3.1.2 函数的表示法-【突破课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册基础提升练（人教A版）

**基本信息** 以“函数的表示法”为核心，通过A、B、C三层设计实现从基础概念到综合应用的递进，强化数学抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|函数表示法基础（解析法、图象判断、分段函数定义）|结合生活情境（公交票价、阶梯水价），教材改编题占比高，限时10分钟即时巩固| |B组|单一知识点深化（解析式求法、分段函数运算、图象应用）|分模块训练（表示法应用、解析式求法等），题型多样（选择、填空、解答），限时25分钟强化| |C组|综合知识点应用（复合函数、创新定义、分段函数与不等式）|含多选与创新题（新运算定义），注重知识交叉，限时30分钟能力提升|

3.1.2　函数的表示法 1.y= 2.(1)✕　(2)✕　(3)✕　(4)✕　(5)✕　(6)√ 3.A 4.B　对于A,直线x=1与图象有两个交点,不符合函数的定义,故A不正确; 对于B,函数的定义域为[0,2],值域为[0,2],且对于定义域内的每一个x,都有唯一的y与之对应,符合题意,故B正确; 对于C,函数的定义域为[0,2],值域为[0,1],不符合题意,故C不正确; 对于D,函数的定义域为[0,1],值域为[0,2],不符合题意,故D不正确. 故选B. 5.[-3,0]∪[1,4]　[-2,2]　(0,2] 6. 7.解题思路　若x∈[0,180],则f(x)=5x; 若x∈(180,260],则f(x)=5×180+7(x-180)=7x-360. 因此f(x)= 8.C　∵1 300∈(1 000,1 500],∴此人应付的邮资是7.00元,故选C. 9.B　易知函数f(x)=+x的定义域为{x|x≠0}, 当x>0时, f(x)=1+x;当x<0时, f(x)=-1+x, 即f(x)=结合一次函数的图象与性质,可得选项B符合.故选B. 方法总结　描点法作函数图象的四个关注点 (1)画函数图象时明确函数的解析式,能化简的先化简. (2)画函数图象时要关注函数的定义域,即在定义域内作图. (3)图象是实线或实心点,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象. (4)要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心圈. 提醒:函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等. 10.B　肖老师开始离家距离越来越远,中间离家距离不变,后来离家距离越来越近,因此B中路线符合题意,故选B. 11.答案　1 解题思路　由题意可知g(3)=2,f(2)=1, 所以f(g(3))=f(2)=1. 12.A　令2x+1=-3,解得x=-2,故f(-3)=4×(-2)2+6×(-2)-1=3.故选A. 13.AD　设f(x)=kx+b(k≠0),则f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=4x+3, 所以解得或 即f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.故选AD. 14.解题思路　(1)解法一:(换元法)令+1=t,则x=(t-1)2,t≥1,所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1), 所以f(x)=x2-1(x≥1). 解法二:(配凑法)f(+1)=x+2=x+2+1-1=(+1)2-1. 又因为+1≥1,所以f(x)=x2-1(x≥1). (2)易知x≠0,在已知等式中,将x换成, 得f +2f(x)=,与已知方程联立, 得消去f ,得f(x)=-+(x≠0). 15.D　因为函数f(x)=且f(a)=4, 所以或解得a=-4或a=2.故选D. 名师点睛　在分段函数中,求某条件下自变量的值的方法:先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上,然后求出相应自变量的值,再检验. 16.C　由题可得f(2)=-2×22+8=0,则f(f(2))=f(0)=5.故选C. 方法总结　求分段函数的函数值的方法:先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间,然后代入该区间对应的解析式求值.当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. 17.答案　f(x)= 解题思路　当-1≤x<0时,设f(x)=ax+b,将(-1,0), (0,1)代入解析式,得解得即f(x)=x+1. 当0≤x≤1时,设f(x)=kx,将(1,-1)代入,得k=-1,即f(x)=-x. 综上,f(x)= 18.解题思路　(1)由-5∈(-∞,-2],-∈(-2,2),-∈(-∞,-2],知f(-5)=-5+1=-4,f(-)=(-)2+2×(-)=3-2,f =-+1=-. 又∵-2<-<2,∴f =f =+2×=-3=-. (2)当a≤-2时,a+1=3,即a=2,2>-2,不符合题意,舍去; 当-2<a<2时,a2+2a=3,即a2+2a-3=0,解得a=1或a=-3,又∵1∈(-2,2),-3∉(-2,2),∴a=1符合题意; 当a≥2时,2a-1=3,即a=2,符合题意. 综上,当f(a)=3时,a=1或a=2. 疑难突破　已知函数值求自变量的值的步骤 (1)对自变量的取值范围分类讨论. (2)代入不同的解析式中. (3)通过解方程求出自变量的值. (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内. 19.解题思路　(1)当-1≤x<0时,[x]=-1, 所以f(x)=x+1, 当0≤x<1时,[x]=0,所以f(x)=x, 当1≤x<2时,[x]=1,所以f(x)=x-1. 综上, f(x)= (2)f(x)的图象如图所示: (3)由图象可得f(x)的值域为[0,1). 20.BCD　结合题中表格可知,当x=2时, f(2)=3, f(f(2))=f(3)=4≠2-1,此时不满足题意;当x=3时, f(3)=4,f(f(3))=f(4)=2=3-1,此时满足题意;当x=4时, f(4)=2,f(f(4))=f(2)=3=4-1,此时满足题意;当x=5时, f(5)=3,f(f(5))=f(3)=4=5-1,此时满足题意.故选BCD. 21.C　令t=f(a),则f(t)≤-1, 当t<0时,-t-2≤-1,解得t≥-1,又t<0,所以-1≤t<0, 当t≥0时,t2-1≤-1,解得t=0. 综上,-1≤t≤0,所以-1≤f(a)≤0, 当a<0时,-1≤-a-2≤0,解得-2≤a≤-1,满足a<0, 当a≥0时,-1≤a2-1≤0,所以0≤a2≤1,又a≥0,所以0≤a≤1, 所以实数a的取值范围是{a|-2≤a≤-1或0≤a≤1}. 故选C. 22.A　因为2⊕x=,x⊗2=,所以f(x)==.所以所以-2≤x≤2且x≠0,所以=2-x,所以f(x)=-,x∈[-2,0)∪(0,2].故选A. 23.A　 x0∈A即0≤x0<,所以f(x0)=x0+. 因为0≤x0<,所以≤x0+<1, 所以≤f(x0)<1,即f(x0)∈B, 所以f(f(x0))=3[1-f(x0)]=-3x0∈A, 即0≤-3x0<,解得<x0≤. 又0≤x0<,所以<x0<,故x0的取值范围是.故选A. 24.A　命题意图　本题主要考查分段函数图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、转化与化归思想. 解题思路　作出函数f(x)=的图象,如图所示. 不妨设x1<x2<x3,则点(x2, f(x2))与点(x3, f(x3))关于直线x=3对称,即x2+x3=6,且x1满足-<x1<0, 则-+6<x1+x2+x3<0+6,即x1+x2+x3∈.故选A. 25.D　解法一:当0≤x≤3时,y=x2-4x+3=(x-2)2-1, 所以当x=2时,ymin=-1,当x=0时,ymax=3; 当-3≤x<0时,0≤x+3<3, 所以函数f(x)的最小值为-1,最大值为3,故函数f(x)的值域为[-1,3]. 解法二:作出y=f(x)的图象,如图所示,由图象可知函数f(x)的值域为[-1,3]. 故选D. 26.答案　6 060 解题思路　由题意知 = = =…= =f(1)=3. 所以 + +…+ =3×2 020=6 060. 27.答案　-1 解题思路　f(f(9))=f(-2)=f(1)=|1-3|+a=1,解得a=-1. 28.解题思路　(1)设f(x)=kx+b(k≠0),则f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=16x-25, 所以解得或 所以f(x)=4x-5或f(x)=-4x+. (2)对任意的x∈(-1,1),有-x∈(-1,1), 由2f(x)-f(-x)=x2①,得2f(-x)-f(x)=(-x)2②, 联立①②解得,f(x)=x2(-1<x<1). 29.解题思路　(1)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x),g(x)的图象,如图①. 由图①中函数的取值情况,结合函数φ(x)的定义,可得函数φ(x)的图象,如图②. 　　　 令-x2+2=x,得x=-2或x=1, 结合图②,得出φ(x)的解析式为 φ(x)= (2)由图②知φ(x)的定义域为R,φ(1)=1, 所以φ(x)的值域为(-∞,1]. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2　函数的表示法 A组　教材夯基础限时10分钟 　　　　　 1.(数学与生活)某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定:(1)5 km以内(含5 km),票价2元;(2)5 km以上,每增加5 km,票价增加1元(不足5 km的按5 km计算).如果某条线路的总里程为20 km,请根据题意,写出票价y(单位:元)与里程x(单位:km)之间的函数解析式:　　　　　　　　.  2.(判对错) (1)任何一个函数都可以用解析法表示.(　　) (2)函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线.(　　) (3)函数f(x)=x+1与g(x)=x+1(x∈N)的图象相同.(　　) (4)分段函数由几个函数构成.(　　) (5)分段函数有多个定义域.(　　) (6)函数的图象可以由孤立的点组成.(　　) 3.(教材P67例4改编)下列各图中,可作为函数图象的是(　　) 4.(教材P73习题3.1T12改编)已知函数f(x)的定义域和值域均为[0,2],则f(x)的图象可能为(　　) 5.(教材P73习题3.1T11改编)已知函数p=f(m)的图象如图所示. 函数p=f(m)的定义域为　　　　　　　　,函数p=f(m)的值域为　　　　,p的取值在区间　　　　内时,只有唯一的m与之对应.  6.(教材P68例6改编)给定函数f(x)=x+1,g(x)=(x+1)2,x∈R.∀x∈R,用m(x)表示f(x),g(x)中的较小者,记为m(x)=min{f(x),g(x)},用解析法表示函数m(x)=　.  7.(人教B版教材好题节选)北京市自2014年5月1日起,居民用水实行阶梯水价.其中年用水量不超过180 m3的部分,综合用水单价为5元/m3;超过180 m3但不超过260 m3的部分,综合用水单价为7元/m3.如果北京市一居民年用水量为x m3,其要缴纳的水费为f(x)元.假设0≤x≤260,试写出f(x)的解析式. B组　单一知识点限时25分钟 　　　　　 知识点1　函数的表示法及其应用 8.()国内某快递公司规定:质量在1 000克以内的包裹快递邮资标准如下表: 运送距 离x/km 0<x ≤500 500<x ≤1 000 1 000<x ≤1 500 1 500<x ≤2 000 … 邮资 y/元 5.00 6.00 7.00 8.00 … 如果某人从北京快递900克的包裹到距北京1 300 km的某地,他应付的邮资是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.5.00元 B.6.00元 C.7.00元 D.8.00元 9.知方法()函数f(x)=+x的图象是(　　) 10.(2024上海期中)肖老师以恒定的速率夜跑时的离家距离(y)与跑步时间(x)之间的函数的图象如图所示,则肖老师跑步的路线可能是(　　) 　 　 　 11.(2024河南郑州期中)已知函数y=f(x)的对应关系如表所示,函数y=g(x)的图象如图所示,则f(g(3))=　　　　.  x 1 2 3 f(x) 0 1 2 　 知识点2　函数解析式的求法 12.(2025贵州贵阳阶段练习)已知函数f(2x+1)=4x2+6x-1,则f(-3)=(　　) A.3 B.-3 C.-1 D.9 13.()(多选)一次函数f(x)满足f(f(x))=4x+3,则f(x)的解析式可以是(　　) A.f(x)=2x+1 B.f(x)=1-2x C.f(x)=2x-3 D.f(x)=-2x-3 14.(2024湖南永州一中调研改编) (1)已知f(+1)=x+2,求f(x)的解析式; (2)已知函数f(x)满足f(x)+2f =x,求f(x)的解析式. 知识点3　分段函数问题 15.(2024湖南益阳阶段练习)已知函数f(x)=若f(a)=4,则实数a=(　　) A.2 B.-2 C.-4 D.-4或2 16.知方法(2025湖南长沙期中)已知函数f(x)=则f(f(2))的值为(　　) A.11 B.0 C.5 D.4 17.(2024湖南永州一中调研)已知函数y=f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式是　　　　.  18.(2024湖南永州一中调研)已知函数f(x)= (1)求f(-5),f(-),f 的值; (2)若f(a)=3,求实数a的值. 19.()已知函数f(x)=x-[x],x∈[-1,2),其中[x]表示不超过x的最大整数,例如:[-3.05]=-4,[2.1]=2. (1)将f(x)的解析式写成分段函数的形式; (2)作出函数f(x)的图象; (3)根据图象写出函数f(x)的值域. C组　综合知识点限时30分钟 　　　　　　　　　 20.()(多选)已知函数y=f(x)用列表法表示如表,若f(f(x))=x-1,则x可取的值为(　　) x 1 2 3 4 5 f(x) 2 3 4 2 3 　　　　　　　　　　　　　　　 A.2 B.3 C.4 D.5 21.(2025山东菏泽期中)已知函数f(x)=若f(f(a))≤-1,则实数a的取值范围是(　　) A.{a|-2≤a≤1} B.{a|-1≤a≤0} C.{a|-2≤a≤-1或0≤a≤1} D.{a|0≤a≤1} 22.创新题(2024河北唐山调研)定义两种运算:a⊕b=,a⊗b=,则函数f(x)=的解析式为(　　) A.f(x)=-,x∈[-2,0)∪(0,2] B.f(x)=,x∈[-2,0)∪(0,2] C.f(x)=-,x∈[-2,-1)∪(-1,2] D.f(x)=,x∈[-2,-1)∪(-1,2] 23.()设区间A=,B=,函数f(x)=若x0∈A,且f(f(x0))∈A,则x0的取值范围是(　　) A. B. C. D. 24.()已知函数f(x)=若互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1+x2+x3的取值范围为　(　　) A. B. C. D. 25.(2024河南南阳期末)函数f(x)=的值域为(　　) A.[-1,+∞) B.[3,+∞) C.[-1,0] D.[-1,3] 26.(2024广东阳江期末)已知对任意的x,y∈N*,都有f(x+y)=f(x)f(y).若f(1)=3,则+ +…+ =　　　　.  27.()已知a∈R,函数f(x)=若f(f(9))=1,则a=　　　　　.  28.()(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=16x-25,求f(x)的解析式; (2)定义在区间(-1,1)上的函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=x2,求f(x)的解析式. 29.(2024江苏泰州期末)已知函数f(x)=-x2+2,g(x)=x,令φ(x)=min{f(x),g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者). (1)分别用图象法和解析法表示φ(x); (2)求函数φ(x)的定义域和值域. 学科网（北京）股份有限公司 $