河北石家庄市部分校2026-2027学年高二上学期第一次月考数学测评试题

高二数学测评参考答案 1.A点M(1,2,4)关于x轴对称的点的坐标是(1，-2，-4). 2.D由题意可得直线1的斜率为-tan45°=一1，所以倾斜角为135°. 3.C因为P,B,B1,C1四点共面，所以1十3十λ=1，解得λ=-3. 4.A根据题意可得直线ax十y=0与直线(3-a)x十2y+1=0平行，所以2a=3-a,解得a =1,经验证，符合题意. 5.D由题意得A1Ci⊥BD,所以A1C·BD=4十2m十2n=0,得m十n=-2. 6.B依题意得2027m十71n=-7,2027a+71b=-7,则点P(m,n),Q(a,b)都满足方程 2027x+71y=-7,所以直线PQ的方程为2027x十71y=-7,即2027x十71y十7=0. 7.C如图，分别取BE,AF,CD的中点O,M,N,连接OM,ON.根据题 之 意可得OB,ON,OM两两垂直，则以OB,ON,OM所在直线分别为x, A y,之轴建立空间直角坐标系.因为AB=2,所以B(2,0,0),C(1,3, 0),F(-1,0,W3),所以BC=(-1W3,0),B市=(-3,0，w3),则翻折后 点F到BC的距离d BF2-（ BF·BC2 √9+0+3- T-1)X(-3)+5X0+0×372=√39 √1+3 2 8.D 直线l:mx+2y+√5m+2=0可化为(x十√5)m十2y十2=0.由{ 十5=0·解得 2y+2=0, x=一5，所以直线1恒过点P(-5,-1).由勾股定理可得MN=√16+20=6，所以 y=-1, HM十|HN|-|MN|,所以点H在线段MN上，所以直线l与线段MN恒有交点.因为 -1-0 -_V5 1、-1-45,k5-(-25)5’所以2-5或-25，解得m≥ -√5 2w5 或m≤-25. 9.AB对于Aw=2a,且1a,A正确对于BM=4,u√日+台+号=-1，B正跪对 于C,w·d=2×1+2×2+3×(-2)=0,所以w⊥d,则&⊥3，C错误.对于D,由l⊥a,得1与 a内所有直线均垂直，D错误. 10.ABD如图，作射线DE/∥OC.因为AB/OC,所以∠ABD=∠BDE,∠CDE=∠OCD.又 ∠BDC=2∠ABD-,所以∠BDE=∠0CD=吾设D(x,y),则m=3=5,且 -4 m之。=5，解得x=3,y=25,所以点D的坐标为(3,2V5,A正确 【高二数学·参考答案X第1页（共6页）】 直线CD的方程为y=-√3x十5√3，B正确： 设P(m,33),则D2=(m-3,√3)，O2=(m,33),所以O2.1 D市-m(m-3》+9=(m-2》°+平≠0，则O亦与D市不可能垂直， C错误 连接AD.因为kAD 33-2W3_3 0-3 ，所以直线AD的倾斜角为 晉，所以直线DP的倾斜角可取警，此时直线DP绕点D逆时针旋转产后，所得直线的颜斜 角为+子-=爱D正确， 〔λ+0+0=0， 1=0, 11.ACD对于A,设a=AB,b=AD,c=AA1,则0十μ十0=0，解得u=0,不符合题意，A正确. 0+0+k=0, k=0, 对于B,设a=AB,b=CA1=AA-AB-AD=(-1,-1,1),c=BC=AD=(0,1,0),则 1一μ十0=0， 1=0, 0一4十k=0,解得μ=0，不符合题意，B错误， 0+4十0=0， k=0, 2一4十0=0， 对于C,设a=AB,b=BD=AD-AB=(-1,1,0),c=AD,则0十4十k=0,可取入=u= 0+0+0=0, 一k=1,符合题意，C正确. 对于D,设a=AB,b=BC=BC+CC=AD+AA;=(0,1,1),c=CAi,则 久十0-k=0, 1=0, 0十4一=0，解得μ=0，不符合题意，D正确 0+μ+k=0, k=0, 127根据题意可得a=,即号-号解得&=7 13.12W3π根据题意可得底面圆的半径为OA=√(1一0)2+(1一0)2+(-2-0)2=√1+1+4 =√6，AB=√(3-1)2+(3-1)2+(0+2)2=√4十4+4=2√3，所以该圆柱的体积为π× (W6)2X2√3=12√3π. 14.是取BC的中点T,连接AT,HT.因为HB=HC,AB=AC, 所以HT⊥BC,AT⊥BC.又AT∩HT=T,所以BC⊥平面 AHT,平面AHT⊥平面ABC,所以点O在AT上.以A为坐标 原点，AT所在直线为x轴建立空间直角坐标系，如图所示.由题B 意得AT=√9-4=√5，A(0,0,0),B(W5,-2,0),C(5,2,0), 【高二数学·参考答案X第2页（共6页）】 H(350,1)A-(350,1),B-(0,40A蓝-65，-2,0，AC=5,20.设平 面HAC的法向量为n=(a,b,c),则 n·Ai-35。 a+c=0令a=25,则n=(25, n·AC=√5a+2b=0, -5,-6).设BK=λBC,A∈[0,1]，则AK=AB+BR=AB+λBC=(W5,4-2,0).设直 线AK与平面HAC所成的角为0，则sin日=osA求，n1=A,m AKn 5+(4以-2XV20+25+36-18,即1612+16以-5=0，解得入=或X=- 110-20λ+10 5√6 4(舍去)， 所以8蹤是 15.解：(1)因为l1⊥l2,所以m-5+4m=0,…. …4分 獬得=1.…6分 (2)由(1)可得12：-4x十4y十1=0，… 00…0…… 令x=0,得y=-1, 4, 9分 1 令y=0,得x= 4’ ……11分 1 .11 所以L2与两坐标轴围成的三角形的面积为2×4X4=32 …13分 16,解：()如图，连接CM,则C-+成-C+号B-C+ C B 号Bc+C=+号Ci, … …3分 C.M-C.C+CM--CC+1CB+2cA 6分 C (2)根据直三棱柱的性质可得CC1⊥底面ABC, M B 所以CC1⊥CA,且CC.CA=0.…8分 因为∠ACB=60,CA=CB=4,所以Ci.C=C1 CAlcos60°=4X4X2=8,… …10分 则cM.Ci-(-cC++ci)·ci-cC·Ci+}c.Ci+ci …13分 =0+}×8+号×16- 3 …15分 17.解：(1)（方法一）依题可知1的斜率存在，设l的方程为y=kx十b,…1分 则(x一4)十b十3=kx十b,则3一4k=0,…3分 【高二数学·参考答案第3页（共6页）】 所以表=是，即1的斜率为子 …4分 (方法二)设M(x,y)为直线L上任意一点，则M'(x十4，y十3)也在直线L上，·2分 所以直线1的斜率=y十3-义-3 x+4-x4 …4分 (2)(1)依题意得直线1的方程为y=是x十3，即3z-4十12=0， …5分 (iⅱ)如图，直线1过点P和A(一4,0). 设直线m与直线l,x轴围成的等腰三角形为△ABP. 若|BA|=|PA|=√3+(-4)2=5，则B(-9,0)或B(1,0), 即B1或B3.… …7分BA B,O BB 当点B的坐标为(-9,0)时，直线m的方程为子g十学-1，即 x-3y十9=0；… …8分 当点B的坐标为1,0)时，直线m的方程为+学=1，即3x十y-3=0. …9分 若|PB|=PA=5,则B(4,0),即B4,…10分 此时直线m的方程为子+学=1，即3z十4y一12=0. 11分 若|AB|=|BP|,过点B作BH⊥AP,垂足为H,则H为AP的中点 5 由△AH△MO.得-，即lB- 5 ,解得AB=25 …12分 所以10B14要名则B(-名0）.即月， …13分 此时直线m的方程为7十号=1，即24红-7y十21=0..14分 8 综上，直线m的一般式方程为x-3y十9=0或3x+y-3=0或3x+4y-12=0或24x一 7y十21=0.…15分 18.(1)证明：连接AC,与BD交于点O,则O为BD的中点. 连接EO.由EB=ED,得EOBD.…1分 因为底面ABCD为矩形，BC=8,CD=6,所以BD=10,OB=OC=OD=5,EO=12,… ……2分 所以EO2十OC2=EC2,则EO⊥OC.…3分 因为OC∩BD=O,所以EO⊥平面ABCD.…4分 因为EOC平面EBD,所以平面EBD⊥平面ABCD.…5分 (2)证明：由EC=2FA,得ECFA.因为FA丈平面ECD,ECC平面ECD,所以FA/∥伻面 ECD.…6分 【高二数学·参考答案X第4页（共6页）】 同理可证AB平面ECD.因为AB∩FA=A,所以平面FAB平面ECD.z↑ E …7分 因为BHC平面FAB,所以BH∥平面ECD,则直线BH到平面 ECD的距离即为点B到平面ECD的距离.…8分 分别取BC,CD的中点M,N,连接OM,ON.以O为坐标原点， OM,ON,OE所在直线分别为x,y,之轴建立空间直角坐标系，如图 所示 根据题意可得E(0,0,12),C(3,4,0),D(-3,4,0),B(3,一4,0)， M BC=(0,8,0),EC=(3,4,-12),CD=(-6,0,0). …9分 (n·EC=3x+4y-12z=0, 设平面ECD的法向量为n=(x,y,之)，则 n·CD=-6x=0, 令y=3,则n=(0,3,1),…10分 所以点B到平面ECD的距商d=C:n=24<24S,故直线BH到平面ECD的 n √9+1√9 距离小于8.… …12分 (3)解：由(2)可得F币=FA+AD=2E心+BC-(号，10，-6)，B币=(-6,8,0).… ……13分 设平面FBD的法向量为m=(a,b,c),则 m·FD=3 a+106-6c=0, m·BD=-6a+8b=0, 令a=4,则m=(4,3,6).…14分 由(2)知平面FAB平面ECD,所以n=(0,3,1)是平面FAB的一个法向量 因为cos(m,n)=m·n 15 3√610 mn√61X√o122, 16分 且由图可知二面角AFB-D的平面角为锐角，所以二面角A-FBD的余弦值为30 122 …17分 19.(1)证明：因为AP2⊥AB,DP4⊥CD,所以AB⊥PA,CD⊥PD. …1分 因为AB/CD,所以AB⊥PD.…2分 又PA∩PD=P,所以AB⊥平面PAD.…3分 (2)解：过点P作PO⊥AD,垂足为O,过点O作OF∥AB,交BC 于点F 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所 以POL平面ABCD.…4分 F(G分 以O为坐标原点，OF,OD,OP所在直线分别为x轴、y轴、之轴 建立空间直角坐标系，如图所示.在△PAB中，PA=√32一22=√5，在PAD中，PO2十 【高二数学·参考答案X第5页（共6页）】 A02=5,PO2+(3-AO)2=8,则AO=1,PO=OD=2,…6分 所以P(0,0,2),A(0,-1,0) 因为BG=3BC=1,所以点G与点F重合，则G(2,0,0). …7分 设E(,2,0),0≤≤2，则PE=(,2,-2). ……8分 因为AG=(2,l,0),所以os(P吃，AG1=P它·Ad 2λ十2 1PE1AG1√A2+8·V5 9分 令λ+1=t∈[1,3]，则 2λ+22 1 …10分 √2+8·55√(t-1)2+8W5 1+ 因为1≤≤3，所以<≤1，则1-2+∈[台8]， …11分 所以a:后[答，]，则宋取监范街为[票零] …12分 (3)解：设四棱锥P-ABCD外接球的球心为O2,半径为R. 易知矩形ABCD对角线的交点为O,(1,2,0), …13分 则0,0，底面ABCD.设0，(1,7m）.由0A=0P,得/1++m√1+4+m-2, 解得m=2则0.(1，号)，R=0A= 2 15分 因为0，G-√2-10+(02》X2-9,…16分 所以G与Q两点之间的距离的最大值为0，G+R-6+4 2 …17分 【高二数学·参考答案X第6页（共6页）】高二数学测评 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 报 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章2.2。 欧 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.在空间直角坐标系Oxyz中，点M(1,2,4)关于x轴对称的点的坐标是 A.(1,-2,-4) B.（-1,2,4) 如 C.(2,4,1) D.(-1,-2,-4) 2.直线l:xtan45°+y=√3的倾斜角为 A.45 B.60° C.120° D.135° 3.若P,B,B1,C,四点共面，A为空间中任意一点，且AP-AB+3AB1十λAC,则λ= 封 A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 4.若{(x,y)川ax+y=0}∩(x,y)1(3-a)x+2y+1=0}=☑，则a= A.1 B.-1 C.3 D.2 路 5.在正四棱台ABCD-A1B1C,D1中，A1C=(1,2,2),BD=(4,m,n),则 A.m=n B.m=1 C.n=1 D.m十n=-2 6.已知直线l1:mx十ny=一7与直线l2:ax十by=一7都经过点A(2027,71),记点P(m,n), Q(a,b),则直线PQ的方程为 A.71x+2017y+7=0 B.2027x+71y+7=0 C.2017x-71y+7=0 D.2027x+71y-7=0 线 7.把边长为2的正六边形纸片ABCDEF沿对角线BE折成直二面角，忽略纸片的厚度，则翻折 后点F到直线BC的距离为 A③9 4 R C39 2 D.39 2 8.在平面直角坐标系中，点M(0,4),N(-2√5,0)，若直线l:mx十2y十√5m+2=0上存在点 H,使得|HM|+|HN|=6,则m的取值范围为 A[-25,25] B(-0,-25]U[25,+ c[-2525 D.(-o,-25]u[25,+o 【高二数学X第1页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知a,B是两个不同的平面，直线l的一个方向向量为d=(1,2,一2)，且l⊥a,则下列结论 正确的是 A.u=(2,4,一4)是a的一个法向量 Bu=(-子，-子，号)是。的-个单位法向量 C.若u=(2,2,3)是β的一个法向量，则a∥3 D.若直线mCa,则u=(2,2,3)是m的一个方向向量 10.如图，AB/0C,∠BDC=2∠ABD-,B(4,3),C5,0),P为线 段AB上的动点，则 A.点D的坐标为(3,2√3) B.直线CD在y轴上的截距为5√3 C.直线OP与直线DP可能垂直 D.直线DP绕点D逆时针旋转T后，所得直线的倾斜角可能为锐角 11.定义集合T是满足下列性质的所有空间向量构成的集合：若Va,b∈T,3入，4，k∈R,且2 十μ2+b2≠0，Aa十b十kc=0,则c∈T.在正方体ABCD-A1B,C,D1中，AB=(1,0,0), AD=(0,1,0),AA1=(0,0,1).若AB∈T,则 A.当AD∈T时，AA1T B.当CA1∈r时，BC∈r C.当BD∈T时，AD∈T D.当BC1∈T时，CA1T 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知A(1,1),B(3,4),C(5,a)三点共线，则a=▲ 13.已知AB是圆柱OO1的母线，A在底面圆0上，O(0,0,0),A(1,1,一2)，B(3,3,0),则该圆 柱的体积为△ 14.在三棱锥H-ABC中，AB=AC=3,BC=4,HB=HC,点H在平面ABC内的投影为点O, H0=1,A0-3,若点K在线段BC上，且直线AK与平面HAC所成角的正弦值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知直线l1:x+my+2=0与直线l2:(m-5)x十4y+m=0垂直. (1)求m的值； (2)求12与两坐标轴围成的三角形的面积. 【高二数学X第2页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用约扫指AP 16.(15分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BM=2MA, (1)以(CA,CB,CC)为空间的一个基底表示向量CM; (2)若∠ACB=60°，CA=CB=4,求CM.CA M 17.(15分) 在平面直角坐标系xOy中，将直线1先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度 后，所得直线与l自身重合. (1)求1的斜率 (2)设1过点P(0,3) (1)求1的一般式方程； (Ⅱ)若过点P的直线m与l,x轴围成等腰三角形，求直线m的一般式方程. 【高二数学第3页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 18.(17分) 如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，EC=2FA,EB=EC=ED=13,BC=8, CD=6. (1)证明：平面EBD⊥平面ABCD (2)若H为FA上的动点，证明：直线BH到平面ECD的距离小于8. (3)求二面角A-FB-D的余弦值. F H 欧 D 19.(17分) 如图，四边形ABCD为矩形，AP2⊥AB,DP4⊥CD,AB=2,DP4=2√2，BC=BP2=3,将 矩形ABCD四周的三角形沿该矩形的边向上折起，使P1,P2,P3,P4四点重合于点P,得 到四棱锥P-ABCD.已知BG-BC, (1)证明：AB⊥平面PAD. (2)若E为棱CD上的动点，求异面直线AG与PE所成角的余弦值的取值范围. (3)设Q为四棱锥P-ABCD外接球球面上的动点，求G与Q两点之间的距离的最大值. 线 【高二数学（第4页（共4页）】 CS扫描全能王 链3亿人都在用的扫描AP印