4.2.3 等差数列的前n项和(2)课件-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

第4章　数列 第6课时　等差数列的前n项和(2) 学习目标 1. 熟练地运用等差数列的前n项和公式解决问题．　 2. 掌握等差数列前n项和公式的函数特征． 3. 掌握等差数列前n项和公式的实际应用． 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 预习导引： 预习教材P151～152，思考下面的问题： 1. 在等差数列前n项和公式的过程中，主要运用了等差数列两项和的什么性质？ 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 　(教材P154习题4.2(2)第8题)一个等差数列的前12项和为354，前12项中，偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，求公差d. [处理建议]　① 根据等差数列的通项公式和前n项公式列出方程组，求解基本量． ② 利用本节课的知识点列出方程组，结合整体思想求解． [规范板书]　解　方法1：设这个数列的公差为d，则偶数项与奇数项分别都是公差为2d的等差数列． 例 1 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 方法2：设偶数项的和与奇数项的和分别为S偶，S奇． 而S偶－S奇＝6d，所以d＝5. 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知公差d＝2, S20＝400，分别求a1＋a3＋a5＋…＋a19和a2＋a5＋a8＋…＋a20的值． 所以an＝2n－1. 又a1, a3, a5, …， a19构成公差为4的等差数列， 变 式1 又a2, a5, …， a20构成公差为6的等差数列， 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 方法2：记S奇＝a1＋a3＋…＋a19， 则S20＝S奇＋(a2＋a4＋…＋a20) ＝2S奇＋10d＝400， 所以S奇＝190. 记 A＝a1＋a4＋a7＋…＋a19， B＝a2＋a5＋a8＋…＋a20， C＝a3＋a6＋a9＋…＋a21， 由方法1知an＝2n－1，所以a21＝41，从而S21＝441, A＋B＋C＝441. 又2B＝A＋C，所以B＝147. 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 　一等差数列共有2n(n∈N*)项，它的奇数项之和与偶数项之和分别为24和30.若最后一项与第一项之差为10.5，求该数列的首项、公差和项数． [规范板书]　解　设该数列为{an}，其公差为d，前n项和为Sn. 变 式2 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 1. 一个等差数列共有(2n＋1)项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项的值为( ) A. 30 B. 31 C. 32 D. 33 提示　由题意得中间项为an＋1，且an＋1＝S奇－S偶＝32. 2. 在项数为2n的等差数列中，奇数项之和为75，偶数项之和为90，末项与首项之差为70，则n的值为___. C 5 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 例 2 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 　在例2的条件下，求： (3) 设Sn＝tn(7n＋2), Tn＝tn(n＋3), t≠0. 方法1：a5＝S5－S4＝185t－120t＝65t，b6＝T6－T5＝54t－40t＝14t， 变 式 方法2：易知S9＝9a5, T11＝11b6， 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 [题后反思]　错误解法： 设Sn＝(7n＋2)k, Tn＝(n＋3)k, k≠0， 所以a5＝S5－S4＝37k－30k＝7k， b6＝T6－T5＝9k－8k＝k， 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 提示　设Sn＝2kn2, Tn＝kn(3n＋7)(k≠0)， 所以a6＝S6－S5＝22k, b3＝T3－T2＝22k， 1 1 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 在等差数列{an}中，a3＝12, a11＝－4，设其前n项和为Sn.问：Sn是否存在最大值？若存在，求出Sn的最大值及n；若不存在，请说明理由． [处理建议]　从函数和项的角度处理等差数列求和的最值问题． 当d≠0时，等差数列的前n项和公式是关于n的二次式(不含常数项)；同时可以通过数列的项正负的变化求解等差数列前n项和会在某处取得最值． [规范板书]　解　方法1：设公差为d， 则a11＝a3＋(11－3)d，解得d＝－2. 又a3＝a1＋2d＝12，所以a1＝16. 当n＝8或n＝9时，Sn最大，最大值为S8＝S9＝72. 例 3 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 [题后反思]　利用等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数形式来求最值，需要注意n是正整数，不一定在对称轴处取得． 思考1：为什么并不一定每次都是在对称轴处取得最值？此时该怎么办？(因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次式，这里的n要求是正整数，而关于n的二次式的对称轴的值并不一定是正整数，所以此时要在对称轴附近找最接近的正整数值) 思考2：为什么会出现两项同时取得最大值的情形？此时的等差数列具有什么特征？ 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 方法2：设公差为d， 则a11＝a3＋(11－3)d，所以d＝－2. 又a3＝a1＋2d＝12，所以a1＝16. 所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋18. 而数列{an}是单调递减数列， 所以当n＝8或n＝9时，Sn最大，最大值为S8＝S9＝72. 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 　设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12, S12＞0, S13＜0. (1) 求公差d的取值范围． (2) S1, S2, …， S12中哪一个值最大？并说明理由． 变 式1 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 (2) 因为S13＝13a7＜0，所以a7＜0. 因为S12＝6(a6＋a7)＞0，所以a6＋a7＞0，从而a6＞0. 所以数列{an}是单调递减数列， 从而S6最大． 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 　已知数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2. (1) 求{an}的通项公式． (2) {an}的前多少项和最大？ (3) 设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和S′n. [处理建议]　(1) 可以利用Sn与an的关系求通项，也可以由Sn的结构特征求a1, d，从而求出通项． (2) 可以利用Sn的函数特征求最值，也可以利用通项公式找到通项的变号点求解． (3) 可以利用an判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用Sn的函数特征判断项的正负求解． 变 式2 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 [规范板书]　解　(1) 方法1：(公式法)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n. 当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1，满足an＝34－2n.　 所以{an}的通项公式为an＝34－2n. 方法2：(结构特征法)由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次函数， 所以{an}是等差数列． 所以an＝34－2n. 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 (2) 方法1：(公式法)令an≥0，即34－2n≥0， 所以n≤17， 故数列{an}的前17项大于或等于零． 又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大． 由Sn＝－n2＋33n的图象可知，当n≤17时，an≥0；当n≥18时，an＜0. 故数列{an}的前16项或前17项的和最大． 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 (3) 由(2)知，当n≤17时，an≥0； 当n≥18时，an＜0. 所以当n≤17时，S′n＝b1＋b2＋…＋bn ＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2. 当n≥18时， S′n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an) ＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn＝n2－33n＋544. 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 1. (多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＜S6, S6＝S7＞S8，下列结论中正确的有( ) A. d＜0 B. S6与S7是Sn的最大值 C. S9＞S5 D. a7＝0 提示　由S5＜S6, S6＝S7＞S8，得a6＞0, a7＝0, a8＜0. 所以a1＞0, d＜0, S6与S7是Sn的最大值． 而S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)＜0，所以S9＜S5. ABD 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 2. 在等差数列{an}中，a1＝10, d＝－2，设其前n项和为Sn，问：Sn是否存在最大值？若存在，求出Sn的最大值及n；若不存在，请说明理由． 解　方法1：由an＋1－an＝－2， 得{an}是递减数列，且an＝－2n＋12. 所以n＜6时，an＞0; n＝6时，an＝0; n＞6时，an＜0. 所以当n＝5或6时，Sn最大，最大值为30. 方法2：Sn＝－n2＋11n， 又n∈N*，所以当n＝5或6时，Sn最大，最大值为30. 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 　一个“V”形铅笔架(如图)的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支铅笔，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔？ [处理建议]　利用等差数列的前n项和公式建立模型求解． 例 4 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 [规范板书]　解　由题意知这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记为{an}，其中a1＝1, a120＝120. 故V形架上共放着7260支铅笔． [题后反思]　解答数列模型的应用题时，首先应明确问题属于哪类应用问题，将文字语言翻译成数学语言，然后弄清题中给出的已知量和结论，用函数关系、方程等列出数学关系式． 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 　某校准备新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起，后一排都比前一排多2个座位．问：第1排应安排多少个座位？ [处理建议]　将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列{an}，所以可利用等差数列的前n项和公式求首项． [规范板书]　解　设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列{an}，其前n项和为Sn. 由题意得数列{an}是一个公差为2的等差数列，且S20＝800. 故第1排应安排21个座位． 变 式 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 1. 我国古代的数学名著《张邱建算经》中有一道题：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日．在这道题中，该女子共织布( ) A. 60尺 B. 90尺 C. 110尺 D. 180尺 B 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 课堂小结 1. 关于等差数列前n项和公式的应用，既可以通过基本量a1, d, n, an, Sn建立方程组处理问题，也可以利用性质整体处理问题． 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 3. 求Sn最值的常用方法： (1) 函数法： 利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方法或借助图象等求二次函数最值的方法求解，一定注意n是正整数． (2) 邻项变号法： 上一页 返回栏目导航 下一页 第‹#›页 2. 把等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋整理成关于n的表达式，这个表达式是一个什么样特征的函数形式？ 由已知得解得d＝5. 由已知得解得S偶＝192, S奇＝162. [题后反思]　① 若等差数列含有2n项，则奇数项与偶数项各有n项，且S偶－S奇＝nd, ＝. ② 等差数列的奇数项与偶数项的相关结论其实是等差数列的通项公式和前n项和公式的应用． [规范板书]　解　方法1：由得a1＝1, d＝2， 所以a1＋a3＋…＋a19＝1＋5＋…＋37＝＝190. 所以a2＋a5＋…＋a20＝7a2＋×6＝147. 由题意得解得 因为a1＋a3＋a5＋a7＝4a1＋12d＝24，即4a1＋12×＝24， 所以a1＝， 因此该数列的首项为，公差为，项数为8. 提示　由题意得解得n＝5. 　有两个等差数列{an}, {bn}，其前n项和分别为Sn, Tn，且＝，求. [处理建议]　若有两个等差数列{an}, {bn}，其前n项和分别为Sn, Tn，则＝.利用上述性质进行解答． [规范板书]　解　＝＝＝＝＝. [题后反思]　思考：因为＝，那么能不能用来求解呢？ 答：不可以．因为已知比式中公共的n被约去了，所以不能直接作差． 可设Sn＝tn(7n＋2), Tn＝tn(n＋3)， 则＝＝. 所以＝ ＝×＝. (1) ；　(2) ；　(3) . [规范板书]　解　(1) ＝＝＝＝. (2) ＝＝＝＝. 所以＝＝. 从而＝＝7. 本题中的第(3)问，不可以像上述这般求解，因为k其实是关于n的一次式，不能被直接约去． 1. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝___. 提示　＝＝×＝1. 2. 设等差数列{an}, {bn}的前n项和分别为Sn, Tn，且＝，则＝___. 从而＝1. 所以Sn＝na1＋d＝－n2＋17n＝－2＋， 由得8≤n≤9. [题后反思]　在等差数列{an}中，若首项a1＞0，公差d＜0，则当满足时，前n项和Sn最大． 思考：在等差数列{an}中，若首项a1＜0，公差d＞0，那么满足什么条件时前n项和Sn最小？ 即公差d的取值范围是.　 [规范板书]　解　(1) 　 解得 将a3＝a1＋2d＝12，代入上式得 解得－＜d＜－3， 由Sn的结构特征知解得a1＝32, d＝－2， 方法2：(函数性质法)由y＝－x2＋33x图象的对称轴为直线x＝. 距离最近的整数为16, 17. 故S′n＝ 其图象的对称轴为直线n＝. 根据等差数列的前n项和公式，得S120＝＝7260. 由S20＝20a1＋×2＝800，得a1＝21. 2. 在等差数列{an}中，若项数为偶数2n(n∈N*)，则S偶－S奇＝nd, ＝；若项数为奇数2n＋1(n∈N*)，则S奇－S偶＝an＋1, ＝. ① 当a1＞0, d＜0时，满足的项数m使得Sn取得最大值Sm； ② 当a1＜0, d＞0时，满足的项数m使得Sn取得最小值Sm. $