第三章 函数的概念与性质单元卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第3章 函数的概念与性质 单元试卷 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册 一、单选题 1．根据函数定义判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数 ，若实数 ，且 ，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 5．定义在上的函数 满足，则 的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 6．已知函数，在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（      ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若函数，则下列选项中正确的是（   ） A．的值域是 B．是偶函数 C．在区间上是增函数 D．若，则 10．已知函数的定义域为，，则（   ）. A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 11．十九世纪数学家迪利克雷提出了函数，被称为迪利克雷函数，其在现代数学的发展过程中有着重要意义．若函数，则下列实数中属于函数值域的有（    ）． A．3 B．2 C．1 D．0 三、填空题 12．若函数，则________；______. 13．函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ 14．已知函数的最小值为，则实数的取值范围为______． 四、解答题 15．已知全集，集合，，求，，． 16．已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)解不等式 17．求下列函数的值域． (1)； (2)，； (3)； (4). 18．已知函数和都是定义在上的奇函数，，当时， (1)求和的解析式； (2)判断在区间上的单调性并证明； (3)，都有，求的取值范围. 19．已知函数. (1)若函数的值域是，求实数的值； (2)若函数在上单调递减，求实数的取值范围； (3)是否存在实数，使得在上的值域恰好是？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由. 20．函数的定义域，且满足对任意，有：． (1)求，的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)如果，，且在上是增函数，求的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质 单元试卷 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册 一、单选题 1．根据函数定义判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的概念逐一判断即可 【详解】对于A：当时，，且， 当时，，但，故A错误； 对于B：当时，，， 当时，，， 当时，，，故B正确； 对于C：当时，，， 当时，，， 当时，，但，故C错误； 对于D：当时，，，故D错误； 故选：B 2．下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同一函数的定义，分别逐一求解、验证定义域和对应法则是否相同，即可得到结论． 【详解】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数； 对于B中，函数和的定义域都是，对应法则相同，所以是同一个函数； 对于C中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数； 对于D中，函数的定义域为，的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数. 故选：B 3．已知函数 ，若实数 ，且 ，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由，求得，结合分段函数的解析式，代入列出关于的不等式，即可求解. 【详解】由函数，当时，可得， 所以，解得. 故选：C. 4．已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B 【详解】根据幂函数的定义和单调性求的值，分析函数的奇偶性，根据为奇函数可得结果． 【分析】∵函数是幂函数，，解得或， 或， ∵对任意的且，满足， 在上为增函数，则， ，为上单调递增的奇函数， ，， ，故． 故选：B 5．定义在上的函数 满足，则 的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据，想到令得到关于与的方程组，解方程组得到抽象函数的解析式，进而可求函数值. 【详解】因为，① 令，可得.② ①②得，所以.所以. 故选：B. 6．已知函数，在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分段函数的单调性，结合二次函数单调性及分段点处函数值的大小关系，得出关于实数的不等式组，解出实数的取值范围即可. 【详解】由题意，在上单调递减，即在和上单调递减，且， 则，解得.    故选：A. 7．已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称，求出的值.根据偶函数的对称性，得函数的单调性，据此由，可得，求解可得不等式的解集. 【详解】因为函数是偶函数，所以的定义域关于原点对称， 所以，解得. 因为当时，单调递减，即当时，单调递减， 所以当时，单调递增. 所以由，得，即， 所以，所以，所以. 故选：A. 8．已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由、，利用题目所给的函数性质，结合不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，，所以，， 又因为，所以， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ， 故B正确，A错误，且无证据表明CD正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 二、多选题 9．若函数，则下列选项中正确的是（   ） A．的值域是 B．是偶函数 C．在区间上是增函数 D．若，则 【答案】ACD 【分析】作出函数的图象，结合图象判断ABC；根据函数解析式求解判断D. 【详解】作出函数的图象，如图，    由图可知，的值域是，是非奇非偶函数，在区间上是增函数， 故AC正确，B错误； 对于D，当时，由，解得（舍去）； 当时，由，解得（舍去）或， 综上所述，，故D正确. 故选：ACD 10．已知函数的定义域为，，则（   ）. A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】ABC 【分析】应用赋值法判断A,B,应用赋值法结合奇偶性定义判断C,D. 【详解】令，可得，A选项正确； 令，可得,所以，B选项正确； 令，可得,，所以, 函数的定义域为，令，可得，所以是偶函数，C选项正确； 不一定恒为0，所以不是奇函数，D选项错误. 故选：ABC. 11．十九世纪数学家迪利克雷提出了函数，被称为迪利克雷函数，其在现代数学的发展过程中有着重要意义．若函数，则下列实数中属于函数值域的有（    ）． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】ABD 【分析】根据已知条件求出，利用分段函数分段处理及函数值域的定义即可求解 【详解】由题意知：， 所以，，，而无解. 所以，所给实数中属于函数值域的有0,2,3. 三、填空题 12．若函数，则________；______. 【答案】 【分析】利用换元法求解析式，再求的值. 【详解】因为函数， 设，则， 所以， 所以，则. 故答案为：； 13．函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ 【答案】 【分析】先求解函数的定义域，再利用复合函数“同增异减”的单调性规则，结合二次函数的性质确定的取值范围． 【详解】由已知，，解得或，所以函数的定义域为， 令，其对称轴为，结合函数定义域可知， 在上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，要使函数在区间上单调递减， 则函数也要在区间上单调递减，且， 所以，所以 14．已知函数的最小值为，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】当时，利用定义判断函数的单调性求出函数的最小值为；当时，分和两种情况讨论，根据二次函数的性质结合题意可得不等式，两种情况取并集即可求解. 【详解】当时，任取，则， 由于，则，，当时，， 当时，，则函数在区间内单调递减， 在区间上单调递增，则； 当时，的对称轴为， 若，则，符合题意； 若，则， 要使函数最小值为，则，解得：， 综上，的取值范围为． 故答案为： 四、解答题 15．已知全集，集合，，求，，． 【答案】；； 【分析】根据集合的交、并、补的运算，直接求解即可. 【详解】因为全集，集合，， 则，， 所以；；． 16．已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. (1)求函数的解析式； (2)解不等式 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义、奇偶性与单调性，确定的值，即得函数的解析式； （2）利用（1）的函数的奇偶性与单调性将不等式化为，两边取平方后求解一元二次不等式即得. 【详解】（1）因为是幂函数，且在上单调递增， 则且，由解得， 又，所以或3. 又是偶函数，则是偶数， 将或3分别代入，可得或6， 故或； （2）由（1），偶函数在上单调递增， 则由可得，故有， 两边取平方，整理得，解得或， 所以原不等式的解集是. 17．求下列函数的值域． (1)； (2)，； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由可推导得到函数值域； （2）将的取值代入解析式即可求得结果； （3）采用分离常数法可求得函数值域； （4）采用换元法，将问题转化为关于的二次函数的值域求解问题. 【详解】（1），，即，的值域为. （2）当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； ，的值域为. （3）， ，，的值域为. （4）令，则且，， 则当时，，的值域为. 18．已知函数和都是定义在上的奇函数，，当时， (1)求和的解析式； (2)判断在区间上的单调性并证明； (3)，都有，求的取值范围. 【答案】(1)， (2)函数在上单调递减， 任取，，，由， ，，，，， 则 ， ，函数在上单调递减. (3) 【分析】（1）根据函数的奇偶性求函数的解析式. （2）利用函数单调性的定义证明函数在给定区间内的单调性. （3）先利用函数的单调性和奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式，再分离变量，利用函数的单调性求函数的最值即可. 【详解】（1）因为为上的奇函数，所以， 即，所以， 此时，所以为奇函数. 故为所求. 因为是定义在上的奇函数，所以， 当时，， 设，即时，则有， 又是定义在上的奇函数， 所以，即， 则. （2）略 （3），都有， 因为是奇函数，即，即， 利用分段函数及二次函数的性质知为上的增函数， 所以，有恒成立， 即，有恒成立，即 令，显然在上单调递减， 所以，所以， 故的取值范围为. 19．已知函数. (1)若函数的值域是，求实数的值； (2)若函数在上单调递减，求实数的取值范围； (3)是否存在实数，使得在上的值域恰好是？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)0或4 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据二次函数的性质即可根据判别式求解， （2）根据二次函数的单调性即可求解， （3）根据根据对称轴与所给区间的关系，分类讨论函数的单调性，即可根据最值求解. 【详解】（1）函数，值域是， 且二次函数图象是抛物线，开口向下， 有且只有一个值， 即， 解得或； 的值为0或4. （2）函数图象是抛物线，开口向下，对称轴是； 要使在上是单调递减的，应满足； 的取值范围是. （3）当，即时，在上是减函数， 若存在实数，使在上的值域是， 则有，即，解得不存在； 当，即时，在上是增函数， 则有，即，解得； 当，即时，在上先增后减， 所以在处取最大值； ， 解得或6（不满足条件，舍去）； 综上，存在实数，使在上的值域恰好是. 20．函数的定义域，且满足对任意，有：． (1)求，的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)如果，，且在上是增函数，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)为偶函数，证明如下： 令，，则， 结合（1）有，即，所以为偶函数． (3) 【分析】（1）令，可得，再令，即可求出； （2）令，，进而根据偶函数的定义，即可得到结论； （3）先根据得到，从而将不等式转化为，再结合函数的单调性和奇偶性转化为，且，，进而求解即可得到答案． 【详解】（1）由对任意，有， 令，则，解得， 令，则，解得． （2）略 （3）由，则， 由，得，即， 结合（2）知为偶函数，又因为在上是增函数， 所以，且，，解得，且，， 所以的取值范围为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $