精品解析：福建厦门沧江高级中学2026-2027学年高一上学期10月考试数学试题

厦门沧江高级中学2026—2027学年高一上学期10月考试 数学试题 命卷人：杨莉 审核人：连冰真 考试时间：120分钟 满分：150分 试卷页数及题数：共4页，19小题 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0．5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，， 因此，. 故选：B. 2. 命题的否定是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断即可. 【详解】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是. 故选：A. 3. 设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，由于，故，即，故A错误； 对于B、C，取，，，， 此时，，，， 所以，，故B、C错误； 对于D，因为，，故， 所以，故D正确． 4. 已知p：﹣2＜x＜2，q：﹣1＜x＜2，则p是q的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】将相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件. 【详解】已知p：﹣2＜x＜2，q：﹣1＜x＜2； ∴q⇒p；但p推不出q， ∴p是q的必要非充分条件 故选：B 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，属于基础题. 5. 设，，下列图形能表示从集合到集合的函数图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】AC选项，从函数图象可以看出值域为，AC错误； B选项，当时，对应的或，不满足函数的定义，B错误； D选项，定义域为，值域为，且满足任意的，对应唯一确定的，满足要求. 6. 设集合，，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 【答案】D 【解析】 【分析】由求解并验证即可； 【详解】由题意可得：，解得：或， 当时，，，不符合舍去， 当时，，，符合， 故 ， 故选：D 7. 若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】讨论、，结合一元二次不等式恒成立求参数范围. 【详解】当时，恒成立，满足； 当时，，可得， 综上，. 故选：A 8. 对于任意两个正整数，，定义某种运算“”如下：当，都为正偶数或正奇数时，；当，中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，集合中的元素个数是． A. 10个 B. 15个 C. 16个 D. 18个 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义知分两类进行考虑，一奇一偶，则，同奇偶，则，由列出满足条件的所有可能情况即可. 【详解】根据定义知分两类进行考虑，一奇一偶，则，，所以 可能的取值为 共4个，同奇偶，则，由，所以可能的取值为，共11个，所以符合要求的共15个，故选B. 【点睛】本题主要考查了分类讨论思想，集合及集合与元素的关系，属于中档题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据集合与元素的关系，结合子集和相等集合的定义、空集的定义逐一判断即可. 【详解】因为集合中的元素在集合中，因此这两个集合是包含关系，不是属于关系，因此选项A不正确； 因为集合与集合中的元素相同，所以这两个集合相等，因此选项B正确； 因为集合中的元素都在集合中，因此正确，故选项C正确； 因为集合中的元素不是空集，所以不正确，因此选项D不正确， 故选：AD 10. 下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，的最小值是2 C. 当时，的最小值是5 D. 设，，且，则的最小值是 【答案】AD 【解析】 【分析】由已知结合基本不等式检验各选项即可判断． 【详解】解：时，，当且仅当时取等号，正确； 当时，，没有最小值，错误； 当时，， 有最大值，没有最小值， 错误； ，，， 则， 当且仅当且即，时取等号， 故选：AD． 11. 已知关于的不等式的解集为或，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集求参数，再依次判断各项的正误. 【详解】A：因为关于的不等式的解集为或， 所以和3是方程的两个实根，且对应的二次函数图象开口向下，则，错； B：由A得，，所以，， 因为，，所以，对； C：不等式可化为，因为，所以，对； D：不等式可化为，又， 所以，即，解得，对. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设集合，则的非空子集个数为__________. 【答案】7 【解析】 【分析】根据非空子集个数公式计算即可. 【详解】集合，则的子集个数为, 所以的非空子集个数为. 故答案为：. 13. 已知集合，若，则实数的值为______． 【答案】##-1.5 【解析】 【分析】由，则或，注意元素的互异性即可． 【详解】， 当，解得，此时不符合题意， 当，解得（舍去），或， 时，符合题意， 综上，． 故答案为：． 14. 已知实数满足，，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式性质直接求解即可. 【详解】因为，，所以，， 所以，即的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）求； （2）求 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由交集、并集运算即可求解； （2）由交并补的混合运算即可求解. 【小问1详解】 由条件可得：； 【小问2详解】 或 所以或 16. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再利用并集的定义求解； （2）根据包含关系，分和两种情况讨论得出实数的范围． 【小问1详解】 等价于，解得， 集合， 又当时，集合， ． 【小问2详解】 ， 当时，，解得； 当时，，解得， ，则，解得， 时，， 实数的范围为． 17. 已知关于的不等式. （1）若，求不等式的解集； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2）当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为或， 当时，原不等式的解集为或， 【解析】 【分析】（1）将代入解不等式即可； （2）因为对应方程的两个根为，分、、三种情况解不等式即可. 【小问1详解】 由， 当时，可得解集为. 【小问2详解】 对应方程的两个根为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为或， 当时，原不等式的解集为或， 18. 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为（单位：）、宽为（单位：）（都为正数）． （1）现有长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ （2）若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ （3）若使用的钢筋网材料总长为，求的最小值． 【答案】（1）长为，宽为 （2）每间虎笼的长设计为、宽设计为时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为． （3）． 【解析】 【分析】（1）先由题意得，，，每间虎笼面积为，再利用基本不等式即可求出面积的最大值以及此时的值. （2）先由题意得，钢筋网总长为，再利用基本不等式即可求出的最小值以及此时的值. （3）法一：利用基本不等式“1”的代换可求得的最小值. 法二：利用基本不等式求得，进而可得的最小值. 【小问1详解】 由题得，即，，， 设每间虎笼的面积为，则， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以每间虎笼的长为，宽为时，可使每间虎笼面积最大，最大为． 【小问2详解】 由题意可得，，，设钢筋网总长为，则， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以每间虎笼的长设计为、宽设计为时， 可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小，最小值为． 【小问3详解】 依题意，得． 方法一： ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为． 方法二：，则，， 当且仅当时等号成立． 故，当且仅当时等号成立． 所以的最小值为． 19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 【答案】（1） 由，所以集合是“完美集”； （2） 若是两个不同的正数， 且是“完美集”， 设， 根据根与系数关系可知相当于方程的两根， 由于，解得或（舍）， 所以， 又均为正数， 所以，当且仅当时成立 是两个不同的正数， 所以至少有一个大于2； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“完美集”的定义，进行判断即可； （2）根据“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可； （3）设设中，得到，分，，进行分类讨论即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设中， 由， 得， 当时，即有， 又为正整数，所以， 则，则无解，即不存在满足条件的“完美集”； 当时，即有， 故只能， 则，可求得， 于是此时“完美集”只有一个为； 当时，由， 即有， 又， 又，所以， 即， 又， 即，与矛盾， 所以当时，不存在“完美集”； 综上所述，“完美集”为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门沧江高级中学2026—2027学年高一上学期10月考试 数学试题 命卷人：杨莉 审核人：连冰真 考试时间：120分钟 满分：150分 试卷页数及题数：共4页，19小题 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0．5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，，那么（ ） A. B. C. D. 2. 命题的否定是（    ） A. B. C. D. 3. 设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知p：﹣2＜x＜2，q：﹣1＜x＜2，则p是q的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设，，下列图形能表示从集合到集合的函数图象的是（ ） A. B. C. D. 6. 设集合，，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 7. 若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 对于任意两个正整数，，定义某种运算“”如下：当，都为正偶数或正奇数时，；当，中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，集合中的元素个数是． A. 10个 B. 15个 C. 16个 D. 18个 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，的最小值是2 C. 当时，的最小值是5 D. 设，，且，则的最小值是 11. 已知关于的不等式的解集为或，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设集合，则的非空子集个数为__________. 13. 已知集合，若，则实数的值为______． 14. 已知实数满足，，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）求； （2）求 16. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数的范围． 17. 已知关于的不等式. （1）若，求不等式的解集； （2）解关于的不等式. 18. 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为（单位：）、宽为（单位：）（都为正数）． （1）现有长的钢筋网材料可供使用，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ （2）若使每间虎笼面积为，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？ （3）若使用的钢筋网材料总长为，求的最小值． 19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $