3.1函数的表达法五大题型讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数的表示法五大题型 目录 核心知识点回顾 1 题型归纳 2 题型01 待定系数法求函数解析式（已知函数类型） 2 题型02 换元法、配凑法求型解析式 4 题型03 方程组法（消元法）求函数解析式 6 题型04 分段函数求值、分段函数解不等式 8 题型05 函数的实际应用（列表、图象、分段函数应用题） 10 课后练习 12 核心知识点回顾 三种函数表示方法： （1） 解析法：用数学表达式表示自变量与函数值的对应关系；优点：便于计算；缺点：部分函数难以写出表达式。 （2） 列表法：用表格列出自变量与对应函数值；优点：读取方便；缺点：只能表示有限个自变量。 （3） 图象法：平面直角坐标系中的点集；优点：直观观察变化趋势；缺点：求值精度有限。 分段函数重点： （1） 分段函数是一个函数，不是多个函数；不同区间对应不同解析式； （2） 定义域为各段自变量取值区间的并集；值域为各段函数值区间的并集； （3） 求值：先判断自变量落在哪一段区间，再代入对应解析式； （4） 图象注意区间端点的空心、实心圆圈。 求解析式常用方法： （1） 待定系数法：已知函数类型（一次、二次），设出一般形式，代入条件求解参数； （2） 换元法（配凑法）：已知求，换元注意新元取值范围； （3） 方程组法：已知同时含有或者的等式，构造方程组消元求解。 题型归纳 题型01 待定系数法求函数解析式（已知函数类型） 解题思路：根据函数类型设出解析式，利用题目条件列方程或者方程组，解出系数，写出完整解析式，标明定义域。 例1（2025‑2026江苏苏州高一期中） 已知一次函数满足，求的解析式。 例2（2025‑2026山东济南高一期末） 已知二次函数，图象过点，，，求解析式。 例3（2025‑2026广东汕头高一月考，单选） 已知二次函数，，，，则为（ ） A. B. C. D. 例4（2025‑2026河北唐山高一） 已知二次函数，顶点坐标为，且图象经过点，求解析式。 例5（2025‑2026浙江嘉兴高一） 已知一次函数，，。 (1)求解析式； (2)若，求的值。 题型02 换元法、配凑法求型解析式 解题思路：换元：令，解出用表达，代入原式，得到，注意标注取值范围，最后把改写为；配凑直接把右侧整理成关于整体的表达式。 例1（2025‑2026福建福州高一期中） 已知，求的解析式。 例2（2025‑2026湖南长沙高一期末） 已知，，求解析式。 例3（2025‑2026重庆高一月考） 已知，求= 。 例4（2025‑2026江西南昌高一多选） 已知，下列说法正确的是（ ） A. B. C.最小值 D. 例5（2025‑2026辽宁大连高一） 已知，。 (1)求解析式，并写出定义域； (2)求的值。 题型03 方程组法（消元法）求函数解析式 解题思路：利用替换成或者，构造第二个等式，联立方程组消去或者，解出，标明定义域。 例1（2025‑2026四川成都高一期中） 已知，求解析式。 例2（2025‑2026安徽合肥高一期末） 已知，，求。 例3（2025‑2026云南昆明高一单选） 若，则等于（ ） A. B. C. D. 例4（2025‑2026山西大同高一） 已知，求= 。 例5（2025‑2026广西南宁高一） 已知，。 (1)求解析式； (2)求的值。 题型04 分段函数求值、分段函数解不等式 解题思路：求值：判断自变量落在哪一段区间，代入对应解析式；解不等式：对每一段区间分别列不等式组，取所有解集的并集。 例1（2025‑2026河南洛阳高一期中）求，，。 例2（2025‑2026湖北武汉高一期末）若，求的解集。 例3（2025‑2026黑龙江哈尔滨高一单选）若，则等于（ ） A. B.或 C. D.或 例4（2025‑2026海南海口高一）则 。 例5（2025‑2026陕西宝鸡高一） (1)求，； (2)解不等式。 题型05 函数的实际应用（列表、图象、分段函数应用题） 解题思路：读懂实际情境，根据自变量不同的范围写出分段解析式，注意自变量实际取值约束（非负、整数等）。 例1（2025‑2026山东潍坊高一月考） 某出租车收费标准：3公里以内收费8元；超过3公里部分，每公里收费1.5元，设行驶里程为公里，，写出车费关于的函数解析式。 例2（2025‑2026江苏徐州高一期末，单选） 某商店销售笔记本，进价每本2元，若一次购买不超过10本，每本售价5元；一次购买超过10本，超过部分每本打8折。设购买本（），总付款元，则下面解析式正确的是（ ） A. B. C. D. 例3（2025‑2026河北沧州高一） 用一根长为铁丝围成矩形，设矩形一边长，面积，写出解析式 。 例4（2025‑2026广东珠海高一） 某工厂生产零件，固定成本为2000元，每个零件原材料成本为3元。若每月产量不超过1000件，全部生产；若产量超过1000件，超过部分原材料成本上升为每件4元。设月产量件，，写出总成本函数解析式。 例5（2025‑2026河南新乡高一） 某水电收费：每月用电量不超过100度，每度0.6元；超过100度，超过部分每度1.0元。设月用电量度，。 (1)写出月电费关于的函数解析式； (2)若某月电费为90元，求当月用电量。 课后练习 练习1（单选，2025‑2026广州天河高一期中） 已知一次函数满足，则的解析式为（ ） A. B. C. 或 D. 练习2（单选，2025‑2026济南高一期末） 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 练习3（单选，2025‑2026石家庄高一月考）则的值是（ ） A. B. C. D. 练习4（单选，2025‑2026福州高一） 已知，则解析式为（ ） A. B. C. D. 练习5（多选，2025‑2026天津和平高一期末）下面说法正确的是（ ） A. B. C.不等式解集 D. 练习6（多选，2025‑2026杭州高一期中） 已知二次函数过点，零点为和，则（ ） A. B. C. D. 练习7（填空，2025‑2026南宁高一） 已知，则 。 练习8（填空，2025‑2026西安高一月考） 。 练习9（填空，2025‑2026成都高一期末） 已知，，则的值为 。 练习10（2025‑2026武汉高一） 已知。 (1)求解析式； (2)求的值。 练习11（2025‑2026南京高一期末） (1)求，； (2)解不等式。 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的表示法五大题型 目录 核心知识点回顾 1 题型归纳 2 题型01 待定系数法求函数解析式（已知函数类型） 2 题型02 换元法、配凑法求型解析式 4 题型03 方程组法（消元法）求函数解析式 6 题型04 分段函数求值、分段函数解不等式 8 题型05 函数的实际应用（列表、图象、分段函数应用题） 10 课后练习 12 核心知识点回顾 三种函数表示方法： （1） 解析法：用数学表达式表示自变量与函数值的对应关系；优点：便于计算；缺点：部分函数难以写出表达式。 （2） 列表法：用表格列出自变量与对应函数值；优点：读取方便；缺点：只能表示有限个自变量。 （3） 图象法：平面直角坐标系中的点集；优点：直观观察变化趋势；缺点：求值精度有限。 分段函数重点： （1） 分段函数是一个函数，不是多个函数；不同区间对应不同解析式； （2） 定义域为各段自变量取值区间的并集；值域为各段函数值区间的并集； （3） 求值：先判断自变量落在哪一段区间，再代入对应解析式； （4） 图象注意区间端点的空心、实心圆圈。 求解析式常用方法： （1） 待定系数法：已知函数类型（一次、二次），设出一般形式，代入条件求解参数； （2） 换元法（配凑法）：已知求，换元注意新元取值范围； （3） 方程组法：已知同时含有或者的等式，构造方程组消元求解。 题型归纳 题型01 待定系数法求函数解析式（已知函数类型） 解题思路：根据函数类型设出解析式，利用题目条件列方程或者方程组，解出系数，写出完整解析式，标明定义域。 例1（2025‑2026江苏苏州高一期中） 已知一次函数满足，求的解析式。 答案： 或 。 详细解析： 设一次函数。 由条件，对应系数相等： 当，得到； 当，得到。 综上解析式为或。 例2（2025‑2026山东济南高一期末） 已知二次函数，图象过点，，，求解析式。 答案：。 详细解析： 由，二次函数零点式可设： 图象过，代入： 展开： 例3（2025‑2026广东汕头高一月考，单选） 已知二次函数，，，，则为（ ） A. B. C. D. 答案：A 详细解析： 零点，设。 ，，。 ，选A。 例4（2025‑2026河北唐山高一） 已知二次函数，顶点坐标为，且图象经过点，求解析式。 答案：。 详细解析： 顶点，设顶点式。 带入： 展开：。 例5（2025‑2026浙江嘉兴高一） 已知一次函数，，。 (1)求解析式； (2)若，求的值。 答案：(1)；(2)。 详细解析： (1)设。 两式相减得，代入得，。 (2)，。 题型02 换元法、配凑法求型解析式 解题思路：换元：令，解出用表达，代入原式，得到，注意标注取值范围，最后把改写为；配凑直接把右侧整理成关于整体的表达式。 例1（2025‑2026福建福州高一期中） 已知，求的解析式。 答案：。 详细解析： 方法一（换元）：令，则。 ，将换为：。 方法二（配凑）： 整体替换得到。 例2（2025‑2026湖南长沙高一期末） 已知，，求解析式。 答案：。 详细解析： 令，则，。 故。 例3（2025‑2026重庆高一月考） 已知，求= 。 答案：。 详细解析： 令，得。 所以，。 例4（2025‑2026江西南昌高一多选） 已知，下列说法正确的是（ ） A. B. C.最小值 D. 答案：ABD 详细解析： 令，。 所以，A正确； ，B正确； ，最小值，C正确； ，D正确。答案ABD。 例5（2025‑2026辽宁大连高一） 已知，。 (1)求解析式，并写出定义域； (2)求的值。 答案：(1)，定义域；(2)。 详细解析： (1)配凑： 令，则。 ，。 故，。 (2)。 题型03 方程组法（消元法）求函数解析式 解题思路：利用替换成或者，构造第二个等式，联立方程组消去或者，解出，标明定义域。 例1（2025‑2026四川成都高一期中） 已知，求解析式。 答案：。 详细解析： ： ，得，。 例2（2025‑2026安徽合肥高一期末） 已知，，求。 答案：。 详细解析： ： ，。 例3（2025‑2026云南昆明高一单选） 若，则等于（ ） A. B. C. D. 答案：A 详细解析： 第一式乘以减去第二式，，，选A。 例4（2025‑2026山西大同高一） 已知，求= 。 答案：。 详细解析： 解二元一次方程组，消元，得到。 例5（2025‑2026广西南宁高一） 已知，。 (1)求解析式； (2)求的值。 答案：(1)；(2)。 详细解析： （1） 第二个式子两边乘以，两式相加消元，解得。 （2）代入， 。 题型04 分段函数求值、分段函数解不等式 解题思路：求值：判断自变量落在哪一段区间，代入对应解析式；解不等式：对每一段区间分别列不等式组，取所有解集的并集。 例1（2025‑2026河南洛阳高一期中）求，，。 答案：；；。 详细解析： ，； ，； ，。 例2（2025‑2026湖北武汉高一期末）若，求的解集。 答案：。 详细解析： 分两段讨论： 当；当 综上。 例3（2025‑2026黑龙江哈尔滨高一单选）若，则等于（ ） A. B.或 C. D.或 答案：D 详细解析： 选A。 例4（2025‑2026海南海口高一）则 。 答案：。 详细解析： ；，，。 例5（2025‑2026陕西宝鸡高一） (1)求，； (2)解不等式。 答案：(1)，；(2)。 详细解析： (1)，；，。 (2)当 综上。 题型05 函数的实际应用（列表、图象、分段函数应用题） 解题思路：读懂实际情境，根据自变量不同的范围写出分段解析式，注意自变量实际取值约束（非负、整数等）。 例1（2025‑2026山东潍坊高一月考） 某出租车收费标准：3公里以内收费8元；超过3公里部分，每公里收费1.5元，设行驶里程为公里，，写出车费关于的函数解析式。 答案： 详细解析： 当行驶里程不超过3公里，，固定车费8元； 当，超出部分为公里，超出费用，总车费。 例2（2025‑2026江苏徐州高一期末，单选） 某商店销售笔记本，进价每本2元，若一次购买不超过10本，每本售价5元；一次购买超过10本，超过部分每本打8折。设购买本（），总付款元，则下面解析式正确的是（ ） A. B. C. D. 答案：A 详细解析： ，； ，前10本元，超出本，每本元。 。选A。 例3（2025‑2026河北沧州高一） 用一根长为铁丝围成矩形，设矩形一边长，面积，写出解析式 。 答案：。 详细解析： 一边长，邻边长；边长大于0，，面积。 例4（2025‑2026广东珠海高一） 某工厂生产零件，固定成本为2000元，每个零件原材料成本为3元。若每月产量不超过1000件，全部生产；若产量超过1000件，超过部分原材料成本上升为每件4元。设月产量件，，写出总成本函数解析式。 答案： 详细解析： ，固定成本2000，每件3元，； ，前1000件成本，超出部分每件4元，。 例5（2025‑2026河南新乡高一） 某水电收费：每月用电量不超过100度，每度0.6元；超过100度，超过部分每度1.0元。设月用电量度，。 (1)写出月电费关于的函数解析式； (2)若某月电费为90元，求当月用电量。 答案：(1) (2)当月用电量130度。 详细解析： (1)，； ，前100度费用60元，超出部分每度1元，。 (2)时电费60元，90元大于60，故。 ，用电量130度。 课后练习 练习1（单选，2025‑2026广州天河高一期中） 已知一次函数满足，则的解析式为（ ） A. B. C. 或 D. 答案：C 详细解析： 设，。 当：，； 当：，。故选C。 练习2（单选，2025‑2026济南高一期末） 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 答案：A 详细解析： 令。 ，。 或者令，，答案D。 练习3（单选，2025‑2026石家庄高一月考）则的值是（ ） A. B. C. D. 答案：A 详细解析： ，； ，，。 练习4（单选，2025‑2026福州高一） 已知，则解析式为（ ） A. B. C. D. 答案：B 详细解析： 第一式乘以减去第二式，，。 练习5（多选，2025‑2026天津和平高一期末）下面说法正确的是（ ） A. B. C.不等式解集 D. 答案：ABCD 详细解析： A.； B.； C：，；，；解集； D.，，所以选ABCD。 练习6（多选，2025‑2026杭州高一期中） 已知二次函数过点，零点为和，则（ ） A. B. C. D. 答案：BCD 详细解析： 零点，；代入：。 ； ；。选BCD。 练习7（填空，2025‑2026南宁高一） 已知，则 。 答案：。 详细解析： 令，；。 练习8（填空，2025‑2026西安高一月考） 。 答案：。 详细解析： ，；，。。 练习9（填空，2025‑2026成都高一期末） 已知，，则的值为 。 答案：。 详细解析：求解析式： 相减得到，， 当,。 练习10（2025‑2026武汉高一） 已知。 (1)求解析式； (2)求的值。 答案：(1)；(2)。 详细解析： (1)令，。 。 (2)。 练习11（2025‑2026南京高一期末） (1)求，； (2)解不等式。 答案：(1)，；(2)。 详细解析： (1)，； ，。 (2)分段讨论： 综上。 学科网（北京）股份有限公司 $