第三章 函数的概念与性质单元测试卷（培优）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第三章 函数的概念与性质综合测试卷（培优） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高一上·全国·课后作业）如果幂函数的图象不过原点，则的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】由幂函数定义结合题设幂函数特征可得答案. 【详解】由幂函数的形式为知. 因为其图象不过原点，所以指数. 由得， 所以.故或. 2．（26-27高一上·辽宁·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得在上恒成立. 当时，则不等式可化为，在上恒成立； 当时，由在上恒成立，可得， 解得. 综上可知. 3．（25-26高一上·河南·期末）设函数，若，则（    ） A．0或3 B．2或4 C．0或4 D．3或4 【答案】C 【分析】由得，分，，三种情况求得或，代入分段函数计算即可求解. 【详解】因为函数， 若，则，解得， 当时，， 若，则，解得； 当时，， 若，则，解得或（舍去）； 当时，， 若，则，此时无解， 综上，实数或， 当时，，当时，， 所以或. 故选：C 4．（25-26高一上·全国·专题练习）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】采用换元法求解析式求解即可. 【详解】因为，且， 所以． 故选：D 5．（26-27高一上·天津·期中）已知是定义在上的偶函数，满足，且在上单调递减，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数对称性与偶函数性质转化自变量，再结合单调性比较函数值的大小. 【详解】由，可知函数关于直线对称，即. 因为是定义在上的偶函数，所以. 因为在上单调递减，偶函数的图像关于轴对称，所以在上单调递增， 又，所以，即. 6．（25-26高一上·安徽·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两段函数各自递减，且满足在左段的右端点函数值大于等于右段的左端点函数值，即可求得实数的取值范围. 【详解】依题意，在上单调递减，在上单调递减，且分界点处函数值左边较大， 故， 解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 7．（26-27高一上·江苏·期中）已知函数为上的偶函数，，，都有，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知，可得，构造函数，由其单调性和奇偶性即可求解. 【详解】由题意，，，则， 由，得， 即， 因为，，得， 设，则函数在上单调递增， 又，则， 则不等式，即， 即则，所以， 又函数为定义在上的偶函数， 在上是奇函数， 所以在上是奇函数， 所以函数在上单调递增，且 所以当时，不等式，即， 即.则，所以， 综上不等式的解集为. 8．（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）已知函数的定义域为，且满足：，，；，，.则下列说法中一定正确的是（    ） A．在区间上有最小值 B．在区间上单调递增 C．在区间上有最小值 D．在区间上单调递增 【答案】C 【分析】由，，得，即，，再根据，，，求出的范围,再逐一验证即可. 【详解】因为，，得， 令， 则上式变为对所有非零实数成立， 说明是常数，设(为常数）， 因此得 , 原式时，可得，该式也满足，因此对全体实数成立. 因为，，， 故，整理得， 因为,故，故，所以. 即对称轴. 当时，单调递减，没有最小值，故A错误； 当时，单调递减，故B错误； 当时，因为对称轴，所以有最小值，故C正确； 当时，因为对称轴，当时在单调递减，在单调递增，故D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高一上·全国·课后作业）已知定义域为的函数可表示为 1 2 3 4 则下列结论正确的是（    ） A． B．的值域是 C．的值域是 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据分段函数表格，分层计算复合函数，区分值域是集合还是区间，再逆向求解复合方程对应的的范围，逐一判断选项. 【详解】，A正确；的值域是，B正确，C错误； 因为，所以，所以，所以，D正确. 10．（25-26高三上·广东中山·阶段检测）已知函数是幂函数，对任意，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论可能成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABC 【分析】根据是幂函数可求m为2或，再根据在上单调递增可得m为2，根据即可求出a，b的关系，从而得到答案． 【详解】∵函数是幂函数， ∴或． ∵对任意，且，满足， ∴在上单调递增． 当时，满足题意， 当时，不符合题意， ∴， ∴在上单调递增． ∵的值为负数， ∴． 当时，，故A可能成立； 当时，，故B可能成立； 当时，，故C可能成立； 故选：ABC． 11．（26-27高三上·江西宜春·阶段检测）已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．在上单调递增 【答案】ABD 【分析】令，得到，且，可判定B正确；令，求得，可判定A正确；由，用代换，得到，联立方程组求得恒成立，可判定C错误；由为奇函数，和，求得，进而可判定D正确. 【详解】由题意知：对于任意，都有， 对于B，令，可得左边， 右边， 令，可得，即，可得， 代入上式，可得，整理得，所以B正确； 对于A，令，可得， 即， 由，且，可得， 代入上式得，左边， 右边， 即，所以，所以A正确； 对于C，由，可得， 将上式中替换为，可得， 联立方程组，可得， 整理得， 当时，可得，且， 所以，恒成立， 所以函数为奇函数，不是偶函数，所以C不正确； 对于D，因为函数为奇函数，可得， 由选项A知：，所以，即， 因为，可得，所以， 当时，，且，所以对于任意都成立， 因为函数在上为单调递增函数，所以在上单调递增，所以D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高一上·上海·期末）已知，且，则_____. 【答案】 【分析】根据的表达式求出，从而得到，根据的表达式及的值求出. 【详解】， ， ，， ，， . 故答案为：. 13．（25-26高一上·广东·期中）已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义与对称性求出值，进而求解一元二次不等式. 【详解】根据幂函数的定义，函数的系数必须为1， 因此，，即，解得或. 当时，，是奇函数，图象关于原点对称，符合条件； 当时，，是偶函数，图象关于轴对称，不符合条件. 因此，. 于是，即， 展开并化简：， 得，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 14．（2026高一上·全国·专题练习）不等式的解集是________． 【答案】 【分析】令，将原不等式转化为，构造函数，根据函数单调性解不等式． 【详解】原式可化为， 令，则． 整理得， 因为函数和函数为增函数， 所以为单增函数， 故即， 则，解得，即． 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（26-27高一上·全国·课后作业）画出下列函数的图象并求出其值域： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）通过分离常数把分式函数化成反比例平移型，借助图象平移或对称中心确定函数图象，由渐近线得到值域； （2）分段分别求出各段函数取值范围再取并集，结合函数图像观察纵坐标整体变化得到值域； （3）先画出内层二次函数图像，把轴下方部分沿轴向上翻折，观察翻折后图像纵坐标得到函数值域； （4）先画出函数在轴及右侧部分图像，利用偶函数关于轴对称补全左侧图像，观察图像纵坐标得到值域； （5）去掉绝对值将函数改写为分段函数，画出分段函数图像，依据图像纵坐标范围读出函数的值域. 【详解】（1）法一：，其图象为的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得， 如图所示： 由图可得其值域为； 法二：分离常数，则函数取不到的点即为二四象限反比例函数的对称中心，可直接利用函数对称中心画出反比例函数平移后的图像 （2）的图象如图所示： 由图可得其值域为； （3）先作出的图象，然后保留轴上以及轴上方的部分，将轴下方的图象关于轴翻折到轴上方，得到的图象如图所示： 由图可得其值域为； （4）先作出的图象，然后保留轴上以及轴右侧的部分， 将轴左侧的图象换成与轴右侧的图象关于轴对称的图象， 得到的图象如图所示： 由图可得其值域为； （5）将原解析式中的绝对值去掉，化为分段函数，它的图象如图所示： 由图象得函数的值域为. 16．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知幂函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)若函数，且在的最小值为，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据幂函数的定义和幂函数的奇偶性求解即可； （2）利用二次函数的性质以及分类讨论法，根据函数的最值分析即可. 【详解】（1）由为幂函数，则， 即，解得：或， 当时，，由函数的定义域关于原点对称，且， 此时函数为偶函数，满足题意， 当时，，由函数的定义域关于原点对称，且， 此时函数为奇函数，不满足题意， 综上所述，函数. （2）由（1）知，则函数， 所以函数为开口向上，对称轴为的二次函数， ①当时，在上单调递增， 此时， 又在的最小值为， 所以，解得：，满足题意， ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又在的最小值为， 所以，解得：（舍去）或， ③当时，在上单调递减， 此时， 又在的最小值为， 所以，解得：，不满足题意， 综上所述，的值为或. 17．（25-26高一上·广东汕头·阶段检测）已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)函数在上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2)是偶函数，证明： ，所以函数的定义域为，关于原点对称； 又， 所以函数是偶函数. (3)或 【分析】（1）设幂函数解析式，代入已知点求参数即可； （2）函数为偶函数，根据偶函数的定义证明即可； （3）将转化为二次函数，根据对称轴与区间的位置分类讨论，求不同情况下的最小值，结合区间验证解的合理性即可. 【详解】（1）设函数， 则，得， 所以. （2）略 （3）由（1）知，则，对称轴为直线， 当，即时，在上单调递增，， 解得，满足题意； 当，即时，，解得或（舍去）； 当，即时在上单调递减，， 解得（舍去）. 综上，或. 18．（26-27高三上·湖北荆州·开学考试）已知函数. (1)求函数的解析式； (2)对任意的实数x，都有恒成立，求实数m的取值范围； (3)对任意的实数，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，求出，代入，即可求出函数的解析式； （2）由题意可得恒成立，分和两种情况讨论，求得答案. （3）先化简不等式，再参变分离，根据双勾函数的单调性求出最值，可得实数的取值范围． 【详解】（1）令，则， ∴ ， 即. （2）由题意可得：恒成立， 当 时， ，满足题意.   当 时，若 恒成立，则 解得. 所以实数 的取值范围为. （3）由题意得恒成立， 即恒成立， 又因为，∴恒成立， 令，， 又在为减函数，在为增函数. ∴，∴， 即实数的取值范围为. 19．（25-26高一上·广东河源·阶段检测）已知函数对任意实数恒有，当时，，且. (1)判断的奇偶性并证明； (2)求在区间上的最大值； (3)若对所有的，恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)奇函数，证明如下： 取，则，所以， 取，则， 所以对任意恒成立， 所以为奇函数． (2)； (3) . 【分析】（1）通过对进行赋值，结合奇函数定义即可证明； （2）根据函数单调性的定义，可证明函数在上为减函数，即函数的最大值为，再通过赋值结合函数的奇偶性，即可求解； （3）由题意，对所有的，恒成立，即，根据函数单调性，可得恒成立，再结合一次函数的图像性质即可求解. 【详解】（1）略 （2）任取且，则， 所以，所以， 又为奇函数，所以，所以． 故为上的减函数． 所以在上的最大值为， 因为， 所以， 故在上的最大值为6． （3）因为在上是减函数，所以， 因为，对所有，恒成立． 所以，对所有恒成立， 即，对所有恒成立， 令，则， 即，解得：或． 所以实数的取值范围为． 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质综合测试卷（培优） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（26-27高一上·全国·课后作业）如果幂函数的图象不过原点，则的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 2．（26-27高一上·辽宁·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河南·期末）设函数，若，则（    ） A．0或3 B．2或4 C．0或4 D．3或4 4．（25-26高一上·全国·专题练习）若函数，则（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高一上·天津·期中）已知是定义在上的偶函数，满足，且在上单调递减，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·安徽·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高一上·江苏·期中）已知函数为上的偶函数，，，都有，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）已知函数的定义域为，且满足：，，；，，.则下列说法中一定正确的是（    ） A．在区间上有最小值 B．在区间上单调递增 C．在区间上有最小值 D．在区间上单调递增 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（26-27高一上·全国·课后作业）已知定义域为的函数可表示为 1 2 3 4 则下列结论正确的是（    ） A． B．的值域是 C．的值域是 D．若，则 10．（25-26高三上·广东中山·阶段检测）已知函数是幂函数，对任意，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论可能成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 11．（26-27高三上·江西宜春·阶段检测）已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．在上单调递增 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高一上·上海·期末）已知，且，则_____. 13．（25-26高一上·广东·期中）已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围为___________． 14．（2026高一上·全国·专题练习）不等式的解集是________． 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（26-27高一上·全国·课后作业）画出下列函数的图象并求出其值域： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 16．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）已知幂函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)若函数，且在的最小值为，求的值. 17．（25-26高一上·广东汕头·阶段检测）已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)函数在上的最小值为，求实数的值. 18．（26-27高三上·湖北荆州·开学考试）已知函数. (1)求函数的解析式； (2)对任意的实数x，都有恒成立，求实数m的取值范围； (3)对任意的实数，都有恒成立，求实数的取值范围. 19．（25-26高一上·广东河源·阶段检测）已知函数对任意实数恒有，当时，，且. (1)判断的奇偶性并证明； (2)求在区间上的最大值； (3)若对所有的，恒成立，求实数m的取值范围. 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $