2.4.1圆的标准方程（教学设计+导学案+课件）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.4.1　圆的标准方程　教学设计 ——圆心半径与标准方程 课型：新授课　课时：第 6 课时（本册） 教材：人教A版·普通高中教科书 数学 选择性必修第一册 一、课标依据 ①　在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；能根据确定圆的几何要素（圆心和半径，或不共线的三点）求出圆的标准方程，并能根据方程求出圆心坐标和半径。（出处：选择性必修课程·主题二「几何与代数」·圆与方程；对应本课：环节二、三、四：圆的标准方程、由方程读圆心半径、待定系数法求圆方程） ②　能判断点与圆的位置关系，体会用代数方法（方程）研究几何图形（圆）的思想，感悟「几何条件代数化」的基本思路。（出处：选择性必修课程·主题二「几何与代数」·圆与方程；对应本课：环节二、五：点与圆的位置关系、几何条件转代数） 本课核心素养锚点：直观想象、数学运算（主要）　数学抽象、逻辑推理（次要）。 二、教材与学情分析 是什么：本节研究圆这一最基本的曲线。平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合（轨迹）叫做圆。若圆心为 、半径为 ，则圆上任一点 满足 ，两边平方即得标准方程 。反之，给定一个形如 （）的方程，它表示一个以 为圆心、 为半径的圆。 从哪来：学生在初中已学过圆的定义与基本性质，在必修中已掌握两点间距离公式 与一元二次方程（组）的解法。本节要做的，是把「圆的几何定义」翻译成「一个二元二次方程」，从而能用代数工具研究圆。 往哪去：圆的标准方程是本章「直线与圆的位置关系」「圆与圆的位置关系」以及第三章「圆锥曲线」的起点。下一节（2.4.2）将研究圆的一般方程并把标准方程配方互化；后续求切线、弦长、最值，本质上都是在标准方程或一般方程里做代数运算。 核心矛盾：重点：圆的标准方程及其由圆心、半径的互化；待定系数法求圆方程。 难点：① 把几何条件（圆心在弦的中垂线上、过定点）正确转化为代数等式；② 三点定圆时解方程组易在符号上出错；③ 点与圆的位置关系判定时，常把「比较距离平方与 」误写成「比较距离与 」而多开一次方。 成因：学生习惯「套公式」，对「几何条件 → 代数等式」这一步缺少系统训练；又因标准方程里有 两个待定字母与 ，变量多、易遗漏。 独特价值：圆是第一个被「方程化」的曲线，标准方程把「形」（圆心、半径、点与圆的关系）完整地翻译成「数」（一组有序的等式），是解析几何思想最干净的范例。 知识／能力起点：已掌握平面直角坐标系、两点间距离公式、解二元一次方程组；对圆的直观图形（圆心、半径）有清晰认识。 认知／思维特点：能接受「代入验证点在圆上」的直觉做法，但把「圆心在弦的中垂线上」这类几何语言翻译成代数等式仍需引导；运算中容易忽略 的条件。 预判困难与兴趣点：① 由方程读圆心时把 误读为圆心纵坐标为 （应为 ）；② 三点定圆解方程组时符号出错；③ 判定点与圆的位置时多开一次方；④ 兴趣点：只给三个点的坐标，就能唯一确定一个圆。 数据来源：待补充：建议以必修「两点间距离公式」单元测验中「代入求距离」类题的得分率替代。 三、教学目标 1. 能用自己的话说出圆的定义（平面上到定点距离等于定长的点的集合），记住圆心为 、半径为 的圆的标准方程 ，能由圆心、半径直接写出方程，也能由方程读出圆心与半径。 布鲁姆层级：理解　｜　SOLO 水平：单点—多点　｜　成功标准：读写的 4 题对 3 题及以上 2. 掌握用待定系数法求圆的标准方程：已知圆心在某直线（如在某坐标轴上、在圆所过两点的中垂线上）且过两点时，先求圆心再求半径；已知不共线三点时，设 解方程组。 布鲁姆层级：应用　｜　SOLO 水平：多点结构　｜　成功标准：例 2、例 3 及变式共 4 题对 3 题 3. 能把「圆心在弦的中垂线上」「圆过定点」等几何条件转化为代数等式，并据此求圆方程；能判断点与圆的位置关系（在圆内／上／外）。 布鲁姆层级：应用／分析　｜　SOLO 水平：关联结构　｜　成功标准：例 2 的几何转代数、当堂检测第 4 题对 2 题及以上 目标 1 的评估证据：例 1 + 变式 1 + 当堂检测第 1、2 题；对应环节：环节二、三。 目标 2 的评估证据：例 2 + 变式 2 + 作业 B 组第 5 题；对应环节：环节四。 目标 3 的评估证据：例 3 + 变式 3 + 当堂检测第 4 题 + 作业 A 组第 4 题、B 组第 6 题、C 组第 8 题；对应环节：环节四。 四、教学重点、难点与教学方法 重点：圆的标准方程 ；由圆心、半径写方程，由方程读圆心、半径；用待定系数法求圆的标准方程。 难点：把几何条件（圆心在弦的中垂线上、圆过定点）转化为代数等式；三点定圆时方程组的求解与符号处理；点与圆的位置关系的代数判定。 难点成因：学生缺少「几何条件代数化」的系统性训练；标准方程中待定字母 较多，且读圆心时容易在符号上出错。 教法：情境启发 + 讲练结合——由「平面内到定点距离等于定长的点的轨迹」自然给出定义与标准方程；例题先由教师板演「几何条件 → 代数等式 → 解方程」的完整逻辑，再让学生独立做变式。 学法：数形结合（先画图找圆心与半径，再列方程）+ 程序化计算（先定圆心、再求半径）——本课认知任务以「概念理解」与「待定系数法运算」为主，难点落在几何转代数。 五、教学过程 环节一　情境导入：怎样用一个等式描述一个圆（约4分钟） 情境：自行车的车轮、钟表的表盘、学校体育场的跑道弯道——它们的轮廓都是圆。一个圆由什么唯一确定？（圆心和半径。） 回顾：初中定义——平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆。 追问：如果圆心在 、半径是 ，怎样用 写出一个等式，让它恰好表示这个圆？这就是本节课要解决的「圆的标准方程」。 【学生活动】观察课件中的圆，口答「确定圆需要哪两个要素」；在学案上画一个圆心在原点、半径为 的圆，并思考怎样用坐标描述「到原点距离为 」。 【设计意图】对应目标 1。用生活情境唤醒圆的直观，把「确定圆的几何要素」自然过渡到「用方程表示圆」，让标准方程的出现成为逻辑必然。 环节二　圆的定义与标准方程（约8分钟） （1）定义：平面内到定点 的距离等于定长 （）的点的集合叫做圆，定点 叫圆心，定长 叫半径。 （2）方程的推导：设 是圆上任意一点，则 。由两点间距离公式得 ，两边平方得 ，这就是圆的标准方程。 （3）由方程读圆心、半径：方程 表示以 为圆心、 为半径的圆；特别注意 对应 ， 对应 。 （4）点与圆的位置关系：设点 ，记 。 若 ，则 在圆内；若 ，则 在圆上；若 ，则 在圆外。 （5）口答：圆 的圆心和半径分别是多少？（圆心 ，半径 。） 〔缺图：zx2_6_std〕 【学生活动】对照课件示意图，在学案「知识梳理」处填写标准方程，并标注「 对应圆心纵坐标为 」；同桌互查有没有把符号读反。 【设计意图】对应目标 1。推导只走「距离公式 → 平方」一步，把重心放在「由方程读圆心、半径」和「点与圆位置关系的代数判定」上，这两处正是高频错题来源。 环节三　求圆的标准方程的两种思路（约6分钟） 求圆的标准方程，关键是确定圆心 和半径 ，常用两条路径： 路径一（几何法）：先利用几何条件确定圆心位置（如圆心在弦的中垂线上、在某条已知直线上、在某坐标轴上），再结合圆过某点求半径。 路径二（待定系数法）：设 ，把已知条件代入得到关于 的方程组求解。 小窍门：已知不共线三点时，优先用路径二；已知圆心满足某几何条件且圆过两点时，优先用路径一。 【学生活动】在学案上用箭头把「已知类型」与「选用路径」连起来，形成一张选择流程图。 【设计意图】对应目标 2、3。把「怎么选方法」讲在例题之前，让学生拿到题先想清楚路径，避免一上来就盲目设未知数。 环节四　例题精析（约15分钟） 例 1　圆心、半径与标准方程　（1）已知圆心为 ，半径长 ，写出圆的标准方程；（2）写出圆 的圆心坐标和半径。 【答案】（1）；（2）圆心 ，半径 。 【详解】（1）把 代入 ，得 ；注意 对应 。 （2）与标准式对比， 对应 ， 对应 ，等号右边 故 。 【方法归纳】写方程「代 」；读圆心「 看 、 看 」， 表示 ，不要误读为 。 变式 1　已知圆 ，判断点 、 与该圆的位置关系（在圆内／上／外）。 【答案】 在圆上； 在圆外。 【详解】代 ：，故 在圆上；代 ：，故 在圆外。（比较的是「距离的平方」与 ，不必开方。） 例 2　几何条件转代数（圆心在中垂线上）　已知圆心在直线 上，且圆经过 、 两点，求圆的标准方程。 【答案】。 【详解】 与 的横坐标相同，线段 竖直，其中点为 ，中垂线是水平直线 （即 轴）。圆心既在 的中垂线 上，又在直线 上，联立得 、，故圆心 。 半径 ，故标准方程为 。 【方法归纳】「圆过两点」⇒ 圆心在两点连线的中垂线上；把这条几何条件写成直线方程，再与已知直线方程联立求交点即圆心。 变式 2　已知圆心在 轴上，且圆经过 、 两点，求圆的标准方程。 【答案】。 【详解】圆心在 轴上，设 。由 得 ，即 ；展开：，，解得 ，圆心 。 ，故方程为 。 例 3　待定系数法（三点定圆）　已知圆经过 、、 三点，求圆的标准方程。 【答案】。 【详解】设圆的标准方程为 。把三点坐标代入： ：　①；　：　②；　：　③。 ①−②得 ，展开 ，解得 ；把 代入①、③：，，两式相减得 ，即 ，，解得 ，。故方程为 。 【方法归纳】三点定圆设标准式，代入得到三个关于 的方程，两两相减消去 先求 ，再回代求 。 变式 3　已知 的顶点为 、、，求其外接圆的标准方程。 【答案】。 【详解】设外接圆方程为 。代入三点： ：　①；　：　②；　：　③。 ①−③得 ，即 ，解得 ；把 代入①、②：，，两式相减得 ，解得 ，。故外接圆方程为 。 【学生活动】例 1 由学生口答；例 2 教师板演「中垂线求圆心」的完整推理，随后学生独立完成变式 2；例 3 与变式 3 由学生板演，重点纠正解方程组时的符号错误；所有判定题强调「比较距离平方与 」。 【设计意图】对应目标 1、2、3。三例构成「写/读 ⇄ 几何转代数 ⇄ 三点待定系数」的梯度；例 2 专攻「圆心在中垂线上」这一最核心的几何转代数，变式 3 把三点定圆用到外接圆。 环节五　当堂检测（约4分钟） 独立完成约 3 分钟，同桌互换批改，统计错号。 检测题见《学案》「当堂检测」栏（共 4 小题），答案与详解由课件单击依次呈现。 1. 写出圆心为 、半径 的圆的标准方程。 【答案】 【详解】把 代入标准方程，得 ，即 。 2. 已知圆的方程为 ，写出它的圆心坐标和半径。 【答案】圆心 ，半径 【详解】与 对比： 对应 ， 对应 ，等号右边 故 ，所以圆心为 ，半径为 。 3. 判断点 与圆 的位置关系（在圆内／上／外）。 【答案】点 在圆上 【详解】记 ，故点 在圆上（比较的是距离平方与 ，无需开方）。 4. 已知圆心在 轴上，且圆经过 、 两点，求圆的标准方程。 【答案】 【详解】、 横坐标相同，线段 竖直，中点为 ，中垂线为水平直线 ；圆心在 轴上（即 ）且又在中垂线上，故圆心为 ，半径 ，，标准方程为 。 【学生活动】独立作答 → 同桌互换批改 → 举手统计错号，教师只讲错得最多的那一题。 【设计意图】对应目标 1、2、3。四题分别对应写方程、读圆心半径、点与圆位置关系、几何条件（圆心在轴上）求圆方程，实现对三个目标的当堂检测。 环节六　课堂小结与作业布置（约3分钟） 小结一条链：圆的定义（到定点距离等于定长）→ 标准方程 → 由方程读圆心 、半径 → 求方程两条路（几何法找圆心、待定系数法设标准式）→ 判定点与圆（比 与 ）。 预告：下节课把方程展开，得到 这种「一般形式」，并研究它什么时候表示一个圆。 作业布置见下方分层作业。 【学生活动】齐答小结链条中的空缺处；把「 对应 」和「比的是 与 」各默写一遍。 【设计意图】对应全部目标。以「一条链」收束全课，把零散概念串成结构；末句预告一般方程，让学生看到本课在整章中的位置。 时间弹性提示：若环节四推进偏慢，可把变式 3（外接圆）改为课后完成，务必保证环节五「当堂检测」不少于 3 分钟。 差异化处理：对基础较好的班级，例 3 之后可追加追问「若三点共线，还能确定圆吗」（答：不能，因为不存在同时到三点等距的点），为「不共线三点」这一前提作铺垫。 教学准备——教具：多媒体课件、圆规、彩色粉笔（红笔标注答案）；学具：学案（随堂印发）、直尺、圆规；媒体资源：课件需支持：圆的定义与标准方程示意图、三点定圆示意图。 六、板书设计 选型：提纲式（左侧主板书，右侧副板书） 结构：主板书（左侧，随课自上而下生成）： 2.4.1　圆的标准方程 一、定义：到定点 距离等于定长 的点的集合 二、标准方程 （），表示以 为圆心、 为半径的圆 三、读圆心： 看 ， 看 （ ⇒ ） 四、点与圆： 内｜ 上｜ 外 五、求法：几何法（中垂线找圆心）／待定系数法（设标准式解方程组） 副板书（右侧）：例 2 的中垂线求圆心推导 + 例 3 的三元方程组消元过程 + 错例纠正区。 与重难点的对应：左侧「二、三」对应教学重点；右侧「中垂线求圆心」「三元方程组消元」对应教学难点。 呈现方式：随课逐步生成，不一次性写完；例 2、例 3 的推导在环节四即时生成。 七、教学反思（预设要点，供课后填写） 目标达成情况：目标 1、2 预计达成良好；目标 3 中「几何条件转代数」仍是薄弱点，估计有部分学生在例 2 找不到中垂线，需在 2.4.2 及后续习题中继续强化。 学情预判是否准确：预判的「 读成 」「多开一次方」错误应该在当堂检测第 2、3 题显形，这两题的得分率是复核学情预判的关键指标。 情境与实践活动效果：若学生对「圆心在弦中垂线上」缺乏直观，可用圆规在投影下实地演示：以 为圆心画等半径圆弧，交线即中垂线；三点定圆示意图建议保留整节课。 改进设想：阿波罗尼斯圆（轨迹题）可作为本章综合实践素材，提前打通「几何条件 → 代数方程 → 配方看图形」与 2.4.2 的联系。 附录　本课易错警示 1. ① 由方程读圆心时符号读反： 对应 ， 对应 ，不是 、；标准式是「减号」，括号里是「加」就说明该坐标为负。 2. ② 判定点与圆的位置时多开一次方：应直接比较 与 ，不必算出距离 和半径 再比大小。 3. ③ 三点定圆解方程组时符号出错：两两相减消去 先求 ，再回代求 ；展开平方时注意 ，不要漏掉中间项。 4. ④ 用几何法时漏掉「中垂线」条件：圆过两点 只能推出圆心在 的中垂线上，还要结合另一条直线（或坐标轴）联立才能定点，缺一不可。 5. ⑤ 忽略 ：由几何条件得到的半径平方必须为正，若算得 说明无圆或退化为点。 附：分层作业（题目·答案·详解） 教材原题答案以课本配套教师教学用书为准，下列补充题为本课自编题，答案与详解附后。 说明：下面每一道题的题干之后，紧接该题的【答案】与【详解】（深红），便于投影讲评或印发；其中教材原题的答案以课本配套教师教学用书为准。 作业布置： 基础巩固——下列补充题第 1—4 题：圆的标准方程的正用、反用与点与圆的位置关系 能力提升——下列补充题第 5—7 题：几何条件转代数、三点定圆与外接圆 思维挑战——下列补充题第 8 题：几何条件转代数的轨迹问题（阿波罗尼斯圆） 基础巩固 1. 写出圆心为 、半径 的圆的标准方程，并写出圆心和半径。 【答案】，圆心 ，半径 。 【详解】把 代入标准方程得 ，圆心 、半径 。 2. 已知圆的方程为 ，写出它的圆心坐标和半径。 【答案】圆心 ，半径 。 【详解】 对应 ， 对应 ，等号右边 故 ，所以圆心 ，半径 。 3. 判断点 与圆 的位置关系（在圆内／上／外）。 【答案】点 在圆外。 【详解】记 ，故点 在圆外。 4. 已知圆心在 轴上，且圆经过点 和 ，求圆的标准方程。 【答案】。 【详解】圆心在 轴上，设 。由 得 ，即 ，得 ，解得 ，圆心 ；，故方程为 。 能力提升 1. 已知圆心在直线 上，且圆经过 、 两点，求圆的标准方程。 【答案】。 【详解】圆心在 上，设 。由 得 ；展开：，即 ，得 ，解得 ，圆心 ；，故方程为 。 2. 求经过 、、 三点的圆的标准方程。 【答案】。 【详解】设方程为 。代入三点：：；：；：。由前两式相减得 ，解得 ；代回得 、，相减得 ，解得 ，，故方程为 。 3. 已知 的顶点为 、、，求其外接圆的标准方程。 【答案】。 【详解】 是直角三角形（直角在 ），外接圆圆心为斜边 的中点：；半径 ，；故方程为 。 思维挑战 8. 已知动点 满足 ，其中 、。 （1）求点 的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形； （2）该轨迹的圆心到直线 的距离是多少？ 【答案】（1）轨迹方程为 ，轨迹是以 为圆心、半径 的圆； （2）圆心 到直线 的距离为 。 【详解】（1）设 ，则 ，。 由 得 ，两边平方： 。 移项整理：，两边除以 ：。 配方：，即 。 这是一个以 为圆心、半径 的圆（标准的「几何条件转代数」）。 （2）圆心 到直线 的距离为 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4.1　圆的标准方程　学案 ——圆心半径与标准方程 一、学习目标 1. 能说出圆的定义（平面内到定点距离等于定长的点的集合），记住圆心为 、半径为 的圆的标准方程 ，能由圆心、半径写出方程，也能由方程读出圆心与半径。 2. 掌握待定系数法求圆的标准方程：已知圆心在某直线（或在过两点的中垂线上）且过两点时先求圆心再求半径；已知不共线三点时设 解方程组。 3. 能把「圆心在弦的中垂线上」「圆过定点」等几何条件转化为代数等式，并据此求圆方程；能判定点与圆的位置关系。 二、课前预习（阅读教材 2.4.1 节后完成） 1. 圆的定义与标准方程 平面内到＿＿＿的距离等于＿＿＿的点的集合（轨迹）叫做圆，定点叫＿＿＿，定长叫＿＿＿。 圆心为 、半径为 （）的圆的标准方程是＿＿＿＿＿＿＿＿。 2. 由方程读圆心、半径 圆 的圆心是＿＿＿，半径是＿＿＿；注意 中的 对应圆心纵坐标为＿＿＿。 3. 点与圆的位置关系 设点 ，记 。若 ，则 在圆＿＿＿；若 ，则 在圆＿＿＿；若 ，则 在圆＿＿＿。 三、课堂探究 探究一　怎样由圆的几何定义得到标准方程 设圆心 、半径 ，圆上任一点 满足 。请在本页写出由「两点间距离公式」推出标准方程的过程（注意要两边平方）。 探究二　为什么 对应圆心纵坐标为 把 与标准式 逐项对比，说明 、、 分别等于多少，并解释 为什么表示 。 探究三　圆过两点时圆心在哪里 已知圆经过 、 两点。线段 的中点是什么？ 的中垂线是哪条直线？由此说明：圆心一定在这条中垂线上。再结合「圆心在直线 上」，怎样求出圆心？ 四、典例剖析 例1　圆心、半径与标准方程 （1）已知圆心为 ，半径长 ，写出圆的标准方程；（2）写出圆 的圆心坐标和半径。 变式1 已知圆 ，判断点 、 与该圆的位置关系（在圆内／上／外）。 例2　几何条件转代数（圆心在中垂线上） 已知圆心在直线 上，且圆经过 、 两点，求圆的标准方程。 变式2 已知圆心在 轴上，且圆经过 、 两点，求圆的标准方程。 例3　待定系数法（三点定圆） 已知圆经过 、、 三点，求圆的标准方程。 变式3 已知 的顶点为 、、，求其外接圆的标准方程。 【方法小结】① 写方程「代 」，读圆心「 看 、 看 」；② 圆过两点 ⇒ 圆心在两点连线的中垂线上；③ 三点定圆设 ，代入后两两相减先求 再求 ；④ 判定点与圆：直接比较 与 ，不必开方。 五、当堂检测 1. 写出圆心为 、半径 的圆的标准方程。 2. 已知圆的方程为 ，写出它的圆心坐标和半径。 3. 判断点 与圆 的位置关系（在圆内／上／外）。 4. 已知圆心在 轴上，且圆经过 、 两点，求圆的标准方程。 六、分层作业 A 基础巩固 1. 写出圆心为 、半径 的圆的标准方程，并写出圆心和半径。 2. 已知圆的方程为 ，写出它的圆心坐标和半径。 3. 判断点 与圆 的位置关系（在圆内／上／外）。 4. 已知圆心在 轴上，且圆经过点 和 ，求圆的标准方程。 B 能力提升 5. 已知圆心在直线 上，且圆经过 、 两点，求圆的标准方程。 6. 求经过 、、 三点的圆的标准方程。 7. 已知 的顶点为 、、，求其外接圆的标准方程。 C 思维挑战 8. 已知动点 满足 ，其中 、。 （1）求点 的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形； （2）该轨迹的圆心到直线 的距离是多少？ 七、学习反思 本节课我掌握得最好的： 还需要加强的（特别是读圆心时的符号、判定点与圆时比较 与 ）： 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4.1　圆的标准方程 ——圆心半径与标准方程 第二章 直线和圆的方程 人教A版·普通高中教科书 数学 选择性必修第一册 新授课　第 6 课时（本册） 30 秒导入：一个圆由圆心和半径唯一确定，怎样用一个等式描述它？ 学习目标 1 目标1　能说出圆的定义，记住标准方程 ，会写会读圆心与半径。 目标2　会用待定系数法求圆的标准方程（圆心在直线上／中垂线上、三点定圆）。 目标3　会把「圆心在弦中垂线上」等几何条件转成代数等式，会判定点与圆的位置关系。 60 秒：突出第 2、3 条——待定系数法与几何条件转代数，这是本课新工具。 情境导入：怎样用一个等式描述一个圆 2 自行车轮、钟表表盘、跑道弯道——轮廓都是圆。 回顾：平面内到定点距离等于定长的点的集合叫做圆。 追问：圆心在 、半径是 ，怎样用 写出一个等式让它恰好表示这个圆？ 这就是本节课要解决的——圆的标准方程。 4 分钟：从「确定圆需要哪两个要素」制造需求，让标准方程的出现成为必然。 一、圆的定义与标准方程 3 定义 到定点 距离等于定长 （）的点的集合叫做圆。 设 在圆上，则 ； 由两点间距离公式平方得： （标准方程）。 读圆心： 看 ， 看 ； 注意 对应 ，不是 。 点与圆：代 ，比 与 ： 　 内｜ 上｜ 外（不必开方）。 8 分钟：推导只走「距离公式→平方」一步；重心放在「读圆心」与「点与圆位置」。 二、点与圆的位置关系 4 设圆 ，点 ，记 。 ⇔ 在圆内；　 ⇔ 在圆上； ⇔ 在圆外。 例：圆 中代 得 ⇒ 在圆上。 3 分钟：强调「比平方」而非「比距离」，避免多开一次方这一高频错。 三、求圆标准方程的两条路径 5 路径一（几何法）：利用几何条件定圆心——圆心在弦的中垂线上、在某直线或坐标轴上，再求半径。 路径二（待定系数法）：设 ，代入条件列方程组求 。 选法：已知不共线三点 ⇒ 路径二；圆心满足几何条件且过两点 ⇒ 路径一。 6 分钟：先讲「怎么选方法」，再进例题，避免盲目设未知数。 例 1　圆心、半径与标准方程 6 （1）圆心 ，半径 ，写出标准方程； （2）圆 的圆心和半径。 【答案】（1）；（2）圆心 ，半径 。 【详解】（1）代 得 ； 对应 。 （2） 对应 ， 对应 ，右边 故 。 3 分钟：两小问抢答；强调 $(y+1)$ 对应 $b=-1$。 变式 1　点与圆的位置关系 7 已知圆 ，判断 、 在圆内／上／外。 【答案】 在圆上； 在圆外。 【详解】代 ： ⇒ 圆上； 代 ： ⇒ 圆外（比的是平方）。 2 分钟：同桌互批，重点查是否多开了一次方。 例 2　几何条件转代数（中垂线求圆心） 8 圆心在直线 上，且圆过 、，求标准方程。 【答案】。 【详解】 竖直，中点 ，中垂线是 ； 圆心既在 又在 上 ⇒ 联立得 ； ，故 。 3 分钟：教师板演「中垂线 + 已知直线联立求圆心」的完整推理。 变式 2　圆心在 y 轴上且过两点 9 圆心在 轴上，且圆过 、，求标准方程。 【答案】。 【详解】设圆心 ，由 得 ； 展开 ⇒ ，圆心 ； ，故 。 2 分钟：学生独立完成；用 $|CA|=|CB|$ 列方程求圆心纵坐标。 例 3　待定系数法（三点定圆） 10 圆过 、、，求标准方程。 【答案】。 【详解】设 ，代入三点得三式； ①−②： ⇒ ；代回①、③得 、； 相减得 ⇒ ，，故 。 3 分钟：教师板演「代入得三元组，两两相减先求 a,b」。 变式 3　三角形的外接圆 11 已知 顶点 、、，求外接圆标准方程。 【答案】。 【详解】设 ，代入三点； ①−③： ⇒ ；代回①、②得 、； 相减得 ⇒ ，，故 。 2 分钟：学生板演；把三点定圆用到外接圆，注意直角三角形可先猜圆心。 当堂检测（第 1—2 题） 12 1. 写出圆心为 、半径 的圆的标准方程。 【答案】 【详解】把 代入标准方程，得 ，即 。 2. 已知圆的方程为 ，写出它的圆心坐标和半径。 【答案】圆心 ，半径 【详解】与 对比： 对应 ， 对应 ，等号右边 故 ，所以圆心为 ，半径为 。 4 分钟：独立完成约 3 分钟，同桌互换批改，只讲错得最多的那一题。 当堂检测（第 3—4 题） 13 3. 判断点 与圆 的位置关系（在圆内／上／外）。 【答案】点 在圆上 【详解】记 ，故点 在圆上（比较的是距离平方与 ，无需开方）。 4. 已知圆心在 轴上，且圆经过 、 两点，求圆的标准方程。 【答案】 【详解】、 横坐标相同，线段 竖直，中点为 ，中垂线为水平直线 ；圆心在 轴上（即 ）且又在中垂线上，故圆心为 ，半径 ，，标准方程为 。 4 分钟：独立完成约 3 分钟，同桌互换批改，只讲错得最多的那一题。 课堂小结与作业布置 14 定义：到定点距离等于定长的点的集合。 标准方程：，圆心 、半径 。 求法：几何法（中垂线找圆心）／待定系数法（设标准式解方程组）。 点与圆：比 与 即可，不必开方。 作业布置 完成《学案》分层作业（A 必做，B、C 选做）。 预告：下节课研究圆的一般方程 及其配方。 3 分钟：小结只落一条链——定义→标准方程→读写→求法→点与圆。 $