精品解析：江苏苏州市平江中学校2026-2027学年八年级上学期数学当堂练习

数学当堂练习 一、选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（    ） A. 9，6，15 B. 8，10，20 C. 14，7，6 D. 3，4，5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边．验证每组数中较小两边之和是否大于最大边即可． 【详解】A．9 + 6 = 15，故不能摆成三角形，不符合题意； B．，故不能摆成三角形，不符合题意； C．，故不能摆成三角形，不符合题意； D．，能摆成三角形，不符合题意； 故选：D． 2. 我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：在和中， ， ， 故选：D． 3. 下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式分解因式 根据完全平方公式，形如的多项式可分解为．需逐一验证各选项是否符合该形式． 【详解】解：A：，符合完全平方公式分解因式； B：仅有两项，无法构成完全平方公式所需的三项式； C：仅有两项，无法构成完全平方公式所需的三项式； D：仅有两项，无法构成完全平方公式所需的三项式； 故选：A． 4. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，对各选项逐一进行因式分解验证，判断是否彻底且正确即可． 【详解】解：选项A： 应使用平方差公式 ，分解为 ，但选项写为 ，错误． 选项B： 符合完全平方公式 ，分解为 ，正确． 选项C： 提公因式后为 ，但 可继续分解为 ，未彻底分解，错误． 选项D： 展开 得 ，与左边符号不符，错误． 5. 小明利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用图形法进行因式分解，解题的关键是数形结合，用两种方法表示大长方形的面积． 用两种方法表示大长方形的面积即可得出答案． 【详解】解：根据题图可得大长方形是由2个边长为b的正方形，3个长为b宽为a的长方形和1个边长为a的正方形组成， ∴大长方形的面积为， 另外大长方形可以看作一般长为宽为的长方形组成， ∴大长方形的面积为， ∴可以得到一个因式分解的等式为，故D正确． 故选：D． 6. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝8cm，且△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为( ) A. 15cm B. 18cm C. 22cm D. 25cm 【答案】C 【解析】 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，再根据三角形的周长公式计算即可. 【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC， ∵△ABD的周长为14cm，∴AB+BD+AD＝14cm， ∴AB+BD+CD＝14cm，即AB+BC＝14cm， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝22cm， 故选C. 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和三角形周长的计算，属于常考题型，熟练掌握线段垂直平分线的性质是关键. 7. 已知，，则整式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：，， ， ， 故选：C． 8. 如图，在中，，将沿折叠，使点B落在边上的点F处，若，且为等腰三角形，则的度数为（    ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质及与折叠有关的三角形的内角和问题，等边对等角．解题的关键是理清角度之间的等量关系． 分、、三种情况，根据折叠的性质及等腰三角形的性质计算即可． 【详解】解：当时，， ， ， ∵， ， ， 当时，， ∵， 则， ， 当时，， 则， ∴， ∴， ∴，即点F与C重合，不符合题意； 综上所述，或， 故选：． 二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 对多项式进行因式分解，可以提取的公因式为________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出多项式各项系数的最大公约数，以及各项相同字母的最低次幂，两者相乘即可得到公因式． 【详解】解：多项式中，两项系数和的最大公约数为，两项共有的相同字母为，的最低次数为， 公因式为 10. 如图，在中，是斜边上的中线，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可． 【详解】∵是直角三角形，是斜边上的中线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，解题的关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 11. 等腰三角形的两边长分别是6和10，则该三角形的周长是____________． 【答案】22或26 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据等腰三角形的两边长分别是6和10，进行分类讨论，如果满足三边关系，则计算周长，即可作答． 【详解】解：∵等腰三角形的两边长分别是6和10， ∴当腰长为6时，三边分别是 则， ∴， ∴当腰长为10时，三边分别是 则， ∴， 故答案为：22或26． 12. 若二次三项式能用完全平方公式分解因式，则m的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方式的特点进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了用完全平方公式因式分解．熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键． 13. 若，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解及代数式的值，熟练掌握因式分解是解题的关键；将所求代数式因式分解后，代入已知条件计算即可． 【详解】解：由已知，， ∴， 故答案为：． 14. 若二次三项式可分解为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将分解后的整式展开，根据两个多项式相等则对应项系数相等，列方程求出和的值，再计算． 【详解】解：先展开，得： ， 二次三项式可分解为， 对应项系数相等，可得，， 解得， 将代入，得， 解得， ． 15. 如图，在中，，平分，E是的中点，若，，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形中线的性质，过D作于H，根据角平分线的性质求出，然后计算的面积，最后根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：过D作于H， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 故答案为：1． 16. 如图，点E在等边的边上，，射线于点B，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】由等边三角形的性质可得，，作点关于射线的对称点，过点作于点，交于点，由轴对称的性质可得，，则，由垂线段最短可得，当时，的值最小，求出，从而可得，计算出，即可得出结果． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， 如图，作点关于射线的对称点，过点作于点，交于点， 由轴对称的性质可得，， ∴， 由垂线段最短可得，当时，的值最小， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题：（本题共52分） 17. 因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【解析】 【分析】（1）提取公因式即可； （2）利用平方差公式分解因式即可； （3）先提取公因式，再根据完全平方公式计算即可得出结果； （4）根据十字相乘法分解因式即可； （5）利用完全平方公式分解因式即可； （6）利用平方差公式和完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ； 【小问5详解】 解： ； 【小问6详解】 解： ． 18. 如图，点、在上，且．求证：． 【答案】 证明：∵ ∴ 在中， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据平行线的性质得出，进而即可证明． 【详解】略 19. 已知四边形ABCD，AC是四边形ABCD的对角线，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图①，在对角线AC上求作一点M，使BM＝CM； （2）如图②，AB＝CD，在对角线AC上求作一点N，使△ABN和△CDN的面积相等． 【答案】（1） 点M即为所求； （2） 如图，点N即为所求． 【解析】 【分析】(1)作BC的垂直平分线交AC于M点，根据线段垂直平分线的性质可判断M点满足条件； (2)延长BA、CD，它们相交于点P，再作∠BPC的平分线交AC于N，利用角平分线的性质得到N点到AB和CD的距离相等，则根据三角形面积公式得到△ABN和△CDN的面积相等． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图，角平分线的作图，正确理解线段垂直平分线的性质及角平分线的性质是解题的关键． 20. 如图，在中，，于点D． （1）若，求的度数； （2）若点E在边上，交的延长线于点F，求证：为等腰三角形． 【答案】（1） （2）证明：， ； 由（1）得，， ， ， 是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）由，则，根据，然后通过等腰三角形的“三线合一”性质即可求解； （2）根据，得，然后由（1）得，，所以，最后通过等腰三角形的判定即可得证． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 21. 阅读与思考：“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式．巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例如： （1）【深入研究】试说明多项式的值总是一个正数； （2）【拓展运用】已知a，b，c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明： ， ∵， ∴， ∴多项式的值总是一个正数． （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， 即， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）将多项式配成完全平方+常数的形式，利用平方的非负性即可求证； （2）将分成分别配方即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证明，则，（即点为的中点）． （1）【类比解答】如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得________． 【拓展延伸】 （2）如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （3）如图4，中，，，点D在线段BC上，，，垂足为E，与相交于点．线段与的数量关系为________．（直接写出） 【答案】（1） （2）解：，理由如下： 如图，延长与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， 由问题情境可知：， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）延长交于点，由问题情境可知：，得到，再利用三角形外角的性质即可求解； （2）延长与交于点，利用证明，得到，由问题情境可知：，则有，即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，交于点，同理（2）中的方法可证，得到，由问题情境可知：，则有，即可得出结论． 【小问1详解】 解：延长交于点， 由问题情境可知：， ∴， ∵ ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，理由如下， 如图，过点作，交的延长线于点，交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理（2）中的方法可得， ∴， 由问题情境可知：， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学当堂练习 一、选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（    ） A. 9，6，15 B. 8，10，20 C. 14，7，6 D. 3，4，5 2. 我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（ ） A. B. C. D. 3. 下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 小明利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝8cm，且△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为( ) A. 15cm B. 18cm C. 22cm D. 25cm 7. 已知，，则整式的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将沿折叠，使点B落在边上的点F处，若，且为等腰三角形，则的度数为（    ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 对多项式进行因式分解，可以提取的公因式为________． 10. 如图，在中，是斜边上的中线，若，则_______． 11. 等腰三角形的两边长分别是6和10，则该三角形的周长是____________． 12. 若二次三项式能用完全平方公式分解因式，则m的值为___________． 13. 若，，则的值是______． 14. 若二次三项式可分解为，则的值为________． 15. 如图，在中，，平分，E是的中点，若，，则________． 16. 如图，点E在等边的边上，，射线于点B，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为________． 三、解答题：（本题共52分） 17. 因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 18. 如图，点、在上，且．求证：． 19. 已知四边形ABCD，AC是四边形ABCD的对角线，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图①，在对角线AC上求作一点M，使BM＝CM； （2）如图②，AB＝CD，在对角线AC上求作一点N，使△ABN和△CDN的面积相等． 20. 如图，在中，，于点D． （1）若，求的度数； （2）若点E在边上，交的延长线于点F，求证：为等腰三角形． 21. 阅读与思考：“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式．巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例如： （1）【深入研究】试说明多项式的值总是一个正数； （2）【拓展运用】已知a，b，c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 22. 【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证明，则，（即点为的中点）． （1）【类比解答】如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得________． 【拓展延伸】 （2）如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （3）如图4，中，，，点D在线段BC上，，，垂足为E，与相交于点．线段与的数量关系为________．（直接写出） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $