4.2.3等差数列的前n项和(第2课时）（教学课件）高二数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦等差数列前n项和，通过教材例题（如零存整取储蓄）、练习（长跑计划、多边形边长）等具体情境导入，构建从现实问题到公式应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于题型探究涵盖性质、最值、数学文化（如《莱因德纸草书》分面包问题）等，结合易错警示（项数判断、绝对值影响），培养数学思维（推理运算）与数学语言（模型应用）。学生能提升实际问题解决能力，教师可借助系统题型与方法总结优化教学。

4.2 等差数列 苏教版2019选择性必修第一册•高二 第四章 数列 4.2.3等差数列的前n项和(第2课时） 高效备课·轻松学习 高 中 数 学 学 习 目 标 1 2 3 构造等差数列求和模型，解决实际问题. 能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值. 理解并应用等差数列前n项和的性质. 这个公式表明，等差数列的前n项和可由首项、公差和项数唯一确定． 等差数列的通项公式和前n项和公式中，共有“a1，d ，n，an，Sn”五个 量，故知三可求其二． 等差数列的前项和n公式： 如果等差数列{an}的首项a1，公差为d ，那么该等差数列的前n项和公式为： 知识回顾 某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，这个剧场共有多少个座位？ 解：依题意，这个剧场各排的座位数由小到大依次排成一列组成等差数列{an}， 其中公差d=2，项数n=20，且第20项是a20=60， 由等差数列的通项公式，得60=a1+(20-1)×2，解得a1=22， 由等差数列的求和公式，得 ， 所以这个剧场共有820个座位． 例 1 典例分析 教材P138 例题 4 某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为40mm,满盘时直径为120mm(如图)．已知卫生纸的厚度为0.1mm,问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米(精确到1m)？ 解：卫生纸的厚度为0.1mm,由内向外各圈的半径分别为 20.05，20.15，…，59.95， 因此各圈的周长分别为40.1π，40.3π，…，119.9π， 显然各圈半径组成首项为20.05，公差为0.1的等差数列， 设圈数为n,则59.95=20.05+(n-1)×0.1，解得n=400， 于是各圈的周长组成一个首项为40.1π，公差为0.2π， 项数为400的等差数列，根据等差数列的求和公式， 得 ， 32000πmm≈100m,所以满盘时卫生纸的长度约为100m. 例 2 方法技巧 解题的关键：各圈的半径为该层纸的中心线至盘芯中心的距离. 典例分析 教材P139 例题 5 某零存整取3年期储蓄的月利率为2.7‰． (1)如果每月存入1000元，那么3年后本息合计为多少元(精确到1元)？ (2)欲在3年后一次性支取本息合计5万元，每月存入多少元(精确到1元) 解：(1)依题意，第n月存入1000元的本息和为an，则数列{an}为等差数列， 且an=1000[1+(37-n)×2.7‰]，n∈N*，n≤36， 3年后的本息和为1000(1+2.7‰)+1000(1+2×2.7‰)+⋯+1000(1+36×2.7‰) = ≈37798(元)， 所以零存整取3年期储蓄每月存入1000元，3年后本息合计约37798元． 例 3 方法技巧 解题的关键：存款是按月存的，3年存 36 次，最后一次有一个月的利息. (2)设每月存A元，第n月存入A元的本息和为bn，则{bn}为等差数列， 且bn=A[1+(37-n)×2.7‰]，n∈N*，n≤36， 因此A(1+2.7‰)+A(1+2×2.7‰)+⋯+A(1+36×2.7‰)=50000， 利用等差数列求和公式， 得 ，解得A≈1323， 所以欲在3年后一次性支取本息5万元，每月存入约1323元． 典例分析 教材P139 例题 6 1.为了参加学校的长跑比赛，某同学制定了一个12天的训练计划：第一天跑2000m,以后每天比前一天多跑250m.这个同学在这12天中一共跑了多少米？ 解：李强每天跑的路程构成以2000为首项，以250为公差的等差数列， 故S12= =40500m. 答：这个同学在这12天中一共跑了40500米． 教材P140 练习 7 2.求集合{m|m=2n-1，n∈N*，且m＜60}的元素个数，并求这些元素的和． 解：集合M={m|m=2n-1，n∈N*，且m＜60}， ∴M={1，3，5，7，9，…，59}，共30个奇数，构成以1为首项，公差为2的等差数列， 利用等差数列前n项和公式得这些元素的和为： S30= =900． ∴集合{m|m=2n-1，n∈N*，且m＜60}的元素个数为30，这些元素的和为900． 教材P140 练习 8 3.一个多边形的周长等于158cm,所有各边的长成等差数列，最大边的长等于44cm,公差等于3cm,求多边形的边数． 解：由题意可知：an=44，Sn=158，d=3 则Sn= =158，an=a1+3(n-1)=44 即n(a1+44)=316 (1)，a1=47-3n (2) (2)代入(1)，得3n2-91n+316=0 ∴(3n-79)(n-4)=0，解得n=4 ∴多边形的边数为4． 教材P140 练习 9 4.已知一个凸多边形各个内角的度数组成公差为5°的等差数列，且最小角为120°，则它是几边形？ 解：设有n边形，则由题意可得，(n-2)×180°= ， 整理可得，n2-25n+144=0， 解可得，n=16或n=9， 当n=16时，最大角195°与实际不符，故n=9． 教材P140 练习 10 5.某钢材库新到200根相同的圆钢，要把它们堆放成正三角形垛(如图)，并使剩余的圆钢尽可能地少，那么将剩余多少根圆钢？ 解：由题意可得，正三角形垛所需要圆钢总数Sn= ＜200， 当n=19时，S19最大，此时剩余10． 教材P140 练习 11 等差数列前n项和的性质 题型一 题型探究 1.［江苏苏南八校2024高二联考］已知等差数列的前项和为，且， ，则 ( ) D A.106 B.53 C.48 D.36 解析 ， ， ，则 .故选D. 2.［江苏盐城2025高二段考］等差数列中，是其前项和，，则公差 的值为 ( ) C A. B.1 C.2 D.3 解析 由，得，则 .故选C. 在等差数列中，与 分别是所有偶数项的和与所有奇数项的和，若项数为, 则有,且, ;若项数为, 则有为中间项），且, . 3.已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为 ，且，， 则 ( ) B A. B. C. D. 解析 设等差数列的公差为，首项为，则，所以 ，因为 ，即，则 . 等差数列的奇数项构成以为首项， 为公差的等差数列，且前30项中奇数项有15项，所 以，得，所以 .故选B. 等差数列前n项和的性质 题型一 题型探究 二级结论 等差数列前n项和的最值 题型二 题型探究 4.在等差数列中，前项和为.若，，且，则在数列 中 ( ) D A.最大项是 B.最小项是 C.最大项是 D.最小项是 解析 ，，即，则, 数列 的公差 ，，,故数列中最小项是 .故选D. 5.已知为等差数列，是其前项和，若 ，且，则当取得最大值时， ( ) B A.3 B.6 C.7 D.8 解析 设等差数列的首项为，公差为，因为，所以 ， 则，即 .因为，所以，则，即 ， 所以为递减的等差数列，且 ， 所以当时， 取得最大值.故选B. 等差数列前n项和的最值 题型二 题型探究 6.在等差数列中，,，则数列的前项和 的最大值为( ) A A. B. C.或 D. 解析 设等差数列的公差为.因为，所以 ，整理得 ，又因为，所以 ,所以 .故当时， 取得最大值.故选A. 求等差数列前 项和最值的方法 （1）通项法：①若，，则必有最大值，其中可用不等式组 来确定； ②若，，则必有最小值，其中可用不等式组 来确定. （2）二次函数法：等差数列中，由于 ，可用求函数最值的方法来求前项和的最值，这里应由及二次函数图象的对称性来确定 的值. 规律方法 数学文化中等差数列的求和问题 题型三 题型探究 7.［江苏徐州高级中学2024高二期中］《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，改编 书中一道题目如下：把60个大小相同的面包分给5个人，使每个人所得面包个数从少到多依次成 等差数列，且较少的三份之和等于较多的两份之和，则最多的一份面包的个数为( ) A A.16 B.18 C.19 D.20 解析 由题意可得递增的等差数列共5项，设其公差为 ，则面包总和 . 又 ， ，①②联立解得， ， 最多的一份的面包的个数为 .故选A. 8.有12个砝码，总质量为 ，它们的质量从大到小依次构成等差数列，且最重的3个砝码质量之 和是最轻的3个砝码质量之和的4倍.用这些砝码称一个质量为 的物体，则需要的砝码个数至少 为( ) C A.4 B.5 C.6 D.7 解析 设12个砝码的质量从大到小构成的等差数列为，前项和为，公差为， ， ， ， 由题意可得 ，且 ， 即 ，且，解得， ， 则 . 令 ，又， ，得， ， 故需要的砝码个数至少为6.故选C. 数学文化中等差数列的求和问题 题型三 题型探究 裂项相消法求和 题型四 题型探究 9.设数列的前项和为,若，则数列 的前40项和为( ) D A. B. C. D. 解析 根据，可知当 时， 当时， ， 符合上式，， ， 其前项和， 其前40项的和 .故选D. 10.在数列中，,，则的前项和 ______. 解析 因为,，所以， ， 所以数列 是首项为4，公差为2的等差数列. 所以，则,所以 ， 所以 . 11.［江苏苏州高新区一中2024高二月考］已知等差数列中，前项和为， ， . （1）求 ； 【解】设的公差为 ，由， ，得解得 所以，故 . 裂项相消法求和 题型四 题型探究 （2）设，求数列的前项和 . [解] 由（1）得 ， 所以 . 19 裂项相消法求数列前 项和的常见类型 （1）等差型：，其中是公差为 的等差数列； （2）无理型： ； （3）指数型： ； （4）对数型：，其中 . 规律方法 裂项相消法求和 题型四 题型探究 错认项数而求和致错 题型五 题型探究 12. ( ) C A. B. C. D. 解析 易知数列1,4,7, ,,为等差数列，且首项为1，公差为3，项数为 ,所以原 式 ,故选C. 本题的项数为，易错认为有 项. 易错警示 忽略零项而致错 题型六 题型探究 13.［江苏南通海安高级中学2025高二期中］已知等差数列的首项为10，公差为 ，则数列 的前项和的最大值为____,取得最大值时的 的值为______. 30 5或6 解析 由题知，当时，；当时，；当时， ， 所以数列的前项和取得最大值时，的值为5或6，最大值 . 14.已知等差数列的前项和为，，公差，.若取得最大值，则 ______. 7或8 解析 在等差数列中，，公差，， ，整理 得，, 当或8时， 取得最大值. 本题易漏掉其中的一解而致错，错因在于忽略零项，在涉及数列前 项和求 最值的题目时，要格外注意. 易错警示 等差数列加绝对值后，认为其还是等差数列而致错 题型七 题型探究 15.［江苏徐州三中2025高二期中］在等差数列中，， ，设 ，则 ( ) C A.281 B.651 C.701 D.791 解析 设等差数列的公差为,由,,得公差 , 则 ,显然当时,；当时, , 所以 .故选C. 本题的易错之处是忽视对绝对值符号内的正负进行讨论： 当时，；当 时， . 易错警示 已知时, 易忽略n=1致错 题型八 题型探究 16.已知数列的前项和为,且，求 的通项公式. 【解】当时， . 当时，当 时，不符 合上式，所以 成立的条件是，当 时要单独验证. 易错警示 1.知识清单： (1)等差数列前n项和及其计算公式. (2)等差数列在实际问题中的应用. (3)利用等差数列前n项和公式判断等差数列. (4)等差数列前n项和的最值问题. (5)等差数列前n项和的性质及应用. 2.方法归纳：函数与方程思想、倒序相加法、整体思想、分类讨论数形结合思想. 3.常见误区 (1)由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论. (2)求等差数列前n项和的最值时，忽视条件n∈N＋导致错误. (3)不注意运用性质导致解题烦琐. 课堂小结 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 高 中 数 学 $