朝阳市第一高级中学2026-2027学年高二上学期期中数学模拟试题

2026-2027学年高二上学期期中数学模拟试题 一、单选题（每小题5分，共计40分） 1．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则下列说法正确的是（    ） A．直线平面 B．直线平面或 C．直线l与平面所成角为 D．直线l与平面的垂线平行 2．若平面内两条平行线：与：间的距离为，则实数（    ） A．或 B．或 C．或 D． 3．已知点在圆外，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，，E是的中点，F为棱上一点，若平面，则（   ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且轴，若是等腰直角三角形，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 6．直线：与曲线：有交点，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 7．已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知，，若圆上存在点满足，则实数的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、多选题（每小题6分，共计18分） 9．下列说法命题正确的是（　　） A．已知，则在上的投影向量为 B．已知三棱锥，点为平面上一点，，则 C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 D．若向量（是不共面的向量）则称在基底下的坐标为．若在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 10．已知为坐标原点，点在直线上，是圆的两条切线，为切点，则（    ） A．直线恒过定点 B．若圆上恰有三个点到的距离为，则 C．若为等边三角形，则 D．若，则的取值范围是 11．设椭圆：的左、右焦点分别为，，是上的动点，则下列说法正确的是（     ） A．椭圆的离心率 B．的最大值为8 C．以线段为直径的圆与圆相切 D．若，则的面积 三、填空题（每小题5分，共计15分） 12．已知平面的一个法向量为，点在内，则到的距离______. 13．已知直线，直线，，与的交点为P，已知点，，则的最小值为______． 14．已知为椭圆：上一点，，分别为的左、右焦点，，分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，，则的值为________． 四、解答题 15．（本题满分13分）如图，直三棱柱的侧面为正方形，，E，F分别为，的中点，． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 16．（本题满分15分）已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 (1)若直线恒过定点，求出点坐标； (2)求弦中点的轨迹方程； (3)相交弦长度的最小值及相应的的值． 17．（本题满分15分）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足 (1)求动点的轨迹曲线方程； (2)若曲线与圆有公共点，求的取值范围． 18．（本题满分17分）在如图所示的多面体中，，四边形为矩形，，. (1)求证：平面； (2)，平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 19．（本题满分17分）已知椭圆（）满足长轴的长是焦距的2倍，且经过点． (1)求椭圆的方程； (2)求椭圆上的点到定点（）的最短距离． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年高二上学期期中数学模拟试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B C B C B A ABD ACD 题号 11 答案 BCD 1．B 【难度】0.75 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【详解】因为直线的方向向量为，平面的法向量为，且， 所以直线平面或. 2．D 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【解析】首先根据两直线平行求出参数的值，再利用两平行线之间的距离公式验证即可； 【详解】解：因为：与：且， ∴，解得或， 时：与： ，符合， 当时：与：， ，不符合题意， 故选：D. 3．B 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、二元二次方程表示的曲线与圆的关系、点与圆的位置关系求参数 【分析】先将圆的方程化为标准方程，由方程表示圆得，再根据点在圆外得点到圆心的距离大于半径得或，综合两个条件可得所求实数的取值范围. 【详解】将化为标准方程，， 要使方程表示一个圆，则，即，解得①. 所以圆的圆心，半径为. 因为点在圆外， 所以，即， 所以，解得或②. 综合①②，得或. 因此实数的取值范围为. 4．C 【难度】0.62 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】以为原点建系，设，再结合即可求出. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设，则，则， 若平面，则 即， 则，得，故. 5．B 【难度】0.75 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【详解】设椭圆的半焦距为，则，， 由轴且是等腰直角三角形得，， 故，即， 因此的离心率． 6．C 【难度】0.4 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】先分析曲线图形，联立直线与曲线方程，计算得到参数最大值； 【详解】由已知，，变形可得， 所以，曲线：表示单位圆的右半部分， 直线过定点，且斜率为， 要求直线与曲线有交点，需联立方程并保证解满足， 联立，消元整理得， 该方程为关于的一元二次方程，开口向上， 设根为，由韦达定理：， 若，则两根异号或有一个根为，此时存在非负根， 由得：； 若，则且，两根均为负根，不符合条件； 当时，直线过曲线右半部分的端点， 代入得（符合），此时为唯一符合条件的交点； 故的最大值为. 故选：C. 7．B 【难度】0.65 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】根据空间共面向量定理的推论可求的值. 【详解】由得， 即， 由空间向量共面定理的推论可知，，解得. 故选：B. 8．A 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】设出点，利用两点距离公式将转化为圆的方程，则条件等价为两圆有交点，再根据两圆相交求解即可. 【详解】设，由，得，化简整理，得. 由题意得，圆（）与有公共点，故， ，，解得，所以实数的最小值是3. 9．ABD 【难度】0.4 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用、空间向量数量积的应用、空间向量的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】应用投影向量的定义及向量运算的坐标表示求投影向量判断A；根据空间向量共面的推论判断B；由向量垂直的坐标表示判断C；应用空间向量的基本定理求在基底下的坐标判断D. 【详解】A：由题设在上的投影向量为，对； B：点为平面上的一点，且， 根据空间向量共面的推论知，则，对； C：由，则或，错； D：令在基底下的坐标为， 由题意， 所以，得，即在基底下的坐标为，对； 故选：ABD 10．ACD 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】求出直线所过定点判断A；由圆到直线距离为求解判断B；利用圆的切线性质求解判断C；求出点的轨迹，再利用直线与圆有公共点求解判断D. 【详解】对于A，对任意实数，当时，恒有，因此直线恒过定点，A正确； 对于B，由圆上恰有三个点到的距离为，得，解得，B错误； 对于C，由为等边三角形，得，而，则，C正确； 对于D，由，得四边形是正方形，则， 点在以点为圆心，为半径的圆上，即直线与圆有公共点， 因此，解得或，D正确. 故选：ACD 11．BCD 【难度】0.68 【知识点】余弦定理解三角形、判断圆与圆的位置关系、椭圆上点到焦点的距离及最值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】先根据椭圆方程求出基本参数，再结合椭圆性质、圆与圆的位置关系、余弦定理逐项判断各选项正误. 【详解】由椭圆，得长半轴，短半轴，半焦距， 左右焦点为. 选项A：椭圆离心率，A错误； 选项B：椭圆上的点到左焦点的最大距离为，即的最大值为8，B正确； 选项C：以线段为直径的圆方程为，圆心，半径； 圆的圆心为，半径， 两圆心距，故两圆外切，C正确； 选项D：设，由椭圆定义得， 在中由余弦定理：， 代入，解得， 则三角形面积，D正确. 12． 【难度】0.85 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】应用点到平面距离公式计算即可. 【详解】，且平面的一个法向量为， 则到平面的距离. 13． 【难度】0.4 【知识点】直线过定点问题、求直线交点坐标、求平面两点间的距离、轨迹问题——圆 【分析】先求出两直线交点的轨迹方程，再根据轨迹方程分析的最小值. 【详解】直线可化为，所以直线过定点， 直线可化为，所以直线过定点， 又，所以. 所以与的交点P的轨迹为以AB为直径的圆， 圆心，半径，所以圆C的方程为， 在轴上取点，使得，设， 则，即， 化简整理得， 又，即， 所以，解得，则， 易知在圆C内，所以 （当且仅当P为线段EQ与圆C的交点时取得最小值）． 故答案为： 14． 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、椭圆定义及辨析、求椭圆的顶点坐标 【分析】根据椭圆性质写出顶点坐标，算出向量，由，求出；由椭圆的定义可知椭圆上任意一点满足，结合条件求解即可． 【详解】由椭圆性质可知，，，则，， 所以，解得， 联立，解得，所以． 15．(1) 因为三棱柱为直三棱柱， 所以，又因为，，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为为正方形，所以， 故以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为，， 所以，， 因为平面，， 所以平面， (2) 【难度】0.85 【知识点】证明线面垂直、空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法 【分析】（1）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积为0得到，，从而证明出线面垂直； （2）求出两平面的法向量，求出平面夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知：平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则， 解得：，令，则，所以， 设平面与平面夹角为， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为. 16．(1) 定点的坐标为； (2) 弦中点的轨迹方程为； (3) 弦长度的最小值为，对应的。 【难度】0.72 【知识点】直线过定点问题、轨迹问题——圆、圆的弦长与中点弦、已知圆的弦长求方程或参数、求平面轨迹方程 【分析】（1）分离参数求直线恒过定点； （2）利用垂径定理的垂直关系推导中点轨迹； （3）结合弦长公式与距离最值求最短弦长及对应参数. 【详解】（1） 对直线的方程变形：将整理为， 该式对任意实数恒成立，因此需满足，解得， 即定点的坐标为. （2）设弦的中点为，圆的圆心为，由垂径定理可得. 因为在直线上，直线恒过，故，即， 代入，得： ， 展开并配方得， 因为圆内含于圆C,故圆上所有点都符合题意， 所以弦中点的轨迹方程为; （3）设圆心到直线的距离为，圆的半径， 由弦长公式得，因此最大时最小， 由于直线恒过定点，故，当且仅当时取最大值， 计算得，. 此时直线的斜率，由得，解得. 17．(1) (2) 【难度】0.71 【知识点】轨迹问题——圆、由圆的位置关系确定参数或范围、求平面轨迹方程 【详解】（1）设点，，， 因为， 即， 即， 动点的轨迹曲线方程为. （2）由(1)可知曲线是圆，圆心，半径， 圆的圆心为，半径， 因为曲线与圆有公共点， 所以， ， 即， 即， 解得. 18．(1) 证明：由四边形为矩形，可得，因 平面，平面，故平面； 因，平面，平面，故平面， 又因平面，故有平面平面. 再由平面可得平面. (2) 【难度】0.65 【知识点】证明面面平行、面面平行证明线面平行、证明线面垂直、线面角的向量求法 【分析】（1）由线线平行证平面，平面，再由线面平行证明平面平面，利用面面平行的性质即可证得结论； （2）先由平面平面证明平面，即得，结合条件证明平面，即得，建立空间直角坐标系，求出相关点和向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1）略 （2）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面. 又因为平面，所以，在矩形中，. 因为平面，，故平面. 因为平面，所以. 故分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意得，，，. 所以，. 设平面的法向量为，则 即 令，则，.于是. 因为，设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 19．(1) (2)当时，最短距离为；当时，最短距离为 【难度】0.56 【知识点】椭圆上的点到坐标轴上的点的距离及最值、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据椭圆过的点求标准方程、求椭圆中的最值问题 【分析】（1）根据椭圆的标准方程及特征求解即可. （2）根据两点间距离公式，结合二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）由题意知，故， 椭圆经过点，则，即，解得，. 故椭圆的方程为. （2）设椭圆上的点为，则， 又点（）， 所以 若，即时，的最小值为； 若，即时，当时，取最小值为， 综上所述，当时，最短距离为；当时，最短距离为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $