2.2.2不等式的解集 知识清单-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

2.2.2 不等式的解集　知识清单 人教B版（2019）　必修第一册　第二章（不等式） 从“会用性质变形”到“求出全部答案”：解、解集、解不等式与数轴表示 图 1　本节知识地图：解与解集、不等式组的解集、一元一次不等式、含绝对值的不等式、距离与中点公式 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习 目标 ① 理解不等式的解、解集与解不等式的概念，会判断一个数是不是不等式的解； ② 理解不等式组的解集是各不等式解集的交集，会在数轴上取公共部分； ③ 掌握一元一次不等式（组）的解法，弄清乘负数时方向改变、端点开闭与等号的对应； ④ 了解含绝对值的不等式的代数解法与几何意义，掌握数轴上的距离公式与中点坐标公式。 重点 一元一次不等式（组）的解法；不等式组解集的求法；|ax+b|>c 与 |ax+b|≤c 型不等式的解法 难点 含参不等式的分类讨论；解集的规范书写（不等式、集合、区间、数轴四种语言互译） 上一节我们学习了不等式的表示与性质，会用性质对不等式变形。本节进而回答一个更基本的问题：未知数究竟能取哪些值？这些值怎样一个不漏地表示出来？围绕这个问题，教材依次给出解与解集、不等式组的解集、一元一次不等式的解法、含绝对值的不等式，以及数轴上的距离公式与中点坐标公式。 二、情境引入 某通信套餐：月租 18 元，含 100 分钟通话；超出部分每分钟 0.12 元。如果这个月话费不得超过 30 元，设超出时长为 分钟，则 话费 = 月租 + 超出费用，即 。整理得 两边减去 18：；两边除以 0.12：；移项：。 也就是说，超出时长不能超过 200 分钟。可是 能取的值不止一个：0、50、120、200 都行， 不行。把所有能满足不等式的值收拢到一起，就是本节要研究的解集。 想一想不等式 的解集与不等式 的解集，形状上有什么不同？前者是“一头封口”的，后者两头都封口——差别正是不等号带不带等号、以及解集向哪边伸展造成的。 三、不等式的解与解集 不等式的解能够使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 不等式的解集不等式的所有解组成的集合，叫做不等式的解集。 解不等式求不等式解集的过程，叫做解不等式。 这三个概念与方程完全平行。上一章研究方程时，我们先说“使方程左右两边相等的未知数的值”是方程的解，所有解组成解集，再讲解方程组；不等式只是把“相等”换成“成立”，把等式的性质换成不等式的性质： 方程 不等式 解 使方程左右两边相等的未知数的值 能够使不等式成立的未知数的值 解集 方程的所有解组成的集合 不等式的所有解组成的集合 求解的过程 解方程 解不等式 变形的依据 等式的性质 不等式的性质（乘负数时方向要改变） 例 1（判断一个数是不是解） 问： 与 是不是不等式 的解？ 把 代入左边 ，得 7；因为 成立，所以 是这个不等式的解。把 代入得 3， 不成立，所以 不是它的解。 判断一个数是不是解，方法就是代入检验；而“求出所有解”则要靠不等式性质逐步变形。 解集的四种表示 一个解集，常用四种等价的语言来写。以 的解集为例： 表示方法 写法 说明 不等式语言 x ≥ 最直接，一眼看出未知数的范围 集合（描述法）语言 {x | x ≥ −5} 强调“所有解组成的集合”，竖线左边写代表元素 区间语言 [−5, +∞) 数集的简写，方括号表示含端点，+∞ 一端只能用圆括号 数轴（图形） 见图 2 第 2 行 端点实心含、空心不含，射线或线段表示伸展范围 区间记法在 1.1.1 已经学过：[a, b]、(a, b)、[a, b)、(a, b] 分别对应闭区间、开区间与两种半开半闭区间；[a, +∞)、(a, +∞)、(−∞, a]、(−∞, a) 是四种无穷区间，全体实数记作 (−∞, +∞)。本节解不等式，最后都要把解集写成区间形式并在数轴上表示。 图 2　解集在数轴上的表示规范：以 x>2、x≥2、x<5、2≤x<5、x<2 或 x>5 为例，看端点的开闭与伸展方向 书写规范① 端点带等号（≥、≤）用实心点、区间用方括号；不带等号（>、<）用空心点、区间用圆括号；② +∞、−∞ 是符号不是数，一端必须用圆括号；③ “或”连接的两段要写成并集的形式，用 ∪ 连接；④ 在数轴上表示解集时，先看端点的开闭，定空心点还是实心点，再根据不等号的方向，定射线或线段向左还是向右伸展，最后与区间记号互相检验；画完后不妨把区间记号翻译回不等关系，两者不一致就说明某一步变形有误。 四、不等式组的解集 不等式组的解集由若干个不等式联立得到的不等式组，各不等式解集的交集，称为不等式组的解集。 求解步骤第一步：分别解出每个不等式的解集；第二步：在同一个数轴上表示出各解集；第三步：取公共部分；第四步：写出解集（区间形式）。 图 3　不等式组解集的四种情形：以 x>1 与 x>3、x<5 与 x<2、x>1 与 x<5、x>5 与 x<1 为例，公共部分就是交集 数轴上取公共部分，结果只有四种形态，可概括为四句话： 情形 两个解集的位置 公共部分 口诀 同大取大 都向右，如 x>1 且 x>3 靠右的那个，x>3 同大取大 同小取小 都向左，如 x<5 且 x<2 靠左的那个，x<2 同小取小 大小取中 一左一右，如 x>1 且 x<5 中间一段，1<x<5 大小取中 没有公共部分 相背而行，如 x>5 且 x<1 空集 ∅ 无公共部分 例 2（求不等式组的解集） 求不等式组 { ①； ②} 的解集。 解不等式①：两边加 ，得 ；两边除以 2，得 。所以①的解集为 [−5, +∞)。 解不等式②：两边乘 3，得 ；移项、合并，得 ；两边除以 （除以负数，方向改变），得 。所以②的解集为 (−∞, −3)。 把两个解集画到数轴上（见图 3 第三行的取法），公共部分是 [−5, −3)，所以原不等式组的解集为 [−5, −3)。 例 3（无解的情形） 求不等式组 { ①； ②} 的解集。 解不等式①：两边乘 2，得 ，即 ，解集为 (3, +∞)。 解不等式②：两边乘 3，得 ，即 ，解集为 (−∞, 1]。 在数轴上， 的点都在 3 的右边， 的点都在 1 的左边，两部分没有重叠，所以原不等式组的解集为 ∅（空集）。 易错提示不等式组的解集是交集，不是并集： 与 的公共部分不存在，不能写成 (3, +∞) 与 (−∞, 1] 的并。 五、一元一次不等式（组）的解法 一元一次不等式只含一个未知数，并且未知数的次数是 1 的整式不等式，叫做一元一次不等式。经过去分母、去括号、移项、合并同类项后，它可以化为 或 （）的形式。 解一元一次不等式，与解一元一次方程的步骤相同，都按下面五步走；差别只在最后一步：方程除以非零系数方向不变，不等式除以负数时方向必须改变。 步骤 变形内容 注意 1 去分母 两边同乘各分母的最小公倍数 不含分母的项也要乘，不要漏项 2 去括号 按去括号法则展开 括号前是负号时，里面各项都要变号 3 移项 含未知数的项移到一边，常数项移到另一边 移项要变号 4 合并同类项 化为 ax>b 或 ax<b（a≠0） 系数与常数项分别算准确 5 系数化为 1 两边同除以 a a<0 时不等号方向必须改变 例 4（解一元一次不等式） 解不等式 ，并把解集表示在数轴上。 去分母（两边乘 2）：；移项：；系数化为 1（除以 3）：。 所以解集为 (, +∞)。数轴上，在 处画空心点，向右画射线（见图 2 第 1 行的形状）。 例 5（含参的一元一次不等式） 解关于 的不等式 ，其中 是常数。 两边除以 时方向改不改，取决于 的符号，必须分类： 当 时，得 ，解集为 (, +∞)； 当 时，不等式变成 ，无论 取何值都不成立，解集为 ∅； 当 时，两边除以 方向要改变，得 ，解集为 (−∞, )。 方法归纳字母系数的符号未知时，先按符号分类，再决定方向；特别地，系数可能为 0 的情形最容易漏掉。 六、含绝对值的不等式 绝对值的几何意义数轴上表示数 a 的点与原点之间的距离，称为数 a 的绝对值，记作 。因此 ，且 （）、（）。含有绝对值的不等式，叫做绝对值不等式。 解含绝对值的不等式，关键是“去绝对值”：从代数角度看，按 的定义分情况写成普通不等式；从几何角度看， 就是距离，直接读数轴。 去绝对值的两种基本形式（c>0） 化为 或 （大于在两边）； 化为 （不大于在中间）。 几何语言把 看成一个整体 ： 就是“ 到 0 的距离大于 ”，解集在 0 的两侧； 就是距离不大于 ，解集是以 0 为中心的一段。 最常用的是 与 的比较。 的符号会改变结论， 的三种情形都要会说： 不等式 m>0 m=0 m<0 |x|>m (−∞, −m) ∪ (m, +∞) (−∞, 0) ∪ (0, +∞) (−∞, +∞)，即 R |x|≤m [−m, m] {0} ∅ 图 4　含绝对值不等式的几何意义：以 |x−2| 与 3 比较为例，不大于 3 是线段 [−1, 5]，大于 3 是两侧的射线 例 6（|x−2| 与 3 比较） 解不等式：（1）；（2）。 （1）由 得 ，各边加 2，得 ，解集为 [−1, 5]（就是图 4 左侧图中到 A(2) 距离不大于 3 的点）。 （2）由 得 或 ，即 或 ，解集为 (−∞, −1)∪(5, +∞)。 例 7（系数不为 1 与双重情形） 解不等式：（1）；（2）。 （1）由 得 或 。分别解得：，即 ；，即 。所以解集为 (−∞, )∪(3, +∞)。 （2） 等价于“ 且 ”。由前者得 或 ，即 或 ；由后者得 ，即 。两部分取公共部分，得 [−2, 0]∪[4, 6]。 选学：两个绝对值相加以 为例。按 、 的根 1、2 把数轴分成三段： x<1 时原式为 ，由 得 ，即 ； 1≤x≤2 时原式为 ， 恒成立； x>2 时原式为 ，由 得 ，即 。 综上原不等式的解集为 (−1, 4)。也可借助几何意义： 是 到 1、2 两点的距离之和，两段“尾部”各贡献一段。 七、数轴上的距离公式与中点坐标公式 两点间的距离公式数轴上 、 之间的距离 。 中点坐标公式线段 的中点 对应的数 。 这两个公式把“距离”“中点”翻译成代数式，是解含绝对值不等式与几何应用题的桥梁：看到“距离”,写 ；看到“中点”,写 。 例 8（中点到原点的距离） 设数轴上点 与实数 3 对应，点 与实数 对应。已知线段 的中点到原点的距离不大于 5，求 的取值范围。 线段 的中点对应的数为 。中点到原点的距离就是它的绝对值，由题意 ，即 。去绝对值：，各边减 3，得 。 所以 的取值范围是 [−13, 7]。 例 9（由解集反求参数） 已知关于 的不等式 的解集为 [−1, 3]，求实数 的值。 由 得 ，各边加 ，得 ，所以解集为 [, ]。 题设又说解集是 [−1, 3]，两个集合相等，端点必须对应相等： 且 ，都解得 。 换个角度更快： 的解集以 为中心（ 就是“距离”的参照点），而 [−1, 3] 的中心是 ，所以 。 八、易错辨析 乘除负数忘变向解 时，两边除以 后应得 ；写成 就错了。每除一次负数，先问自己：方向改了没有？ 端点开闭与等号错位 的解集是 [−5, +∞)，不是 (−5, +∞)：带等号的端点用方括号和实心点，不带等号用圆括号和空心点。 不等式组取成并集求 且 的解集，答案是 (2, 5)；写成 (−∞, 2) ∪ (5, +∞) 是把交集做成了并集。先画数轴，再取重叠部分。 去绝对值漏一种情况 的解集是 或 ；只写 就漏掉了左侧那一半。大于在两边，不大于在中间。 含参漏掉参数为 0解 要按 、、 三种情形讨论； 时 不成立，解集为 ∅，这一种最容易忘。 以一个解代替解集 的解集是 (, +∞) 这一整段，不是 一个值。解集要“全”（一个不漏）且“准”（端点开闭正确）。 图 5　解不等式：规范写法与常见错误对照 把解集画到数轴上，与区间记号互相核对，是避免上述错误最简便、最可靠的方法。 九、本节边界 本节已学不等式的解、解集与解不等式的概念；不等式组的解集是各解集的交集，会在数轴上取公共部分；一元一次不等式（组）的五步解法与含参分类；含绝对值的不等式（|ax+b|>c 与 |ax+b|≤c 型）的代数解法与几何意义；数轴上的距离公式与中点坐标公式；解集的不等式、集合、区间、数轴四种表示。 本节不涉及未知数的最高次数大于 1 的整式不等式及其系统解法，留待后续章节专门研究，本节的工具只有不等式性质与数轴；含多个绝对值的不等式仅作选学了解；借助不等式求最值、解集与图形的对应，属于更后面的内容；变量之间的依赖关系（函数）在本册后续章节才引入，本节不出现任何函数记号。 十、课后巩固 1. 解一元一次不等式解不等式 ，并把解集用区间表示。 2. 去分母解不等式 。 3. 解不等式组求不等式组 的解集。 4. 含绝对值解不等式 。 5. 距离与中点已知数轴上 、，求线段 的长以及线段 的中点 的坐标。 6. 绝对值为 0解不等式 。 7. 双重情形解不等式 。 8. 综合应用数轴上 、、。（1）若 与 关于点 对称，求 ；（2）若线段 的中点到 的距离小于 5，求 的取值范围。 参考答案 1. ，得 ，解集为 (−6, +∞)。 2. 两边乘 2：；移项、合并：；除以 3：，解集为 (, +∞)。 3. 由 得 ；由 得 。取公共部分，解集为 (, ]。 4. 原不等式等价于 ，即 ，。所以 或 ，解集为 (−∞, ]∪[, +∞)。 5. ；中点 。 6. 原不等式等价于 ，所以 ，，解集为 {−3}。 7. 原不等式等价于“ 且 ”。由前者： 或 ，即 或 ；由后者：，即 。取公共部分，解集为 (, 0]∪[1, )。 8.（1） 与 关于 对称，即 是 的中点，。（2）线段 的中点对应的数为 ，它到 的距离为 。由题意 ，即 ，所以 ，解得 ，即 的取值范围是 (3, 23)。 学科网（北京）股份有限公司 $