圆的一般方程(1)课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆的方程 圆的一般方程 复习引入： 圆的标准方程： 圆心：(a,b)，半径：r 将标准方程展开： 整理得到新式子： 形如： 的形式的方程能不能化为圆的标准方程？ 思考： 例如： 对其配方化简可以得到什么？ 探究： 方程 中的D,E,F满足什么条件时 这个方程可以表示圆？ 将方程左边配方得： ＝. 1.当D2＋E2－4F>0时，方程以圆心，以 为半径的圆； 2.当D2＋E2－4F＝0时，方程只有实数解，，它表示一个点； 3.当D2＋E2－4F<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 由此可得：当时， 二元二次方程 叫作圆的一般方程. 圆心： 半径： 概念辨析： 1.判断下列方程是否表示圆？若是，求出圆心坐标与半径： (1) + − 2x + 4y + 1 = 0；　(2) + − 2x + 4y − 1 = 0； (3) + − 2x + 4y + 5 = 0；　(4) + − 2x + 4y + 6 = 0。 答案：(1) 圆，圆心 (1, −2)，半径 2；　 (2) 圆，圆心 (1, −2)，半径 √6； (3) 表示一个点 (1, −2)； (4) 不表示任何图形。 1.圆 的圆心坐标与半径分别为 A（2，-2），4 B（-2，2），4 C（-2 ，2），2 D（2，-2），2 （D） 2.若方程 表示圆，则实数k的取值范围是___________. 圆的标准方程和圆的一般方程各有什么特点？ 方程 圆心 半径 圆的标准方程   （a,b）  r  圆的一般方程   D2＋E2－4F>0   例1.求过三点 O(0, 0)、(1, 1)、(4, 2) 的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。 方法一　设圆的方程是 x2+y2+Dx+Ey+F=0. ① 因为O，M1，M2三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解.把它们的坐标依次代入方程①，得到关于D，E，F 的一个三元一次方程组 待定系数法 解这个方程组，得 所以，所求圆的方程是x2+y2-8x+6y=0. 由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是(4，-3)， 半径r==5. 方法二　OM1的中点为，=1， ∴OM1的垂直平分线的方程为y-=-，即y=-x+1， 同理可得OM2的垂直平分线的方程为y=-2x+5， 联立解得即圆心为(4，-3)， 半径为=5.故所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=25. 几何法 问题：已知不共线的三点可以确定一个圆，已知不共线的四个点能不能确定一个圆？ 练习1.在平面直角坐标系中，A(-1，5)，B(5，5)，C(6，-2)，D(-2，-1)四个点能否在同一个圆上？ 练习1.在平面直角坐标系中，A(-1，5)，B(5，5)，C(6，-2)，D(-2，-1)四个点能否在同一个圆上？ 设过A，B，C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0， 则解得 所以过A，B，C三点的圆的方程为x2+y2-4x-2y-20=0. 将点D(-2，-1)代入方程，等式不成立. 故A，B，C，D四点不在同一个圆上. 要判断四点是否共圆，先求出经过其中不共线的三点的圆的方程，再验证第四个点是否满足该圆的方程。 例2.已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 动图展示 解：设点的坐标是，点的坐标是. 由于点的坐标是，且是线段的中点， 所以 于是有，. ① 因为点在圆上运动，所以点的坐标 满足圆的方程，即. ② 把①代入②， 得， 整理，得. 这就是点的轨迹方程，它表示以为圆心，半径为的圆. 相关点法 练习2．已知圆C过点A(6，0)，B(1，5)，且圆心在直线l：2x－7y＋8＝0上． (1)求圆C的方程； (2)P为圆C上任意一点，定点Q(8，0)，求线段PQ中点M的轨迹方程． 解：(1)直线AB的斜率k＝5−01−6＝－1， 所以线段AB的垂直平分线m的斜率为1. 线段AB的中点为72，52. 因此，直线m的方程为y－52＝x−72，即x－y－1＝0.又圆心在直线l上，所以圆心是直线m与直线l的交点． 联立方程组x−y−1＝0，2x−7y+8＝0，解得x＝3，y＝2，所以圆心坐标为C(3，2)．又半径r＝|CA|＝13， 则所求圆的方程是 (2)设线段PQ的中点M(x，y)，P( ， )，则 解得 ＝2x−8， ＝2y， 将P(2x－8，2y)代入圆C的方程中，得 即线段PQ中点M的轨迹方程为 练习3.等腰三角形的顶点 A 的坐标是(4,2),底边一个端点 B 的坐标是(3,5),求另一个端点 C 的轨迹方程,并说明它是什么图形. 根据题意,等腰三角形 ABC 的另一个端点 C 在以 A(4,2)为圆心,经过B(3,5)的圆上,且除去点 B 以及 B关于A的对称点B’ 定义法 练习4.长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程. 因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， :|OM|=|AB|=a, :.AB中点M在以O为圆心， a为半径的圆上， :中点M的轨迹方程为 直接法 当D2+E2-4F>0时, 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆, 我们把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程. 圆心： 半径： 课堂小结 课后作业： 完成相应学习指导，配套检测卷。