2.4 圆的方程 2.4.2 圆的一般方程 (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

**基本信息** 高中数学“圆的一般方程”同步练，通过基础巩固、能力提升、拓展探究三层设计，实现从概念理解到综合应用的知识进阶，培养数学运算、几何直观与模型观念素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|圆的一般方程形式、圆心半径计算|选择题直接考查方程转化与基本量求解，如第2题圆心半径判断| |能力提升|轨迹问题、点与圆位置关系|填空题结合动点轨迹（第8题），多选题综合分析圆的性质（第6题）| |拓展探究|实际应用与综合建模|解答题引入阿波罗尼斯圆（第16题），探究几何图形面积（第15题），深化模型观念|

2.4.2　圆的一般方程 1.B　[解析] 圆的半径r=|AB|==,所以所求圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=5,即x2+y2+2x-2y-3=0.故选B. 2.C　[解析] 由x2+y2-2x+4y-6=0得(x-1)2+(y+2)2=11,∴C(1,-2),r=.故选C. 3.C　[解析] 由题意得解得-7<a<3.故选C. 4.B　[解析] 由x2+y2+4x-2ay+3a2-a+1=0,可得(x+2)2+(y-a)2=-2a2+a+3,则有解得0<a<.故选B. 5.A　[解析] 设M(x,y),因为M为线段AB的中点,B(3,0),所以A(2x-3,2y),又A(2x-3,2y)是圆C:x2+y2+6x-4y+9=0上的动点,所以(2x-3)2+(2y)2+6(2x-3)-8y+9=0,化简得x2+(y-1)2=1,则点M的轨迹方程为x2+(y-1)2=1.故选A. 6.BCD　[解析] 对于A,圆的方程x2+y2-4x+6y+k=0可化为(x-2)2+(y+3)2=13-k,可得圆心为(2,-3),A不正确;对于B,当k=0时,圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=13,则圆的半径r=,B正确;对于C,由圆心为(2,-3),得圆心到直线x+y-1=0的距离d==,C正确;对于D,当k=4时,圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=9,则圆的半径r=3,圆的面积S=πr2=9π,D正确.故选BCD. 7.x2+y2+6x+4=0　[解析] 设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则解得故所求圆的方程为x2+y2+6x+4=0. 8.(x+4)2+y2=18　[解析] 设点P(x,y),则|PM|=,|PN|=,∵点P满足|PN|=|PM|,∴=×,整理得x2+y2+8x-2=0,∴动点P的轨迹方程为(x+4)2+y2=18. 9.解:(1)①标准方程为(x+1)2+(y+2)2=9,故圆的圆心为(-1,-2),半径为3. ②圆的方程即为x2+y2+2x+y-5=0,化成标准方程为(x+1)2+=,故圆的圆心为,半径为. (2)设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 由题意可得解得 所以所求圆的方程为x2+y2-2x=0. 10.B　[解析] 由圆C:x2+y2-2mx+(2m-4)y-1=0可得圆心为C(m,-m+2),半径r=,设原点为O,则|OC|==,设t=2m2-4m+4,其图象的对称轴方程为m=1,开口向上,则t=2m2-4m+4在m=1处取得最小值,即|OC|取得最小值,此时圆C的半径r=,圆C的面积S=πr2=3π.故选B. 11.D　[解析] 设圆(x-2)2+y2=1的圆心为C,则C(2,0),圆的半径r=1,(x+1)2+(y-4)2表示圆C上的点P与定点A(-1,4)距离的平方,而|PA|max=|AC|+r=+1=6,所以(x+1)2+(y-4)2的最大值为36.故选D. 12.AB　[解析] 对于A,当k=0时,圆C:x2+y2-2y=0,则圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1,此时圆C是以(0,1)为圆心,1为半径的圆,其面积为12·π=π,故A正确;对于B,由x2+y2+kx-2y+k2=0得+(y-1)2=1-k2,所以1-k2>0,解得-<k<,故B正确;对于C,由圆C:+(y-1)2=1-k2,得圆心为C,半径r=,点(1,0)到圆心C的距离d==,当k=0时,d=>r=1,此时点(1,0)在圆C外,故C错误;对于D,当圆C的周长最大时,半径r=取得最大值,此时k=0,r=1,所以圆心C的坐标是(0,1),故D错误.故选AB. 13.2+　[解析] 设M(x,y),由·=4可得(1-x,2-y)·(3-x,0-y)=4,化简可得(x-2)2+(y-1)2=6,则动点M的轨迹为圆,圆心为C(2,1),半径为,又|NC|==2<,所以点N在圆C内,所以动点M与点N(4,1)间的距离的最大值为2+. 14.解:(1)直线AB的斜率为=, 则直线AB的方程为y-1=(x+1),即x-2y+3=0. |AB|==2,点C到直线AB的距离d==, 故S△ABC=|AB|·d=×2×=5. (2)O,A,B,C四点在同一个圆上,理由如下:设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 由已知可得解得所以△ABC的外接圆方程为x2+y2-2x-4y=0.因为02+02-2×0-4×0=0,所以坐标原点O在△ABC的外接圆上,因此,O,A,B,C四点在同一个圆上. 15.2π-4　[解析] 对于x2+y2=2|x|-2|y|,将y换成-y得x2+y2=2|x|-2|y|,所以曲线关于x轴对称,将x换成-x得x2+y2=2|x|-2|y|,所以曲线关于y轴对称,因此只需考虑曲线在第一象限内的部分.当x>0,y>0时,曲线方程为x2+y2=2x-2y,即(x-1)2+(y+1)2=2,所以曲线在第一象限内的部分与x轴所围成的图形是由半径为的圆去掉一个等腰直角三角形后形成的图形,根据对称性可得曲线x2+y2=2|x|-2|y|所围成的封闭图形如图中阴影部分所示,所以所围成的封闭图形的面积S=4×=2π-4. 16.解:(1)设P(x0,y0),由=2可得,=2, 化简可得++6x0+5=0,即(x0+3)2+=4, 所以圆C1的方程是(x+3)2+y2=4. (2)由(1)知,圆C1是以C1(-3,0)为圆心,2为半径的圆. 表示圆C1上的点(x,y)与点(3,2)间的距离, 因为(3+3)2+22>4,所以点(3,2)在圆C1外, 又因为点C1(-3,0)与点(3,2)间的距离为2, 所以的最大值为2+2,最小值为2-2. (3)设点Q(x1,y1),P(x0,y0),由=,可得(-2-x0,-y0)=(x1+2,y1), 即则(*). 因为点P(x0,y0)在圆(x+3)2+y2=4上,所以(x0+3)2+=4, 将(*)代入上式得(-1-x1)2+(-y1)2=4,即(x1+1)2+=4,故点Q的轨迹C2的方程为(x+1)2+y2=4. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4.2　圆的一般方程 1.经过点A(1,2),且以B(-1,1)为圆心的圆的一般方程为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.x2+y2-2x+2y-3=0 B.x2+y2+2x-2y-3=0 C.x2+y2+2x-2y-7=0 D.x2+y2-2x+2y-7=0 2.已知圆C:x2+y2-2x+4y-6=0的半径为r,则 (　 ) A.C(1,-2),r=2 B.C(-1,2),r= C.C(1,-2),r= D.C(-1,2),r=2 3.[2026·天津静海区高二期末] 若点P(1,2)在圆x2+y2-6x+4y-2a-1=0的外部,则a的取值范围为 (　 ) A.(-∞,3) B.(-7,+∞) C.(-7,3) D.[-7,+∞) 4.[2026·西安交大附中高二期中] 已知圆x2+y2+4x-2ay+3a2-a+1=0的圆心在第二象限,则实数a的取值范围为 (　 ) A.(0,+∞) B. C. D. 5.已知圆C:x2+y2+6x-4y+9=0,A是圆C上的动点,点B(3,0),M为线段AB的中点,则点M的轨迹方程为 (　 ) A.x2+(y-1)2=1 B.(x-1)2+y2=1 C.x2+(y-1)2=4 D.(x-1)2+y2=4 6.(多选题)[2026·东莞四校高二联考] 已知x2+y2-4x+6y+k=0表示圆,则下列结论正确的是 (　 ) A.圆心坐标为(-2,3) B.当k=0时,圆的半径r= C.圆心到直线x+y-1=0的距离为 D.当k=4时,圆的面积为9π 7.已知点A(-4,-2),B(-4,2),C(-2,2),则△ABC外接圆的方程是　　　　　　　.  8.[2026·昆明一中高二期中] 在平面直角坐标系中,已知M(-1,0),N(2,0),动点P满足|PN|=|PM|,则点P的轨迹方程为　　　　.  9.(13分)(1)将下列圆的方程化为标准方程,并写出圆的圆心和半径. ①x2+y2+2x+4y-4=0; ②3x2+3y2+6x+3y-15=0. (2)在平面直角坐标系中,求经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程(用圆的一般方程表示). 10.[2026·邯郸高二期中] 已知圆C:x2+y2-2mx+(2m-4)y-1=0,则当圆心到原点的距离最小时,圆C的面积为 (　 ) A.4π B.3π C.2π D.π 11.已知点P(x,y)是圆(x-2)2+y2=1上任意一点,则(x+1)2+(y-4)2的最大值为 (　 ) A.5 B.6 C.25 D.36 12.(多选题)已知圆C:x2+y2+kx-2y+k2=0,k∈R,则 (　 ) A.当k=0时,圆C的面积是π B.实数k的取值范围是 C.点(1,0)在圆C内 D.当圆C的周长最大时,圆心C的坐标是(0,-1) 13.[2026·南京七校高二联考] 已知A(1,2),B(3,0),若动点M满足·=4,则动点M与点N(4,1)间的距离的最大值为　　　　.  14.(15分)在平面直角坐标系中,A(-1,1),B(3,3),C(2,0). (1)求△ABC的面积; (2)若O为坐标原点,判断O,A,B,C四点是否在同一个圆上,并说明理由. 15.曲线x2+y2=2|x|-2|y|所围成的封闭图形的面积为　　　　.  16.(15分)[2026·吉林高二期中] 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名,他发现:平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是圆.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中,A(1,0),B(-2,0),点P满足=2,设点P的轨迹为圆C1. (1)求圆C1的方程; (2)若点(x,y)的坐标满足圆C1的方程,求的最大值及最小值; (3)若=,求点Q的轨迹C2的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $