3.2　探索三角形相似的条件 教学设计 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

3.2　探索三角形相似的条件 第1课时　两角分别相等的判定方法 教学目标 1.掌握两角分别相等的两个三角形相似的判定定理. 2.会用两角分别相等的两个三角形相似的判定定理证明三角形相似. 重点难点 重点：两角分别相等的两个三角形相似的判定定理. 难点：两角分别相等的两个三角形相似的判定定理的运用. 教学过程 回忆以前学过的两个三角形全等的条件，想一想，如果两个三角形只有一个角相等，它们一定相似吗？如果有两个角分别相等，它们一定相似吗？ 探究新知 探究点　两角分别相等的判定方法 【例1】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点（DE不平行于BC）.当　　　　时，△ADE与△ABC相似（写出一种情况即可）. 【解析】∵∠ADE＝∠C，∠A为公共角，∴△ADE∽△ACB. 【解】∠ADE＝∠C（答案不唯一） 【方法总结】用两角分别相等得出三角形相似是解决问题的关键，掌握好寻找等角的方法，同时要注意图形中隐含的等角条件，如公共角、对顶角等. 【例2】如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点H在AC上，且线段HD⊥AB于点D，BC的延长线与DH的延长线交于点E.求证：△AHD∽△EBD. 【解析】首先根据垂直证明∠ADH＝∠EDB，再利用三角形的内角和定理证明∠A＝∠E，由此得出△AHD∽△EBD. 【解】∵HD⊥AB， ∴∠ADH＝∠EDB＝90°， ∴∠A＋∠AHD＝90°. ∵∠ACE＝∠ACB＝90°， ∴∠E＋∠EHC＝90°. 又∵∠AHD＝∠EHC， ∴∠A＝∠E， ∴△AHD∽△EBD. 【方法总结】根据已知条件，找出两角相等，从而判断两个三角形相似. 课堂训练 1.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC.若∠DCE＝∠B，则下列判断中错误的是（　　） 第1题图 A.△ADE∽△ABC B.△ADE∽△ACD C.△DEC∽△CDB D.△ADE∽△CDB 　　2.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边BC，AB上，且∠BDE＝∠CAD.求证： （1）△BDE∽△CAD； （2）△ADE∽△ABD. 板书设计 第1课时　两角分别相等的判定方法 1.三角形相似的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似. 2.例题讲解. 课堂小结 本节课学习了相似三角形的判定定理——两角分别相等的两个三角形相似，会用相似三角形的判定方法证明三角形相似. 教学反思 　　教学中将重点放在科学合理地探索“两个三角形在什么条件下相似”的逻辑推理上，而且能让学生通过探索和应用，体会数学的实际价值，从而培养学生探索研究的能力.为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生在分析问题、解决问题中的独到见解以及思维的误区， 以便指导今后的教学.课堂上要把激发学生学习热情和提升学习能力放在教学首位.通过运用各种启发、激励的语言以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度.在小组讨论之前，应该给学生留充分的时间去独立思考.教师应对小组讨论给以适当的指导，包括知识的启发，合作交流中注意的问题及对学习有困难的学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性. 答案 课堂训练 1.D 2.证明：（1）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C. 又∵∠BDE＝∠CAD， ∴△BDE∽△CAD. （2）由（1）知△BDE∽△CAD， ∴∠BED＝∠CDA， ∴180°－∠BED＝180°－∠CDA， 即∠AED＝∠ADB. 又∵∠EAD＝∠DAB， ∴△ADE∽△ABD. 第2课时　两边成比例且夹角相等的判定方法 教学目标 1.理解两边成比例且夹角相等的两个三角形相似的判定定理. 2.会用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似的判定定理证明三角形相似. 重点难点 重点：掌握两边成比例且夹角相等的两个三角形相似的判定定理. 难点：相似三角形的判定定理在问题中的灵活运用. 教学过程 情景导入 如图，A，B两点被池塘隔开，为测量A，B两点间的距离，在池塘边任选一点C，连接AC，BC，并延长AC到点D，使CD＝AC，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE.如果测得DE＝20m，那么AB＝2×20＝40（m）.你知道这是为什么吗？ 探究新知 探究点一　利用两边和夹角判定三角形相似 【例1】如图，AD，BC相交于点E，且AE＝54cm，DE＝36cm，CE＝30cm，BE＝45cm，∠B＝78°.求证：△AEB∽△DEC. 【解析】利用两边及其夹角可判断△AEB与△DEC相似. 【解】∵＝＝，＝＝，∴＝. 又∵∠AEB＝∠DEC，∴△AEB∽△DEC. 【方法总结】在定理的运用中，常常忽视“夹角相等”这个重要条件，错误地认为有两边对应线段的比相等，再有一组角相等，就能得到两个三角形相似. 探究点二　利用两边和夹角判定三角形相似的动点问题 【例2】如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC运动，速度为4cm/s.如果P，Q两动点同时开始运动，那么何时△QBP与△ABC相似？ 【解析】设经过ts时，△QBP与△ABC相似，则AP＝2tcm，BP＝（8－2t）cm，BQ＝4tcm，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当＝时，△BPQ∽△BAC，即＝；当＝时，△BPQ∽△BCA，即＝，然后解方程即可. 【解】设经过ts时，△QBP与△ABC相似，则AP＝2tcm，BP＝（8－2t）cm，BQ＝4tcm. ∵∠PBQ＝∠CBA， ∴当＝时，△BPQ∽△BAC，即＝，解得t＝2； 当＝时，△BPQ∽△BCA，即＝，解得t＝0.8. 故经过2s或0.8s时，△QBP与△ABC相似. 【方法总结】两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似.利用时间表示相应线段的长度和利用相似比列方程是解出此题的关键. 课堂训练 第1题图 1.如图，给出下列条件：①∠ACD＝∠ADC；②∠ADC＝∠ACB；③＝；④＝.其中能够单独判定△ABC∽△ACD的个数为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在CD上，且CD＝4DF，连接EF，BE.求证：△ABE∽△DEF. 板书设计 第2课时　两边成比例且夹角相等的判定方法 1.两边成比例且夹角相等的判定定理. 2.例题讲解. 课堂小结 本节课学习了两边成比例且夹角相等的判定定理，要灵活运用三角形相似的判定定理. 教学反思 　　让学生明白判定三角形相似的条件，培养学生的动手实践能力，逻辑推理能力，积累丰富的数学活动经验.这节课主要采用动手实践，自主探索与合作交流的学习方法，使学生积极参与教学过程，在教学过程中展开思维，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，进一步理解观察、类比、分析等数学思想方法.教学中注意关注学生探究知识形成的过程，使学生充分体会数学研究的一般方法. 答案 课堂训练 1.B 2.证明：设DF＝x，则AB＝AD＝CD＝4x. ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE＝2x， ∴＝＝2. 在正方形ABCD中，∠A＝∠D＝90°， ∴△ABE∽△DEF. 第3课时　三边成比例的判定方法 教学目标 1.理解三边成比例的两个三角形相似的判定定理. 2.会运用三边成比例的两个三角形相似的判定方法证明三角形相似. 重点难点 重点：理解三边成比例的两个三角形相似的判定定理. 难点：三边成比例的两个三角形相似的判定定理的运用. 教学过程 情景导入 师：我们上两节课学过什么定理？ 师生共同回忆，在上两节课的探索中，我们知道：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 师：那么判定三角形相似还有没有其他方法呢？ 画△ABC与△A'B'C'，使，和都等于给定的k值. （1）设法比较∠A与∠A'的大小； （2）△ABC与△A'B'C'相似吗？说说你的理由.改变k值的大小，再试一试. 探究新知 探究点　利用三边判定三角形相似 【例1】在△ABC和△A1B1C1中，已知AB＝6，BC＝8，AC＝11，A1B1＝18，B1C1＝24，A1C1＝33.求证：△ABC∽△A1B1C1. 【解析】正确求得三条对应边的比，根据三条对应边的比相等证明两个三角形相似. 【解】∵＝＝3，＝＝3，＝＝3， ∴＝＝， ∴△ABC∽△A1B1C1. 【方法总结】先找好对应边，再求出它们的比值，根据三条对应边的比值相等证明△ABC∽△A1B1C1. 【例2】如图，若A，B，C，P，Q和甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△PQR∽△ABC，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（　　） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【解析】根据题意，△ABC的三边之比为∶∶，要使△ABC∽△PQR，则△PQR的三边之比也应为∶∶，经计算只有丙合适. 【答案】C 课堂训练 1.已知△ABC三边长分别是，，2，与△ABC相似的三角形的三边长可能是（　　） A.1，， B.1，， C.1，， D.1，， 2.如图，AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，且＝＝.判断△ABC和△A'B'C'是否相似，并说明理由. 板书设计 第3课时　三边成比例的判定方法 1.三角形相似的判定方法：三边成比例的两个三角形相似. 2.例题讲解. 课堂小结 本节课学习了三角形三边成比例的两个三角形相似的判定方法，要找好对应边，会利用判定方法证明三角形相似. 教学反思 　　本节课通过“动手操作—验证—推广—说理—应用”的过程，探索出三角形相似的条件.在这个过程中，要发扬“敢想、敢做，务实、严谨”的数学精神，与同学真诚合作，感受小组合作的快乐，感受数学从未知到已知的魅力. 本节课进一步学习三角形相似的条件，增加“三边成比例的两个三角形相似”的判定定理，并对所学的各种三角形相似的判定方法进行梳理，使学生能掌握和综合利用相似三角形的判定条件来判定两个三角形相似.让学生结合实际再次体会数学中的几何图形在生活中广泛存在并起到重要的作用.在教学中再辅以适量的练习，加深学生对所学知识的印象，提升学生解决问题的能力. 答案 课堂训练 1.A 2.解：△ABC∽△A'B'C'. 理由：∵＝＝， ∴△ABD∽△A'B'D'， ∴∠B＝∠B'. ∵AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线， ∴BD＝BC，B'D'＝B'C'， ∴＝＝＝， ∴△ABC∽△A'B'C'. 第4课时　黄金分割 教学目标 1.理解黄金分割的现实意义，会找一条线段的黄金分割点；会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点. 2.会用黄金分割点解答问题. 重点难点 重点：了解黄金分割的意义并能运用. 难点：找出黄金分割点和作黄金矩形. 教学过程 情景导入 建筑中的黄金分割. 　 探究新知 探究点　黄金分割 【例1】如图，已知AB＝AD，点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC.若S1表示以BC为边的正方形的面积，S2表示长为AD，宽为AC的矩形的面积，则S1与S2的大小关系为（　　） A.S1＞S2 B.S1＝S2 C.S1＜S2 D.不能确定 【解析】∵AB＝AD，点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，∴BC2＝AC·AB＝AC·AD.∵S1表示以BC为边的正方形的面积，S2表示长为AD，宽为AC的矩形的面积，∴S1＝BC2，S2＝AC·AD，∴S1＝S2. 【答案】B 【方法总结】计算关于黄金分割的问题时，一般情况下，会用到一元二次方程，会有两个根，其中一个根与实际情况不符要舍去，所以最重要的是要根据题意检验. 【例2】如图所示的是著名画家达·芬奇的名画《蒙娜丽莎》.画中的脸部被包在矩形ABCD内，点E是AB的黄金分割点，BE＞AE.若AB＝2a，则BE的长为（　　） A.（＋1）a B.（－1）a C.（3－）a D.（－2）a 【解析】∵点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，∴BE＝AB＝×2a＝（－1）a. 【答案】B 【方法总结】根据黄金比值进行计算. 课堂训练 1.已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC.若AB的长为20，则BC的长为（　　） A.10－10 B.10－10 C.30－10 D.20－10 2.宽与长的比是黄金比的矩形，称为“黄金矩形”.从外形看，它最具美感.现在想要制作一张“黄金矩形”的贺卡，如果较长的一条边的长为16cm，那么与其相邻的一条边的长为　　　　cm（结果保留根号）. 板书设计 第4课时　黄金分割 1.黄金分割点的定义和黄金比. 2.例题讲解. 课堂小结 本节课学习了黄金分割的意义，会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点. 教学反思 　　教学设计注重揭示数学的现实意义，学习黄金分割不仅是实现线段比例的要求，更是体现了数学的现实意义.它体现了数学与建筑、摄影、经济等各方面的密切联系，使学生认识到数学不是孤立的、干巴巴的，它是生活的一部分. 在整个教学过程中，教师应积极地启发、引导，尽可能多地给学生留动手、动脑和交流的时间. 答案 课堂训练 1.C 2.（8－8） 学科网（北京）股份有限公司 $