第三章 函数的概念与性质 单元测试--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 第三章 函数的概念与性质 注意事项： 1．测试范围：高一数学人教A版必修第一册第三章。 2．考试时间：120分钟 试卷满分：150分。 1、 单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．已知函数则（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以. 2．定义符号函数，设函数，其中，.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对不等式分类讨论，即，分别求出，然后由解不等式即可. 【详解】①当时，； ②当时，； ③当时，； 综上所述，，其图象如图所示： 结合图象，由可得， 当时，可得，解得； 当时，，不满足题意； 当时，可得，解得； 综上所得，实数的取值范围是. 3．已知定义在上的奇函数满足，，则（    ） A．0 B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】根据所给函数性质求出函数周期即可得解. 【详解】因为定义在上的奇函数满足， 所以， 所以，即函数周期为， 所以. 4．函数的图象如图所示，其右侧部分与轴正半轴无限接近，但永不相交．下列的取值中，只有唯一的值与之对应的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图象可知，当时，函数的图象与直线的交点有且仅有一个. 即时，只有唯一的值与之对应. 5．记，已知 ，则的最小值为（   ） A．4 B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】因为，所以， 等号成立时， 因为，等号成立时， 故的最小值为 6．定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用题意可得当时，；当时，；进而分类讨论可解不等式. 【详解】由是定义在上的奇函数，在上单调递增，且， 可知，当时，； 当时，； 由，得或， 解得或， 所以不等式的解集为. 7．已知定义在上的函数满足，，当时，，则（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【分析】先由函数的奇偶性和对称性推导周期，再利用周期性将转化为已知区间内的函数值计算． 【详解】由，得是定义域为的奇函数， 由，得的图像关于直线对称， 将替换为，可得， 结合奇函数性质，得， 再将替换为，得， 因此是周期为4的周期函数， 又，故， 由奇函数性质得， 因为时，，则， 所以，即． 8．设函数，，且有最大值，无最小值，则（    ） A．有最大值，且最大值为最大值的 B．有最大值，且最大值为最大值的 C．有最小值，且最小值为最大值的 D．有最小值，且最小值为最大值的 【答案】C 【分析】通过化简可得，，然后研究函数与函数的定义域和值域的关系即可得出答案． 【详解】易知的定义域为， 则， ， 令，则，，代入得， ，则， 由，得，所以与的值域相同， 已知有最大值，无最小值，不妨设最大值为，则，则， 所以，即． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。） 9．（多选）下列命题是真命题的是（     ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，， 【答案】BD 【分析】选项 A，举反例求解；选项 B，根据不等式同向可加性求解； 选项 C，举反例求解；选项 D：根据幂函数在上是单调递增求解. 【详解】选项 A，因为，取 ，，结论不成立，故选项A错误； 选项 B，因为，， 所以，解得，即，故选项B正确； 选项 C，因为， 取 ，， 所以，，则，结论不成立，故选项C错误； 选项 D，因为，所以，， 当，幂函数在上是单调递增， 所以 ，结论恒成立，故选项D正确. 10．（多选）已知为定义在上的函数，对任意的，都有，并且当时，有，则（     ） A． B．若，则 C．在上为增函数 D．若，且，则实数a的取值范围为 【答案】ACD 【分析】通过取特值的方法判断ABC三个选项，结合函数单调性的性质，解不等式判断D选项. 【详解】选项A：令，，或， 当时，任取，与矛盾，，A正确. 选项B：令，，， 当时，，B错误. 选项C：任取，令，，. ，，令， ，与同号， 当时，有，. 又，任取，都有. ，， 函数在上为增函数，C正确. 选项D：由，，. 由，， 由函数在上为增函数，，解不等式得或， 实数a的取值范围为，D正确. 11．（多选）已知偶函数与奇函数的定义域均为，且满足，，则下列关系式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】运用代入法，结合奇函数和偶函数的性质逐一判断即可. 【详解】对于选项A：由，所以本选项关系式一定成立； 对于选项B：由， 由， ，得，本选项关系式一定成立； 对于选项C：因为是定义域为的奇函数，所以， 而，故本选项关系式不成立； 对于选项D：，则，即. ，， ，即， 为偶函数，， ，， 所以，所以本选项关系式一定成立. 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是_________． 【答案】 【详解】作出函数的图象，如图所示. 由图可知函数的单调递增区间为，， 因为函数在区间上单调递增， 所以或，解得或. 所以的取值范围为 . 13．已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则______ 【答案】 【分析】先研究函数的周期性，再根据函数的周期性和奇偶性求�� 的值，进而可得的值． 【详解】因为，所以， 所以，即函数是以4为周期的周期函数． 所以． 令，由得，； 又因为函数为偶函数，所以， 所以． 因为，所以，解得． 所以.所以. 14．若函数的定义域为，且对任意正数，都存在，使得，则称具有性质．将具有性质的函数所构成的集合记为．给出下列四个结论： ①若，，则； ②存在，，使得且； ③若，，且为增函数，则； ④若，，且为奇函数，为偶函数，则． 其中正确结论的序号是________． 【答案】②④ 【分析】对于①：通过构造具体的函数和，验证具有性质即可；对于②：构造合适的函数，分别验证是否具有性质即可；对于③：通过举反例来验证不具有性质；对于④：对于任意正数，由，可得存在，使得，根据的奇偶性利用绝对值不等式，可找到或，使得，从而推出具有性质. 【详解】若函数具有性质，等价于函数的值域包含. 对于①：设；，两函数定义域均为， 结合函数图象可知，对任意正数， 都存在，使得；也都存在，使得； 故. 由，任意，都有. 故对任意正数，都不存在，使得； 所以，故①错误； 对于②：设，两函数定义域、值域均为， 则，，且，的值域包含， 即，，，，故②正确； 对于③：设， 定义域均为，且为增函数， ，. 则，对任意，都有. 对于任意正数，都不存在，使得； 所以，故③错误； 对于④：因为为奇函数，为偶函数，且. 则定义域均为， 对于任意正数，因为，所以存在，使得， 又因为为奇函数，为偶函数，所以. 则对任意正数， 都有 ； 假设且， 则，这与矛盾，故假设错误， 故中至少一个大于， 即对任意正数，存在或，使得. 所以，故④正确. 4、 解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15． （本小题满分13分） （1）求的最大值； （2）求函数的值域； （3）求函数的值域； （4）求函数的最值． 【答案】（1）；（2）；（3） ；（4）最小值是，无最大值 【分析】（1）带两个根号相加求最值，优先平方处理，转化为二次函数求范围，注意定义域约束； （2）含的根式函数，常用换元法把根号换成新变量，转化为二次函数求值域； （3）分式分子分母都是二次多项式，优先分离常数，利用直接分析范围； （4）复杂分式代数式，先拆项化简，构造对勾函数；使用均值不等式时，一定要验证取等条件在定义域内是否可达. 【详解】（1）由得，所以， 因为，当且仅当时取等号， 所以， 所以的最大值为； （2）令，则，则，故即为， 而， 则在上单调递增，在上单调递减， 故的最大值在时取得，即， 故函数的值域为； （3）， 因为，所以，， 则函数的值域为； （4）由， 因为，由基本不等式，当且仅当取等号， 因为，所以，令，则，则有， 因为，所以， 当且仅当，即，即，即时取等，所以函数的最小值为， 当时，，故函数无最大值． 16．（本小题满分15分） 已知二次函数，． (1)若函数的定义域为，求实数的取值范围； (2)若时，当时，求的最大值； (3)解关于的不等式． 【答案】(1)​ (2)​ (3)当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 【分析】（1）将定义域为全体实数转化为被开方数恒非负，再利用二次项系数为正时的判别式条件求参数范围． （2）将分式拆为关于的和式，利用把最值问题转化为两个正数之和的最小值问题． （3）将不等式移项并因式分解，按二次项系数的符号及两个根的大小关系分类讨论． 【详解】（1）由函数的定义域为，得在上恒成立． 因为二次项系数为正，所以其判别式，解得． 所以实数的取值范围为． （2）若，则，所以． 由，得． 因为，所以，从而，由基本不等式得， 所以． 当且仅当，即时，等号成立，且满足． 所以的最大值为． （3）不等式化为，即． 当时，不等式化为，解得，故解集为； 当时，除以，得，因为，所以解得或，故解集为； 当时，除以，不等号方向改变，得． 若，则不等式化为，无解，故解集为； 若，则，解得，故解集为； 若，则，解得，故解集为． 17．（本小题满分15分） 设． (1)若对于，恒成立，求实数m的取值范围； (2)解关于x的不等式； (3)若，对于，成立，求的最大值． 【答案】(1) (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为或. (3) 【分析】（1）对恒成立的不等式变形并分离参数，利用二次函数及不等式的性质求出最小值即可. （2）等价变形给定不等式，再按参数取值情况分类求出解集. （3）利用一次函数、二次函数性质，结合恒成立求出的关系式，再利用不等式性质求出最大值，进而验证即可. 【详解】（1）函数，当时，， ，不等式恒成立，而，则， 所以实数m的取值范围是. （2）不等式， 当时，，，解得； 当时，恒成立，； 当时，，而，不等式恒成立，； 当时，不等式为，解得； 当时，，由，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. （3）不等式 ，依题意，，，不等式恒成立， 由，得函数在上单调递增，则， 即对任意恒成立，令函数， 因此二次函数在上的函数值恒小于等于0，则， 即，于是，当且仅当，即时取等号， 当时，，对任意成立， 所以的最大值为. 18．（本小题满分17分） 已知函数且满足． (1)求的值； (2)用定义判断并证明在上的单调性； (3)命题“存在，使得成立”为真命题，求实数的最大值． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明如下： 任取，且，则． 因为，所以，且，即， 所以，即， 故在上单调递增． (3)2 【分析】(1) 将代入函数解析式，得到关于的方程，解方程即可求出参数的值; (2) 由第一问求得函数解析式，利用单调性定义证明：设，作差并对差式变形，判断差值正负，从而证明函数在上单调递增； (3) 由第二问可知在上单调递增，求得区间上最大值为；将 “存在，使得成立” 转化为，解不等式求出的最大值. 【详解】（1），． 由，得，故． 此时. （2）略. （3）由（2）知在上单调递增，故在上单调递增， 于是在上的最大值为． “存在，使得成立”等价于在上的最大值不小于，即，解得． 所以实数的最大值为2. 19．（本小题满分17分） 已知函数和，定义集合． (1)设，，求； (2)设，，当时，求的取值范围； (3)设，，，若对任意，总存在，满足，求的取值范围． 【答案】(1)​ (2)​ (3)​ 【分析】（1）先确定根式的定义域，再利用平方根函数的单调性解不等式． （2）将化为关于的二次式恒正，按二次项系数及判别式讨论参数． （3）分别求出两个集合对应的开区间，把任意到某个的距离不超过转化为区间端点的覆盖条件，再按与的关系分类． 【详解】（1）由有意义，得． 在此范围内，等价于，所以． 故． （2）由为全体实数，得对任意实数，都有． 当时，二次项系数，上式不可能对任意实数恒成立． 当时，上式化为，满足条件． 当时，二次项系数为正，要使上式对任意实数恒成立，需判别式小于，即，解得． 综上，． （3）设，． 由，得． 又． 当时，； 当时，； 当时，． 当且时，对给定的，存在使的充要条件为． 因此，由为开区间，题设条件等价于，即其左端点不小于、右端点不大于． 当时，且，解得且，所以． 当时，，不满足题意． 当时，必须有，从而，与矛盾． 故． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 第三章 函数的概念与性质 注意事项： 1．测试范围：高一数学人教A版必修第一册第三章。 2．考试时间：120分钟 试卷满分：150分。 1、 单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．已知函数则（      ） A． B． C． D． 2．定义符号函数，设函数，其中，.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知定义在上的奇函数满足，，则（    ） A．0 B．4 C． D．2 4．函数的图象如图所示，其右侧部分与轴正半轴无限接近，但永不相交．下列的取值中，只有唯一的值与之对应的是（      ） A． B． C． D． 5．记，已知 ，则的最小值为（   ） A．4 B． C．2 D．3 6．定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．已知定义在上的函数满足，，当时，，则（    ） A．2 B． C． D．4 8．设函数，，且有最大值，无最小值，则（    ） A．有最大值，且最大值为最大值的 B．有最大值，且最大值为最大值的 C．有最小值，且最小值为最大值的 D．有最小值，且最小值为最大值的 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。） 9．（多选）下列命题是真命题的是（     ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，， 10．（多选）已知为定义在上的函数，对任意的，都有，并且当时，有，则（     ） A． B．若，则 C．在上为增函数 D．若，且，则实数a的取值范围为 11．（多选）已知偶函数与奇函数的定义域均为，且满足，，则下列关系式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是_________． 13．已知函数为偶函数，且满足，且当时，，则______ 14．若函数的定义域为，且对任意正数，都存在，使得，则称具有性质．将具有性质的函数所构成的集合记为．给出下列四个结论： ①若，，则； ②存在，，使得且； ③若，，且为增函数，则； ④若，，且为奇函数，为偶函数，则． 其中正确结论的序号是________． 4、 解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15． （本小题满分13分） （1）求的最大值； （2）求函数的值域； （3）求函数的值域； （4）求函数的最值． 16．（本小题满分15分） 已知二次函数，． (1)若函数的定义域为，求实数的取值范围； (2)若时，当时，求的最大值； (3)解关于的不等式． 17．（本小题满分15分） 设． (1)若对于，恒成立，求实数m的取值范围； (2)解关于x的不等式； (3)若，对于，成立，求的最大值． 18．（本小题满分17分） 已知函数且满足． (1)求的值； (2)用定义判断并证明在上的单调性； (3)命题“存在，使得成立”为真命题，求实数的最大值． 19．（本小题满分17分） 已知函数和，定义集合． (1)设，，求； (2)设，，当时，求的取值范围； (3)设，，，若对任意，总存在，满足，求的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $