 对于：取，则，故错误. 故选：C 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式可得：或， 据此可知：是的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 5. 下列图象中，不能作为的函数图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义依次判断选项即可. 【详解】根据函数的定义可知，对应定义域内的任意变量只能有唯一与对应，选项D中，当时，有两个不同的对应同一个，所以不满足值的唯一性，所以不能作为的函数图象； 故选：D 6. 下列每组中的两个函数是相同函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】对于选项A，因为，故A正确； 对于选项B，因为的定义域为，的定义域为， 所以两个函数不是相同函数，故B错误； 对于选项C，因为的定义域为，的定义域为， 所以两个函数不是相同函数，故C错误； 对于选项D，因为的定义域为， 的定义域为，所以两个函数不是相同函数，故D错误. 7. 已知不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的求解，等价于一元二次方程的根，利用韦达定理，进行等量代换，可得答案. 【详解】因为不等式的解集为，所以，且和1是方程的两个实数根， 所以，即，所以不等式可化为， 因为，所以，解得或． 故选：D. 8. 已知集合，定义叫做集合的长度，若集合的长度为2，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】分，，三种情况讨论，可求的长度. 【详解】由； 由. 所以当时，，，所以， 因为集合的长度为2，所以. 此时，，所以，所以的长度为； 当时，，，所以，这与集合的长度为2矛盾，故. 当时，，，所以， 因为集合的长度为2，所以. 此时，，所以，所以的长度为. 综上可知：集合的长度为5. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设集合，，若，则实数的取值可能为（ ） A. －3 B. 0 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据集合的基本关系分类讨论即可. 【详解】易知， ∵， ∴. 若，则； 若，则，即； 若，则，即. 故选：ABC. 10. 已知全集，，，，，，则下列选项正确的为（ ） A. B. A的不同子集的个数为8 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意利用韦恩图逐项分析判断. 【详解】由题意可知：，， 所以，故A正确； 集合A有3个元素，所以A的不同子集的个数为，故B正确； ，故C正确； 因为，所以，故D错误； 故选：ABC. 11. 设正实数，满足，则（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 的最小值为 D. 有最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用基本不等式即可；对于B，利用得，再利用A的结果即可；对于C，将式子平方后，再结合A的结果即可；对于D，利用，将式子转化为，再结合基本不等式即可. 【详解】对于选项A，​，当且仅当时等号成立， 故的最大值为，A正确； 对于选项B，，由A知的最大值为， 因此的最小值为​，当且仅当时等号成立， 即最小值为​，故B正确； 对于选项C，. 因为，所以，即. 所以，当且仅当时等号成立. 所以的最大值为，故C错误； 对于选项D，， 当且仅当，即​时等号成立， 所以有最小值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则________． 【答案】## 【解析】 【详解】因为， 所以. 13. 已知集合，则a＝______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，或者，即或， 当时，，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，，符合题意； 所以. 14. 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，，已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】不等式可化为，分三类情况讨论解集，由不等式的解集为，求的取值范围. 【详解】不等式，即， 方程，可得或， 当时，不等式为，解得，所以，不合题意； 当时，，由，解得， 由不等式的解集为，所以有，解得； 当时，，由，解得， 由不等式的解集为，所以有，解得. 综上，的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，，全集为实数集． （1）求，； （2）如果，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合间的运算直接可得解； （2）根据交集的结果可得参数范围. 【小问1详解】 由，， 可知，； 【小问2详解】 由已知，， 当时，， 所以当时，. 16. （1）求函数的定义域（用区间表示）； （2）函数的定义域为，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据分式、根式及指数幂的性质求定义域即可； （2）问题转化为在实数集上恒成立，分类讨论研究恒成立即可. 【详解】（1）由题意有， 解得或或． 故函数的定义域为． （2）因为的定义域为，所以在实数集上恒成立． 若时，要使恒成立，则有且， 即，解得； 若时，化为，恒成立，所以满足题意， 所以，即实数的取值范围. 17. 设全集，集合，集合 （1）求集合； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用分式不等式的解法，求得的解集，即可求解； （2）由“”是“”的充分不必要条件，得到真包含于，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 由不等式，可得， 解得或，所以集合或.. 【小问2详解】 由（1）知，集合或， 因为“”是“”的充分不必要条件，可得真包含于， 又因为 当时，可得满足，解得，此时满足真包含于； 当时，则满足或，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 18. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． （1）若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ （2）若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ （3）若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 【答案】（1）长为，宽为时，所用篱笆总长最小． （2）菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． （3）． 【解析】 【分析】（1）明确，在此条件下求的最小值，并明确等号成立的条件即可. （2）明确，在此条件下，求的最大值，并明确等号成立的条件即可. （3）结合，求的最小值. 【小问1详解】 由题意得，，所用篱笆总长为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小． 【小问2详解】 由题意得，，菜园面积为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． 【小问3详解】 由题意得，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 19. 设，． （1）当时，写出关于的不等式的解集； （2）解关于的不等式（结果用解集表示）； （3）设命题，，若为真命题，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 （3） 【解析】 【分析】(1)代入，解不等式即可； (2)分析当时， 当时， 当时， 当时，比较两根大小即可； (3) 根据题意可得到对，，分离参数，结合基本不等式求解. 【小问1详解】 当时，原不等式可化为，即， 解得， 故原不等式解集为. 【小问2详解】 ，即， 当时，即，解得， 不等式的解集为. 当时，解方程得或， 当时，，则不等式解集为； 当时，，则不等式解集为； 当时，，则不等式解集为； 当时，，则不等式解集为. 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【小问3详解】 因为为真命题，故对，， 所以，又，所以， 所以， 又，当且仅当，即时取“”. 所以， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $