精品解析：江苏省苏州市苏州高新区第一初级中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

八年级数学 （满分：100分 考试时间：120分钟） 一．选择题（16分） 1. 下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 2，4，5 D. 6，8，10 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，首先勾股数要满足都是正整数，其次勾股数中两较小的数的平方和等于最大数的平方，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴1，2，3不是勾股定理，故此选项不符合题意； B、∵， ∴4，2，3不是勾股定理，故此选项不符合题意； C、∵， ∴2，4，5不是勾股定理，故此选项不符合题意； D、∵， ∴6，8，10是勾股定理，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 下列根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、被开方数含分母，故A不符合题意； B、被开方数含分母，故B不符合题意； C、被开方数含能开得尽方的因数，故C不符合题意； D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D符合题意， 故选：D． 3. 下列各式从左到右的变形为因式分解的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法因式分解即可． 根据提取公因式法和公式法逐项判断即可． 【详解】解：A. ，故该选项错误，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. 属于整式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意； D. ，结果不是积的形式，故该选项不符合题意． 故选B． 4. 在中，对边是，哪个条件不能判断是直角三角形（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，故是直角三角形，不符合题意； B、∵， ∴，故是直角三角形，不符合题意； C、∵， ∴，故不是直角三角形，符合题意； D、，故是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 5. 下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质对各选项进行判断即可求解，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、，该选项从左到右的变形不正确； ．，该选项从左到右的变形不正确； ．，该选项从左到右的变形正确； ．当时，无意义，该选项从左到右的变形不正确； 故选：． 6. 已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数轴，二次根式的性质，绝对值的性质； 先根据数轴判断出，，，再利用二次根式和绝对值的性质进行化简． 【详解】解：由数轴得：，， ∴，，， ∴原式， 故选：B． 7. 如图为等边与正方形的重叠情形，其中、两点分别在、上，且，若，，则的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，正方形的性质，含30度角的直角三角形，过点作，证明为等边三角形，根据含30度角直角三角形的性质，求出的长，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：过点作， ∵等边， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的面积为； 故选D． 8. 我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，斜边的长为，作三个边长分别为a，b，c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A，C，E三点在一条直线上．若，四边形与面积之和为37，则正方形的面积为（ ） A. 100 B. 63 C. 58 D. 56 【答案】C 【解析】 【分析】作于点，根据四边形、四边形、四边形都是正方形，得，，证明，由题意得，证明，再证明，得出，根据，通过计算可得． 【详解】解：如图，作于点，则， 四边形、四边形、四边形都是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由得， ， ， 故答案为：58． 【点睛】此题重点考查勾股定理的证明、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、乘法公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 二．填空题（16分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的有意义的条件，分式有意义的条件，要使分式有意义，分母．要使二次根式有意义，被开方数，解不等式，即可求解．． 【详解】解：依题意，且， 解得：且． 故答案为：且． 10. 若能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的多项式能用完全平方公式进行因式分解， ∴， ∴． 故答案为：． 11. 与最简二次根式是同类二次根式，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，掌握知识点是解题关键．先把化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得到，然后解方程即可． 【详解】解：， 又与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得， 故答案为：． 12. 若，则 ___________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据的值与的关系，再代入所求代数式进行计算即可． 【详解】解：， ，即， 原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式的加减法，熟知分式的加减法则是解答此题的关键． 13. 已知关于x的方程有增根，则常数m的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母为0确定增根；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．先去分母可得，再根据关于的方程有增根，可得，代入计算即可求解． 【详解】解：， 去分母得：，即， ∵关于的方程有增根， ∴， ∴， 将代入， 得， 故答案为：6． 14. 已知，那么可化简为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键，根据题意得到，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵，且有意义， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，一个长方体形状的饮料盒的底面长为，宽为，高为，在它的一角处开一个插吸管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为，则此吸管的总长度为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理进行解答即可． 【详解】解：吸管在盒内长度为， 总长度． 16. 如图，在矩形纸片中，，，是的中点，是边上的一个动点（点 不与点  重合）．将 沿所在直线翻折，点的对应点为，连接．当是等腰三角形时，的长为 ____ ． 【答案】或1或 【解析】 【分析】分三种情况：当时，连接，勾股定理求得的长，可判断点三点共线，根据勾股定理即可得到结论；当时，证明四边形是正方形，于是得到结论；当时，连接，证明点三点共线，再用勾股定理可得答案． 【详解】解：①当时，连接，如图， 四边形是矩形， ． 是的中点， ． 在中， ， ， ． ， ． 将 沿所在直线翻折， ． ， ， 点三点共线． ， ． 设，则，， 在中， ， 即， 解得， ； ②当时，如图， ， 点在线段的垂直平分线上， 四边形是矩形， ， 点在线段的垂直平分线上， 是的中点， 是的垂直平分线， ， 将 沿所在直线翻折，得到， ，， 四边形是正方形， ； ③当时，连接，如图， 四边形是矩形， ，， 是的中点，， ． 在中， ， 即， ． 将 沿所在直线翻折，得到， ． ， ， ， 点三点共线． 将 沿所在直线翻折，得到，且， ，． 设，则，， 在中，， 在中，， ， 即， 解得， ． 综上所述，的长为或1或． 故答案为：或1或． 【点睛】本题考查矩形中的翻折问题，涉及矩形的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键． 三．解答题（68分） 17. 因式分解： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟记、乘法公式是解答的关键． （1）先提公因式2，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提公因式b，再利用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答的关键． （1）先利用二次根式的性质化简，再加减运算即可； （2）先计算括号的加减，再乘法，然后加减运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 按要求完成下列计算： （1）化简 （2）解方程：． 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【分析】（1）先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简 （2）方程两边同乘，化为整式方程，解方程，并检验，即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：方程两边同乘得： 展开得： 移项合并得：， 解得 检验：当时， ， 故是增根，原方程无解 20. 先化简，再求值：，其中 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： 当时，原式 21. 如图，在钝角中，． （1）尺规作图：在边上确定一点D，使得（保留作图痕迹，标注相应字母，不写作法）； （2）在（1）的基础上，若，求的度数． 【答案】（1） 解：如图，点D即为所求； （2） 【解析】 【分析】此题考查线段垂直平分线的作法，等边对等角，三角形内角和定理， （1）作线段的垂直平分线交于点D即可； （2）根据等边对等角推出，，，再根据三角形内角和定理求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 22. 如图，在矩形中，，，将沿对角线翻折，点C落在点处，交于点E （1）求证：是等腰三角形． （2）求线段的长． 【答案】（1） 证明：在矩形中，，， 由折叠性质得 因为，所以，故 ∴，即是等腰三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质以及折叠的性质，证明，得出，即可得证； （2）设，则，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则 在中， 即 展开得： 解得： 所以线段的长为 23. 某校积极发展航模特色社团，为了让航模小组能更好地完成无人机的训练、参赛任务，现需购买A、B两种新款无人机模型，已知A型无人机模型的单价比B型贵800元；用12000元购买A型无人机模型的数量与用8000元购买B型无人机模型的数量相同． （1）求A型和B型无人机模型的单价各是多少元？ （2）若航模小组购买A、B两种新款无人机模型共10台，共用资金20000元，求航模小组购买A型无人机模型的数量． 【答案】（1）型无人机模型的单价是2400元，型无人机模型的单价是1600元 （2）航模小组购买型无人机模型的数量是5台 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，理解题意，正确列出分式方程和一元一次方程是解此题的关键． （1）设型无人机模型的单价是元，则型无人机模型的单价是元，根据题意列出分式方程，解方程即可得解； （2）设航模小组购买A型无人机模型的数量为台，则航模小组购买型无人机模型的数量为台，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解． 【小问1详解】 解：设型无人机模型的单价是元，则型无人机模型的单价是元， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）， 故型无人机模型的单价是2400元，型无人机模型的单价是1600元； 【小问2详解】 解：设航模小组购买A型无人机模型的数量为台，则航模小组购买型无人机模型的数量为台， 由题意可得：， 解得：， ∴航模小组购买型无人机模型的数量是5台． 24. 如图所示，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连接． （1）求证：； （2）若，，，求． 【答案】（1） 证明：∵E为中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明得到，据此可证明； （2）证明得到；再由全等三角形的性质得到，据此求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解；∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 25. 在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解： 即 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令 则， ． 根据材料回答问题： （1）已知，求的值． （2）已知，求的值 （3）已知为实数，，求分式的值． 【答案】（1）23 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式及分式的通分和约分，熟练掌握完全平方公式及分式的通分与约分是解题的关键； （1）由题意易得，即，进而根据完全平方公式可进行求解； （2）由题意可设，然后代入求解即可； （3）利用倒数法、分式的约分法则计算求出，把原式变形代入计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由可设， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 26. （1）发现：如图1，和均为等边三角形，连结，且点A、D、E在同一直线上，连结，发现．请证明． （2）拓展：如图2，和均为等腰直角三角形，，，，且点A、D、E在同一直线上，若，，求的长度． （3）应用：如图3，P为等边三角形内一点，且，，，，，求的长． 【答案】 （1）证明：和均为等边三角形， ， ， 即， 在和中， ； （2）的长为； （3）的长为． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点并灵活运用． （1）根据等边三角形的性质，进而通过证明； （2）先证明，再通过勾股定理即可得解； （3）把绕点逆时针旋转得，连接，则，进而证明，再通过勾股定理即可得解． 【详解】解：（1）略 （2）， 即， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在中， ， 的长为； （3）把绕点逆时针旋转得，连接，如图所示， ， 则， ，， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 即D、P、E在同一条直线上， ， 在中， ， 的长为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 （满分：100分 考试时间：120分钟） 一．选择题（16分） 1. 下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 2，4，5 D. 6，8，10 2. 下列根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右的变形为因式分解的是( ) A. B. C. D. 4. 在中，对边是，哪个条件不能判断是直角三角形（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简（ ） A. B. C. D. 7. 如图为等边与正方形的重叠情形，其中、两点分别在、上，且，若，，则的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 8. 我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，斜边的长为，作三个边长分别为a，b，c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A，C，E三点在一条直线上．若，四边形与面积之和为37，则正方形的面积为（ ） A. 100 B. 63 C. 58 D. 56 二．填空题（16分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 10. 若能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为______． 11. 与最简二次根式是同类二次根式，则__________． 12. 若，则 ___________ ． 13. 已知关于x的方程有增根，则常数m的值为______． 14. 已知，那么可化简为_________． 15. 如图，一个长方体形状的饮料盒的底面长为，宽为，高为，在它的一角处开一个插吸管的小孔，将一根吸管最大限度插入盒中，露在外面的长度为，则此吸管的总长度为____________． 16. 如图，在矩形纸片中，，，是的中点，是边上的一个动点（点 不与点  重合）．将 沿所在直线翻折，点的对应点为，连接．当是等腰三角形时，的长为 ____ ． 三．解答题（68分） 17. 因式分解： （1）． （2）． 18. 计算： （1）． （2）． 19. 按要求完成下列计算： （1）化简 （2）解方程：． 20. 先化简，再求值：，其中 21. 如图，在钝角中，． （1）尺规作图：在边上确定一点D，使得（保留作图痕迹，标注相应字母，不写作法）； （2）在（1）的基础上，若，求的度数． 22. 如图，在矩形中，，，将沿对角线翻折，点C落在点处，交于点E （1）求证：是等腰三角形． （2）求线段的长． 23. 某校积极发展航模特色社团，为了让航模小组能更好地完成无人机的训练、参赛任务，现需购买A、B两种新款无人机模型，已知A型无人机模型的单价比B型贵800元；用12000元购买A型无人机模型的数量与用8000元购买B型无人机模型的数量相同． （1）求A型和B型无人机模型的单价各是多少元？ （2）若航模小组购买A、B两种新款无人机模型共10台，共用资金20000元，求航模小组购买A型无人机模型的数量． 24. 如图所示，在中，D为上一点，E为中点，连接并延长至点F，使得，连接． （1）求证：； （2）若，，，求． 25. 在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：若，求代数式的值． 解： 即 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令 则， ． 根据材料回答问题： （1）已知，求的值． （2）已知，求的值 （3）已知为实数，，求分式的值． 26. （1）发现：如图1，和均为等边三角形，连结，且点A、D、E在同一直线上，连结，发现．请证明． （2）拓展：如图2，和均为等腰直角三角形，，，，且点A、D、E在同一直线上，若，，求的长度． （3）应用：如图3，P为等边三角形内一点，且，，，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $