4.3.1 等比数列的概念+4.3.2 等比数列的通项公式 课件-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦高二苏教版选择性必修一等比数列，系统讲解定义、等比中项、通项公式及性质，通过对比等差数列导入，构建从概念辨析到公式推导再到性质应用的知识脉络，以概念剖析、典例详解、变式练习为学习支架。 其亮点在于融入思维导图梳理知识体系，例题按基础、中档、拔高分层并对接高考，结合生活实践题（如酒精含量计算）培养数学应用意识，通过构造新数列等题型提升逻辑推理与数学运算素养，助力学生深度学习，为教师提供一体化教学资源。

高二数学●2024苏教版选择性必修一 第四章 数列 本节理解等比数列的定义、等比中项的含义，掌握等比数列通项公式及其推导过程，能够判定等比数列并求解数列基本量，对比等差数列辨析差异，提升逻辑推理与数学运算核心素养 4.3.1 等比数列的概念 4.3.2 等比数列的通项公式 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括107张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 3 理知识 新知课丨必备知识解读 知识点1 等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常 数，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字 母 表示. 4 知识剖析 1.由概念可知，等比数列的每一项均不为0，因此 也不能为0. 2.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”.同时注意公比是每一项与其前一项的比， 前后次序不能颠倒. 3.定义中的“同一常数”是定义的核心之一.若一个数列不是从第2项起，而是从第 3项、第4项、…起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，则此数列不是等比数 列.这时可以说此数列从第2项、第3项、…起是一个等比数列. 4.常数列必是等差数列，却不一定是等比数列.当常数列的各项都为0时，常数列 不是等比数列；当常数列各项不为0时，常数列是公比为1的等比数列. 5 学思用·典例详解 例1-1 [教材改编P155例1]以下数列是等比数列的是( ) D A.2，2，4，8，16，32， B.在数列中，， C.常数列，，， ， D.数列满足（其中 为常数且不为0） 6 【解析】A选项中数列不是等比数列，因为 . B选项中数列不一定是等比数列，因为不知道 的值. （【看透本质】即使，数列也未必是等比数列，因为 中其他项未知） C选项中数列不一定是等比数列，当 时，数列不是等比数列. D选项中数列一定是等比数列，因为符合等比数列的定义. 7 知识点2 等比中项 如果三个数，，成等比数列，那么叫作与 的等比中项. 此时，或 . 反之，如果,那么,即,, 成等比数列. 综上，,,成等比数列 . 8 知识剖析 1.在等比数列中，任取相邻的三项，，，则是 与 的等比中项.由此可得等比数列的另一种判定方法——等比中项法，即判断 是否成立.（此处是对教材第156页【例3】的深挖） 2.“，，成等比数列”是“ ”的充分不必要条件，因为缺少限制条件 .（当时，,, 不成等比数列） 3.等差中项与等比中项的区别：任意两数都存在等差中项且是唯一的，但并不 是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时才存在等比中项，且等 比中项有两个，互为相反数. 4.由等比中项可知，等比数列的奇数项和偶数项的符号分别一致. . . 9 学思用·典例详解 例2-2 [教材改编P156例2][多选题]如果，，，， 成等比数列，那么 ( ) BC A. B. C. D. 【解析】 是， 的等比中项，（等比数列中的任一项（除首项、末项外）都 是数列中距该项“距离”相等的两项的等比中项） ， . 由等比数列奇数项符号相同（结合等比数列的奇（偶）数项符号相同，可唯一确定 的值，解题时要重视此结论的应用），得，故 . 而又是，的等比中项，故，即 . . . . . 10 知识点3 等比数列的通项公式 1 等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列的第项，有，这就是等比数列 的通项公式，其中为首项， 为公比. 11 2 等比数列通项公式的推导 推导方法 推导过程 累乘法 详见教材第158页 归纳法 ,,, , 迭代法 根据等比数列的定义, 逐商法 12 学思用·典例详解 例3-3 已知 是首项为2,公比为3的等比数列，则这个数列的通项公式为( ) C A. B. C. D. 【解析】由已知可得,公比 , 则数列的通项公式为 . 例3-4 若为等比数列，且 ，则公比是( ) C A.0 B.1或 C.或2 D.或 【解析】设数列的首项为，公比为，显然 .由已知得 ，即，解得或 . 13 知识点4 等比数列与指数函数的关系 1 等比数列与指数函数的关系 图4.3.1-1 等比数列的通项公式 ，还可以改写为 .当，且时， 是指数函数，而 是一个不为0的常数与指数函数的积，因此表示等 比数列的各点均在函数 的图象上 （如图 4.3.1-1）. 14 教材思考 通项公式为的数列 是等比数列吗？（关于教材第159页【思考】 的结论） ，所以，所以数列 为等比数列，公 比为,首项为 . 事实上，数列是等比数列的充要条件是 . 15 2 等比数列的单调性 已知等比数列的首项为,公比为 ,则 条件 单调性 或 为递增数列 或 为递减数列 为常数列，不存在单调性 为摆动数列（所有奇数项同号，所有偶数项同 号，但奇数项与偶数项异号），不存在单调性 16 学思用·典例详解 例4-5 已知,是等比数列图象上的两点,则 _____. 【解析】设 ， 则, , 解得, , . 17 例4-6 在数列中，，点在直线上，则 的值为( ) B A.7 B.8 C.9 D.16 【解析】点在直线 上， ， ， ， 是首项为1，公比为2的等比数列， . 注意 点与点 之间的区别. 18 例4-7 在等比数列中，如果公比为，且，那么等比数列 是( ) D A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.无法确定单调性 【解析】无法确定数列的单调性,如等比数列的公比为 ，为摆动数列， 不具有单调性;等比数列{的公比为，是递减数列；等比数列{-的公比为 ， 是递增数列. 19 释疑惑 重难拓展 知识点5 等比数列的性质 若数列是公比为 的等比数列. （1） . （2）若，，，，，则 . 特别地：若，则 ； . （3）若，，成等差数列，则，， 成等比数列. 20 （4）①数列 为常数，且仍是公比为 的等比数列； ②数列{}是公比为 的等比数列； ③数列是公比为 的等比数列； ④若数列是公比为的等比数列，则数列是公比为 的等比数列. （5）在数列中，每隔 项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列 仍为等比数列，且公比为 . （6）在数列中，依次每项的和（注意此时依次每 项的和不能为0） （或积）构成公比为（或 ）的等比数列. . . 21 （7）①已知且，如果数列是以 为公差的等差数列，那么数列 是以 为公比的等比数列； ②如果数列是各项均为正且公比为的等比数列，那么数列{ 是以 为公差的等差数列. . . 22 学思用·典例详解 例5-8 已知数列，，，，成等比数列，则 ____. 【解析】，，，，成等比数列， ， . 设公比为，则 ， ， .（【易错点】的符号已经确定，与 同号，忽略这一隐含 条件就容易得到错解） . . 23 例5-9 (2025·天津市耀华中学统考)已知等比数列中，， ， 则 ( ) C A.3 B.15 C.48 D.63 【解析】， ， 又 ， ， . （【秒解】用性质（6）求解，，， 成等比数列， ,即 ） 24 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 等比数列的判定 例10 已知，，，成等比数列，，，均不为零，求证： ， ， 成等比数列. 25 【解析】 由已知，设为常数且 ， ，，均不为零， ，（【扫清障碍】由等比定理得 出这三项符合等比数列的定义） 故，， 成等比数列. 由已知得，，，，即 . ，（【指点迷津】等比中项法判定等比数列） 而，，均不为零，故，， 成等比数列. . . 26 由已知，设，，为常数且 ，（【讲方法】 用基本量表示出各项） ，， 均不为零， ， ， 故，， 成等比数列. . . 27 例11 设，是公比不相等的两个等比数列，，证明：数列 不 是等比数列. 思路点拨 可通过证明，，不是等比数列来证明数列 不是等比数列. 28 【解析】设，的公比分别为，，且 . 要证不是等比数列，只需证 . 因为 ， ， 所以 . 因为，所以 ， 又， ， 所以 . 故 不是等比数列. 想一想 POINT 如果本题，那么 是等比数列吗？同学们可以发 散思考，自己做一做. 29 等比数列的判定方法 1.定义法：为常数且或为常数且, 为 等比数列. 2.等比中项法： 为等比数列. 3.通项公式法：,为非零常数 为等比数列. 注意:（1）不能仅由数列的前有限项成等比数列得出数列是等比数列.（2）要证明一 个数列不是等比数列，只要证存在连续三项不是等比数列即可. 30 【学会了吗丨变式题】 1.［多选题］(2025·陕西省西安市月考)已知数列 是等比数列，那么下列数列一定 是等比数列的是( ) AD A.{} B.{ C. D. 【解析】当时，，故数列{ 不一定是等比数列. 当时，，故数列 不一定是等比数列. 由等比数列的性质知{}和 都是等比数列． 故选 . 31 题型2 等比数列的通项公式及基本量的求解 1 基本量法求通项公式 例12 在等比数列中，,，且数列递增，求数列 的通项 公式. 思路点拨 由条件求出等比数列的首项与公比即可写出数列 的通项公式. 32 【解析】由等比数列的性质知 ， 由题可知 ②， 联立,解得或 （注意根据数列的单调性对求出来的值进行取舍） 当,时，数列 递减，不合题意. 当,时，,已舍去，所以 ，此 时数列 递增，满足条件. 故数列的通项公式为 . . . 33 2 求项或项数 例13（1）在正项等比数列中，,,则 等于( ) A A. B. C.2 D.8 思路点拨 利用条件求出公比，再利用即可求 ; 【解析】设正项等比数列的公比为,则由已知得 ,解得 ， . 34 （2）在等比数列中，已知首项为，末项为，公比为 ，则项数为( ) B A.3 B.4 C.5 D.6 思路点拨 已知首项,公比及末项,代入通项公式即可求项数. 【解析】设项数为,由等比数列的通项公式得,即 , , . 35 3 巧设数列的项 母题 致经典·母题探究 例14 ［教材改编题P160 T5］三个数成等比数列,它们的和为14,积为64,则这三个数 是____________. 2,4,8或8,4,2 36 【解析】 设所求的三个数分别为,,,则,为公比 . 由题设条件， 得 得，即 , 或 . 当时，由②得,从而 ; 当时，由②得,从而 . 因此这三个数为2,4,8或8,4,2. 37 设所求的三个数分别为，，，则, . ,, . 从而解得或 因此这三个数为2,4,8或8,4,2. 设所求的三个数分别为,, , 则, . 又，,解得或 . 这三个数为2,4,8或8,4,2. 38 命题探源 等比数列设项的方法与技巧 本题是对教材第160页【练习】第5题的变式探究.解决已知三个数或四个数成等比数 列的问题的关键是灵活设项.一般地，当三个数成等比数列时，可设为,, ,此时公 比为;当四个数成等比数列时，可设为,,,,此时的公比为 .（注意当四个数 成公比为负数的等比数列时，不可如此设项） . . 39 子题 已知四个数成等比数列，且这四个数的积为16，第二个数与第四个数的积为4，则这 四个数的和为__________. 8或或0 【解析】由题可设这四个数分别为,,,，则 即 所以,故 . 当时,或，则这四个数之和为8或 ； 当时,或，则这四个数分别为2,,2,或,2, ,2，其和为0. 因此满足条件的四个数之和为8或 或0. . . 40 易错警示 该题不能设这四个数分别为,,,,此时公比为 ，这样就限定 了公比的取值范围. 41 等比数列中,,, 的“知三求一”问题 常用的方法是设基本量,，根据条件构造方程组，利用方程思想求解及 ，然后 求解其他的量.有时会考虑使用变形公式（或 ），或者根据 连续奇数项（或偶数项）成等比数列考虑用对称的思想巧设项,从而达到简化运算的 目的.要注意,且要注意 的正负. 42 等比数列性质应用的注意点 解决等比数列的问题时，通常先考虑等比数列的性质，用性质可以起到简化运算过 程的作用.若有两项或多项乘积的条件出现，且下标满足 的形式，可以 考虑使用性质;下标满足 形式的，可以考虑使用性质 . 43 【学会了吗丨变式题】 2.已知等比数列满足，，则 的值为( ) B A.2 B.4 C. D.6 【解析】根据等比数列的性质得，，即 ，解 得.又，， . 44 题型3 等比数列性质的应用 例15 (2026·江苏省苏州市吴江区月考)在等比数列中， ， ,则 等于( ) A A. B. C. D. 思路点拨 ,,， 对应的下标成等差数列,故 , ,, 成等比数列，且首项为，公比为 ,从而可求 . 【解析】记,,则，易知数列 为等比数 列，且,公比 , 所以 . 45 名师点评 利用条件构造特殊数列（等差、等比数列）是数列问题的常规解法.这里 利用性质构造等比数列 ,但是要弄清楚所求项是第几项,否则会出错. 46 例16 已知等比数列满足，,2, ，且 ，则当 时， ( ) C A. B. C. D. 【解析】 设等比数列的公比为,由 得 .又，所以 ，所以 . . （等比中项的性质），注意到，所以 利用特殊值法，如令，则 .只有选 项C符合． . . 47 由等比中项的性质，得，注意到，所以 . 于是 . .则 . 48 【学会了吗丨变式题】 3.若等比数列的各项均为正数，且,则 ____, ____. 50 【解析】 为等比数列，且 , , , 由题设可知, 为等差数列，则 . , , . . 49 题型4 等差、等比数列的综合 例17 已知数列是等比数列,其中,且,,成等差数列.则数列 的 通项公式为_ ___________. 思路点拨 注意本题中的数字特征和条件的结构特征，可以将“1”代换成 . 50 【解析】 设等比数列的公比为，由，得 ，从而 ，， ． 因为，，成等差数列，所以 ，即 ， 所以 ． 故 ． 51 设等比数列的公比为，由,得 ，则 ,, . 又,,成等差数列，所以 ， 即，从而 . 故 . 设等比数列的公比为，由,且,1,成等差数列，知 , （1与“形异而值同”）, 成等差数列， 则,即.因为，所以 ，故 . . . . . 52 归纳总结 只要等比数列中,,成等差数列，就恒有 . 53 【学会了吗丨变式题】 4.已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前 项 和，则 的值为( ) D A. B. C.90 D.110 【解析】设等差数列的首项为，公差为.由题意知， , ,是与 的等比中项， ， ， . 54 题型5 构造等比数列求通项公式 1 构造｛ 常数}的新等比数列 例18 在数列中，，，则数列 的通项公式为_________ _______. 55 56 【解析】 令 ，（构造等式，结构上向所证内容靠拢） 即，由题意知， . 又， 数列 是以2为首项，2为公比的等比数列， ，即 . ， ， ， 为等比数列，其中首项为 ，公比 . ，即 ， . . . 57 2 构造指数幂 的新等比数列 例19 已知数列中,,,求数列 的通项公式. 【解析】令 ， 则 .（【懂方法】用待定系数法构造等比数列求解） 由已知条件知，得 ， 所以 . 又 , 所以是首项为，公比为 的等比数列. 于是,故数列的通项公式为 . 58 3 构造多项式 的新等比数列 例20 设数列满足.若 ,求证：存在 ,,为常数，使得数列 是等比数列，并求出数列 的通项公式. 59 【解析】设（要保证两处均为.）（（要保证两处均为.）） 2（系数为2是因为中的系数为2.）， 即 ,即 . 因为 , 所以解得 所以,又，故当 时,数列 是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，故 . . . . . . . 60 4 构造“隔项”的新等比数列 例21 已知数列满足，且，求数列 的通项公式. 【解析】由可得 ， 两式相除可得，所以数列 的奇数项与偶数项均为公比为3的等比数列. 因为，所以 ， 则当为奇数时， ； 当为偶数时， . 所以 61 构造等比数列的常见类型 当已知数列不是等比数列时，往往需要利用待定系数法构造与之相关的等比数列,利 用等比数列的通项公式求出 .常见的有如下类型. （1），可化归为 ，当 0时，数列 }为等比数列，从而把一个非等比数列问题转化为等比 数列问题.也可消去常数项：由， ，两式相减， 得，当时，数列是公比为 的等比 数列,从而转化为等比数列问题.#1.1.1.1 62 （2），可化归为 ，或将递 推关系式两边同除以化为（1）型，或两边同除以 ，运用累加法求通项公 式. （3），可化归为 ， 即（2）型.#1.1.1.3 63 【学会了吗丨变式题】 5.已知数列满足，且，证明 是等比数列 并求 的通项公式. 【答案】由递推关系式得， , 所以 , 而,所以数列是以 为首项，2为公比的等比数列, 所以,故 . 64 题型6 生活实践中的等比数列 例22 新情境 酒精含量 根据我国《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》 规定，车辆驾驶人员每血液中酒精含量在（单位： ）内即为饮酒 驾车， 及以上认定为醉酒驾车．某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量 上升到，此时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时 的速度减 少，为避免出现饮酒驾车，他至少经过小时才能开车，则 的最小整数值为( ) C A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】因为，所以喝酒后驾驶员每血液中酒精含量为 ， 则小时后的血液中酒精含量为，由 ， 解得，所以 的最小整数值为7. 65 高考帮 考试课丨核心素养聚焦 考情揭秘 高考对等比数列的考查往往突出对通项公式内蕴方程的考查以及对等比数列概念的 考查.选择题、填空题和解答题都有呈现，难度中等. 核心素养：逻辑推理（等比数列的证明）、数学运算（列方程（组）求解）等. 66 考向1 等比数列的通项公式及其应用 例23（1）(2023·全国乙卷)已知为等比数列，,,则 ____. 67 【解析】 设数列的公比为 ， 则由，得.又，且 ，所以可 得 ①. 又 ②， 所以由①②可得， ， 所以 . 设数列的公比为 . 因为，所以 . 又 ， 于是，所以 . 68 （2）(全国乙卷)已知等比数列的前3项和为168，,则 ( ) D A.14 B.12 C.6 D.3 【解析】设等比数列的公比为，由题意可得 即 解得所以 . 69 考向2 等比数列的判定 例24 (全国Ⅱ卷)已知数列和满足，， ， . 70 （1）证明:是等比数列， 是等差数列； 【解析】由题意得 ，（两等式相加） 即 . 又 ， 所以是首项为1，公比为 的等比数列. 由题意得 ，（两等式相减） 即 又 ， 所以 是首项为1，公差为2的等差数列. . . . . 71 （2）求和 的通项公式. 【解析】由（1）知，， . 所以 ， . 72 73 考向3 等比数列与等差数列的综合 例25 (2025·北京)已知是公差不为0的等差数列，，若,, 成等比数 列，则 ( ) C A. B. C.16 D.18 【解析】设等差数列的公差为 ， 因为,,成等比数列，且，所以 ， 即 ， 解得或 （舍去）， 所以 . 74 例26 (2025·上海)已知数列,满足, .设 若对任意，长为,, 的线段均能构成三角形，则 满足条件的 有( ) B A.1个 B.3个 C.4个 D.无穷个 75 【解析】因为,,,所以, ，且二者等号不 同时成立，所以,所以只需考虑 为多少时 对都成立.（只需令小于 的最小值） 当时,,，（因为 ,所以当 时，取最小值；当时，取最大值 ） 所以只需,即,即, 取4，5时满足. 当或时，,,所以只需 ， 即,即, 取6时满足. 综上，满足条件的 有3个. . . . . . . 76 例27 (2022·新高考全国Ⅱ卷)已知是等差数列， 是公比为2的等比数列，且 . （1）证明： ; 【解析】设等差数列的公差为 ， 由得，即 ， 由得，即 ， 将代入，得，即 . 77 （2）求集合, 中元素的个数. 【解析】由（1）知 ， ， 由得 ， 由得 ， 由题知，所以，所以,3，4， ,10，共9个数，即 集合，,3，4， , 中元素的个数为9. 78 高考新题型专练 1.[多选题](2026·安徽省阜阳市第三中学检测)若 为等比数列，则下列数列中是等 比数列的是( ) ABC A. B. C. D.{ 【解析】由于为等比数列，所以 （常数）. 对于A, （常数），故A正确； 对于B, （常数），故B正确； 对于C, （常数），故C正确； 对于D,（常数），故为等差数列，故D错误．故选． 79 2.新考法 结构不良 在，,②公差为2，且，， 成等比数列, 这三个 条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答． 问题：已知数列为公差不为零的等差数列，其前项和为 ，____． （1）求数列 的通项公式； （2）令，其中表示不超过的最大整数，求 的值． 80 【答案】选①. （1）设的公差为,则，由已知可得 解得 所以数列的通项公式为 . （2）由知 所以 . 81 选②. （1）因为，, , 由题意得,即，解得 ， 所以数列的通项公式为 . （2）由知 所以 . 82 选③. （1）当时，，当时， ，符合 ，所以数列的通项公式为 . （2）由知 所以 ． 83 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间：20分钟 1.已知等比数列中，,,则 ( ) A A. B. C. D.2 【解析】 设数列的公比为，则，则，即 ，从而 ，所以 . 由等比数列的性质得，又与,同号，所以 . 84 图4.3.1-1 2.新情境 视力表 (2026·北京市铁路第二中学月考)标准对数视力 表（如图4.3.1-1）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方 式，此表中各行均为“ ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始 往上，每一行“”的“边长”都是下方一行“”“边长”的 倍，若 视力4.2的视标“边长”为 ，则视力5.1的视标“边长”为( ) A A. B. C. D. 85 【解析】由题意可得，设视力4.2的视标“边长”为首项，则公比 ，视力5.1 的视标“边长”为 ， 故，即 . 86 3.在正项等比数列中，如果 ，则 ( ) C A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】是等比数列， ， ， ， ． 87 4.各项均为正数的等比数列中，若 ，则下列结论中正确的是( ) A A.数列是常数列 B.数列 是递减数列 C.数列是递增数列 D.数列 是摆动数列或常数列 【解析】由得.设数列的公比为, ，（各项均为正 数） 则，即,,则，从而 ，数列 是常数列. . . 88 5.[多选题]已知, 是项数相同的等比数列，则下列数列中为等比数列的是 ( ) AD A. B. C. D. 【解析】设数列,的公比分别为, . 对于A，，故 是等比数列； 对于B，令，则数列为3,,, ,而，故 不是等比数列； 对于C，数列的项可能为零，故 不一定是等比数列； 对于D，，故 是等比数列. 89 6.等比数列的各项均为正数，且,则 的值为___. 6 【解析】由于 ,且 ，故 . 7.已知数列是公差不为0的等差数列，且，，为等比数列 的连续三项， 则 __. 【解析】由题意得，可得，即 ．设 数列的公比为,则，则 ． 90 8.已知数列满足,且, . （1）求证: }是等比数列; 【答案】由已知得 . 因为,所以 , 所以}是以为首项， 为公比的等比数列. （2）求数列 的通项公式. 【答案】由（1）知，}是以为首项， 为公比的等比数列，所以 ,所以 . 91 B 综合练丨高考模拟 建议时间：30分钟 9.新情境 三分损益法 音乐与数学有着密切的联系，我国古代有个著名的“三分损益 法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的 ，得到“徵”；“徵”经过 一次“益”，频率变为原来的 ，得到“商”；……．依次损益交替变化，获得了“宫、徵、 商、羽、角”五个音阶．据此可推得( ) A A.“宫、商、角”的频率成等比数列 B.“宫、徵、商”的频率成等比数列 C.“商、羽、角”的频率成等比数列 D.“徵、商、羽”的频率成等比数列 92 【解析】设“宫”的频率为，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率为 ，“徵”经过 一次“益”，可得“商”的频率为，“商”经过一次“损”，可得“羽”的频率为 ，最后 “羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是由于，， 成等比数列，所以“宫、 商、角”的频率成等比数列． 93 10.已知正项等比数列满足，.若存在两项， 使得 ，则 的最小值为( ) C A. B. C. D. 【解析】，， . ，， ， ，，， . ，， ， . ，当且仅当 ，即， 时取等号. 94 11.新定义 保等比数列函数［多选题］定义在上的函数 ，如果 对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称 为“保等比数列函 数”.现有定义在 上的如下函数，其中是“保等比数列函数”的是 ( ) AC A. B. C. D. 95 【解析】设数列的公比为 . 对于A， ，是常数，故A符合“保等比数列函数”的定义； 对于B，，当公比 时，上式结果 不是常数，故B不符合“保等比数列函数”的定义； 对于C， ，是常数，故C符合“保等比数列函数”的定 义； 对于D，，当公比 时，上式结果不是常数， 故D不符合“保等比数列函数”的定义. . . . . 96 12.[开放题]若一个数列的通项公式为___________________，则数列 具有性 质: ; 为递减数列. （答案不唯一） 【解析】当数列为等比数列时,,, ,因 为,所以,所以 . 因为,,所以,又因为为递减数列,所以当, 时符合 题意,可取,,此时 （答案不唯一）. 97 13.设数列的首项，且记 ， ,2,3， . （1）求， ； 【答案】， . 98 （2）判断数列 是否为等比数列，并证明你的结论. 【答案】因为 ， 所以 ， 所以，， . 猜想：数列是公比为 的等比数列. 证明如下： 因为 ， 又，所以，所以 ， 所以数列是首项为，公比为 的等比数列. 99 14.新考法 结构不良 设数列的前项和为, ，____. 条件①:数列为等比数列，数列 也为等比数列； 条件②：点在直线 上； 条件③： . 试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下面两问的解答. （1）求数列 的通项公式； 100 【答案】方案一：选择条件①.因为数列 为等比数列，所以 ,即 . 设等比数列的公比为，因为 , 所以,解得或 （舍去）， 所以 . 101 方案二：选择条件②. 因为点在直线 上， 所以,所以 , 两式相减得,即 . 因为, , 所以 ，适合上式， 所以数列 是首项为1，公比为2的等比数列， 所以 . 102 方案三：选择条件③. 因为 , 所以 , 所以 , （ⅰ）得,即 , 当时，, ,适合上式. 所以数列 是首项为1,公比为2的等比数列， 所以 . 103 （2）设,求数列的前项和 . 【答案】方案一：选择条件①.由（1）得 , 所以 , 所以 . 方案二：选择条件②. 同方案一的（2）. 方案三：选择条件③. 同方案一的（2）. 104 C 培优练丨能力提升 15.(2025· 八省联考)已知数列中，, . （1）证明：数列 ｝为等比数列； 【答案】由得 ，则 ，（【懂方法】由所要证明的结论，去转化已知式 的形式，“由果索因”，逐步完成证明过程） 所以数列｝是首项为，公比为 的等比数列. （2）求 的通项公式； 【答案】由（1）得 , 解得 . . . . . . . 105 （3）令，证明: ． 【答案】 . 106 令， ，（构造函数，借助函数的单调性证明不等式成 立） 因为在 上单调递增， 则 ， 所以数列｛｝为递减数列，从而数列为递增数列，故得 . 又,所以,所以,所以 ,所以 ， 综上 . . . 107 $