4.3.1 等比数列的概念（教学课件）高二数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦等比数列，系统涵盖概念、判定及应用。通过回顾旧数列引入放射性衰变、轿车折旧等现实情境，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点是结合典例辨析（如全0数列、比值不恒定情况）和表格涂等比数列互动题，培养抽象能力与推理意识。课堂小结梳理知识清单与方法，用生活实例让学生用数学眼光观察世界，提升兴趣，也为教师提供系统资源，提高备课效率。

4.3 等比数列 苏教版2019选择性必修第一册•高二 4.3.1 等比数列的概念 第四章 数列 高效备课·轻松学习 高 中 数 学 学 习 目 标 1 2 3 通过实例，理解等比数列的概念. 会用等比数列的概念判断等比数列. 能根据等比数列的定义判断一个数列是否为等比数列，并能进行简单的求值. 回顾本章 4.1 节开始我们遇到的数列 ③④，再考察下面的问题： 放射性物质以一定的速度衰变,该速度正比于当时该物质的质量.如果某个质量为的放射性物质经过时间h后衰变到质量，那么称h为物质的半衰期.镭的半衰期是1620年,如果从现有的10g镭开始,那么每隔 1620 年,剩余量依次为 1，2，4，8，16，···. ③ ，，，，···. ④ 新知探究 某轿车的售价约为 36 万元，年折旧率约为 10% (就是说这辆车每年减少它的价值的 10%)，那么该车从购买当年算起，逐年的价值依次为 36，36×0.9，36×0.92，36×0.93，···. 某人年初投资 10000 元，如果年收益率是 5%，那么按照复利，5年内各年末的本利和依次为 10000×1.05，10000×1.052，···，10000×1.055，···. 复利的本利和公式是本利和＝本金× (1＋利率)存期. ●与等差数列相比，上面这些数列有什么共同的特点? 从第2项起，每一项与它的前一项的比固定的常数。 新知探究 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列(geometric progression)，这个常数叫作等比数列的公比 (common ratio)，公比通常用字母 q 表示. 思考：你能再举出一些等比数列的例子吗？ 在等比数列{an} 中，始终有 =q 例子：1，2，4，8，16，32…… 场景：比如细胞分裂，1 个细胞每次分裂成 2 个，第 1 次分裂后 2 个，第 2 次 4 个，以此类推，细胞数量就构成这个数列。 新知归纳 典例分析 方法技巧 判断一个数列是否为等比数列的方法 定义法：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论. 判断下列数列是否为等比数列： (1)1，1，1，1，1； (2)0，1，2，4，8； (3)1， ， ， ， ． 例 1 解：(1)根据等比数列的定义可知，所给数列是首项为1， 公比为1的等比数列． (2)因为0不能作除数，所以这个数列不是等比数列． (3)根据等比数列的定义可知，所给数列是首项为1， 公比为 的等比数列。 求出下列等比数列中的未知项： (1)2，a,8； (2)-4，b,c, ． 解：(1)根据题意，得 ， 所以a=4或a=-4． (2)根据题意，得 ，解得 ， 所以b=2，c=-1． 方法技巧 特别地，如果三个数a，G，b成等比数列，则称G为a，b的等比中项，即G2＝ab. 一般地，如果几个数成等比数列，则按照等比数列的定义构造方程或方程组求值即可. 典例分析 例 2 7 (1)在等比数列{an}中，是否有 =an-1an+1(n≥2)？ (2)如果在数列{an}中，对于任意的正整数n(n≥2)， 都有 =an-1an+1，那么数列{an}一定是等比数列吗？ 解：(1)因为{an}是等比数列，所以 ， 即 成立． (2)不一定．例如，对于数列 0，0，0，…， 总有 ， 但这个数列不是等比数列． 典例分析 例 3 方法技巧 若一个数列是等比数列，则在任意连续三项中都有＝an·an＋2；反之不能成立，需要考虑特殊情况或任意性. 8 1.判断下列数列是否为等比数列： (1)1，2，1，2，1； (2)-2，-2，-2，-2； (3)1，- ， ，- ， ； (4)2，1， ， ，0； (5)lg3，lg6，lg12； (6)1，-1，1，-1． 解：(1)∵数列 1，2，1，2，1，从第二项起，每一项与它的前一项的比不是同一个常数，故该数列不是等比数列． (2)∵数列-2，-2，-2，-2，从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数1，故该数列是等比数列． (3)∵数列1，- ， ，- ， ，从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数- ，故该数列是等比数列． 9 (4)∵数列2，1， ， ，0，从第二项起，每一项与它的前一项的比不等于同一个常数，故该数列不是等比数列． (5)∵lg3•lg12≠lg26，所以从第二项起，每一项与它的前一项的比不等于同一个常数，故该数列不是等比数列． (6)∵数列1，-1，1，-1，从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数-1，故该数列是等比数列． 1.判断下列数列是否为等比数列： (1)1，2，1，2，1； (2)-2，-2，-2，-2； (3)1，- ， ，- ， ； (4)2，1， ， ，0； (5)lg3，lg6，lg12； (6)1，-1，1，-1． 10 2.从下面的表中，请你用彩笔涂出3个等比数列，满足以下要求： (1)每个数列的项所在的框是相连接的(顶点相连或者边相连)； (2)三个数列的公比是不同的． 1 2 22 23 24 25 2 22 23 24 25 26 22 23 24 25 26 27 23 24 25 26 27 28 24 25 26 27 28 29 25 26 27 28 29 210 解：如题表，取第一行，得到数列{an}：1，2，22，23，24，25，公比为q1=2； 取第一列的数据，倒序排列，得到数列{bn}：25，24，23，22，2，1，公比为 ； 从第一行第一列的“1”开始，向右下角方向沿对角线取数，得到数列{cn}：1，22，24，26，28，210，公比为q3=4．以上是其中一种情况，答案不唯一． 11 3.已知下列数列是等比数列，试在括号内填上适当的数： (1)　　，3，27； (2)3，　　，5； (3)1，　　，　　， ． 解：(1)由等比数列的性质得 = ，故答案为： ． (2)由等比数列的性质得 = ，故答案为： ． (3)由等比数列的性质得：公比q= = ，∴ ，a3= ， 故答案为： ， ． 12 4.已知数列{an}是等比数列， (1)如果a2=2，a3=-6，求公比q和a1；(2)如果a1=3，a2=6，求公比q和a3． 解：(1)因为q= =-3，所以a1=- ；(2)q= =3，a3=12． 5.已知数列{an}的通项公式，判断它是否为等比数列． (1)an=3n； (2)an=4×23n-1； (3)an=(-3)-n； (4)an=0． 解：(1) = =3，故{an}是以3为公比的等比数列； (2) =8，故{an}是以8为公比的等比数列； (3) = =- 故{an}是以 为公比的等比数列； (4)该数列不是等比数列． 13 6.已知a1，a2，a3，……an是公比为q的等比数列，新数列an，an-1，…，a2，a1也是等比数列吗？如果是，公比是多少？ 解：由题意可得， =q, 故 = ，即数列an，an-1，…，a2，a1也是等比数列，公比为 ． 14 等比数列的定义 题型一 题型探究 1.有下列4种说法：①等比数列中的某一项可以为0；②等比数列的公比的取值范围是 ；③若一 个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1；，，，， 成等比数列.其中正确说 法的个数为( ) B A.0 B.1 C.2 D.3 解析 由等比数列的定义可知，等比数列的每一项和公比都不能为零，故①②是错误的；一个非 零的常数列，一定是等比数列，其公比为1，故③正确；由于 ，故不成等比数列，所以④ 错误.故选B. 2.数列中，“，,3,4, ”是“ 是公比为2的等比数列”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 解析 若是公比为2的等比数列，则一定有，,3,4, ； 若，,3,4, ，则不一定为等比数列，例如当时，满足 ， ,3,4, ，但此时该数列不是等比数列. 所以“，,3,4, ”是“ 是公比为2的等比数列”的必要不充分条件.故选B. 3.已知数列满足，， . （1）求，， ； 【解】由题得，将代入，得，又 ， ，将代入，得 ， ，，， . （2）判断数列 是否为等比数列，并说明理由. [解] 数列 为等比数列，理由如下： 由题得，即 ， 又， 是首项为2，公比为3的等比数列. 等比数列的定义 题型一 题型探究 等比中项公式 题型二 题型探究 4.［江苏苏州2025高二期中］在2和8之间插入3个实数,,，使得2,,, ,8成等比数列，则 的值 为( ) C A. B. 或4 C.4 D.5 解析 由为等比中项可知，，又由可知，所以 ，故选C. 5.已知正项等比数列的前3项和为21，且 ，则 ( ) C A. B.2 C.6 D.4 解析 由题意知, , 且，所以 , 解得 （负值舍去）.故选C. 6.已知数列,其中,且数列为等比数列,求常数 . 解法一：因为数列 是等比数列, 所以当时,有 , 即 , 即 , 整理得 . 所以或,所以或 . 等比中项公式 题型二 题型探究 解法二 由,得,,, . 因而数列的前三项依次为,, 由题意得 , 整理得,解得或 . 当时,,所以 ， 所以此时数列 是等比数列. 同理当时，数列 也是等比数列. 所以或 . 6.已知数列,其中,且数列为等比数列,求常数 . 等比中项公式 题型二 题型探究 解法三 数列是等比数列，则 为非零常数. 因为 为非零常数, 所以或,所以或 . 6.已知数列,其中,且数列为等比数列,求常数 . 等比中项公式 题型二 题型探究 20 项的正负判定不准确，出现多解而致错 题型三 题型探究 7.［江苏常熟中学2024高二调研］已知等比数列中，，，则 ( ) C A.4或 B. C.4 D.8 解析 设的公比为，则 . 因为，，所以，所以 .故选C. 本题易忽略，易错解为 . 易错警示 条件应用不充分，出现公比多解而致错 题型四 题型探究 8.已知等比数列的公比为，若，且,, 成等差数列，则 ( ) B A.0或 B.3 C. D.0或3 解析 ,, 成等差数列， ，又 ， ，整理可得 ， ，解得（舍）或 .故选B. 易忽略，错解为或； 易错警示 课堂小结 1.知识清单： (1)等比数列的概念. (2)根据等比数列的定义进行简单的运算. (3)等比数列的判定与证明. 2.方法归纳：定义法、方程(组)思想. 3.常见误区：由a，G，b成等比数列能推出G2＝ab；但G2＝ab不能推出a，G，b成等比数列. 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 高 中 数 学 $