精品解析：江苏泰州市兴化市部分校2026——2027学年度第一学期第1次学情调查 八年级 数学 试题

2026——2027学年度第一学期第1次学情调查 八年级 数学 试题 （考试时间：分钟，满分：分） 说明：1．答题前，考生务必将本人的学校、班级、姓名、考号填写在答题纸相应的位置上． 2．考生答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，写在答题纸指定位置处，答在试卷、草稿纸等其他位置上一律无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号涂在答题卡相应位置上） 1. 16的平方根是（ ） A. 4 B. C. D. 2. 若三角形的两条边的长度分别是和，则第三条边的长度不可能是（ ） A. B. C. D. 3. 用个如图的全等纸片拼接出如图的正六边形，则图2中的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，三个村庄A、B、C构成，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（ ） A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三个角的角平分线的交点 C. 三角形三条高的交点 D. 三角形三条中线的交点 5. 等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（　　） A. 65° B. 65°或80° C. 50°或65° D. 40° 6. 在如图所示的正方形网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形（不含）有（　　） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接写在答题卡相应位置上） 7. 4的算术平方根是__________． 8. 已知的三边长分别为，，，化简________． 9. 如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若CD＝2，则点D到AB的距离等于__． 10. 如图，在中，为斜边上的中线，若，则________． 11. 如图，已知，若 ，则的长为______． 12. 如图，在中，边的垂直平分线分别交于点，若的周长为，．则的周长为___________． 13. 如图，在△ABC中，ED//BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG=2，ED=6，则EB+DC=__________. 14. 如图，在中，，平分交于点D，如果，P为上一动点，那么的最小值为 _____ ． 15. 等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为________． 16. 如图，的中线，交于点，连接．若，，则的面积为_____． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 求下列各式中x的值： （1）； （2）； 18. 已知：一个正数的两个不同平方根分别是和． （1）求的值； （2）求的算术平方根． 19. 如图，，，．求证：． 20. 如图所示，已知于点D，． （1）若，，求的长； （2）求证：． 21. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求∠B的度数． 22. 如图，点D在上，，交于点F，，，． （1）证明：； （2）若，求的度数． 23. 已知，如图，，分别是的中点． （1）求证：； （2）求证：． 24. 尺规作图是数学的重要知识之一，很多复杂的图形都是通过这些简单的基本图形作出来的．在现实生活中也会有一些传统操作方法获取图形知识，在生活实践中使用 （1）【回顾思考】你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？你能说明其中的道理吗？ 小明回顾了作图的过程，如图1，并进行了如下思考． 由尺规作图可知，，，， ∴① ∴② 你能说明每一步的理由吗？ ① ；② ． （2）【源于实践】工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图2，是一个任意角，在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与、重合，过角尺顶点的射线便是的平分线，请给出证明． 25. 如图1和2，在四边形中，，，平分． （1）如图1，若，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是___________； （2）问题解决：如图2，求证：； （3）问题拓展：如图3，在等腰中，，平分，求证：． 26. 综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图，已知中，．将从图的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点分别是点的对应点），旋转角为（，设线段与相交于点，线段分别交，于点，． 特例分析： （1）如图，当旋转到时，求旋转角的度数为 ； 探究规律： （2）如图，在绕点逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论． 拓展延伸： （3）①直接写出当是等腰三角形时旋转角的度数． ②在图中，作直线交于点，直接写出当是直角三角形时旋转角的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026——2027学年度第一学期第1次学情调查 八年级 数学 试题 （考试时间：分钟，满分：分） 说明：1．答题前，考生务必将本人的学校、班级、姓名、考号填写在答题纸相应的位置上． 2．考生答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，写在答题纸指定位置处，答在试卷、草稿纸等其他位置上一律无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号涂在答题卡相应位置上） 1. 16的平方根是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查平方根．根据平方根的定义即可求解． 【详解】解：16的平方根是， 故选：D． 2. 若三角形的两条边的长度分别是和，则第三条边的长度不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再判断选项中不符合范围的长度即可解答． 【详解】解：设三角形第三条边的长度为， 根据三角形三边关系可得： ，即 ， ∵不在的范围内， 第三条边的长度不可能是． 3. 用个如图的全等纸片拼接出如图的正六边形，则图2中的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，正多边形的内角和．先计算出正六边形一个内角为，再根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：正六边形的一个内角为：， ，且正六边形是由个全等纸片拼接得到的， ， 故选：C． 4. 如图，三个村庄A、B、C构成，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（ ） A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三个角的角平分线的交点 C. 三角形三条高的交点 D. 三角形三条中线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理， 根据三角形三边的垂直平分线的交点的特点解答即可． 【详解】解：因为三角形三条边的垂直平分线交于一点，且到三个顶点的距离相等， 所以供奶站应建在三条边的垂直平分线的交点． 故选：A． 5. 等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（　　） A. 65° B. 65°或80° C. 50°或65° D. 40° 【答案】C 【解析】 【分析】已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还要用内角和定理去验证每种情况是不是都成立． 【详解】解：当50°是等腰三角形的顶角时，则底角为（180°﹣50°）×=65°； 当50°是底角时也可以． 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 6. 在如图所示的正方形网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形（不含）有（　　） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 【答案】A 【解析】 【分析】分别以为公共边或以为公共边，找出与有一条公共边且全等的所有格点三角形即可． 【详解】解：如图，以为公共边且与全等的三角形是； 以为公共边且与全等的三角形有； 此外，没有以为公共边且满足条件的三角形， ∴与有一条公共边且全等的格点三角形有4个． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接写在答题卡相应位置上） 7. 4的算术平方根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义，找到平方等于的非负数即可得到结果. 【详解】解：∵ 正数的算术平方根是它的正平方根，且， ∴的算术平方根是. 8. 已知的三边长分别为，，，化简________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质，整式的加减，正确得出的取值范围是解题关键．利用三角形三边关系进而得出的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案． 【详解】解：因为的三边长分别为，，， 所以． 解得． ∴，， ∴． 故答案为：． 9. 如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若CD＝2，则点D到AB的距离等于__． 【答案】2 【解析】 【分析】过D作DE⊥AB于E，得出DE的长度是D到AB边的距离，根据角平分线性质求出DE=CD即可． 【详解】过D作DE⊥AB于E，则DE的长度就是D到AB边的距离． ∵AD平分∠CAB，∠ACD=90°，DE⊥AB， ∴DE=DC=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了角平分线性质的应用，关键是作辅助线DE，本题比较典型，难度适中． 10. 如图，在中，为斜边上的中线，若，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵中，为斜边上的中线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：5． 11. 如图，已知，若 ，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段和差的计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴． 故答案为：3． 12. 如图，在中，边的垂直平分线分别交于点，若的周长为，．则的周长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质，推出，从而将的周长转化为，最后结合三角形周长公式计算即可． 【详解】解：边的垂直平分线分别交于点 的周长为 即 的周长 13. 如图，在△ABC中，ED//BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG=2，ED=6，则EB+DC=__________. 【答案】8． 【解析】 【分析】只要证明EG=EB，DF=DC即可解决问题． 【详解】∵ED∥BC， ∴∠EGB=∠GBC，∠DFC=∠FCB， ∵∠GBC=∠GBE，∠FCB=∠FCD， ∴∠EGB=∠EBG，∠DCF=∠DFC， ∴BE=EG，CD=DF， ∵FG=2，ED=6， ∴EB+CD=EG+DF=EF+FG+FG+DG=ED+FG=8， 故答案为8． 【点睛】此题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，解题的关键是等腰三角形的证明，属于基础题． 14. 如图，在中，，平分交于点D，如果，P为上一动点，那么的最小值为 _____ ． 【答案】5 【解析】 【分析】根据垂线段最短找到点，进而即可得到答案； 【详解】解：如图，作于点，则最短， ， ， ∵平分， ， ， ，即的最小值为． 15. 等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，分为腰长和底边长，两种情况进行讨论即可．熟练掌握等腰三角形的两腰相等，是解题的关键．注意分类讨论． 【详解】解：当为腰长时， ∵等腰的周长为20， ∴的底边长为：， ∴“优美比”为； 当为底边长时， 的腰长为：， ∴“优美比”为； 故答案为：或． 16. 如图，的中线，交于点，连接．若，，则的面积为_____． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查了根据三角形的中线求三角形的面积，根据三角形中线得出，求出，根据，求出，得出，根据三角形中线求出结果即可． 【详解】解：∵的中线，交于点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：18． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 求下列各式中x的值： （1）； （2）； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 解得； 【小问2详解】 解：， ， 可得或， 解得或． 18. 已知：一个正数的两个不同平方根分别是和． （1）求的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根的性质与算术平方根的计算，解题的关键是利用“正数的两个平方根互为相反数”列方程求解． （1）根据正数的两个平方根互为相反数，列方程，求解得的值； （2）将的值代入计算结果，再求其算术平方根． 【小问1详解】 解：由题意得 化简得： 解得： 【小问2详解】 将代入，得： 9的算术平方根是3． 19. 如图，，，．求证：． 【答案】 证明：， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法，熟练掌握全等的判定方法是解题的关键．根据得到，由即可证明结论． 【详解】略 20. 如图所示，已知于点D，． （1）若，，求的长； （2）求证：． 【答案】（1）3 （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据，得出， ，根据即可求解； （2）根据全等的性质得出，易得， 则，即可求证． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，对应角相等． 21. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求∠B的度数． 【答案】（1） 解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是正确理解等腰三角形的性质，垂直平分线的性质． （1）连接，根据垂直平分线的性质，可知，根据等腰三角形三线合一即可知； （2）设，由（1）可知，然后根据三角形的内角和为列出方程即可求出x的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∴由三角形的外角的性质， ， ∵， ∴， 在中，， 解得，， ∴． 22. 如图，点D在上，，交于点F，，，． （1）证明：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） ， . 在与中， （2） 【解析】 【分析】（1）由SAS证，即可解答． （2）利用（1）中全等三角形的对应角相等得到，由等腰的性质和三角形内角和定理求得，最后根据邻补角的定义解答． 本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 则. ，， . . . 23. 已知，如图，，分别是的中点． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：连接，如图所示： ，是的中点， ，， ； （2） 证明：如图所示： 由（1）知，， 在中，点是的中点，即是底边上的中线， 又， 由等腰三角形“三线合一”性质可得，． 【解析】 【分析】本题考查三角形相关性质证明，涉及直角三角形性质、等腰三角形性质，熟记三角形相关性质是解决问题的关键． （1）连接，如图所示，在和中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，，等量代换即可得证； （2）由（1）知，，在中，点是的中点，即是底边上的中线，由等腰三角形“三线合一”性质即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 尺规作图是数学的重要知识之一，很多复杂的图形都是通过这些简单的基本图形作出来的．在现实生活中也会有一些传统操作方法获取图形知识，在生活实践中使用 （1）【回顾思考】你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？你能说明其中的道理吗？ 小明回顾了作图的过程，如图1，并进行了如下思考． 由尺规作图可知，，，， ∴① ∴② 你能说明每一步的理由吗？ ① ；② ． （2）【源于实践】工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图2，是一个任意角，在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与、重合，过角尺顶点的射线便是的平分线，请给出证明． 【答案】（1）①三组对应边分别相等的两三角形全等 ；②全等三角形对应角相等 （2）根据题意可知角尺两边相同的刻度分别与、重合， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【解析】 【分析】（1）利用全等三角形的判定及性质解答即可： （2）利用证出，得到，即可推出平分． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 如图1和2，在四边形中，，，平分． （1）如图1，若，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是___________； （2）问题解决：如图2，求证：； （3）问题拓展：如图3，在等腰中，，平分，求证：． 【答案】（1）角平分线上的点到角的两边距离相等 （2） 证明：如图，作于E，于F． ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 证明：如图，在上截取，连接． ∵在等腰中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的性质定理解答； （2）作于E，于F，证明，根据全等三角形的性质证明即可； （3）在上截取，连接，可得，可证明，结合图形证明，从而得到，进而得到，即可求证． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， ∵平分， ∴（角平分线上的点到角的两边距离相等）． 故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 26. 综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图，已知中，．将从图的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点分别是点的对应点），旋转角为（，设线段与相交于点，线段分别交，于点，． 特例分析： （1）如图，当旋转到时，求旋转角的度数为 ； 探究规律： （2）如图，在绕点逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论． 拓展延伸： （3）①直接写出当是等腰三角形时旋转角的度数． ②在图中，作直线交于点，直接写出当是直角三角形时旋转角的度数． 【答案】（1） （2）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， 即：， 在和中， ， ∴， ∴； （3）①或；②旋转角为 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形“三线合一”可得结果； （2）可证明，而得出结论； （3）①分成，及，根据，利用旋转的性质、等腰三角形的性质，即可得到答案； ②根据，只有当时成立，进而根据和旋转角的关系求解即可. 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：①如图， 当时，， ∵，， ∴， ∴， 如图， 当时，， ∵，， ∴， ∴， 如图， 当时，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴此时和重合，这种情形不存在； 综上所述，或； ②如图， ，，旋转得到， ， 旋转角， ，，， ， ， 和都是顶角为的等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ，， 只有当时，满足是直角三角形， 此时，解得：， ∴旋转角为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $