2.2.4 第二课时 均值不等式的应用（学习讲义）-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书word（人教B版）

本讲义聚焦均值不等式的应用这一核心知识点，以实际问题（如矩形鸡舍面积）引入，系统梳理均值不等式求最值的“一正、二定、三相等”条件，通过求最值、条件最值、应用题三类题型构建学习支架，延伸至三元均值不等式拓展。 该资料以真实情境（矩形花坛扩建、购物运费存储）驱动数学建模，题型分类与通性通法指导培养逻辑推理，问题探究提升数学抽象能力。课中例题与跟踪训练辅助教师高效授课，课后练习题与作业提示助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第二课时　均值不等式的应用 1.熟练掌握利用均值不等式求最值问题（数学抽象、逻辑推理）. 2.会用均值不等式求解实际应用问题（数学建模、数学运算）. 　　某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍. 【问题】　怎样设计才能使鸡舍面积最大？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　均值不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 （1）若x＋y＝s（和为定值），则当x＝y时，积xy取得最大值； （2）若xy＝p（积为定值），则当x＝y时，和x＋y取得最小值2. 即：当两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为常数时，它们的积有最大值. 　　提醒：在应用均值不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件：一正、二定、三相等，这三个条件缺一不可.①一正：符合均值不等式≥成立的前提条件，a＞0，b＞0；②二定：化不等式的一边为定值；③三相等：必须存在取“＝”的条件，即“＝”成立. 1.设实数x满足x＞－1，则函数y＝x＋的最小值为（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 2.已知实数x，y满足x2＋y2＝2，那么xy的最大值为（　　 ） A. B. C.1 D.2 3.已知0＜x＜1，则x（1－x）的最大值为　　　，此时x＝　　　　. 题型一｜利用均值不等式求最值 【例1】　（链接教科书第78页例4）（1）若x＞0，则12x＋的最小值为　　　　； （2）已知x＞2，则x＋的最小值为　　　　； （3）若0＜x＜，则x（1－2x）的最大值是　　　　. 尝试解答 通性通法 　　利用均值不等式求最值的方法 　　利用均值不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值.常见的变形方法有拆、并、配. （1）拆——裂项拆项：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用均值不等式凑定值创造条件； （2）并——分组并项：目的是分组后各组可以单独应用均值不等式，或分组后先对一组应用均值不等式，再在组与组之间应用均值不等式得出最值； （3）配——配式配系数：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用均值不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的两因式之和为定值. 【跟踪训练】 1.若x＞0，则下列说法正确的是（　　） A.＋的最小值为2 B.x＋的最小值为1 C.＋的最小值为2 D.x＋的最小值为2 2.已知0＜x＜4，则x（4－x）的最大值为　　　　，此时x＝　　　　. 题型二｜利用均值不等式求条件最值 【例2】　已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1. （1）求xy的最大值； （2）求＋的最小值. 尝试解答 通性通法 常数代换法求最值的方法步骤 （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； （4）利用均值不等式求最值. 【跟踪训练】 1.已知正数a，b满足＋＝1，则a＋b的最小值为（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 2.若正实数a，b满足＋＝9，则a＋2b的最小值为　　　　. 题型三｜利用均值不等式解应用题 【例3】　如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝3米，AD＝2米. （1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围？ （2）当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值. 尝试解答 通性通法 利用均值不等式求实际问题中最值的4步骤 （1）阅读理解材料：理解材料中的文字语言、图形语言及符号语言，将实际问题抽象成数学模型； （2）建立数学模型：把实际问题用符号语言、图形语言抽象成数学模型，并且建立所得数学模型和已知均值不等式数学模型的对应关系，构造出符合题意的数学模型； （3）解数学模型：按照数学知识（均值不等式求最值的方法）解均值不等式求最值； （4）写出问题结论：根据所求结果，结合题目要求，写出问题的结论. 【跟踪训练】 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是（　　 ） A.20　　　B.30 C.40　　　D.50 二元均值不等式：设a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时等式成立. 证明：因为（a＋b）2－4ab＝（a－b）2≥0，所以（a＋b）2≥4ab，从而得≥，当且仅当a＝b时等式成立. 三元均值不等式：设a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时等式成立. 证明：设d为正数，由二元均值不等式，得＝≥≥，当且仅当a＝b＝c＝d时，等式成立.令d＝，即a＋b＋c＝3d，代入上述不等式，得d≥，由此推出d3≥abc，因此≥，当且仅当a＝b＝c时等式成立. 【问题探究】 当满足什么条件时，可以利用三元均值不等式求的最小值？ 提示：当a，b，c均为正数，且a，b，c能取到相等的值时，可以利用三元均值不等式求的最小值. 【迁移应用】 　已知a，b，c均为正实数，求证：（a＋b＋c）·≥9. 1.设x＞0，则3－3x－的最大值是（　　 ） A.3　　　　 B.3－2　 C.－1　 D.3－2 2.已知a＞0，b＞0，若a＋b＝ab－8，则ab的最小值为（　　） A.20 B.16 C.8 D.4 3.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理（够用且浪费最少）的是（　　 ） A.6.5 m B.6.8 m C.7 m D.7.2 m 4.〔多选〕设正实数a，b满足a＋b＝1，则下列结论正确的是（　　 ） A.＋有最小值4 B.有最小值 C.＋有最大值 D.a2＋b2有最小值 5.已知正数a，b满足a＋b＝6，ab＝9k. （1）求k的最大值； （2）求＋的最小值. 提示：完成课后作业　第二章　2.2　2.2.4　第二课时 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　均值不等式的应用 【基础落实】 自我诊断 1.A　∵x＞－1，∴x＋1＞0，∴y＝x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝3，当且仅当x＋1＝，即x＝1时等号成立.故选A. 2.C　由x2＋y2＝2≥2xy，可得xy≤1，当且仅当x＝y＝1或x＝y＝－1时等号成立.故选C. 3.　　解析：因为0＜x＜1，所以1－x＞0，所以x（1－x）≤＝＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时“＝”成立，即当x＝时，x（1－x）取得最大值. 【典例研析】 【例1】　（1）4　（2）6　（3）　解析：（1）因为x＞0，所以12x＋≥2＝4，当且仅当12x＝，即x＝时等号成立. 所以12x＋的最小值为4. （2）因为x＞2，所以x－2＞0， 所以x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6， 当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立. 所以x＋的最小值为6. （3）因为0＜x＜， 所以1－2x＞0， 所以x（1－2x）＝×2x×（1－2x）≤＝×＝， 当且仅当2x＝1－2x，即当x＝时等号成立， 所以x（1－2x）的最大值为. 跟踪训练 1.A　对于A、C，因为x＞0，则＞0，由均值不等式可得＋≥2＝2，当且仅当＝，即x＝1时，等号成立，即＋的最小值为2，A对，C错；对于B、D，因为x＞0，则x＋1＞1，由均值不等式可得x＋＝（x＋1）＋－1≥2－1＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝0或－2时，等号成立，但x＞0，故等号不成立，所以x＋＞1，即x＋没有最小值，B、D错误.故选A. 2.4　2　解析：因为0＜x＜4，则4－x＞0，于是得x（4－x）≤＝4，当且仅当x＝4－x，即x＝2时取“＝”，所以x（4－x）的最大值为4. 【例2】　解：（1）∵x＞0，y＞0，∴2x＋y≥2， ∴1≥2，即xy≤， 当且仅当2x＝y＝，即x＝，y＝时，xy取得最大值. （2）＋＝（＋）（2x＋y）＝11＋＋≥11＋2＝11＋6， 当且仅当＝时，＋取得最小值11＋6. 跟踪训练 1.B　由题意，a＋b＝（a＋b＋1）－1＝（a＋b＋1）（＋）－1＝＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当＝，即a＝2，b＝1时取等号.故选B. 2.1　解析：因为正实数a，b满足＋＝9，所以a＋2b＝（a＋2b）（＋）＝（5＋＋）≥（5＋2）＝1，当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立. 【例3】　解：（1）设DN＝x（x＞0），BM＝y（y＞0），则由△NDC与△NAM相似得＝，整理得y＝， 矩形AMPN的面积S＝AN·AM＝（x＋2）（3＋）， 即S＝3x＋＋12， 当S＞32时，得3x＋＋12＞32，整理得（3x－2）·（x－6）＞0， 解得x＞6或x＜，又x＞0， 所以DN的长的范围为（0，）∪（6，＋∞）. （2）x＞0时，3x＋≥2＝12， 当且仅当3x＝，即x＝2时等号成立， 所以S≥12＋12＝24， 所以当DN的长为2米时，矩形花坛AMPN的面积最小，最小值为24平方米. 跟踪训练 　B　由题意可得，一年的总运费与总存储费用之和y＝×6＋4x＝4≥4×2＝240，当且仅当＝x即x＝30时取等号，∴要使一年的总运费与总存储费用之和y最小，则x的值是30.故选B. 拓视野　均值不等式的拓广应用 迁移应用 　证明：∵a，b，c均为正实数，∴a＋b＋c≥3＞0，＋＋≥3＞0， ∴（a＋b＋c）·≥3·3＝9，当且仅当a＝b＝c时等号成立. 随堂检测 1.D　∵x＞0，∴3x＋≥2＝2，当且仅当x＝时取等号，∴－≤－2，则3－3x－≤3－2，故选D. 2.B　因为a＞0，b＞0，则a＋b＝ab－8≥2，解得≥4或≤－2（舍去），可得ab≥16，当且仅当a＝b＝4时，等号成立，所以ab的最小值为16.故选B. 3.C　设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828（m）.又要求够用且浪费最少，故选C. 4.ACD　A：由题设，＋＝（a＋b）＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时等号成立，正确； B：由a，b＞0，则a＋b＝1≥2，即≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，故的最大值为，错误； C：由a，b＞0，则a＋b＝1≥，即＋≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，正确； D：a2＋b2≥＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，正确.故选A、C、D. 5.解：（1）由a＋b＝6≥2， 得ab≤9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立， 则9k≤9，得k≤1，即k的最大值为1. （2）由a＋b＝6，得（a＋b）＝1， 得＋＝（＋）（a＋b）＝（＋＋5）≥（2＋5）＝， 当且仅当＝，即a＝2，b＝4时，等号成立. 故＋的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $