4.3.1 等比数列的概念课件-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

第4章　数列 第7课时　等比数列的概念 学习目标 1. 通过生活中的实例，理解等比数列的概念，认识等比数列是反映自然规律的重要模型之一． 2. 能够利用等比数列的概念进行等比数列的判定与证明． 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 预习导引 预习教材P155～157，思考下面的问题： 1. 等差数列是怎样定义的？ 2. 我们已经学习了等差数列的哪些知识？ 3. 什么叫等比数列？如何判断一个数列是等比数列？ 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 　(教材P155例1改编)判断下列数列是否为等比数列．如果是，写出公比． (1) 2, 4, 8, 3, 6, 12； (2) 1, －1, 1, －1, 1, －1； [处理建议]　紧扣等比数列的定义，逐项检验． [规范板书]　解　(1) 不是等比数列． (2) 是等比数列，首项为1，公比为－1. (4) 不是等比数列，因为0不能作为等比数列中的项． 例 1 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 [题后反思]　理解等比数列的概念，需要注意以下4点： ① 每一项与它的前一项的比是同一个常数，具备任意性； ② 每一项与它的前一项的比是同一个常数，强调的是同一个； ③ 每一项与它的前一项的比是同一个常数，是有序的，前后次序不可颠倒； ④ 由于等比数列每一项都可能作为分母，故每一项都不为零，公比也不为零． 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 　已知数列{an}的通项公式，判断它是否为等比数列． (1) an＝3n；　　　　　　 (2) an＝4×23n－1； (3) an＝(－3)－n；　　　 (4) an＝0. 变 式1 (4) 该数列不是等比数列． 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 [规范板书]　解　设{an}的公比为q. 对于数列{an＋an＋1}，当q＝－1时，an＋an＋1＝0, {an＋an＋1}不是等比数列； 变 式2 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 1. 判断下列数列是否为等比数列： (1) 2, 4, 6, 8, 10； (2) 1, －2, 4, －8, 16； (3) lg3, lg6, lg12. (2) 是． 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 2. (多选)下列数列是等比数列的有( ) A. 2, 1, 2, 1, 2 B. －5, －5, －5, －5 BC 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 　(教材P156例2改编)求出下列等比数列中的未知项： (1) 3, a, 12； [处理建议]　根据等比数列的定义列出方程(组)，进而求解． 例 2 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 [题后反思]　第(1)小题中三项成等比数列，称a是2与8的等比中项． 若a, G, b成等比数列，则称G是a与b的等比中项，那么有G2＝ab. 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 　求1和16的等比中项． [规范板书]　解　设G是1和16的等比中项，则G2＝16，所以G＝±4. [题后反思]　① 同号非零两数才有等比中项，等比中项有两个，它们互为相反数． 变 式1 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 变 式2 3或－1 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 1. 已知下列数列是等比数列，试在括号内填上适当的数： A 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 [处理建议]　证明(或判断)所给数列是等比数列时，要紧扣等比数列的定义；证明(或判断)所给数列不是等比数列时，可采用反证法(或举反例)． 例 3 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 [题后反思]　等比数列的判定方法： 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 　已知等比数列{an}的公比为q. (1) 求证：{m·an}(m≠0)是等比数列． (2) 设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列． (2) 假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*, (ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)， 因为ak＋1≠0，所以q2－2q＋1＝0，解得q＝1，这与已知矛盾，从而假设不成立，故{an＋1}不是等比数列． 变 式1 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 变 式 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 C 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 2. (多选)已知数列{an}是等比数列，则( ) A. 数列{|an|}是等比数列 B. 数列{an＋an＋1}是等比数列 C. 数列{anan＋1}是等比数列 AC 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 提示　设等比数列{an}的公比为q. 对于B，当an＋an＋1＝0时，{an＋an＋1}不是等比数列； 对于D，当an＝1时，{an}是等比数列，但是lga＝0，所以{lga}不是等比数列． 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 2. 等比中项的概念：若a, G, b成等比数列，则称G是a与b的等比中项，那么有G2＝ab. 课堂小结 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 (3) 1, －， ， －， ； (4) 0, 2, 4, 8, 16. (3) 是等比数列，首项为1，公比为－. [规范板书]　解　(1) ＝＝3，所以{an}是以3为公比的等比数列． (2) ＝＝＝23＝8，所以{an}是以8为公比的等比数列． (3) ＝＝－，所以{an}是以－为公比的等比数列． 当q≠－1时，＝q，所以{an＋an＋1}是等比数列． 若数列{an}为等比数列，则数列{a}为等比数列吗？数列{a2n－1}为等比数列吗？数列{2an}为等比数列吗？数列{an＋an＋1}为等比数列吗？ 对于数列{a}, ＝2＝q2，所以{a}是等比数列． 对于数列{a2n－1}, ＝＝q2，所以{a2n－1}是等比数列． 对于数列{2an}, ＝q，所以{2an}是等比数列．　 解　(1) 因为≠，所以该数列不是等比数列． (3) 因为≠，所以该数列不是等比数列． C. －1, ， －， ， － D. 3, 1, ， ， ， 0 (2) －， b, c, . [规范板书]　解　(1) 由题意得＝，所以a＝6或a＝－6. (2) 由题意得解得 若G是a与b的等比中项，则＝，所以G2＝ab，即G＝±. ② 在等比数列{an}中，a＝an－1an＋1(n≥2)．反之，在数列{an}中，对于任意的正整数n(n≥2)，都有a＝an－1an＋1，数列{an}不一定是等比数列，还需满足an≠0. 已知a是2与a＋的等比中项，则a＝____________.　 [规范板书]　解析　由题意得a2＝2，解得a＝3或a＝－1. (1) ， －3, 27； (2) 2, (±), 7, ； (3) 1, ， ， －. 2. 已知数列{an}是等比数列，且a5＝4, a9＝16，则a7等于( ) A. 8 B. ±8 C. －8 D. 1 (1) 在等比数列{an}中，是否有a＝an－1·an＋1(n≥2)? (2) 在数列{an}中，如果对于任意的正整数n(n≥2)，都有a＝an－1an＋1，那么数列{an}一定是等比数列吗？ 　 [规范板书]　解　(1) 因为{an}是等比数列，所以＝，即a＝an－1an＋1(n≥2)成立． (2) 不一定．例如，对于数列0, 0, 0, …，总有a＝an－1an＋1，但这个数列不是等比数列． ① 定义法：＝q(n≥2, q是不为0的常数)⇔{an}是公比为q的等比数列． ② 等比中项法：a＝an－1an＋1(n≥2, an, an－1, an＋1均不为0)⇔{an}是等比数列． [规范板书]　证明　(1) 设bn＝m·an，则bn＋1＝m·an＋1，所以＝＝＝q，因此是公比为q的等比数列． 即a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1， a＋2ak＋1＝a＋＋ak＋1q. 若数列a1, a2, …， an－1, an是等比数列，则数列， ， ， …， 是等比数列吗？ [规范板书]　解　是，数列， ， ， …， 的首项是，公比是数列a1, a2, …， an－1, an的公比的倒数．　 1. 若a, b, c成等比数列，且公比为q，那么，，( ) A. 不一定是等比数列 B. 一定不是等比数列 C. 一定是等比数列，且公比为 D. 一定是等比数列，且公比为q D. 数列{lga}是等比数列 对于A, ＝|q|，为常数，所以{|an|}是等比数列； 对于C，＝q2，为常数，所以{anan＋1}是等比数列； 1. 等比数列的概念：＝q(n≥2, q≠0)或＝q(q≠0)．会用定义作简单的判定和证明．　 $