3.2探索三角形相似的条件 第1课时教学设计 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

《3.2 探索三角形相似的条件（第1课时）》教学设计 课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 本节课是北师大版九年级上册第四章《图形的相似》中3.2节的第1课时，主要内容是通过画图、测量等探究活动，探索并发现“两角分别相等的两个三角形相似”这一判定条件。 学生已经学习了相似三角形的定义、平行线分线段成比例定理，以及利用平行线判定三角形相似的预备定理。本节课在此基础上，通过合情推理探索相似三角形的第一个判定条件，为后续严格证明和学习其他判定定理打下基础。 教材通过“动手操作—观察猜想—归纳总结”的探究过程，引导学生经历从直观感知到理性认识的思维过程，进一步发展学生的几何直观和合情推理能力。 学习者分析 学生已经学习了相似三角形的定义、平行线分线段成比例定理，以及“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似”的预备定理，具备了一定的几何探究基础。 九年级学生已经具备了一定的动手操作能力和观察归纳能力，但在从操作现象上升到数学结论的过程中可能会有困难，需要教师引导学生进行规范的数学表达和归纳。 教学目标 1. 经历两个三角形相似条件的探索过程，掌握“两角分别相等的两个三角形相似”的判定条件。 2. 经历画图、观察、归纳的探究过程，发展合情推理能力，进一步积累数学活动经验。 3. 能运用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定条件判定两个三角形相似，并解决简单的实际问题。 教学重点 探索并掌握“两角分别相等的两个三角形相似”的判定条件及其应用。 教学难点 通过探究活动归纳得出相似三角形的判定条件，并能灵活应用。 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：引入新课 1. 复习提问：相似三角形的定义是什么？根据定义判定两个三角形相似需要满足什么条件？ 2. 引导思考：根据定义，判定两个三角形相似需要知道三个角分别相等、三条边成比例。有没有更简单的判定方法呢？ 3. 类比全等三角形：全等三角形有ASA、AAS判定，那么相似三角形有没有类似的判定方法呢？ 4. 引出课题：今天我们就来探索三角形相似的第一个条件——两角分别相等的两个三角形相似。 活动意图说明：通过复习相似三角形的定义，类比全等三角形的判定方法，引导学生猜想相似三角形的判定方法，自然引入新课。 学生活动1： 学生回忆相似三角形的定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似。 学生思考教师提出的问题，大胆猜想相似三角形的判定方法。 环节二：探索新知 【探究活动】两角分别相等的两个三角形相似 活动要求： 1. 画一个△ABC，使∠A=60°，∠B=45°； 2. 同桌两人分别画不同大小的三角形； 3. 测量三边的长度，计算对应边的比； 4. 观察并思考：两个三角形有什么关系？ 教师巡视指导，参与学生活动。 学生展示交流后，教师引导归纳： 如果两个三角形有两个角分别相等，那么它们的第三个角也一定相等（三角形内角和180°）。 通过测量发现：两个三角形的三边对应成比例。 因此，这两个三角形相似。 【归纳结论】 判定条件：两角分别相等的两个三角形相似。 符号语言： ∵ ∠A = ∠A′，∠B = ∠B′ ∴ △ABC∽△A′B′C′ 活动意图说明：通过学生动手画图、测量、计算、观察、归纳，经历从合情推理到得出结论的过程，培养学生的探究能力和归纳能力。 学生活动2： 1. 学生按要求画图，同桌合作完成测量。 2. 计算对应边的比值，观察两个三角形的关系。 3. 小组交流展示，分享自己的发现。 4. 师生共同归纳总结判定条件。 环节三：典例精析 例1：如下图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC。 （1）图中有哪些相等的角？ （2）△ADE与△ABC相似吗？为什么？ 解：（1）∵ DE∥BC ∴ ∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C（两直线平行，同位角相等） （2）△ADE∽△ABC。 理由：∵ ∠A = ∠A（公共角），∠ADE = ∠B ∴ △ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似） 例2：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D。图中有几对相似三角形？ 解：图中有三对相似三角形： ① △ACD∽△ABC ② △CBD∽△ABC ③ △ACD∽△CBD 理由：∵ ∠ACB=90°，CD⊥AB ∴ ∠ADC=∠CDB=90° 又∵ ∠A=∠A，∠B=∠B ∴ △ACD∽△ABC，△CBD∽△ABC（两角分别相等） ∴ △ACD∽△CBD 活动意图说明：通过例题巩固判定条件的应用，特别是直角三角形中的“双垂直”基本图形，为后续学习打下基础。 学生活动3： 1. 学生独立完成例1，找出相等的角并判定相似。 2. 学生思考例2，找出图中的相似三角形。 3. 学生展示解题过程，互评纠错。 板书设计 3.2 探索三角形相似的条件（第1课时） 判定条件：两角分别相等的两个三角形相似 符号语言： ∵ ∠A = ∠A′，∠B = ∠B′ ∴ △ABC∽△A′B′C′ 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1. 下列说法正确的是（ ） A. 两个等腰三角形一定相似 B. 两个直角三角形一定相似 C. 两个等边三角形一定相似 D. 两个锐角三角形一定相似 2. 已知△ABC和△A′B′C′中，∠A=50°，∠B=60°，∠A′=50°，∠C′=70°，则这两个三角形______（填“相似”或“不相似”）。 选做题： 3. 如图，在△ABC中，D是AB边上一点，连接CD，请你添加一个条件：______，使得△ACD∽△ABC。 【综合拓展类作业】 4. 如图，为了测量一条河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B、C，使AB⊥BC，再取点E，使EC⊥BC，视线BC与AE交于点D。如果测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求河宽AB。 课堂总结 课堂小结，自我完善 教师引导学生畅谈本节课的收获： 1. 本节课探索出了什么结论？内容是什么？ 2. 这个判定条件需要满足什么条件？ 3. 在探究过程中你有什么收获和体会？ 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1. 下列各组条件中，能判定△ABC∽△A′B′C′的是（ ） A. ∠A=∠A′，∠B=∠B′ B. ∠A=40°，∠B=60°，∠A′=40°，∠C′=70° C. AB=A′B′，AC=A′C′，∠B=∠B′ D. AB:A′B′=BC:B′C′，∠A=∠A′ 2. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AD=3，BD=2，则CD=______。 选做题： 3. 已知：在△ABC中，∠A=40°，∠B=75°，求△ABC的三个内角。如果有一个三角形与△ABC相似，且其中一个角为40°，求这个三角形的另外两个角。 【综合拓展类作业】 4. 如图，在阳光下，身高1.6m的小亮在地面上的影长为2.4m，在同一时刻，测得一棵树在地面上的影长为6m，求这棵树的高度。 答案： 【课堂练习】 1. C 2. 相似 3. ∠ACD=∠B（或∠ADC=∠ACB） 4. 解：∵ AB⊥BC，EC⊥BC ∴ ∠ABD=∠ECD=90° 又∵ ∠ADB=∠EDC（对顶角相等） ∴ △ABD∽△ECD（两角分别相等） ∴ AB:EC = BD:CD 即 AB:50 = 120:60 解得 AB=100（m） 答：河宽AB为100m。 【作业设计】 1. A 2. √6 3. 解：△ABC的三个内角分别为∠A=40°，∠B=75°，∠C=65° 相似三角形的另外两个角为75°和65° 4. 解：设树高为xm ∵ 同一时刻物高与影长成正比 ∴ 1.6:2.4 = x:6 解得 x=4（m） 答：这棵树的高度为4m。 教学反思 本节课是探索三角形相似条件的第1课时，主要内容是通过探究活动发现“两角分别相等的两个三角形相似”。教学中让学生通过画图、测量、计算、观察、归纳等活动，经历从合情推理到得出结论的过程，体现了学生的主体地位。 教学中要注意给学生充足的动手操作时间，让学生在实践中发现规律。同时，要引导学生用规范的数学语言表达结论，培养学生的数学表达能力。例题选择要贴近生活，体现数学的应用价值。 学科网（北京）股份有限公司 $