2.4.1圆的标准方程课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高中数学 · 选择性必修第一册 圆的标准方程 第二章　直线和圆的方程　2.4.1 授课教师：____________ 学　　校：____________ 日　　期：____________ 本课核心 (x − a)² + (y − b)² = r² 圆心 C(a, b) 半径 r（r > 0） 一、从生活中的圆说起 情境导入 生活中处处有圆 · 车轮、井盖、钟表表盘； · 投石入水，水面荡开一圈圈波纹； · 圆形花坛、圆形广场、圆桌。 想一想 圆“圆心定位置、半径定大小”。能不能用一个方程，把圆上所有点共同具有的特征写出来？ 人教A版 · 选择性必修第一册　2.4.1　圆的标准方程 02 / 17 二、回到圆的定义 知识回顾 圆的定义（几何语言） 平面内，到定点 C 的距离等于定长 r 的点的集合（轨迹）叫做圆。定点 C 叫做圆心，定长 r 叫做半径。 Γ = { P | |PC| = r } 几何定义能“画”出圆，但要“算”圆，还必须把它翻译成代数语言。 把几何条件写成坐标方程 —— 这正是解析几何的基本方法，叫做坐标法。 人教A版 · 选择性必修第一册　2.4.1　圆的标准方程 03 / 17 三、用坐标法求圆的方程 公式推导 ① 建立坐标系，设圆心 C(a, b)，半径 r > 0； ② 设圆上任意一点 P(x, y)； ③ 写出几何条件：|PC| = r； ④ 把它翻译成坐标式： ⑤ 两边平方，得 (x − a)² + (y − b)² = r²。 (x − a)² + (y − b)² = r² 说明：圆上任一点的坐标都满足它；满足它的点也都在圆上，所以它就是所求圆的方程。 人教A版 · 选择性必修第一册　2.4.1　圆的标准方程 04 / 17 四、圆的标准方程 公式 (x − a)² + (y − b)² = r² 圆心为 C(a, b)、半径为 r（r > 0）的圆的标准方程 怎样读这个方程 左边是点 (x, y) 到圆心 (a, b) 的距离的平方； 右边是半径的平方。 两个特例与提醒 圆心在原点时：x² + y² = r²； 右边是 r²，不是 r，写方程时别漏平方。 人教A版 · 选择性必修第一册　2.4.1　圆的标准方程 05 / 17 五、例题 1 写方程 · 读方程 （1）已知圆心为 C(2, −3)，半径 r = 4，求圆的标准方程。 （2）已知圆 (x + 1)² + (y − 2)² = 4，写出它的圆心坐标和半径。 解 （1）把 a = 2，b = −3，r = 4 代入 (x − a)² + (y − b)² = r²， 　　得 (x − 2)² + (y + 3)² = 16。 （2）与标准式对照：x + 1 = x − (−1)，故 a = −1，b = 2；由 r² = 4 得 r = 2。 　　所以圆心为 C(−1, 2)，半径为 2。 注意：(x + 1)² 即 x 减去 −1 再平方，圆心横坐标是 −1，不是 1。 人教A版 · 选择性必修第一册　2.4.1　圆的标准方程 06 / 17 六、例题 2 由直径端点求方程 已知圆的一条直径的两个端点为 A(1, −2)、B(5, 4)，求该圆的标准方程。 解 因为 AB 是圆的直径，所以 AB 的中点就是圆心 C，半径等于 |AB| 的一半。 圆心 C 的坐标： ； 半径 。 所以圆的标准方程是 (x − 3)² + (y − 1)² = 13。 解题要点：已知直径两端点求圆的方程 —— 圆心取中点，半径取直径的一半。 人教A版 · 选择性必修第一册　2.4.1　圆的标准方程 07 / 17 七、点与圆的位置关系 判断方法 设点 M(x, y)，圆 C: (x − a)² + (y − b)² = r²，其圆心为 C(a, b)、半径为 r。 记 d = |MC|，则点 M 与圆 C 的位置关系由 d 与 r 的大小决定。 d < r 点 M 在圆内 d = r 点 M 在圆上 d > r 点 M 在圆外 实际判断时不必先算出 d： 直接把点的坐标代入左边，与 r² 比较大小即可。 人教A版 · 选择性必修第一册　2.4.1　圆的标准方程 08 / 17 八、例题 3 判断位置关系 判断下列各点与圆 (x − 2)² + (y − 1)² = 5 的位置关系： A(3, 2)，　B(1, −1)，　C(4, 6)。 解：圆心 C(2, 1)，半径的平方 r² = 5。 A(3, 2)：(3 − 2)² + (2 − 1)² = 1 + 1 = 2 < 5，点 A 在圆内； B(1, −1)：(1 − 2)² + (−1 − 1)² = 1 + 4 = 5 = 5，点 B 在圆上； C(4, 6)：(4 − 2)² + (6 − 1)² = 4 + 25 = 29 > 5，点 C 在圆外。 提示：把点的坐标直接代入左边，与右边的 r² 比较大小，比先算 d 再开方更快。 人教A版 · 选择性必修第一册　2.4.1　圆的标准方程 09 / 17 九、教材例题 1 点与圆的位置 · 代数法 （教材例题）求圆心为 A(2, −3)、半径长等于 5 的圆的标准方程，并判断点 M₁(5, −7)、M₂(−2, −1) 是否在这个圆上。 分析：只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在圆上。 解：圆心为 A(2, −3)、半径为 5 的圆的标准方程是 。 ① ，与右边相等，故点 M₁ 在圆上。 ② ，与右边不相等，故点 M₂ 不在圆上。 追问：M₂ 究竟在圆内还是圆外？由 20 < 25 知 (x₀ − a)² + (y₀ − b)² < r²，所以点 M₂ 在圆内。 方法归纳：判断点与圆的位置有两条路径 —— 代数法（代入方程左边，与 r² 比较）与几何法（算点到圆心的距离 d，与 r 比较），二者等价。 人教A版 · 选择性必修第一册　2.4.1　圆的标准方程 10 / 17 十、教材例题 2 待定系数法 · 两两相减 （教材例题）△ABC 的三个顶点分别是 A(5, 1)、B(7, −3)、C(2, −8)，求 △ABC 的外接圆的标准方程。 分析：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。设出标准方程后，把三点的坐标分别代入，三个方程两两相减，恰好消去 a²、b²、r²，得到关于 a、b 的二元一次方程组。 解：设所求的方程是 　①；把三点坐标代入并整理： ， ， 。 ①−②得 ，即 ；①−③得 ，即 。 解得 ；代入①得 。 所以 △ABC 的外接圆的标准方程是 (x − 2)² + (y + 3)² = 25。 注意：由 a + b = −1 也可由② − ③ 直接得到；三个差式中只有两个独立，任选两个组成方程组即可。 人教A版 · 选择性必修第一册　2.4.1　圆的标准方程 11 / 17 十一、教材例题 3 一题两解 · 几何与代数 （教材例题）已知圆心为 C 的圆经过 A(1, 1)、B(2, −2) 两点，且圆心 C 在直线 l: x − y + 1 = 0 上，求此圆的标准方程。 解法一：设圆心，列方程组 设圆心 C(a, b)。C 在 l 上，且到 A、B 等距： 　① 　② 化简得 　③ 由①③解得 。 故圆心 。 。 所以圆的标准方程是 (x + 3)² + (y + 2)² = 25。 依据：圆上任意两点到圆心的距离相等。 解法二：垂径定理 弦的垂直平分线过圆心。先求 AB 的中点与斜率： ， 垂直平分线： ，化简得 联立： 与 解得 ；此时 。 （与解法一一致）。 两种解法结论一致：代数法列方程，几何法用垂直平分线。 易错：把“圆心在直线 x − y + 1 = 0 上”误写成 x − y = 1。 人教A版 · 选择性必修第一册　2.4.1　圆的标准方程 12 / 17 九、课堂练习 随堂巩固 1. 写出圆心为 C(−1, 2)、半径 r = 3 的圆的标准方程。 2. 圆 (x − 3)² + (y + 1)² = 16 的圆心坐标是＿＿＿＿，半径是＿＿＿＿。 3. 以 A(2, −1)、B(4, 3) 为直径的两个端点，求圆的标准方程。 4. 判断点 P(1, 2) 与圆 x² + y² = 5 的位置关系。 参考答案 ｜ 每题写出关键步骤，不出孤立结果 1 题意给出 a、b、r，直接代入标准式即得。 ，即 。 2 对照 (x − a)² + (y − b)² = r²：x − 3 给出 a = 3，y + 1 = y − (−1) 给出 b = −1；由 r² = 16 且 r > 0 得 r = 4。 ，圆心为 。 3 圆心取 AB 中点，半径取 |AB| 的一半： 所以 。 4 把 P(1, 2) 代入左边： ，故点 P 在圆上。 讲评提醒：第 2 题务必区分 r 与 r²；第 3 题半径为 |AB| 的一半而非 |AB| 本身；第 4 题不必开方求 d，比较平方即可。 人教A版 · 选择性必修第一册　2.4.1　圆的标准方程 13 / 17 十、归纳小结 小结 圆的标准方程 (x − a)² + (y − b)² = r²，圆心 C(a, b)，半径 r（r > 0）。 由方程读信息 把方程整理成标准式，圆心坐标与半径就能直接读出来。 坐标法 建系、设点、列式、化简 —— 求轨迹方程的基本套路。 点与圆的位置 先算点到圆心的距离 d，再与半径 r 比较大小。 人教A版 · 选择性必修第一册　2.4.1　圆的标准方程 14 / 17 十一、分层作业 作业 基础巩固 1 写出圆心为 C(−2, 1)、半径 r = 5 的圆的标准方程。 2 写出圆 (x − 4)² + (y + 2)² = 9 的圆心坐标与半径。 3 判断点 A(0, 0)、B(2, 2) 与圆 (x − 1)² + (y − 1)² = 2 的位置关系。 能力提升 4 以 (0, 0)、(4, 0) 为直径的两个端点，求该圆的标准方程。 5 已知 A(1, 2)、B(−3, 2)，求以线段 AB 为直径的圆的标准方程。 6 圆过点 (1, −2)，且圆心为 (1, 1)，求它的标准方程。 拓展探究 7 圆心在 y 轴上，且经过点 (1, 2) 与 (1, −2)，求该圆的标准方程。 8 已知圆 C: x² + y² = r²，当 r 变化时，讨论点 (3, 4) 与该圆的位置关系。 要求：写出完整求解过程，注明所用公式；第 8 题为开放题，需分类讨论并说明理由。 人教A版 · 选择性必修第一册　2.4.1　圆的标准方程 15 / 17 作业参考答案 分步详解 基础巩固 1 a = −2，b = 1，r = 5，代入标准式： ，即 。 2 ， ，故圆心为 ，半径为 3。 3 圆心 (1, 1)，r² = 2； A(0, 0)： ， B(2, 2)： ，故 A、B 都在圆上。 能力提升 4 圆心为直径中点 ，半径 ，故 。 5 ， ，得 6 圆心 (1, 1) 到点 (1, −2) 的距离即半径： ，得 拓展探究 7 设圆心 ，由 |CA| = |CB| 得 ，于是 ，得 。 8 点 P(3, 4) 到原点距离 d = 5，与 r 比较即可分类：① 0 < r < 5：d > r，点在圆外；② r = 5：d = r，点在圆上；③ r > 5：d < r，点在圆内。 结论：判断点与圆的位置关系只需比较 d 与 r，不必求具体坐标。 易错：第 6 题“圆过点”指该点到圆心距离等于半径；第 8 题必须分类，漏 r = 5 会失分。 人教A版 · 选择性必修第一册　2.4.1　圆的标准方程 16 / 17 谢谢观看 高中数学 · 选择性必修第一册 · 2.4.1 圆的标准方程 坐标法：建系 — 设点 — 列式 — 化简 $