2.4.2圆的一般方程课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高中数学 · 选择性必修第一册 圆的一般方程 第二章　直线和圆的方程　2.4.2 授课教师：____________ 学　　校：____________ 日　　期：____________ 本课核心 x² + y² + Dx + Ey + F = 0 圆心 表圆的条件 一、三个点，一个圆？ 情境导入 从“三点定圆”说起 · 不在同一直线上的三个点， 　唯一确定一个圆； · 已知 A、B、C 的坐标，怎样求出这个圆的方程？ 思路 设 x² + y² + Dx + Ey + F = 0，把三点坐标代入，得到三元一次方程组——这正是“圆的一般方程”。 2.4.2 圆的一般方程　|　人教A版 · 选择性必修一 2/15 二、学习目标 本课要点 1 数学抽象 · 直观想象 理解圆的“一般方程”形式 x²+y²+Dx+Ey+F=0，掌握它表示圆的条件 D²+E²−4F>0，能由系数读出圆心与半径。 2 数学运算 · 逻辑推理 熟练进行一般式与标准式的互化（配方法），体会“配方”这一核心代数技能。 3 数学建模 能用待定系数法（设一般式）求圆的方程，体会坐标法与点、线、圆的数形转化。 2.4.2 圆的一般方程　|　人教A版 · 选择性必修一 3/15 三、标准式怎样展开成一般式 推导 展开与整理 ① (x − a)² = x² − 2ax + a² ② (y − b)² = y² − 2by + b² ③ 移项、合并同类项： x² + y² − 2ax − 2by + (a² + b² − r²) = 0 ④ 令 D = −2a，E = −2b， 　F = a² + b² − r² ⑤ 得 x² + y² + Dx + Ey + F = 0 标准式 与 一般式 互化 两个观察 • x²、y² 的系数相同，且没有 xy 项； • 方程含有三个独立参数 D、E、F，正好对应“过不共线三点确定一个圆”。 • 反过来，任意一个这样的方程，是否都表示一个圆？ → 这就引出下一个问题：它成为圆的条件。 2.4.2 圆的一般方程　|　人教A版 · 选择性必修一 4/15 四、配方：还原圆心与半径 配方 配方（完成平方） ① 对 x、y 分别配方： ② 整理后，右边为： ③ 右边必须为正，才能开方成半径的平方： ④ 等于 0 时退化为一个点；小于 0 时不表示任何图形。 配方法的核心地位 一般式与标准式之间的互化，全靠“配方”这一步。 配方后得到标准式： 由此即可直接读出圆心与半径。 圆心取 、 ，半径取右边值的算术平方根。 2.4.2 圆的一般方程　|　人教A版 · 选择性必修一 5/15 五、圆的一般方程 公式 x² + y² + Dx + Ey + F = 0　（当 D² + E² − 4F > 0 时表示圆） 圆心与半径 圆心 半径 · 注意符号：圆心坐标带负号（ 、 ）。 · 半径先算判别式 D² + E² − 4F，再开方除以 2。 · 互化：一般式→标准式用“配方”，标准式→一般式用“展开”。 · 已知圆上三点时，设一般式更简洁。 2.4.2 圆的一般方程　|　人教A版 · 选择性必修一 6/15 六、例 1 判断 · 读圆心半径 判断方程 x² + y² − 2x + 4y − 4 = 0 是否表示圆；若是，写出它的圆心和半径。 解 对原方程配方： x² − 2x + y² + 4y = 4 → (x − 1)² − 1 + (y + 2)² − 4 = 4 → (x − 1)² + (y + 2)² = 9。 右边 9 > 0，故它表示圆；圆心 C(1, −2)，半径 r = 3。 也可直接用条件：D²+E²−4F = 4+16+16 = 36 > 0，表圆。 2.4.2 圆的一般方程　|　人教A版 · 选择性必修一 7/15 七、例 2 三点求圆的一般方程 已知 A(0,0)、B(1,1)、C(4,2) 三点不共线，求过这三点的圆的一般方程。 解（待定系数法） 设圆的方程为 x² + y² + Dx + Ey + F = 0，代入三点： A(0,0)：F = 0； B(1,1)：1 + 1 + D + E + F = 0，得 D + E = −2； C(4,2)：16 + 4 + 4D + 2E + F = 0，得 2D + E = −10。 两式相减得 D = −8，代回得 E = 6。 所以圆的一般方程为 x² + y² − 8x + 6y = 0。 （检验：D²+E²−4F = 64+36 = 100 > 0，确为圆，圆心 (4,−3)，r = 5。） 2.4.2 圆的一般方程　|　人教A版 · 选择性必修一 8/15 八、教材例题 3 相关点法 · 求中点轨迹 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 (4, 3)，端点 A 在圆 (x + 1)² + y² = 4 上运动，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。 解 ① 设 、 。M 是 AB 的中点，由中点坐标公式： ， 。 ② 点 A 在已知圆上，坐标满足： ①。 ③ 把 、 代入①（相关点代入法）： 。 ④ 展开整理： ，即 。 ⑤ 检验：配方得 ，确为圆。 所以 M 的轨迹方程为 （圆心 ，半径 1）。 方法归纳：求轨迹方程的套路是「设动点 → 表关系 → 代入 → 化简」，关键是用已知曲线上点的坐标表示出动点坐标，再代入已知曲线方程；本题 A 取遍整个圆，M 也取遍整个像圆，无需另加范围限制。 2.4.2 圆的一般方程　|　人教A版 · 选择性必修一 9/15 九、随堂练习 讲练结合 1. 判断 x² + y² + 6x − 2y − 6 = 0 是否表示圆；若是，写出它的圆心与半径。 2. 求过 O(0, 0)、A(2, 0)、B(0, 4) 三点的圆的一般方程。 3. 若方程 x² + y² − 4x + 2y + k = 0 表示一个圆，求 k 的取值范围。 参考答案 ｜ 每题写出关键步骤与依据，不出孤立结果 1 先用表圆条件 D² + E² − 4F > 0 判断，再由公式读出圆心与半径。 ，表示圆； ， 。 2 三点不共线，设一般式 x² + y² + Dx + Ey + F = 0，用待定系数法列方程组。 代入 O(0, 0)、A(2, 0)、B(0, 4)： ， ， ， ，所以 （圆心 ， ）。 3 方程表示圆的充要条件是 D² + E² − 4F > 0。 ，即 ，解得 。 讲评提醒：第 1 题也可配方得 (x + 3)² + (y − 1)² = 16；第 3 题 k = 5 时方程退化为一个点，k > 5 时无轨迹。 2.4.2 圆的一般方程　|　人教A版 · 选择性必修一 10/15 十、教材原题 等腰梯形的外接圆 在四边形 ABCD 中，AB = 6，CD = 3，且 AB ∥ CD，AD = BC，AB 与 CD 间的距离为 3，求等腰梯形 ABCD 的外接圆的方程，并求圆心坐标和半径。 解 ① AB ∥ CD 且 AD = BC，故四边形 ABCD 是等腰梯形；取 AB 中点为原点、AB 所在直线为 x 轴建系。 ② 由 AB = 6、CD = 3，且 AB 与 CD 相距 3，得 、 、 、 。 ③ 图形关于 y 轴对称，外接圆的圆心 E 必在 y 轴上，设 。 ④ 圆心到 A、C 等距： ，即 。 ⑤ 展开得 ，故 ；此时 ， 。 ⑥ 外接圆方程为 ，圆心 ，半径 。 方法归纳：「圆过两点，则圆心在这两点连线的垂直平分线上」；三点不共线时，两条中垂线的交点就是外接圆的圆心。 2.4.2 圆的一般方程　|　人教A版 · 选择性必修一 11/15 十一、本课小结 梳理 一般方程的样子 x² + y² + Dx + Ey + F = 0，且 D² + E² − 4F > 0 时才表示圆。 圆心与半径 圆心取 、 ；半径为 配方是桥梁 一般式与标准式的互化，都靠配方与展开完成。 什么时候用它 已知三点、或系数满足某种关系时，设一般式用待定系数法最省事。 2.4.2 圆的一般方程　|　人教A版 · 选择性必修一 12/15 十二、课后作业 分层布置 基础巩固 1 配方求圆心与半径：x² + y² − 6x + 4y − 3 = 0。 2 判断 2x² + 2y² − 4x + 8y = 0 是否表示圆，并化为标准方程。 能力提升 3 过 (1, 1)、(2, 0)、(0, 4) 三点，求圆的一般方程。 4 若方程 x² + y² + kx − 4y + 5 = 0 表示圆，求 k 的取值范围。 拓展探究 5 圆心在 y 轴上，且圆经过点 A(2, 1) 与 B(−2, 3)，求圆的一般方程。 6 x² + y² + Dx + Ey + F = 0 中，D² + E² − 4F 分别大于、等于、小于 0 时，方程各表示什么图形？ 要求：写出完整求解过程，注明所用公式与依据；第 6 题需分三种情况说明。 2.4.2 圆的一般方程　|　人教A版 · 选择性必修一 13/15 作业参考答案 分步详解 基础巩固 1 ，是圆；圆心 ， 。 2 两边除以 2 化成标准形： ， ，是圆； 配方得 ，圆心 ， 。 能力提升 3 三点不共线，设一般式代入： ， ， ， 解得 ，所以 （检验：圆心 ， ）。 4 表示圆 ，即 ， ，解得 或 。 拓展探究 5 设圆心 ，由 ： ，得 ； ，圆心 ，故 。 6 配方得 ，右边： 时为圆； 时退化为点 ； 时无轨迹。 易错提醒：圆心坐标莫忘负号；用表圆条件前，务必先把方程化成 x² + y² 系数为 1 的一般式。 2.4.2 圆的一般方程　|　人教A版 · 选择性必修一 14/15 谢谢观看 高中数学 · 选择性必修第一册 · 2.4.2 圆的一般方程 配方：一般式与标准式的桥梁 $