四川省遂宁市船山区高一数学上学期课时作业（人教A版必修第一册第三章3.1.1）

函数的概念·课时作业（3.1.1） （人教A版必修第一册　第三章 函数的概念与性质　3.1.1 函数的概念） 【应用场景】新授课配套课后作业　|　适用年级：高一上学期　|　建议完成时长：约30分钟（必做约22分钟＋选做约8分钟） 一、作品基础信息 项目 内容 作品名称 函数的概念·课时作业（3.1.1） 作者 张秋龙（个人投稿） 所在地区 四川省遂宁市船山区 学科·学段 数学·高中 适用年级与学期 高一上学期 教材版本 人民教育出版社A版（2019年版）必修第一册 对应内容 第三章 函数的概念与性质　3.1.1 函数的概念（不含 3.1.2 函数的表示法） 作业类型 课后分层课时作业（单课时） 题量与题型 共14题：选择题4（第1—4题）、填空题3（第5—7题）、解答题7（第8—14题） 建议完成时长 必做约22分钟（A层14分钟＋B层8分钟），选做约8分钟（C层） 分值结构 必做80分（A层50＋B层30），选做20分（C层），合计100分；必做部分得70分以上视为课时达标 难度结构 基础约50%＋中档约30%＋拓展约20% 选题来源 依据《专题3-1 函数的概念及其表示【13类题型】》（参考资料，非教材）中与本节对应的题型1、2、4、5、7命制或改编；改编思路见第七部分（四） 二、设计背景与意图 （一）课标要求 通过实例体会函数是描述变量之间依赖关系的数学模型，能用集合语言刻画函数概念，会求简单函数的定义域，了解函数的三要素与区间的表示，知道值域是函数值的集合。 （二）教材地位 3.1.1 是高中函数学习的起点。学生从初中的“变量说”走到“集合对应说”，第一次用集合语言刻画对应关系，这一次抽象是后续单调性、奇偶性与各类具体函数的地基。 （三）教学重难点 重点：函数概念的集合语言刻画（任意性、唯一性）、定义域与值域的初步求解、区间的表示。 难点：符号 的含义、同一函数的判断（定义域优先）、抽象函数 中“作用对象”的范围。 （四）学情分析 学生已学过一次、二次、反比例函数，会用描点法画图，但符号意识弱：“”常被当成“ 乘 ”；判断是否函数时只盯对应关系，忘了“ 中每个元素都要有对应、且对应唯一”；判断同一函数时只看解析式，不看定义域。故本作业把“任意性—唯一性”“定义域优先”作为两条暗线贯穿。 （五）与 3.1.2 的分工（本次设计的前提） 本课时只做“概念层”的事：函数是什么、定义域怎么求、区间怎么写、函数值怎么算、两个函数什么时候算同一个、值域的初步认识。 以下内容不进入本节，留到 3.1.2 函数的表示法与后续习题课：三种表示法的系统学习、图象的识别与作法、分段函数求值求参、待定系数／换元／方程组求解析式、分离常数法与换元法求值域、实际建模。这样两课时的作业不重复、不越界，学生的负担也可控。 三、作业目标（素养导向·可观测） 素养维度 目标描述 数学抽象 能用“任意一个 、唯一一个 ”刻画函数，指出函数的三要素。【可观测：第1、2题正确，并能说出三项错因分别是“缺对应”“一对多”“指向集合外”】 逻辑推理 会判断两个函数是否为同一函数。【可观测：第4题选对，并能说明“定义域不同即不是同一函数”】 数学运算 会求由分式、偶次根式及其组合构成的函数的定义域，会用区间表示；会由解析式求函数值、由函数值反求自变量。【可观测：第3、5—8题结果正确，区间端点开闭无误】 直观想象与建模 能理解值域是函数值的集合，能借配方或观察写出简单函数的值域。【可观测：第9、11题值域写成区间或集合形式，端点正确】 四、作业整体架构 （一）分层结构与时间分配 层级 题号 分值 建议用时 完成要求 A层 基础达标 1—9 50分 约14分钟 全员必做，对应概念辨析、定义域、区间、函数值 B层 能力进阶 10—12 30分 约8分钟 全员必做，对应抽象函数定义域、值域、逆向转化 C层 拓展探究 13—14 20分 约8分钟 弹性选做，对应含参定义域、开放辨析 合计 14题 100分 约30分钟 必做80分＋选做20分 （二）作业内容与专题题型对应 题号 考查内容 对应专题题型 层次 难度 来源 分值 1 函数关系的实际辨识 题型1 函数的概念 A 易 选用 4 2 由对应关系图判断是否构成函数，并说出错因 题型1 函数的概念 A 易 改编 6 3 分式与根式组合的定义域 题型2 求定义域 A 易 选用 4 4 同一函数的判断并说明理由 题型4 相同函数 A 易 选用 6 5 区间与不等式互化（含无穷端） 题型2 求定义域 A 易 选用 6 6 由解析式求函数值（含 、） 题型5 求函数值 A 易 改编 6 7 由函数值反求自变量并检验范围 题型5 求函数值 A 中 改编 6 8 组合式定义域（解答） 题型2 求定义域 A 中 选用 6 9 值域的初步求解（全体实数、限定区间、分式） 概念延伸·值域 A 中 改编 6 10 抽象函数 的定义域 题型7 抽象函数定义域 B 中 选用 10 11 含定义域限制的值域（配方） 概念延伸·值域 B 中 选用 10 12 由 的定义域反求 的定义域 题型7 抽象函数定义域 B 难 选用 10 13 含参二次根式型函数的定义域为 R（易错：漏 ） 题型2 求定义域 C 难 改编 10 14 同一函数的辨析与构造（开放） 题型4 相同函数 C 难 改编·开放 10 合计 —— 覆盖题型1、2、4、5、7 —— —— —— 100 说明：题型 3、6、8、9、10、11、12、13 属于“表示法”范畴（图象判断、待定系数、换元、方程组、分离常数、分段函数、建模），安排在 3.1.2 的课时作业中，本节不涉及。 五、具体作业内容 （一）A层 基础达标（全员必做·约14分钟·50分） 1.（4分·必做）下列说法中的两个变量，具有函数关系的是（　　） A．等边三角形的边长与周长　　B．电脑的销售额与利润 C．玉米的产量与施肥量　　D．日光灯的产量与单位生产成本 2.（6分·必做）（改编）下列四个对应关系图中，能表示从集合 到集合 的函数的是（　　） 图1　第2题　四个对应关系图 （提示：用“ 中任意一个元素都要有、且只能有一个元素与之对应”去检验。） 【作答要求】选对2分；B、C、D 各写出违反的一条（各1分）；回答“ 中元素没被对应到，还算函数吗”（1分）。 3.（4分·必做）函数 的定义域是（　　） A．[−2,+∞)　　B．[−2,1)∪(1,+∞)　　C．(−2,1)∪(1,+∞)　　D．(−∞,1) 4.（6分·必做）下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） A． 与 　　B． 与 C． 与 　　D． 与 【作答要求】选对得2分；分别说明 A、B、C 为什么不是同一函数（各1分）；再说说 D 为什么是同一函数（1分）。 5.（6分·必做）用区间表示：不等式 的解集为＿＿＿＿；集合 为＿＿＿＿；不等式 的解集为＿＿＿＿。（每空2分） 6.（6分·必做）（改编）已知 ，则 ＝＿＿＿＿，＝＿＿＿＿，＝＿＿＿＿。 （每空2分；提示： 是把 代进解析式，不是 乘 。） 7.（6分·必做）（改编）已知 （），且 ，求 的值。（提示：解出方程后，要检验这个值是否满足 。） 8.（6分·必做）求函数 的定义域。 9.（6分·必做）（改编）求下列函数的值域（结果用区间或集合表示）：（每小题2分） （1）； （2）（）； （3）（）。 （二）B层 能力进阶（全员必做·约8分钟·30分） 10.（10分·必做）已知函数 的定义域为 ，求函数 的定义域。（提示：函数的定义域永远指 的取值范围，不是括号里那一整体的范围。） 11.（10分·必做）求函数 （）的值域。 12.（10分·必做）已知函数 的定义域为 ，求函数 的定义域。 （想一想：这里的 是 的范围，还是 的范围？ 收到的“原料”究竟是哪一段？） （三）C层 拓展探究（弹性选做·约8分钟·20分·建议任选一题） 13.（10分·选做）（改编）已知函数 的定义域为全体实数，求实数 的取值范围。（提示：先想一想 行不行。） 14.（10分·选做）（改编·开放）已知 ，。 （1）判断 与 是否为同一函数，并说明理由； （2）请再写出一个与 对应关系相同、但与 不是同一函数的函数，并说明它“不同”在哪里。 （提示：不要写 这类对应关系本身就不同的函数；写出的函数必须把定义域交代清楚。） 六、作业实施建议 （一）使用场景与操作方式 1. A层建议当堂限时 14 分钟：第1—7题（选择、填空）8 分钟，第8、9题（解答）6 分钟；收齐后同桌互批。B层 3 题课后完成，约 8 分钟；C层 2 题为弹性选做。 2. 第2题是图题，必须用带图的正稿印刷；若临时只有文字稿，可改口头描述四幅图，不宜作为限时题。 3. 第8—14题须写出关键步骤，只写答案不写过程按评分细则扣分。基础较弱的班级，可把第9题（3）改为选做，保证核心概念题做扎实。 （二）讲评节点与重点 1. 第一讲评点（下一课时开头5分钟，第2题）：把“任意性”“唯一性”拆成两句板书—— 中每个元素都要射出去、每个只能射一支箭。再追问一句常被误解的： 中有元素没被射到，不影响它成为函数，这恰好对应第2题第（4）问。 2. 第二讲评点（约4分钟，第4题）：同一函数只看两条——定义域相同、对应关系相同，自变量用什么字母无关。板书写三行：A 错在定义域，B 错在对应关系（），C 错在定义域。 3. 第三讲评点（约5分钟，第10、12题）：两题方向相反，必须并排讲。第10题把 塞进 ；第12题先由 的范围算出 的范围。一句话概括： 后面括号里那一坨，必须落在 的定义域内。再点破第12题“反思小问”的答案。 4. 第四讲评点（第13题，课后答疑或小组探究，不占正课）：按 、、 分类，重点讲 时需 。可留一个思考题：若把“定义域为 R”改成“值域为 R”，条件会变成什么？借此区分两类易混题型。 （三）批改与反馈 1. A层当堂互批、教师抽查；B层全批；C层只批思路。 2. 建立“错因标签”：符号 理解错、忽略“任意性”、忽略“唯一性”、误以为“ 中元素必须被对应”、定义域优先意识缺失、区间端点开闭错、配方后忘写顶点是否可取、抽象函数混淆自变量与内层整体、二次含参忘记讨论二次项系数为 0。每份作业只标最主要的一类。 3. 同一标签连续出现两次的学生，安排 5 分钟面批。 七、参考答案与规范评分细则 （一）A层 1. 答案：A（4分）。等边三角形的周长等于边长的 3 倍，边长确定则周长唯一确定，符合函数定义；B、C、D 中两个量之间没有确定的对应关系。 2. 答案：A（2分）。逐图对照如下： A 图： 中三个元素都有对应，且每个只有一个对应——符合函数定义。 B 图：元素 2 同时对应 4 和 9，违反“唯一性”（1分）。 C 图：元素 3 没有对应，违反“任意性”（1分）。 D 图：元素 3 的箭头指向集合 之外，没有落在 中（1分）。 补充一问：集合 中有元素没被对应到，不影响它成为函数（1分）——函数只约束 中元素的“去向”，不要求 中元素“被用完”。 3. 答案：B（4分）。须 且 ，即 且 ，定义域为 [−2,1)∪(1,+∞)。 4. 答案：D（2分）。A 中 的定义域为 [0,+∞)，与原函数不同（1分）；B 中 ，对应关系不同（1分）；C 中 的定义域为 ，不同（1分）；D 中两函数定义域同为 R、对应关系相同，自变量用 还是 不影响（1分）。 5. [−1,3)（2分）；(2,+∞)（2分）；(−∞,5]（2分）。 6. （2分）；（2分）；（2分）。 7. 由 得 （3分），即 ，得 或 （2分）；因限定 ，故 舍去（2分），（1分）。只写“ 或 ”而不舍根的，扣2分。 8. 须 且 （2分），得 且 （2分），定义域为 [1,3)∪(3,+∞)（2分；端点开闭写错扣1分）。 9. （1），值域为 [1,+∞)（2分）。 （2） 时顶点 可取，； 与 时 ，故 ，值域为 [1,2]（2分）。 （3） 时 随 增大而减小，故 ，值域为 (0,1]（2分）。 评分说明：值域必须写成区间或集合，写成不等式（如“”）扣1分；区间端点开闭错扣1分。 （二）B层 10. 的作用对象必须落在 [0,4] 内，故 （4分），解得 （4分），定义域为 [−1/2,3/2]（2分）。若把答案写成 [1,3]（即 的范围而非 的范围），扣2分。 11. （3分）。因 ，顶点 在区间内，故 ；又 时 ， 时 ，故 （5分）。值域为 [2,6]（2分）。 12. 设 。由 得 （6分），即 的作用对象在 [1,3] 内，故 的定义域为 [1,3]（4分）。 为什么 [0,2] 会错：本题 收到的“原料”是 ，不是 。 时，，所以 的定义域是 [1,3]。写成 [0,2]，等于把“自变量的范围”当成了“ 的原料范围”，扣4分。 （三）C层 13. 需 对任意实数 都成立（2分）。 当 时， 恒成立，符合（2分；漏掉这一情形扣3分）； 当 时，需 ，解得 （3分；判别式算错扣3分）； 当 时，抛物线开口向下， 充分大时 ，不符合（2分）。 综上，（1分；未写“综上”扣1分）。 14. （1）不是同一函数（2分）。 的定义域为 R，而 的定义域为 ，两者定义域不同（3分）。 （2）答案开放。例如 （），与 的对应关系相同，但定义域不同，故不是同一函数（2分）；能指明“不同”在定义域上（1分）。只要写出的函数“对应关系相同、定义域不同”即得分（2分）。只写解析式、不写定义域或不说明理由的，本题扣一半分。 （四）本题组改编说明 1. 第2题：沿用《专题3-1》题型1“判断对应关系是否为函数”的考查点，原题以文字描述各选项，本题改为四幅自绘的对应关系图（集合 到集合 的箭头图），把“任意性”“唯一性”“必须落在 内”三条判断依据分别落在四幅图中；并把分值拆成“选对＋说错因＋答一问”，避免学生蒙对答案。 2. 第7题：取材于题型5“由函数值求参”，原题为无约束的反求，本题加了 的限制，让学生养成“解出方程后检验是否落在定义域内”的习惯。 3. 第13题：定义域含参问题是题型2的延伸，原题多为具体函数求定义域，本题把它反过来——已知定义域为 R 求参数，考查“定义域是使式子有意义的 的集合”这一本质，同时复用了第二章的二次不等式解法。 八、作业评价标准（分层评价量规） 本量规与赋分互补：赋分回答“对没对”，量规回答“好没好”。 评价对象 评价维度 等级标准（达标／良好／优秀） 评价主体 反馈方式 改进建议 A层 1—9题 概念理解、定义域与区间、运算规范 达标：选择填空答对不少于5题，第8题思路基本正确；良好：答对不少于7题，定义域写成区间且端点开闭无误；优秀：全对，且在第2、4题的错因栏里写清三条理由（第2题三项各违反哪一条、第4题三项各错在哪一处） 教师批改＋同桌互批 当堂面批，错题当日订正 端点开闭错者，先在数轴上标“实心点／空心圈”再写区间；忽略“唯一性”者，重做第2题的 B 图并说明理由 B层 10—12题 抽象函数作用对象、配方求值域 达标：第10题能列出 ；良好：三题方法正确、步骤完整，答案落在 的范围上；优秀：能说清第10题与第12题方向相反，并各用一句话概括“括号里那一坨落在定义域内” 教师批改 下一课时投影典型答案对比讲评 第12题写成 [0,2] 者，先画数轴把 的范围平移到 的范围，再写答案 C层 13—14题 分类讨论、开放表达 达标：第13题能想到 的情形；良好：三类讨论齐全、结论正确，且写了“综上”；优秀：第14题能自己构造出“对应关系相同、定义域不同”的例子并说明理由，定义域交代清楚 学生自评＋教师点评 课堂口述思路，不要求书面重做；第13题的拓展追问放在课后答疑 只会算不会说者，追问“ 在 处发生了什么”；漏 者，整理“二次项系数含参必先讨论是否为0”的口诀 使用说明：A层以“良好”为目标区间，未达“达标”者当日订正面批；B层以“达标”为过关线；C层只作定性认定。评价结果记入《作业记录表》，作为讲评选材与个别辅导的依据。 证据从哪里来：①第2题“错因栏”的书面回答（判断“任意性／唯一性／指向集合外”三条是否说准）；②第4题“说明理由”的书面表达（能否指出定义域或对应关系的差别）；③第10、12题的解答步骤（是否把 的“原料”落进定义域）；④第14题构造的函数表达式及其定义域说明。每层至少留存一份学生作品（好、中、差各一），作为讲评选材与二次辅导的依据。 九、作业设计亮点 1. 守住单课时边界。全卷只考“概念层”的五件事：是不是函数、定义域、区间、函数值、是否同一函数；值域只做观察与配方，分段函数、图象、求解析式一律留给 3.1.2。 2. 把“任意性—唯一性”画出来，还要说出来。第2题四幅对应关系图分别对应“正确”“一对多”“缺对应”“指向集合外”四种情形，选对只给2分，说出错因才拿满分，概念辨析不至于停留在“蒙对”。 3. 直击两个真痛点。第6题专治“ 是 乘 ”，第7题专治“解出根不检验范围”，都是学生真会犯的错。 4. 抽象函数两题成对。第10题正向、第12题逆向，并排讲评，一句“括号里那一坨必须落在定义域内”就把两类问题统一了。 5. 评分细则可操作。定义域题按“列条件—解条件—写区间”三步赋分，端点开闭、漏讨论 、未写“综上”都单列扣分点。 6. 分层入口弹性。必做 80 分保底，选做 20 分拔高，第14题还是开放题，不同水平的学生都能落在自己那一层上。 — — 学科网（北京）股份有限公司 $