精品解析：江苏省姜堰中学2026-2027学年度第一学期阶段检测（一）高三数学试题

2026-2027学年度第一学期阶段检测（一） 高三数学试题 2026．10 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 已知正四棱台的体积为其上下底面的边长分别为1和2，则这个正四棱台的高为（ ） A. B. C. D. 5. 已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，则tmin后物体的温度℃满足公式（其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）某天小明同学将温度是80℃的牛奶放在20℃空气中，冷却2min后牛奶的温度是50℃，则（ ） A. B. C. D. 6. 求值 A. 2 B. C. 1 D. -1 7. 已知函数，若恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于的方程有6个根，则的取值范围为（） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正实数、满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 存在、满足 10. 已知函数，则（） A. 图象关于轴对称 B. 的最小正周期为 C. 的值域为 D. 在单调递增 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，为线段上动点（包括端点），点在平面内，则下列说法中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 的最小值为 D. 三棱锥的外接球表面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知函数是上的奇函数，当时，，则______________． 13. 已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围______． 14. 已知函数在上的最小值为1，则的取值范围是_________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 ． （1）求 的最小正周期及其单调递增区间； （2）当 时，求的值域． 16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若，的面积为，D为的中点，求的长度． 17. 已知． （1）讨论函数的单调性； （2）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 18. 如图，三棱台中，，，平面平面． （1）证明：平面； （2）若，，，设与相交于点，，且平面； ①求三棱锥的体积； ②求与平面所成角的余弦值． 19. 已知函数． （1）当时，求函数的最值； （2）讨论方程解的个数； （3）若方程存在两个非零解，且满足，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期阶段检测（一） 高三数学试题 2026．10 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义以及补集的定义即可求解. 【详解】由题可知，所以． 故选：C 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求解不等式的解集得到的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断关系. 【详解】由，得，即， 则“”是“”的必要不充分条件. 3. 若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】按照两角和的正切公式化简计算即可. 【详解】， . 故选：D 4. 已知正四棱台的体积为其上下底面的边长分别为1和2，则这个正四棱台的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设正四棱台的高为，则，故. 5. 已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，则tmin后物体的温度℃满足公式（其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）某天小明同学将温度是80℃的牛奶放在20℃空气中，冷却2min后牛奶的温度是50℃，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题设列方程求解即可. 【详解】由，得， 即，则，即. 故选：C 6. 求值 A. 2 B. C. 1 D. -1 【答案】D 【解析】 【分析】由，依两角差的正弦公式化简求值即可． 【详解】 ＝﹣1． 故选D． 【点睛】本题主要考查利用两角差的正弦公式进行化简求值． 7. 已知函数，若恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由奇函数的定义可知为奇函数，结合导数可判断单调递增，进而原问题化为恒成立，即恒成立，令，借助导数可得最大值进而即得. 【详解】，， 故，单调递增. 又，所以恒成立，等价于，等价于恒成立，即恒成立. 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以当时，取得最大值， 故 8. 已知函数，若关于的方程有6个根，则的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出分段函数图像，换元，统计在不同取值时解的个数；原方程要有个根，等价于关于的二次方程存在两个不等实根，两根都落在区间，利用二次函数根的分布列出不等式组求解参数范围． 【详解】作出函数的大致图象， 令．当或时，方程有个根； 当或时，方程有个根； 当时，方程有个根． 原方程可化为， 要使原方程有个根，关于的方程必须有两个不同的根，且两个根都属于， 令， 因为二次项系数为正，所以需满足，解得， 所以的取值范围为． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正实数、满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 存在、满足 【答案】AC 【解析】 【分析】由得，结合可判断A选项；利用基本不等式可判断BC选项；由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断D选项. 【详解】由正实数、满足得， 又因为，解得，故A选项正确； 由已知条件及得，解得， 当且仅当时，即当时，取等号，故B选项错误； 由已知条件及得，解得， 当且仅当时，即当时，取等号，故C选项正确； 由得， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故D选项错误． 故选：AC． 10. 已知函数，则（） A. 图象关于轴对称 B. 的最小正周期为 C. 的值域为 D. 在单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】先利用判定函数为偶函数，再赋值验算排除周期为，借助三角恒等变形确定函数值域，最后换元结合余弦函数性质判断指定区间单调性，依次得出各选项正误. 【详解】选项A.因为的定义域为，且. 所以是偶函数，图象关于轴对称，A正确. 选项B.当时，; 当时，. 取， 故的最小正周期不是，B错误. 选项C.当时，; 当时，. 由三角函数性质知，，，所以的值域为，C正确. 选项D.当时，，. 令，则，. 当时，单调递增且非负，故在上单调递增，D正确. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，为线段上动点（包括端点），点在平面内，则下列说法中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 的最小值为 D. 三棱锥的外接球表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定及性质，结合三棱锥的体积公式判断A；利用球面的截面性质计算判断B；将与置于同一平面内，结合余弦定理求出最小值判断C；确定球心位置并求出球半径，进而求出球的表面积判断D. 【详解】对于A，正方体的对角面为矩形，则， 又平面，平面，所以平面， 所以，线段上点到平面的距离为定值， 又面积为定值，所以，三棱锥的体积为定值，A正确； 对于B，四面体是正四面体，棱长， 正的外接圆半径， 所以，点到平面的距离， 因为， 所以，点的轨迹是以点为球心，为半径的球被平面所截得的圆， 该圆半径为，而正的内切圆半径为， 因此点的轨迹是正的内切圆，轨迹长度为，B正确； 对于C，将与沿直线展开到同一平面内，如图： 所以，，当且仅当为线段与交点时取等号， 因为，，所以， 又因为正中，， 所以，， 所以，由余弦定理得， 因此的最小值为，C错误； 对于D，在三棱锥中，，正的边长为， 取中点，连接，则，， 而， 于是，， 平面，则平面， 同理平面， 令的外心分别为，则分别在线段上， 由选项B知，在中，， 由正弦定理得，则， 令三棱锥外接球球心为， 连接，则平面，平面， 因此， 四边形为矩形，， 三棱锥外接球半径， 所以三棱锥的外接球表面积为，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知函数是上的奇函数，当时，，则______________． 【答案】-2 【解析】 【分析】因为为奇函数，所以根据即可计算出 【详解】因为为奇函数，所以，因为时 所以． 【点睛】本题主要考查了奇函数的性质：即奇函数在定义域上满足，属于基础题． 13. 已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】由得到，由零点个数得到不等式，求出答案. 【详解】， ∴， ， ∵函数在上恰有两个零点， ∴，解得，. 故答案为： 14. 已知函数在上的最小值为1，则的取值范围是_________ 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为在上恒成立，结合局部保号性可求参数的取值范围. 【详解】由于函数在上的最小值为1，结合在上恒成立， 因此可知，故对任意的恒成立，故， 因为，故只需在上恒成立即可， 故只需在上恒成立即可，故在上恒成立， 故在上恒成立， 故，故需在上恒成立， 设，则， 因为在上为增函数， 故当即时有在上恒成立， 且不恒为零点，故在上为增函数，故， 即在上恒成立， 若，则，故存在，使得，总有， 即在上为减函数，此时即，这样题设矛盾； 综上可得. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 ． （1）求 的最小正周期及其单调递增区间； （2）当 时，求的值域． 【答案】（1）最小正周期 ，单调递增区间为 ； （2）值域为 ． 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数最小正周期以及单调区间的求解方法，即可求得结果； （2）根据可得，结合正弦函数性质，即可求得结果. 【小问1详解】 ， 所以最小正周期 ． 由 解得 ， 即单调递增区间为 ． 【小问2详解】 当 时，． 由正弦函数性质可知，当，即时，函数有最大值为， 当，即时，函数有最小值为， 所以 的值域为 ． 16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若，的面积为，D为的中点，求的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方法1：由正弦定理结合恒等变形化简得，再求角即可；方法2：由射影定理得，进而得到，再求角即可； （2）由三角形面积公式可得，再根据余弦定理可得，然后根据向量法求中线长即可． 【小问1详解】 解：方法1：∵， ∴， ∵， ∴＞0，∴，∴，； 方法2：由射影定理，对任意，有， 代入题干条件得，因为b＞0，所以， 又，故． 【小问2详解】 解：由三角形面积公式：代入， 解得． 由余弦定理，代得：， 因为D为中点，由向量中线公式：， 两边平方得：， 因此． 17. 已知． （1）讨论函数的单调性； （2）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）函数在区间上单调递减，在区间上单调递增 （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）对原函数求导，根据导数的正负区间，直接判断出函数的单调递减和递增区间； （2）（i）代入求出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线斜率，最后用点斜式写出切线方程； （ii）分离变量，用导数求函数最值可得答案. 【小问1详解】 对求导得， 令，解得， 由可得，由可得， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【小问2详解】 当时，， （i）当时，，所以切点坐标为， 由（1）可知，当时，，切线斜率； 所以曲线在点处的切线方程为，即； （ii）不等式在上恒成立， 代入得到对任意的恒成立， 因为，所以，即对任意的恒成立， 令，则原问题转化为求在上的最小值，即需要满足. 对求导得， 令，求导得， 因为，所以恒成立，所以在上单调递增， 所以，所以在上恒成立， 所以在上单调递增，则， 因为恒成立，所以，所以实数的取值范围是. 18. 如图，三棱台中，，，平面平面． （1）证明：平面； （2）若，，，设与相交于点，，且平面； ①求三棱锥的体积； ②求与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）∵平面平面，且平面平面，，平面ABC， ∴平面，∵平面， ∴，又，，平面ABC， ∴平面， （2）①三棱锥的体积； ②与平面所成角的余弦值为. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，根据线线垂直判定定理求证平面， （2）①由条件结合线面平行性质定理可得，由此可得，根据锥体体积公式求结论； ②方法一：利用等体积法求点到平面的距离，结合直线与平面夹角的定义求结论. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ①连接， ∵平面，平面，平面平面， ∴，∵， ∴，∴，， ∴三棱锥底面的面积， 由（1）平面，又平面平面，， 所以点到平面的距离为，结合， 可得点到平面的距离， 所以三棱锥的体积 ②方法一：由已知结合①可得，，， 又，， 所以. 因为平面，平面，所以， 因为，，，平面， 得平面， 又，故平面， 因为的面积​， 到平面的距离为， 三棱锥的体积，  因为平面，平面，所以， 又​，，故的面积， ​​ 设到平面的距离为，所以， 因为​，所以，故， 设与平面所成角为， 由线面角定义可得，所以 ，又 ， 所以 . 19. 已知函数． （1）当时，求函数的最值； （2）讨论方程解的个数； （3）若方程存在两个非零解，且满足，证明：． 【答案】（1）最大值，无最小值． （2）当，方程有一个解；当，方程有三个解． （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对时的函数求导，根据导数符号判断单调性，进而得到函数的最值； （2）利用奇函数性质将方程解的问题转化为时的情况，构造辅助函数，通过导数分析其单调性，分和两种情况讨论零点个数，再结合奇函数对称性得到方程总解数； （3）由（2）的结论设方程的两个非零解，，将待证不等式转化为 ，利用方程解的条件消去参数，构造新函数并通过导数判断其符号，从而证明不等式. 【小问1详解】 当时，，求导可得 函数在单调递增，在单调递减． 函数有最大值，无最小值． 【小问2详解】 函数是奇函数，始终是方程的一个解． 不妨令， ，可化简为 构造函数， 求导可得 ， ，令 ，则， ①当 恒成立，因此在单调递增． 故在单调递增，故． 即方程在无解． 根据函数是奇函数可知在也无解. ②当，由，可得在单调递减，在单调递增． 由 可得，存在使． 当 单调递减；当 单调递增． ，函数在有一个零点． 即方程在有一个解． 根据函数是奇函数可知在有另一个根． 综上，当，方程有一个解；当，方程有三个解． 【小问3详解】 由（2）可得此时，且． ． 即证： ． 因为是方程的解，代入可得． 消可得， 设， ， 函数在单调递增，所以 ． 又因为 ，所以 ， 即原不等式得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $