精品解析：江苏省泰州市兴化市乐吾实验学校2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题

初二数学第一次月考试题2024.10 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第一部分选择题（共18分） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 幸福小区的三个出口A，B，C的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在的（ ） A. 3条高的交点处 B. 3条中线的交点处 C. 3条边的垂直平分线的交点处 D. 3个角的平分线的交点处 【答案】C 【解析】 【分析】线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，由此即可得到答案． 【详解】解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等， ∴要求充电桩到三个出口的距离都相等，则充电桩应建在三条边的垂直平分线的交点处． 3. 在中，的对边分别为，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理的应用；本题利用勾股定理的逆定理判断A、D，利用等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理判断B、C，从而可得答案． 【详解】解：A．由题可得：满足勾股定理的逆定理， 是直角三角形，故A选项不符合题意； B．， ， ∵， 由三角形内角和定理得：， 不是直角三角形，故B选项符合题意； C．∵ ， 设，则，， 由三角形内角和定理得：， 解得：，，， 是直角三角形，故C选项不符合题意； D． 由题可得：满足勾股定理的逆定理， 是直角三角形，故D选项不符合题意． 故选B 4. 已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（ ） A. B. C. 或 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】考查了等腰三角形的性质，当外角不确定是底角的外角还是顶角的外角时，需分两种情况考虑，再根据三角形内角和、三角形外角的性质求解． 此外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，需要分情况考虑，再结合三角形的内角和为，可求出顶角的度数． 【详解】解：若是顶角的外角，则顶角； 若是底角的外角，则底角， 那么顶角． 故它的顶角是或． 故选：C． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 角是轴对称图形，对称轴是角的平分线 B. 若两个图形关于某条直线对称，则这两个图形全等 C. 等腰三角形一边上的中线和这条边上的高重合 D. 一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，全等三角形，等腰三角形，熟练掌握其判定和性质，是解决问题的关键． 根据对称轴是直线，成轴对称性质，全等三角形的判定方法，等腰三角形三线合一性质，逐一判断即得． 【详解】A、角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线，∴A不正确； B、若两个图形关于某条直线对称，则这两个图形全等，∴B正确； C、等腰三角形底边上的中线和这条边上的高重合，∴C不正确； D、一个锐角和一条直角边（或斜边）分别相等的两个直角三角形全等，∴D不正确． 故选：B． 6. 如图，在中，，在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】D 【解析】 【分析】分别以A为顶点、B为顶点、P为顶点讨论即可． 【详解】解：如图，第1个点在CA延长线上，取一点P，使BA=AP； 第2个点在CB延长线上，取一点P，使AB=PB； 第3个点在AC延长线上，取一点P，使AB=PB； 第4个点在BC延长线上，取一点P，使AB=PA； 第5个点在BC延长线上，取一点P，使AB=PB； 第6个点在AC上，取一点P，使∠PBA=∠PAB； ∴符合条件的点P有6个点． 故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，等腰三角形的判定，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键． 第二部分非选择题（共132分） 二、填空题（每小题3分，共30分） 7. 从镜中看到的一串数字如图所示，这串数字应为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了镜面对称的知识，镜面对称的知识实际上是数学上的轴对称的知识，由于在镜子中看到的顺序是颠倒的，根据这个特点来解决问题即可． 【详解】解：这串数字应为， 故答案为：． 8. 已知等腰三角形的周长为12，一边长为3，则底边长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系，解本题的关键在分类讨论．分两种情况：当腰为时和当底为时，根据三角形的周长公式，结合三角形的三边关系，即可得出答案． 【详解】解：当腰为时， ∵等腰三角形的周长为12， ∴底为， ∵， ∴不能构成三角形； 当底为时， ∵等腰三角形的周长为12， ∴腰为， ∵， ∴可以构成三角形， 综上可得：等腰三角形的底边为． 故答案为：． 9. 如图，，∠A＝45°，∠ACD＝80°，则∠DBC的度数为_____°． 【答案】95 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质求出，，进而可求出，再根据三角形内角和定理求出∠DBC的度数即可． 【详解】解：，， ，， ， ， ， 故答案为：95． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质的应用，能根据全等三角形的性质得出，是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等． 10. 如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，树干顶部在距离根部处，这棵大树在折断前的高度为__________． 【答案】8 【解析】 【详解】解：折断部分为5m， ∴大树高为3+5=8m， 故答案为：8． 11. 直角三角形斜边上的高和中线分别是5和7，则它的面积是______． 【答案】35 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质求出斜边长，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图， 直角三角形斜边上的中线是7， 斜边长为：， 它的面积， 故答案为：35． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 12. 如图，在中，BO平分，CO平分，过点O作，若，，则的周长是______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟知平行线的性质，角平分线的定义和等腰三角形的判定定理是解题关键． 先根据平行线的性质、角平分线的定义、等角对等边，得到，，再进行线段的代换，即可求出的周长． 【详解】解：∵BO平分， ∴， ∵CO平分， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为：14． 故答案为：14． 13. 如图，是等边三角形．D，E分别是上的点，若．则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等边三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的内角和定理可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 14. 如图，是的角平分线，，，，的面积为14，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作上于点，得到，再根据三角形面积公式即可计算． 【详解】解：过点作上于点 是的角平分线，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 15. 如图，△ABC的边AB、AC的垂直平分线PF、QD相交于点E，分别交BC于点F，D．若BF＝10，DF＝6，CD＝8，则△ABC的面积为______________． 【答案】96 【解析】 【分析】连接AF，AD，由题意得出AF=BF，AD=DC，可证得∠ADF=90°，根据三角形的面积公式可得出答案． 【详解】连接AF，AD， ∵△ABC的边AB、AC的垂直平分线PF、QD相交于点E， ∴AF=BF，AD=DC， ∵BF=10，CD=8， ∴AF=10，AD=8， ∵DF=6， ∴DF2+AD2=AF2， ∴∠ADF=90°， ∵BC=BF+DF+DC=10+6+8=24， ∴S△ABC=×BC×AD=×24×8=96． 故答案为：96． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质以及勾股定理的逆定理，解决此题的关键是根据垂直平分线的性质连接学段两端构造等腰三角形． 16. 如图，，C为边上一动点（不与点A、点B重合），以为边在的上方作等边三角形，过点C作的垂线，E为垂线上任意一点，连接，F为的中点，连接，则的最小值是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查垂线段最短，含30度角的直角三角形，等边三角形的性质，解题的关键是利用垂线段最短解决最值问题． 连接，，设交于点H，根据垂线的性质及直角三角形斜边中线的性质得出，利用等边三角的性质证明得出，再运用垂线段最短及含30度角的直角三角形的性质可得答案． 【详解】连接，如图，连接，，设交于点H， ， F为的中点， ， 为等边三角形， ， 在和中 ， ， ， 当时，的值最小，如图所示，设点为垂足， 在中，， ， 故答案为：6． 三、解答题（本大题共7小题，共102分） 17. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点的连线为边的多边形称为“格点多边形”，图中四边形ABCD就是一个“格点四边形”． （1）在图中的方格纸中画一个格点四边形，使该四边形与原四边形ABCD关于直线l成轴对称； （2）P为直线l上一点，连接AP、DP，使得AP＋DP最小． ①画出点P的位置； ②AP＋DP的最小值为_________． 【答案】 （1）如图，四边形即为所求； （2）①点P的位置如图； ②5 【解析】 【分析】（1）分别作出点A、B、C、D关于直线l的对称点A′、B′、C′、D′即可； （2）①根据两点之间线段最短可判断此时P点满足条件连接交直线l于P，则PA＝PA′，所以PA＋PD＝DA′， ②由①可知AP＋DP的最小值为的长度，再利用勾股定理求得． 【详解】解：（1）略 （2）①略 ②AP＋DP的最小值为的长度＝， 故填：5． 【点睛】本题考查了作图−轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，也考查了最短路径问题，属于基础题型． 18. 如图，的垂直平分线交于点D，交于点E，的周长是14，，求的周长． 【答案】22 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 根据的周长是14，可得，再由线段垂直平分线的性质定理，可得，，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵的周长是14， ， ∵是的垂直平分线， ， ， ， ∴的周长． 19. 如图，点C、E、F、B在同一直线上，且，给出下列信息：①；②；③．请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是______，结论是______（只要填写序号），并说明理由． 【答案】①③；②或②③；① 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解决本题的关键．根据全等三角形的判定选择相应的条件与结论并证明即可． 【详解】解：选条件①③，结论②，理由如下： ∵， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 选条件②③，结论①，理由如下： ∵， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：①③；②或②③；①． 20. 如图，直角三角形，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．． （1）求证：； （2）若设的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理． 【答案】（1） 证明：， ， 又， ， 在和中， ， ； （2） 证明： ， ， ， ， 化简得： 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据可以证明结论成立； （2）根据，代入字母计算即可证明结论成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，在中，． （1）请利用无刻度的直尺和圆规在线段上作一点D，使点D到边的距离等于．（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求的长． 【答案】（1） 如图，点D即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质定理以及勾股定理，解题的关键熟练角平分线的性质定理，属于中考常考题型． （1）如图，根据角平分线的性质作出的角平分线：以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别与、相交于一点，再以这两点分别为圆心，大于这两点的距离的一半为半径分别作弧，两弧相交于一点，连接点A与该交点并延长交于点D即可； （2）过点D作于点E，根据角平分线的性质可得，设，根据列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点D作于点E， ∵，，， ∴在中，， ∵是的角平分线，，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 22. 如图，现有一块花坛，将其内部设置成观赏区，其他区域种植花卉，已知，每平方米的种植成本为20元，求种植花卉所需的费用． 【答案】480元 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，正确得出是直角三角形是解题关键．先利用勾股定理得出，再利用勾股定理的逆定理得出，根据四边形面积等于两直角三角形面积差即可求出面积，由面积可计算投入． 【详解】解： ， ， ， 是直角三角形，， 种植花卉区域的面积为， 种植花卉所需的费用为（元． 23. 如图，和都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，连接和，交、于点F、G． （1）求证：． （2）连接，请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）为等边三角形； 理由如下： 由（1）得：， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定，全等三角形的判定是解题的关键． （1）证明，则； （2）由（1）得：，即，证明，则，进而可证是等边三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，在中，，平分，过点E分别作、，，垂足分别为M、N、D，，连接． （1）求证：点D为的中点； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：连接，如图所示： ∵平分，、， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点D为的中点； （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质得出，，证明，得出，根据等腰三角形的性质得出，即可证明结论； （2）根据四边形内角和求出，根据三角形全等的性质得出，求出，根据等腰三角形的性质得出，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵、， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，四边形内角和，作出辅助线，构造全等三角形，掌握相关知识是解题的关键． 25. 如图，中，点D在边上，且，点E、F、G分别是、、的中点． （1）若，，求四边形的周长； （2）连接： ①连接，则与有怎样的关系？证明你的结论； ②若交于点H，求证：． 【答案】（1）16 （2） ①；理由如下： 根据解析（1）可知：， ∵点F、G分别是、的中点， ∴， ∴， ∴； ②过点D作，交于点N，如图所示： ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得出，根据点E、F、G分别是、、的中点，得出，，即可得出答案； （2）①根据，由中位线性质得出，根据平行线的性质得出，即可证明结论； ②过点D作，交于点N，证明四边形为平行四边形，得出，证明，得出． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵点E、F、G分别是、、的中点， ∴，， ∴四边形的周长为： ； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，中位线性质，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 26. 如图，中，，将沿着翻折使点A恰好落在上点D处，且． （1）求证：； （2）延长交延长线于点G，求证：； （3）过点A作于点H，连接．若，周长是10，求． 【答案】（1） 证明：过点A作于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2） 根据折叠可知：， ∵； ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）过点A作于点H，根据等腰三角形的性质得出，证明，得出，即可证明结论； （2）根据折叠得出，根据；得出， 根据，得出，根据等腰三角形的判定得出结论； （3）过点D作于点M，证明，根据角平分线性质得出，根据等腰三角形的性质得出，求出，根据勾股定理得出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点D作于点M，如图所示： 根据折叠可知：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，根据勾股定理得：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形外角的性质，勾股定理，折叠的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学第一次月考试题2024.10 （考试时间：120分钟 满分：150分） 第一部分选择题（共18分） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 幸福小区的三个出口A，B，C的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在的（ ） A. 3条高的交点处 B. 3条中线的交点处 C. 3条边的垂直平分线的交点处 D. 3个角的平分线的交点处 3. 在中，的对边分别为，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（ ） A. B. C. 或 D. 不能确定 5. 下列说法正确的是（ ） A. 角是轴对称图形，对称轴是角的平分线 B. 若两个图形关于某条直线对称，则这两个图形全等 C. 等腰三角形一边上的中线和这条边上的高重合 D. 一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等 6. 如图，在中，，在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 第二部分非选择题（共132分） 二、填空题（每小题3分，共30分） 7. 从镜中看到的一串数字如图所示，这串数字应为___________． 8. 已知等腰三角形的周长为12，一边长为3，则底边长为______． 9. 如图，，∠A＝45°，∠ACD＝80°，则∠DBC的度数为_____°． 10. 如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，树干顶部在距离根部处，这棵大树在折断前的高度为__________． 11. 直角三角形斜边上的高和中线分别是5和7，则它的面积是______． 12. 如图，在中，BO平分，CO平分，过点O作，若，，则的周长是______． 13. 如图，是等边三角形．D，E分别是上的点，若．则______． 14. 如图，是的角平分线，，，，的面积为14，则______． 15. 如图，△ABC的边AB、AC的垂直平分线PF、QD相交于点E，分别交BC于点F，D．若BF＝10，DF＝6，CD＝8，则△ABC的面积为______________． 16. 如图，，C为边上一动点（不与点A、点B重合），以为边在的上方作等边三角形，过点C作的垂线，E为垂线上任意一点，连接，F为的中点，连接，则的最小值是______． 三、解答题（本大题共7小题，共102分） 17. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点的连线为边的多边形称为“格点多边形”，图中四边形ABCD就是一个“格点四边形”． （1）在图中的方格纸中画一个格点四边形，使该四边形与原四边形ABCD关于直线l成轴对称； （2）P为直线l上一点，连接AP、DP，使得AP＋DP最小． ①画出点P的位置； ②AP＋DP的最小值为_________． 18. 如图，的垂直平分线交于点D，交于点E，的周长是14，，求的周长． 19. 如图，点C、E、F、B在同一直线上，且，给出下列信息：①；②；③．请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是______，结论是______（只要填写序号），并说明理由． 20. 如图，直角三角形，直角顶点C在直线l上，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E．． （1）求证：； （2）若设的三边分别为a、b、c，试用此图证明勾股定理． 21. 如图，在中，． （1）请利用无刻度的直尺和圆规在线段上作一点D，使点D到边的距离等于．（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求的长． 22. 如图，现有一块花坛，将其内部设置成观赏区，其他区域种植花卉，已知，每平方米的种植成本为20元，求种植花卉所需的费用． 23. 如图，和都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，连接和，交、于点F、G． （1）求证：． （2）连接，请判断的形状，并说明理由． 24. 如图，在中，，平分，过点E分别作、，，垂足分别为M、N、D，，连接． （1）求证：点D为的中点； （2）若，求的度数． 25. 如图，中，点D在边上，且，点E、F、G分别是、、的中点． （1）若，，求四边形的周长； （2）连接： ①连接，则与有怎样的关系？证明你的结论； ②若交于点H，求证：． 26. 如图，中，，将沿着翻折使点A恰好落在上点D处，且． （1）求证：； （2）延长交延长线于点G，求证：； （3）过点A作于点H，连接．若，周长是10，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $