河北省承德市高新区第一中学2026-2027学年高二上学期9月月考数学试卷

河北省承德市高新区第一中学 2026-2027学年上学期高二数学9月月考试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．某校高一年级共有学生600人，其中男生350人、女生250人．为调查学生的视力情况，现采用分层随机抽样方法抽取一个容量为60的样本，则应抽取的女生人数为（ ） A．25 B．30 C．35 D．36 2．已知点、，直线的斜率为（     ） A． B． C． D． 3．从到的正整数中，任取一个数，得到的数是的倍数的概率是（    ） A． B． C． D． 4．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至多一次中靶”互斥的是（   ） A．至少一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没有中靶 5．已知一组数据 的平均数为 ，方差为 ．若将这组数据中的每一个数都乘以 再减去 ，得到一组新数据 ，则新数据的平均数和方差分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 6．甲、乙两人分别独立参加面试，若甲、乙能通过面试的概率都是，则面试结束后两人都没通过的概率是（     ） A． B． C． D． 7．已知一组数据为：1，2，5，3，7，10，4，6，8，9，则该组数据的第60百分位数是（    ） A．6 B．6.5 C．7 D．8 8．若直线过点，且与直线平行，则直线的方程为（     ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．若直线与直线垂直，则的值可能为（    ） A． B．4 C． D．2 10．对于直线．下列结论中正确的是（   ） A．直线l的斜率为2 B．直线l在y轴上的截距为 C．向量是直线l的一个方向向量 D．直线l与x轴、y轴的交点连同原点构成的三角形，面积等于4 11．同一平面内的直线与直线，下列选项中满足的直线是（   ） A． B．经过点和 C．的斜率为2，且过点 D．与没有公共点 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12.．设一组样本数据的方差为，则数据 的方差为_____． 13．一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为0.1，第二道工序的次品率为0.2，则该产品的正品率______． 14．已知直线：，则点到直线的距离的最大值为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．(本小题13分）已知直线，，. (1)直线与轴，轴分别交于两点，为坐标原点，求的面积； (2)直线与直线的交点，求点的坐标； (3)若直线过点且与直线垂直，求直线的方程. 16．(本小题15分）已知的三个顶点分别是． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)若直线过点，且与直线平行，求直线的方程． 17．(本小题15分）某中学为研究本校高一学生在市联考中的英语成绩，随机抽取了100位同学的英语成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图如图． (1)求直方图中的值； (2)请估计本次联考该校英语成绩的中位数（保留一位小数）； (3)样本内英语分数在的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人成绩在中的概率． 18．(本小题17分）为了让学生更好地遵守校纪校规，某中学对全校学生进行了校纪校规测试，试卷满分100分，所有学生的成绩均在[40，100].已知该校高一、高二、高三年级的学生人数分别为1200、1000、800，现按年级采用分层抽样的方式抽取了300名学生的成绩，绘制了如图所示的频率分布直方图.   (1)求样本中各年级的人数； (2)根据频率分布直方图估计本次测试全校学生成绩的平均分和中位数； (3)经过计算，现已知样本方差为83，高一年级成绩的平均分是65，方差是75，高二年级的平均分是69，高三年级的方差是55，求高三年级的平均分和高二年级的方差. 19．(本小题17分）人工智能正在从技术概念全面渗透进我们生活的方方面面，重塑着人们的生活方式．为了让中学生全面了解人工智能与人们生活的关系，某市举办了“AI与生活”的知识竞赛活动，现从所有竞答试卷的卷面成绩中随机抽取200份作为样本数据，将样本答卷中分数（）分成六组：，……，，并作出如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)求样本数据的第75百分位数； (3)已知落在内样本数据的平均数是55，方差是6；落在内样本数据的平均数是64，方差是，且这两组数据的总方差是22，求落在内样本数据的方差． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A B D B A A B C CD 题号 10 11 答案 ACD AD 1．A 【详解】由题意可知：每个个体被抽到的可能性为， 所以应抽取的女生人数为. 2．B 【详解】直线的斜率为. 3．D 【详解】从到的正整数中是的倍数有共个数，概率是 4．B 【详解】“至多一次中靶”包含“中靶0次和中靶1次”， A选项，“至少一次中靶”包含“中靶1次和中靶2次”， 故“至多一次中靶”与“至少一次中靶”均包含“中靶1次”，不互斥，A错误； B选项，“至多一次中靶”与“两次都中靶”互斥，B正确； C选项，“至多一次中靶”与“只有一次中靶”均包含“中靶1次”，故不互斥，C错误； D选项，“至多一次中靶”与“两次都没有中靶”均包含“中靶0次”，故不互斥，D错误 5．A 【详解】设原数据的平均数为 ，方差为 ，新数据 ． 由平均数的线性性质得 ；由方差的性质得 （常数项不影响方差）． 6．A 【详解】通过面试和未通过面试是对立事件，对立事件的概率和为1． 已知甲、乙能通过面试的概率都是，则甲、乙未能通过面试的概率都是， 故面试结束后两人都没通过的概率是． 7．B 【详解】将数据从小到大排列为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，共10个数据， 因为，所以该组数据的第60百分位数是. 8．C 【详解】设直线为，将代入得，解得， 故直线的方程为. 9．CD 【详解】直线与直线垂直， 则，所以或.故选：CD. 10．ACD 【详解】直线化为，斜率为2，A正确； 令，，直线在轴上的截距为4，B错误； 直线的斜率为2，且，所以向量是直线l的一个方向向量，C正确； 令，，则直线l与x轴、y轴的交点连同原点构成的三角形的面积为，D正确. 11．AD 【详解】对于A：与斜率相等，且不重合，所以符合题意； 对于B : 经过点和，所以斜率为， 所以直线的方程为,化简可得，重合，不符合题意； 对于C：的斜率为2，且过点，所以，两条直线重合，不符合题意； 对于D：与没有公共点，则满足，D选项符合题意； 故选：AD. 12.20 【详解】由题意可知：，令，则． 13． 【详解】由题意可得，当经过这第一道工序出来的产品是正品，且经过这第二道工序出来的产品也是正品时，得到的产品才是正品．经过这每道工序出来的产品是否为正品，是相互独立的．第一道工序的正品率为，第二道工序的正品率为， 故产品的正品率为，故答案为：． 14． 【详解】直线：， 整理得：．联立，解得， 所以直线恒过定点，由几何性质，点到直线的距离， 当时等号成立，， 所以点到直线的距离的最大值为． 15．【详解】（1）对于直线，令，得，即与轴交点； 令，得，即与轴交点. 因为是直角三角形，直角边长为，， 所以的面积为. （2）联立和的方程：， 两式相加消去，得，解得， 代入得，因此交点的坐标为. （3）将整理为斜截式，得的斜率为. 由两直线垂直的斜率性质：若两条直线斜率都存在，垂直时斜率乘积为，因此的斜率满足，得. 又过点，由点斜式得，整理为一般式即. 16．【详解】（1）由题知， 因为边上的高与垂直，两垂直直线斜率乘积为，因此高所在直线的斜率为， 又该高过点，由点斜式方程可得 ，即. （2）由于直线与平行，因此直线的斜率， 又直线过点，由点斜式方程可得 ，即. 17．【详解】（1）由频率分布直方图得，解得． （2）由频率分布直方图知，分数在区间的频率分别为0.34，0.62， 因此该校英语成绩的中位数，则，解得， 所以该校英语成绩的中位数约为105.7分． （3）由频率分布直方图知，分数在内分别有8人和2人， 因此抽取的5人中，分数在内有人，在内有1人， 记内的4人为，在内的1人为， 则样本空间． 记“选出的2人中恰有一人成绩在”为事件，则， 所以，即选出的两名学生中恰有一人成绩在中的概率为． 18．【详解】（1） 由题意可知，全校学生总人数为人. 抽样比为. 则样本中高一人数为， 高二人数为， 高三人数为. （2）由频率分布直方图可知，各组的频率分别为： ：；：；：； ：；：；：. 平均分为. 因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和为， 所以中位数位于第三组内.设中位数为， 则，解得. 故估计本次测试全校学生成绩的平均分为，中位数为. （3）设高一、高二、高三年级的样本容量分别为，平均分分别为，方差分别为，总样本的平均分为，方差为. 由题意知，.；；. 由，得，即， 解得.由分层抽样总方差公式， 得， 即， ，解得.故高三年级的平均分为，高二年级的方差为. 19．【详解】（1）由题意，解得； （2）由频率分布直方图知，前3组数的频率为， 前4组数的频率为， 因此第75百分位数在第5组即区间上， 设第75百分位数为，则，解得； （3）样本数据在区间的个数为，在区间上的个数为， 所以，而， 解得. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $