四川省遂宁市船山区高一数学上学期课时作业（人教A版必修第一册第三章3.1.2）

函数的表示法·课时作业（3.1.2） （人教A版必修第一册　第三章 函数的概念与性质　3.1.2 函数的表示法） 【应用场景】新授课配套课后作业　|　适用年级：高一上学期　|　建议完成时长：约30分钟（必做约22分钟＋选做约8分钟） 一、作品基础信息 项目 内容 作品名称 函数的表示法·课时作业（3.1.2） 作者 张秋龙（个人投稿） 所在地区 四川省遂宁市船山区 学科·学段 数学·高中 适用年级与学期 高一上学期 教材版本 人民教育出版社A版（2019年版）必修第一册 对应内容 第三章 函数的概念与性质　3.1.2 函数的表示法（不含 3.1.1 函数的概念） 作业类型 课后分层课时作业（单课时） 题量与题型 共12题：选择题3（第1—3题）、解答题9（第4—12题），其中第2、10题为图解题 建议完成时长 必做约22分钟（A层14分钟＋B层8分钟），选做约8分钟（C层） 分值结构 必做80分（A层50＋B层30），选做20分（C层），合计100分；必做部分得70分以上视为课时达标 难度结构 基础约50%＋中档约30%＋拓展约20% 选题来源 依据人教A版教材习题与《专题3-1 函数的概念及其表示【13类题型】》（参考资料，非教材）中题型6、8、9、12、13命制或改编；改编思路见第七部分（四） 二、设计背景与意图 （一）课标要求 通过具体实例，体会解析法、列表法、图象法三种表示法各自的特点及相互转化；理解分段函数的概念，会求分段函数的定义域、值域与函数值；能根据实际情境选择恰当的方法表示函数，体会数形结合思想。 （二）教材地位 本课时上承 3.1.1 函数概念的集合语言刻画，下启 3.2 函数的基本性质。由抽象的“对应关系”落实到具体的解析式、图象与表格，是“直观想象”与“数学建模”素养的关键载体；分段函数又是后续学习绝对值函数、取整函数的基础。 （三）教学重难点 重点：求函数解析式（待定系数法、换元法、配凑法）；分段函数的求值与图象。 难点：换元法求解析式时忽略“新元的范围”；分段函数在分界点处的归属；由实际问题建模时自变量取值范围的限制。 （四）学情分析 学生已了解函数概念，初步具备描点作图能力，但存在四处典型问题：①重解析式、轻图象，数形结合意识薄弱；②换元后漏写新元范围，等于把定义域丢掉；③分段函数求值时“代入错段”；④实际应用题忽略自变量的实际意义（如里程不能为负）。本作业把这四处都做成了独立题点。 （五）与 3.1.1 的分工 3.1.1 解决“函数是什么”：概念、定义域、区间、函数值、同一函数、值域初步。 本节 3.1.2 解决“函数怎么表示”：三种表示法的辨析与转化、分段函数的求值与图象、待定系数／换元／配凑求解析式、由实际情境建模。 单调性的证明、奇偶性等属于 3.2，本节不涉及，避免抢跑。 三、作业目标（素养导向·可观测） 素养维度 目标描述 直观想象 能读图取值、由图写式，能画出由绝对值构成的分段函数图象。【可观测：第2题选对并说明理由，第9题图象三段齐全、值域写成区间】 数学运算 会用待定系数法求一次函数解析式，会用换元法、配凑法求复合函数的解析式。【可观测：第4题两个解齐全，第5、8题写出新元范围】 逻辑推理 理解分段函数的本质，能准确求值、解简单的分段方程。【可观测：第3、6题分段判断正确，第6题三段的取舍都有交代】 数学建模 能由实际情境建立分段函数模型，并标注各段范围。【可观测：第7、10题写出完整分段解析式，各段区间不重不漏】 四、作业整体架构 （一）分层结构与时间分配 层级 题号 分值 建议用时 完成要求 A层 基础达标 1—7 50分 约14分钟 全员必做，对应三种表示法辨析、解析式、分段求值 B层 能力进阶 8—10 30分 约8分钟 全员必做，对应换元、图象、几何建模 C层 拓展探究 11—12 20分 约8分钟 弹性选做，建议任选一题；两题均做可作过程性加分参考 合计 12题 100分 约30分钟 必做80分＋选做20分 （二）作业内容与专题题型对应 题号 考查内容 对应专题题型 层次 难度 来源 分值 1 三种表示法的辨析（离散定义域） 教材情境 A 易 选用 4 2 由图象读定义域、值域与函数值 题型3 图象判断 A 易 改编 6 3 分段函数求复合函数值 题型12 分段函数 A 易 选用 6 4 待定系数法求一次函数解析式 题型6 待定系数 A 中 改编 6 5 换元／配凑法求解析式 题型9 换元配凑 A 中 改编 8 6 分段函数求值与求参 题型12 分段函数 A 中 选用 8 7 出租车计价的分段建模 题型13 实际应用 A 中 改编 12 8 由 求 及定义域 题型8 方程思想 B 中 改编 10 9 含绝对值函数的分段、作图与值域 题型11 换元／分段 B 中 选用 10 10 正方形上动点的面积分段建模 题型13 实际应用 B 难 改编 10 11 含参分段函数的单调性 题型12 分段函数 C 难 改编 10 12 反向构造分段函数（开放） 题型13 实际应用 C 难 改编·开放 10 合计 —— 覆盖题型3、6、8、9、11、12、13 —— —— —— 100 说明：题型1、2、4、5、7（概念、定义域、相同函数、函数值、抽象函数定义域）已在 3.1.1 的课时作业中完成，本节不再重复。 五、具体作业内容 （一）A层 基础达标（全员必做·约14分钟·50分） 1.（4分·必做）某种笔记本的单价是 5 元，买 本（）需要 元。下列能正确表示这个函数的是（　　） A．解析法： B．列表法： 依次取 1、2、3、4、5 时， 依次为 5、10、15、20、25 C．图象法：一条经过原点的直线 D．这个函数只能用图象法表示 2.（6分·必做）（改编）已知函数 的图象如图1所示，则下列说法正确的是（　　） 图1　第2题　函数 的图象 A．该函数的定义域为 (−2,2) B． C．该函数的值域为 [−1,1] D． 3.（6分·必做）已知 ，则 的值为（　　） A．0　　B．3　　C．8　　D．15 4.（6分·必做）（改编）已知 是一次函数，且 ，求 的解析式。 5.（8分·必做）（改编）已知 ，求 的解析式。（提示：可用换元法或配凑法；求出解析式后，要交代自变量 的取值范围。） 6.（8分·必做）已知 。 （1）求 、、 的值； （2）若 ，求实数 的值。 7.（12分·必做）（改编）某市出租车的计价规则为：起步价 8 元（行驶距离不超过 3 千米均付 8 元），超过 3 千米的部分，每千米加收 2.5 元。设行驶距离为 千米，车费为 元。 （1）写出 关于 的函数解析式，并注明定义域； （2）若某人乘车行驶了 10.2 千米，他应付多少车费？ （二）B层 能力进阶（全员必做·约8分钟·30分） 8.（10分·必做）（改编）已知 。 （1）求 的解析式及其定义域； （2）判断 是否可能是一次函数，并说明理由。 9.（10分·必做）已知函数 。 （1）去掉绝对值号，把它写成分段函数； （2）画出图象，并由图象写出值域。 10.（10分·必做）（改编）如图2，正方形 的边长为 4，点 从点 出发，沿 向点 移动，速度为每秒 1 个单位长度。设点 运动的时间为 秒， 的面积为 。 图2　第10题　正方形 与动点 （1）求 关于 的函数解析式； （2）当 时，求 的面积。 （三）C层 拓展探究（弹性选做·约8分钟·20分·建议任选一题） 11.（10分·选做）（改编）已知函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围。（提示：除两段各自递增外，还要保证分界点处“左侧的最大值不超过右侧的最小值”。） 12.（10分·选做）（改编·开放）请构造一个分段函数 ，同时满足：①定义域为 ；②值域为 [0,+∞)；③，且在 内单调递增。要求写出 的解析式，并画出草图。 六、作业实施建议 （一）使用场景与操作方式 1. A层建议当堂限时 14 分钟：第1—3题（选择）4 分钟，第4—7题 10 分钟；收齐后同桌互批。B层 3 题课后完成，约 8 分钟；C层 2 题弹性选做，建议任选一题。 2. 第2、10题是图解题，必须用带图正稿印刷；第9、12题需要画图，作图纸上已留横线区，也可另发作图纸。 3. 第4—12题须写出关键步骤；第7、10题的分段解析式必须标注每段的取值范围，只写表达式不写范围按评分细则扣分。 （二）讲评节点与重点 1. 第一讲评点（下一课时开头4分钟，第1、2题）：第1题的关键是“定义域是 5 个离散的数”，所以列表法最合适；顺带讲清“解析法如果不写定义域，默认是使式子有意义的全体”。第2题按“定义域→值域→函数值→单调比较”的顺序逐项验，特别提醒端点是否为实心。 2. 第二讲评点（约4分钟，第5、8题）：换元法必须写新元范围。第5题 可取全体实数，写不写都一样；第8题 只能取非零实数，漏掉就丢分——两题对比，学生才知道“什么时候要写”。 3. 第三讲评点（约5分钟，第6、9题）：第6题板书“先看 落在哪一段，再代入对应式子”，三段的取舍逐个交代；第9题讲零点分段法（、 两个零点把数轴分成三段），强调图象是折线而不是曲线。 4. 第四讲评点（约5分钟，第7、10题）：两题都是分段建模。共同口诀是“先分段、再写式、后标范围”，并追问“为什么第7题的 不能取 0”“第10题 最大到多少”。 5. 第五讲评点（第11题，课后答疑或小组探究，不占正课）：三条条件缺一不可——两段各自递增、分界点处左侧不超过右侧。可追问“若把‘单调递增’改成‘单调递减’，条件怎么写”。 （三）批改与反馈 1. A层当堂互批、教师抽查；B层全批；C层只批思路。 2. 建立“错因标签”：漏写定义域、换元未求新元范围、分段代入错段、分段区间重复或遗漏、图象画成曲线、实际问题未考虑自变量范围、待定系数漏解。每份作业只标最主要的一类。 3. 同一标签连续出现两次的学生，安排 5 分钟面批。 七、参考答案与规范评分细则 （一）A层 1. 答案：B（4分）。定义域是 5 个离散的数，列表法最直观；A 中写出 ，定义域扩大，不符合题意；C 中直线包含无穷多个点，也不符合；D 说法错误，同一函数可以用不同方法表示。 2. 答案：C（6分）。由图象读出：定义域为 [−2,2]（两端实心），A 的 (−2,2) 漏掉端点，错；，B 错；最低点纵坐标为 、最高点纵坐标为 ，值域为 [−1,1]，C 对；，，故 ，D 错。 3. 答案：A（6分）。因为 ，代入第一段：；又 ，仍代入第一段：。故 。 4. 设 （2分），则 （2分）。 由 得 或 （1分）； 时 ，； 时 ，（1分）。 故 或 。漏一解扣3分。 5. 法一（换元法）：令 ，则 （2分），（4分），故 （2分）。因 可取全体实数，故定义域为 （未交代范围扣1分）。 法二（配凑法）：（4分），故 ，定义域为 （4分）。 6. （1），；，；，（4分，每问结果1分、判断落段1分）。 （2）若 ，由 得 ，与 矛盾，舍去（2分）； 若 ，由 得 ，其中 舍去，取 （1分）； 若 ，由 得 ，与 矛盾，舍去（1分）。 综上，。只写答案不讨论的，扣3分。 7. （1）当 时，（3分）；当 时，（4分）。 故 ，定义域为 (0,+∞)（5分；分段错误扣3分，未写范围扣2分）。 （2）因为 ，代入第二段：（元）（4分）。 说明：若计价规则中另加“不足 1 千米按 1 千米计”，则 一段应写成 （ 表示不小于 的最小整数），此时 千米应付 28 元。本卷按“按实际里程计价”处理，取整情形留作讲评延伸。 （二）B层 8. （1）令 ，则 ，且 （2分）。 代入得 （3分），故 。 定义域：原式中 且 ，即 且 ；换成 后仍然要求 、，故定义域为 （3分；漏 扣2分）。 （2）不可能是一次函数（2分）。因为化简后 的分母中含有 ，无法化成 的形式；且一次函数在 上有定义，而它的定义域挖去了三个点（言之有理即可）。 9. （1）零点为 、（1分），分为三段： 当 时，； 当 时，； 当 时，（4分）。 故 （1分；区间端点重复或遗漏扣1分）。 （2）图象为折线：左段是斜率为 的射线，中段是水平线段，右段是斜率为 的射线（画出三段得2分，画成曲线扣2分）。 由图象最低处为水平段，得值域为 [3,+∞)（2分）。 10. （1）① 当 时， 在 上，，（3分）； ② 当 时， 在 上， 到 的距离恒为 4，（3分）； ③ 当 时， 在 上，，（3分）。 故 （1分；缺一段扣3分，端点归属错扣1分）。 （2） 落在第二段，故 （2分）。 （三）C层 11. 三条条件缺一不可： ① 时， 的对称轴为 ，要在该段递增，需 （3分）； ② 时， 为一次函数，要递增需 （2分）； ③ 分界点处左侧最大值不超过右侧最小值：，右段在 处的极限为 ，故 ，即 （4分）。 综上，，即 的取值范围是 [1,+∞)（1分；未写“综上”扣1分）。 12. 答案开放。示例：。 验证：定义域为 ； 时 ， 时 落在 (0,4]， 时恒为 4，值域为 [0,+∞)；在 内 单调递增；（每满足一条得2分，共8分）。 画出草图（分段点处无断裂）得2分。缺少一条性质扣3分，未画图扣2分。注意：写出的函数必须三段（或两段）在分界点处“接得上”，若出现跳跃导致值域不连续覆盖，视为不满足条件。 （四）本题组改编说明 1. 第2题：图由本节自行绘制（五个关键点 、、、、 连成折线），四个选项分别指向“端点开闭”“函数值”“值域”“单调比较”四个读图要点，避免学生靠猜。 2. 第7题：计价情境取自教材“分段函数应用”的常见素材，原题常附“不足 1 千米按 1 千米计”一句，那会使函数变成取整型阶梯函数（），超出本节要求且与“按实际里程”的答案矛盾。本题删去该句，改为按实际里程计价，保证分段解析式与答案自洽；取整情形作为讲评延伸。 3. 第10题：动点面积问题取自教材习题的常见模型，原题只要求写出 一段，本题补全三段并追问 ，使“分段”真正成为解题主线。 4. 第12题：反向构造分段函数，给定定义域、值域与单调性三条约束，答案不唯一，用于评价“是否真正理解分段”，而非记忆题型。 八、作业评价标准（分层评价量规） 本量规与赋分互补：赋分回答“对没对”，量规回答“好没好”。 评价对象 评价维度 等级标准（达标／良好／优秀） 评价主体 反馈方式 改进建议 A层 1—7题 三种表示法、分段求值、简单建模 达标：选择题答对2题以上，解答题思路基本正确；良好：解答步骤完整，分段解析式都标了范围；优秀：第4题两解齐全，第5题写清新元范围，第7题定义域与分段都规范 教师批改＋同桌互批 当堂面批，错题当日订正 漏写定义域者，在解析式旁用红笔补上范围；第7题分段错的，重画一次数轴标出 3 千米分界 B层 8—10题 换元、去绝对值作图、几何建模 达标：第8题能求出解析式；良好：第9题三段写全、图象画对并求出值域；优秀：第10题三种情形分类完整、端点归属正确，能说清“为什么中间一段是常数” 教师批改 下一课时投影典型答案对比讲评 第9题画成曲线者，复习绝对值的几何意义；第10题卡壳者，用动态图演示 点轨迹 C层 11—12题 含参分段性质、开放构造 达标：第11题能写出对称轴条件；良好：三条条件齐全并写出“综上”；优秀：第12题构造的函数三条性质全满足，草图分段点处接得上 学生自评＋教师点评 课堂口述思路，不要求书面重做；第11题拓展放在课后答疑 只写解析式不画图者，要求口述图象走向；漏分界点条件者，追问“ 处左右两边谁高” 证据从哪里来：①第1题的选项判断理由；②第5、8题的换元步骤与新元范围；③第9题的草图与值域；④第10题的三段分类；⑤第12题构造的解析式与草图。每层至少留存一份学生作品（好、中、差各一），作为讲评选材与二次辅导的依据。 九、作业设计亮点 1. 守住课时边界。本节只做“表示法”的事：三种表示法的辨析、分段函数的求值与图象、求解析式的三种方法、由情境建模；单调性证明、奇偶性留给 3.2，与 3.1.1 也不重复。 2. 由“形”入“数”、由“数”想“形”。第2题读图取定义域值域，第9题由式画图，第10题由图形写分段式，三题形成一条数形互译的链。 3. 专治换元法“丢定义域”。第5题（ 取全体实数）与第8题（ 只能取非零实数）成对出现，一组对比让学生看清“什么时候必须写范围”。 4. 分段建模的完整训练。第7题（计价）、第10题（动点面积）都要求“分段—写式—标范围”三步走全，第6题则训练“代入哪一段”的判断。 5. 开放题不靠记忆。第12题给定三条性质反向构造，答案不唯一，量规按“性质是否满足、草图是否接得上”定性判断，符合减负增效的取向。 6. 评分细则可操作。换元步骤、新元范围、分段端点、“综上”结论都单列采分点，教师批改不必再猜“这一步给几分”。 — — 学科网（北京）股份有限公司 $