精品解析：河北邢台市第十九中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试卷

高一年级数学试卷 2026年10月 说明：1．本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟． 2．请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. “且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 甲、乙同去加油站加油两次，两次汽油单价分别为，元/升（）．甲每次加固定金额的油，乙每次加固定体积的油．哪种方式更经济实惠呢？（ ） A. 加固定金额的方式 B. 加固定体积的方式 C. 两种方案一样 D. 要视具体价格而定 5. 的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 6. 高一2班共有28名同学参加学校运动会，其中参加集体项目、田径、球类比赛的同学分别有15人、8人、14人．同时参加集体项目和田径比赛的有3人，同时参加集体项目和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则同时参加田径和球类比赛与只参加集体项目的同学共有（ ）人 A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 7. 若不等式的解集是，则的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知集合，且，则的值可以为（    ） A. 1 B. 3 C. D. 10. 设正实数、.满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 11. 对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集”，则下列说法正确的是（ ） A. 不是“可分集” B. 集合中元素个数最少为7个 C. 若集合是“可分集”，则集合中元素全为奇数 D. 若集合是“可分集”，则集合中元素个数为奇数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 不等式的解集为__________. 13. 若，则的取值范围为______． 14. 设有限集所含元素的个数用表示，并规定.已知集合、满足，，若，，则满足条件的所有不同集合的个数为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 15. （1）比较和的大小. （2）已知，都是正数，求证：. 16. 已知集合． （1）若，求实数的取值集合． （2）若的子集有两个，求实数的取值集合． 17. 设全集，集合，非空集合，其中. （1）若“”是“”的充分条件，求的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 18. 2026年，某市低空经济蓬勃发展，一家物流企业开通“无人机即时配送”服务，并设立配送站.经市场调研，该站每日配送单量（单位：单）与每单配送费（单位：元）满足关系式（其中）.已知配送站每日的固定成本为19200元，每完成一单配送，需支付电费、耗材费、设备保养费等可变成本，每单可变成本为4元. （1）若要保证配送站每日利润（单位：元）不为负数，求每单配送费的取值范围；（每日利润每日配送总收入每日可变总成本每日固定成本） （2）为提升运力，该站购进一批新型无人机，购机费用为32万元.投入使用后，这批无人机使用年的累计维保总费用为万元.请问：这批无人机使用多少年后更新，可以使年平均总费用最低？请求出最低年平均总费用.（年平均总费用（购机费用维保总费用）使用年数） 19. 已知关于的不等式的解集为． （1）求，的值并求解不等式的解集； （2）由第（1）问求出的参数，，已知实数，满足，，求的取值范围． （3）当，且满足时，恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级数学试卷 2026年10月 说明：1．本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟． 2．请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，，则 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】“”的否定为“”． 3. “且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由不等式性质，且，可得， 但当时，推不出且，例如， 故“且”是“”的充分不必要条件． 4. 甲、乙同去加油站加油两次，两次汽油单价分别为，元/升（）．甲每次加固定金额的油，乙每次加固定体积的油．哪种方式更经济实惠呢？（ ） A. 加固定金额的方式 B. 加固定体积的方式 C. 两种方案一样 D. 要视具体价格而定 【答案】A 【解析】 【分析】设两次加油的油价分别为，（，且），分别计算两种方案的平均油价，然后比较即得到答案. 【详解】设两次加油的油价分别为，（，且）， 乙方案每次加油的量为；甲方案每次加油的钱数为， 则乙方案的平均油价为， 甲方案的平均油价为， 因为，所以，即甲方案更经济． 5. 的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，解得，即为集合， 则选项C是充要条件，故C错误； 与和均无交集，故A，B错误； 集合是的真子集， 则成立，一定满足，但成立，不一定满足， 故D是的一个必要不充分条件，故D正确． 6. 高一2班共有28名同学参加学校运动会，其中参加集体项目、田径、球类比赛的同学分别有15人、8人、14人．同时参加集体项目和田径比赛的有3人，同时参加集体项目和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则同时参加田径和球类比赛与只参加集体项目的同学共有（ ）人 A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】A 【解析】 【详解】设集合，集合， 集合， 由题意得，，，，， ，，， 由三集合的容斥公式得， ， 即， 解得，， 又因为，即只参加集体项目比赛的同学有9人， 所以，即同时参加田径和球类比赛与只参加集体项目的同学共有12人. 7. 若不等式的解集是，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】当，即时，原不等式可化为恒成立，满足不等式解集为， 当，即时，若不等式的解集是， 则，解得， 综上所述，的取值范围为． 8. 已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为集合中恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知集合，且，则的值可以为（    ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，得到或，求得的值，结合元素的互异性，即可求解. 【详解】由集合，且， 可得或，解得或或， 当时，可得集合，此时满足题意； 当时，可得集合，此时满足题意； 当时，可得，此时不满足集合元素的互异性，舍去， 综上可得：或. 故选：AB. 10. 设正实数、.满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质求解判断. 【详解】正实数、满足， ， 当且仅当且，即时取等号， ∴的最小值为3，故A正确； ，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为1，则B正确； 因为， 当且仅当时，等号成立，所以， 的最大值为2，故C正确； 因为， 由B项知，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为2，故D错误， 11. 对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集”，则下列说法正确的是（ ） A. 不是“可分集” B. 集合中元素个数最少为7个 C. 若集合是“可分集”，则集合中元素全为奇数 D. 若集合是“可分集”，则集合中元素个数为奇数 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A根据“可分集”性质进行判断即可. 选项C，D，根据“可分集”性质可知“可分集”元素之和减去任意一个元素一定为偶数，根据此特性分类讨论集合中元素为奇数和为偶数时的情况即可. 根据选项C，D结论，分类讨论中元素个数分别为3，5，7时是否可以为“可分集”即可. 【详解】根据“可分集”性质可知，当集合为时：去掉元素3，则不可拆分成符合题意的可分集，故A错误. 设集合所有元素之和为M. 由题意可知，均为偶数，因此同为奇数或同为偶数. (Ⅰ)当M为奇数时，则也均为奇数，由于，所以n为奇数. (Ⅱ)当M为偶数时，则也均为偶数，此时可设，因为为“可分集”，所以也为“可分集”.重复上述有限次操作后，便可得到一个各元素均为奇数的“可分集”，且对应新集合之和也为奇数，由 (Ⅰ)可知此时n也为奇数. 综上所述，集合A中元素个数为奇数. 故C错D对. 由上述分析可知集合中元素个数为奇数，不妨假设： 当时，显然任意集合都不是“可分集”; 当时，设集合，其中，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有或; 将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有或 由①，③可得，矛盾；由①，④可得，矛盾；由②，③可得，矛盾；由②，④可得，矛盾. 因此当时，不存在“可分集”； 当时，设集合， 去掉元素1，；去掉元素3， 去掉元素5，；去掉元素7， 去掉元素9，；去掉元素11， 去掉元素13，，所以集合是“可分集”. 因此集合A中元素个数n的最小值是7，故B正确. 故选：ABD 【点睛】1.本题“新定义”题，主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题. 2.本题考查了考生分类讨论的能力，考生需要做到讨论情况涵盖所有情况，还需要能将讨论思路转换为数学语言的能力. 3.对于全称命题型的选项考生可考虑通过举反例的方式排除. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】把分式不等式转化为一元二次不等式计算得到解集； 【详解】因为， 等价于，即，解得 所以不等式的解集为 故答案为： 13. 若，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由不等式性质计算即可. 【详解】因为， 所以，， 根据同向不等式可加性得． 故答案为：． 14. 设有限集所含元素的个数用表示，并规定.已知集合、满足，，若，，则满足条件的所有不同集合的个数为_____. 【答案】 【解析】 【分析】对集合中的元素个数进行分类讨论，确定集合中的元素，结合列举法可得出集合的个数. 【详解】①当中一个元素，中六个元素，则，，此时，共种； ②当中两个个元素，中五个元素，则，，所以，， 所以或或或或，共种； ③当中三个元素，中四个元素，则，，所以，， 所以或或或或或或或或或，共种； ④当中四个元素时，中三个元素，则，，所以，， 所以或或或或或或或或或，共种； ⑤当中五个元素时，中两个元素，则，，所以，， 所以或或或或，共种； ⑥当中六个元素时，中一个元素，则，，所以，， 则，共种. 综上所述，满足条件的所有不同集合的个数为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 15. （1）比较和的大小. （2）已知，都是正数，求证：. 【答案】 （1） （2）∵，由均值不等式得，. 由不等式的性质，得，当且仅当且时，等号成立，即证. 【解析】 【分析】（1）利用作差法比较大小即可； （2）根据基本不等式及不等式性质证明即可. 【详解】（1）， 所以 （2）略 16. 已知集合． （1）若，求实数的取值集合． （2）若的子集有两个，求实数的取值集合． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由可得，分和进行讨论； （2）由的子集有两个得出只含有一个元素，分和进行讨论. 【小问1详解】 若，则， 若，则，不符合题意， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. 【小问2详解】 若的子集有两个，则集合只含有一个元素， 若，则，符合题意； 若，，解得. 综上所述，实数的取值集合为. 17. 设全集，集合，非空集合，其中. （1）若“”是“”的充分条件，求的取值范围； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由“”是“”的充分条件可得，列出不等式组求解即可. （2）由“”是“”的必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组求解即可. 【小问1详解】 由题意得到，由“”是“”的充分条件可得，    则 ，解得，则实数的取值范围是. 【小问2详解】 由于集合B为非空集合，所以，解得，      由“”是“”的必要不充分条件可得是的真子集，        所以 ，解得，所以，        当且仅当 ，即 时，.该方程组无解，所以恒成立，因此是的真子集的条件与的条件相同 故实数a的取值范围是. 18. 2026年，某市低空经济蓬勃发展，一家物流企业开通“无人机即时配送”服务，并设立配送站.经市场调研，该站每日配送单量（单位：单）与每单配送费（单位：元）满足关系式（其中）.已知配送站每日的固定成本为19200元，每完成一单配送，需支付电费、耗材费、设备保养费等可变成本，每单可变成本为4元. （1）若要保证配送站每日利润（单位：元）不为负数，求每单配送费的取值范围；（每日利润每日配送总收入每日可变总成本每日固定成本） （2）为提升运力，该站购进一批新型无人机，购机费用为32万元.投入使用后，这批无人机使用年的累计维保总费用为万元.请问：这批无人机使用多少年后更新，可以使年平均总费用最低？请求出最低年平均总费用.（年平均总费用（购机费用维保总费用）使用年数） 【答案】（1） （2）这批无人机使用4年后更新年平均总费用最低，最低年平均总费用为24万元。 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而解不等式即可求解； （2）由题意可得，进而结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意，，， 令，得，即， 则，解得， 因此，要保证配送站每日利润不为负数，每单配送费的取值范围为. 【小问2详解】 由题意，年平均总费用为， 当且仅当，即时等号成立， 则这批无人机使用4年后更新，可以使年平均总费用最低，最低年平均总费用为24万元. 19. 已知关于的不等式的解集为． （1）求，的值并求解不等式的解集； （2）由第（1）问求出的参数，，已知实数，满足，，求的取值范围． （3）当，且满足时，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） ，不等式解集为或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由给定的解集，利用三个二次的关系，结合韦达定理求出，再解一元二次不等式. （2）由（1）的结论，利用不等式的性质求出范围. （3）由（1）的结论，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值，再建立不等式并求解即可. 【小问1详解】 由不等式的解集为， 得是方程的两个实根， 则，解得； 不等式，解得或， 所以所求解集为或. 【小问2详解】 由（1）得， 设，则，解得， 即， 由，得； 由，得， 两式相加得，所以的取值范围为. 【小问3详解】 由（1）得，又， 则， 当且仅当，即时取等号，即取得最小值， 由不等式恒成立，得，解得， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $